Introdução Ao Cálculo Financeiro_exb

Introduo ao Clculo Financeiro

www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1Introduo ao Clculo FinanceiroClculo Financeiro - Teoria e PrticaApresentao de apoio ao livroRogrio Matias www.calculofinanceiro.com Escolar Editora 1 edio (2004) ISBN 972-592-176-3 2 edio (2007) ISBN 978-972-592-210-11www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)694.3 Rendas Temporrias (continuao)Valor actual de uma renda de termos variveis em progresso aritmtica(reportado origem)(momento que fica situado 1 perodo antes do vencimento do 1 termo)4Pgs. 269/272Pgs. 273/276Rendas em Regime de Juro Composto 0 1 2 3 . . . n-1 n t t+r t+2r . . . t+(n-2)r t+(n-1)r(a)An(a)An = an i (t + +nr)

r inr i69www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)814.4 Rendas Perptuas (continuao)Valor actual de uma renda perptua de termos variveis em progresso geomtrica

Se os termos forem variveis em progresso geomtrica, o valor actualda renda mais complicado de deduzir. Contudo, fcil de calcular.Ele dado por

Nota: s faz sentido se r < (1+i).4Pgs. 304/307Pgs. 311/313Rendas em Regime de Juro Composto 0 1 2 3 . . . t t.r t.r2 . . . t 1+i-r(g)A =

81www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)5CAP. 1 - INTRODUOClculo Financeiro - Teoria e PrticaApresentao de apoio ao livroRogrio Matias www.calculofinanceiro.com Escolar Editora 1 edio (2004) ISBN 972-592-176-3 2 edio (2007) ISBN 978-972-592-210-15www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)865. Amortizao de Emprstimos Clssicos5.1 Generalidades relativas a amortizao de emprstimos.O Quadro de Amortizao.

5.2 Algumas modalidades de amortizao de emprstimos.

5.2.1 Sistema Francs.5.2.2 Sistema de Amortizaes Constantes.5.2.3 Sistema Americano.Amortizao de Emprstimos Clssicos586www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)71.1 - Enquadramento geral- Valor temporal do dinheiro (Time Value of Money): no atribumos o mesmo valor a 1.000 euros disponveis (ou exigveis) hoje ou apenas daqui a 1 ano (preferncia pela liquidez liberdade para decidir o mix consumo/poupana).

- Importncia do factor tempo em todas as situaes que envolvam capitais.

- Valor do factor tempo: juro.

- Consequncia: no possvel comparar ou operar directamente com capitais reportados a momentos diferentes (so unidades de medida diferentes). Seria o mesmo que operar directamente com gramas e quilogramas, ou com metros e quilmetros, por exemplo.Introduo 1Pgs. 29, 30Pgs. 5/77www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)81.1 - Enquadramento geral- Assim, necessrio exprimir todos os capitais numa unidade comum, ou seja reduzir tudo mesma unidade homogeneizar os capitais.

- Em operaes que envolvam capitais, essa unidade comum expressa pelo tempo, ou melhor, por um dado momento no tempo.

- Exprimir capitais numa mesma unidade exprimi-los num mesmo momento.

- Torna-se, pois, necessrio arranjar forma de exprimir todos os capitais a esse momento.Introduo1Pgs. 30, 31Pg. 78www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)91.1 - Enquadramento geralEquivalncia de capitais

- Como exprimir num mesmo momento capitais que, partida, esto expressos em (ou reportados a) momentos diferentes?

- Atravs de conceitos e tcnicas que permitem elaborar uma equao (equao de valor ou equao de equivalncia) que traduz a equivalncia, nesse momento (a data focal), entre todos os capitais envolvidos.

- Para tal, usam-se diversos factores de equivalncia que permitem reportar capitais a um momento posterior ou anterior quele a que se encontra reportado, consoante o regime de equivalncia adoptado (regime de juro simples ou regime de juro composto).Introduo1Pg. 31Pgs. 7/99www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)101.1 - Enquadramento geralRegra de Ouro do Clculo Financeiro:

Introduo1

Para comparar ou operar sobre capitais

necessrio que eles estejam reportados a

um mesmo momento.Pg. 31Pg. 710www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)111.2 - Operaes financeiras conceitos e intervenientesIntroduo1- Operao financeira presena simultnea de capital, tempo e juro

- Operaes financeiras: activas e passivas

- Taxas de juro: activas e passivas

Muturio (aquele que pede emprestado) e mutuante (aquele que empresta)

- Spread

- Prime rate

- Taxas indexantes (vg, Euribor)Pgs. 33, 34; Pgs. 9/11

Clique para aceder pgina web oficial da Euribor.11www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)121.3 - O juro conceito e clculoIntroduo1Pgs. 34/39Pgs. 11/15- Juro: remunerao de um certo capital, durante um certo prazo

. Bases de clculo para contagem dos dias: . ACT/ACT, ACT/365, ACT/360, 30/360

- Processo de capitalizao

- Diagrama temporal (recta do tempo)

- Momento de vencimento de um capital

- Fluxos financeiros (inflows e outflows)

Clique para aceder rea de Downloads da pgina web e visualizar ou descarregar documentos sobre Bases de Clculo.12www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)131.4 - Regimes de Capitalizao breve caracterizaoIntroduo1Pg. 40; Pg. 1713www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)141.5 - Taxas de Juro diferentes conceitosTaxas nominais e taxas efectivasTaxas nominais: no reflectem o efeito de sucessivas capitalizaes (existncia de juros sobre juros)Taxas efectivas: j reflectem esse efeito

Taxas proporcionais e taxas equivalentesTaxas proporcionais: no reflectem o efeito de sucessivas capitalizaes (existncia de juros sobre juros)Taxas equivalentes: j reflectem esse efeitoIntroduo1Pgs. 44/47Pgs. 17/2414www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)151.5 - Taxas de Juro diferentes conceitos Taxas ilquidas e taxas lquidas Taxas ilquidas: no reflectem o efeito da existncia de impostos sobre os jurosTaxas lquidas: j reflectem esse efeito

Taxas correntes e taxas reais Taxas correntes: no reflectem o efeito da inflao Taxas reais: j reflectem esse efeitoIntroduo1Pgs. 47/54Pgs. 24/3115www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)16CAP. 2 REGIMES DE EQUIVALNCIAClculo Financeiro - Teoria e PrticaApresentao de apoio ao livroRogrio Matias www.calculofinanceiro.com Escolar Editora 1 edio (2004) ISBN 972-592-176-3 2 edio (2007) ISBN 978-972-592-210-116www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)172. Regimes de Equivalncia2.1 - Regime de Juro Simples.2.2 - Regime de Juro Composto.Regimes de Equivalncia217www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)182.1 - Regime de Juro Simples (RJS) Caracterizao genricaO juro produzido em cada perodo (juro peridico) sai do processo de capitalizao, pelo que no produz juro nos perodos seguintes.

Juro peridicojk = ci (constante)

Juro total aps n perodos de capitalizaojt = cni (n e i expressos na mesma unidade de tempo)

Capital acumulado aps n perodos de capitalizao S = c + jt , ou seja S = c (1+ni)

Factor de capitalizao de um capital nico em RJS FCS = (1+ni)

Taxas em RJSComo no h juros de juros, no h distino entre taxa nominal e taxa efectiva nem entre taxa proporcional e taxa equivalente (em RJS, uma taxa simultaneamente nominal e efectiva, bem como proporcional e equivalente).Regimes de Equivalncia2Pgs. 59/65Pgs. 41/4718www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)192.2 - Regime de Juro Composto (RJC) Caracterizao genricaO juro produzido em cada perodo (juro peridico) continua no processo de capitalizao, pelo que vai, ele prprio, gerar juros nos perodos seguintes.

Juro peridicojk = ci (1+i)k-1 (crescente em progresso geomtrica de razo = 1+i)

Juro total aps n perodos de capitalizaojt = c [(1+i)n -1] (n e i expressos na mesma unidade de tempo)

Capital acumulado aps n perodos de capitalizao S = c + jt , ou seja S = c (1+i)n

Factor de capitalizao de um capital nico em RJCFCC = (1+i)n

Taxas em RJCComo h juros de juros, fundamental a definio do tipo de taxa (por exemplo, nominal ou efectiva), bem como a periodicidade (frequncia) das capitalizaes.Regimes de Equivalncia2Pgs. 66/76Pgs. 48/5719www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)202.2 - Regime de Juro Composto (RJC)Formas de calcular n ou i no factor FCC = (1+i)n

Tabelas financeiras: se o valor no estiver tabelado, mas forpossvel situ-lo num determinado intervalo,pode efectuar-se de seguida uma interpola-o linear (mtodo para obter n ou i por aproximao, assumindo que naquele intervalo a funo (1+i)n tem um comportamento linear, o que o mesmo que dizer que, nesse intervalo, vigora o RJS e no o RJC)

Por desenvolvimento matemtico (atravs de logaritmos ou, se a incgnita for i, tambm atravs de potncias)

Calculadora financeira

Nota: n pode assumir qualquer valor, mesmo no inteiro (nas rendas j no assim).Regimes de Equivalncia2Pgs. 76/88Pgs. 57/69

Clique para aceder rea de Downloads da pgina web e visualizar ou descarregar Tabela Financeira em formato Excel.

Clique para aceder rea de Downloads da pgina web e visualizar ou descarregar Guias Rpidos de Utilizao de Calculadoras Financeiras.20www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)212.2 - Regime de Juro Composto (RJC)Taxas em RJC

Simbologia

.i taxa anual efectiva

.i(k) taxa anual nominal, composta k vezes durante o ano, ou seja. i(2) : taxa anual nominal, composta semestralmente. i(4) : taxa anual nominal, composta trimestralmente. i(12): taxa anual nominal, composta mensalmente.ik taxa peridica efectiva - taxa reportada ao perodo que corresponde a 1/k do ano, ou seja. i2 : taxa semestral efectiva. i4 : taxa trimestral efectiva. i12: taxa mensal efectiva

Regimes de Equivalncia2Pgs. 88/112Pgs. 69/9321www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)222.2 - Regime de Juro Composto (RJC)Relaes entre taxas em RJC

Relao de proporcionalidade: i(k) = k.ik

Relao de equivalncia:(1+i) = (1+ik)k ou, mais genericamente,(1+ih)h = (1+ik)k

Regimes de Equivalncia2Pgs. 88/112Pgs. 69/9322www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)232.2 - Regime de Juro Composto (RJC)Regimes de Equivalncia2Pgs. 88/112Pgs. 69/93Perodo da taxa

coincide com

periodicidade das capitalizaesPerodo da taxa

diferente da

periodicidade das capitalizaesA taxa nominalA taxa efectivaCalcular a taxa reportada ao mesmo perodo das capitalizaes, atravs de uma relao de proporcionalidade.Esta taxa efectiva para esse perodo. Se for necessrio calcular a taxa reportada a outro perodo, far-se- o seguinte:Pretendendo-se a taxa nominal, ela calculada atravsde uma relao de proporcionalidade.Pretendendo-se a taxa efectiva, ela calculada atravsde uma relao de equivalncia.Converso de taxas em RJC - principais aspectosAteno ao caso de a taxa ser efectiva ilquida. Ver livro:- 1 edio: nota de rodap n 46, pg. 98, e exemplos 2.21 e 2.22, pgs. 104/109;- 2 edio: nota de rodap n 56, pg. 78, e exemplos 2.20 e 2.21, pgs. 86/92.23www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)242.2 - Regime de Juro Composto (RJC)Converses de taxa mais frequentesRegimes de Equivalncia2Pgs. 88/112Pgs. 69/93Exemplo:Qual a taxa trimestral efectiva (i4) subjacente taxa anual efectiva (i) de 12%?

Resoluo:(1+0,12) = (1+i4)4(1,12)1/4 = 1+i41,028737 = 1+i4i4 = 0,028737 (ou seja, i4 = 2,8737%)De taxa anual efectiva (i) para taxa peridica efectiva (ik):

. Relao de equivalncia: (1+i) = (1+ik)k Clique para ver exemplo24www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)252.2 - Regime de Juro Composto (RJC)Converses de taxa mais frequentesRegimes de Equivalncia2Exemplo:Qual a taxa trimestral efectiva (i4) subjacente taxa anual nominal de 12%, composta trimestralmente (i(4))?

Resoluo:0,12 = 4.i4i4 =0,03 (ou seja, i4 = 3%)De taxa anual nominal (i(k)) para taxa peridica efectiva (ik):

. Relao de proporcionalidade: i(k) = k.ik Clique para ver exemploPgs. 88/112Pgs. 69/9325www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)262.2 - Regime de Juro Composto (RJC)Converses de taxa mais frequentesRegimes de Equivalncia2Exemplo:Qual a taxa anual efectiva (i) subjacente taxa anual nominal de 12%, composta trimestralmente (i(4))?

Resoluo:1: 0,12 = 4.i4 i4 =0,03 (ou seja, i4 = 3%)

2: (1+i) = (1+0,03)4 (1+i) = 1,125509 i = 0,125509 (ou seja, i = 12,5509%)De taxa anual nominal (i(k)) para taxa anual efectiva (i):

. 1: Relao de proporcionalidade: i(k) = k.ik. 2: Relao de equivalncia: (1+i) = (1+ik)kClique para ver exemploPgs. 88/112Pgs. 69/9326www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)272.2 - Regime de Juro Composto (RJC)Converses de taxa mais frequentesRegimes de Equivalncia2Exemplo:Qual a taxa semestral efectiva (i2) subjacente taxa anual nominal de 12%, composta trimestralmente (i(4))?

Resoluo:1: 0,12 = 4.i4 i4 =0,03 (ou seja, i4 = 3%)

2: (1+i2)2 = (1+0,03)4 (1+i2)2 = 1,125509 (1+i2) = (1,125509)1/2 i2 = 0,0609 (ou seja, i2 = 6, 09%)De taxa anual nominal (i(k)) para taxa peridica efectiva (ih) (hk)

. 1: Relao de proporcionalidade: i(k) = k.ik. 2: Relao de equivalncia: (1+ih)h = (1+ik)kClique para ver exemploPgs. 88/112Pgs. 69/9327www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)28

2.2 - Juro Simples vs. Juro CompostoRegimes de Equivalncia2REGIME DE JURO SIMPLES (RJS)REGIME DE JURO COMPOSTO (RJC)CaracterizaogenricaO juro produzido em cada perodo (juro peridico) sai do processo de capitalizao, pelo que no produz juros nos perodos seguintesO juro produzido em cada perodo (juro peridico) continua no processo de capitalizao, pelo que vai, ele prprio, gerar juros nos perodos seguintesJuro peridicojk = ci (constante) jk = ci (1+i)k-1 (crescente em progresso geomtrica de razo = 1+i)Juro total aps n perodos de capitalizaojt = cnijt = c [(1+i)n -1]

Capital acumulado aps n perodos de capitalizaoS = c + jt ou seja S = c (1+ni)S = c + jt ou seja S = c (1+i)nFactor de capitalizao de um capital nicoFCS = (1+ni)FCC = (1+i)n28www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)29CAP. 3 EQUIVALNCIA DE CAPITAISClculo Financeiro - Teoria e PrticaApresentao de apoio ao livroRogrio Matias www.calculofinanceiro.com Escolar Editora 1 edio (2004) ISBN 972-592-176-3 2 edio (2007) ISBN 978-972-592-210-129www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)303. Equivalncia de Capitais3.1 - Capitalizao e Actualizao caracterizao.3.2 - Equivalncia de Capitais em RJS.3.3 - Equivalncia de Capitais em RJC.3.4 - Factores de Equivalncia.3.5 - Equaes de Equivalncia.3.6 Anlise Crtica das Diferentes Aborda- gens de Equivalncia de Capitais. Importncia da Data Focal no Desconto Simples.Equivalncia de Capitais330www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)313.1 - Capitalizao e Actualizao - caracterizaoO que est em causa to simplesmente ...Equivalncia de Capitais3

Para comparar ou operar sobre capitais necessrio que eles estejam reportados a um mesmo momento (VTD ou TVM)

O Valor Temporal do Dinheiro(VTD ou TVM Time Value of Money)Pgs. 133/135Pg. 11731www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)32

3.1 - Capitalizao e Actualizao - caracterizaoGenericamente...

Capitalizar um valor significa report-lo a um momento posterior

(S o valor capitalizado de c)

Actualizar (ou descontar) um valor significa report-lo a um momento anterior

(c o valor actualizado - ou descontado - de c)Equivalncia de Capitais3

0ncS0- nccPgs. 133/135Pgs. 117/12032www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)333.1 - Capitalizao e Actualizao - caracterizaoAtendendo ao valor temporal do dinheiro, intuitivo que S > c e c< c.

Digamos que S = c + j e c= c - D.

Como determinar j e D? De que dependem?

Neste momento j deve ser fcil perceber que dependem de 3 factores: c, n e i.

Veremos seguidamente que um determinado capital, c, pode ser capitalizado de duas formas e actualizado de quatro formas.

O momento para o qual ele capitalizado ou actualizado designa-se por data-focal.Equivalncia de Capitais3Pgs. 133/135Pgs. 117/12033www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)34

3.2, 3.3 Equivalncia de Capitais em RJS e em RJCEquivalncia de Capitais3CapitalizaoRegime de Juro SimplesCapitalizao Simples (CS)Regime de Juro CompostoCapitalizao Composta (CC)ActualizaoouDescontoRegime de Juro SimplesSoluo comercialDesconto Comercial Simples (DCS)Soluo racionalDesconto Racional Simples (DRS)Regime de Juro CompostoSoluo comercialDesconto Comercial Composto (DCC)Soluo racionalDesconto Racional Composto (DRC)Equivalncia de capitaisSeis formas de proceder equivalncia de capitaisPgs. 136/163; 119/12034www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)353.2, 3.3 Equivalncia de Capitais em RJS e em RJCDesconto Bancrio de LetrasExemplo de aplicao do desconto comercial simples (com especificidades)

. Encargos bancrios:

. gio: A = Df + Cc + IS + P. Produto Lquido do Desconto: PLD = L - A

Equivalncia de Capitais3Pgs. 141/147; 127/133n 0

L

PLD

* cada vez mais frequente a utilizao da base 360 no clculo de DF.35www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)36

3.2, 3.3 Equivalncia de Capitais em RJS e em RJCForma de equivalnciaConceito subjacenteCapital equivalenteCapitalizao simplesj calculado de acordo com as regras do RJSSs = c (1+ni)Capitalizao compostaj calculado de acordo com as regras do RJCSc = c (1+i)nDesconto comercial simplesD calculado sobre c (Dcs = cni)ccs = c (1-ni)Desconto racional simplesD calculado sobre c (Drs = crs ni)Desconto comercial compostoD vai sendo calculado sobre os sucessivos cccc = c (1-i)nDesconto racional compostoOperao inversa capitalizao compostacrc = c (1+i)-nEquivalncia de Capitais3Conceitos subjacentes a cada uma das seis formas de equivalnciaPgs. 136/163; 121/152

36www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)37

3.4 Factores de Equivalncia e Taxas ReaisForma de equivalnciaFactor de EquivalnciaTaxa Real associada ao descontoCapitalizao simplesFCS = (1+ni)Capitalizao compostaFCC = (1+i)nDesconto comercial simplesFACS = (1-ni)Desconto racional simplesdrs = i Desconto comercial compostoFACC = (1-i)nDesconto racional compostoFARC = (1+i)-ndrc = i

Equivalncia de Capitais3Pgs. 164/168; 153/157

Factores de Equivalncia e Taxas Reais37www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)383.5 Equaes de EquivalnciaCom estes 6 factores de equivalncia possvel estabelecer a equivalncia entre um capital* reportado a determinado momento e outro ou outros capitais, reportado(s) a outro(s) momento(s).* Podem ser vrios capitais, mas estes factores aplicam-se a um capital de cada vez.

Apenas temos que construir uma equao que traduza o problema em causa, sem esquecer que para comparar e/ou operar sobre capitais necessrio que eles estejam reportados a um mesmo momento (regra de ouro do Clculo Financeiro).Equivalncia de Capitais3Pgs. 168/174Pg. 15838www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)393.5 Equaes de EquivalnciaPassos na elaborao da equao de equivalncia:

1) O qu?Entre que capital ou capitais, por um lado (1 membro da equao) e que capital ou capitais, por outro (2 membro da equao) se pretende estabelecer a equivalncia?

2) Quando?Para que data se pretende estabelecer a equivalncia (qual a data focal *)?

3) Como?De que forma se pretende estabelecer a equivalncia? RJS oo RJS? No caso de a equivalncia exigir a actualizao de capitais, esta efectuada segundo a soluo comercial ou segundo a soluo racional?

* Irrelevante se for utilizado o RJC.Equivalncia de Capitais3Pgs. 168/174Pgs. 159/17239www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)403.6 Anlise Crtica das Diferentes Abordagens de Equivalncia de Capitais. Importncia da Data Focal no Desconto Simples.Equivalncia em RJS

A actualizao ou desconto segundo a abordagem comercial sempre uma deficiente forma de equivalncia, podendo mesmo ser totalmente inaplicvel na prtica.

A utilizao do RJS s aceitvel em operaes financeiras de curto prazo.

O prazo aceitvel depende da taxa de juro utilizada (quanto mais elevada for a taxa, menor o prazo aceitvel).

O RJS sensvel data focal (em especial, a actualizao segundo a abordagem comercial). Diz-se que no goza do Princpio da Cindibilidade.Equivalncia de Capitais3Pgs. 174/183Pgs. 173/18140www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)41

3.4 Factores de Equivalncia e Taxas ReaisForma de equivalnciaFactor de EquivalnciaTaxa Real associada ao descontoCapitalizao simplesFCS = (1+ni)Capitalizao compostaFCC = (1+i)nDesconto comercial simplesFACS = (1-ni)Desconto racional simplesdrs = i Desconto comercial compostoFACC = (1-i)nDesconto racional compostoFARC = (1+i)-ndrc = i

Equivalncia de Capitais3Pgs. 164/168; 153

Ateno!!!Factores de Equivalncia e Taxas Reais (recordemos...)41www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)423.6 Anlise Crtica das Diferentes Abordagens de Equivalncia de Capitais. Importncia da Data Focal no Desconto Simples.Equivalncia em RJC

O RJC muito mais robusto do que o RJS.

A equivalncia de capitais efectuada atravs do RJC sempre possvel e correcta, independentemente do prazo e da taxa considerados podendo, por isso, ser utilizado quer em operaes de curto prazo, quer em operaes de longo prazo, com taxas baixas ou altas.

O RJC imune data focal (uma vez efectuada a equivalncia para determinada data focal, a utilizao de outra data focal no altera os valores obtidos - da, a robustez do RJC). Diz-se que goza do Princpio da Cindibilidade.Equivalncia de Capitais3Pgs. 174/183Pgs. 173/18142www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)43Exemplo de Equivalncia de CapitaisUma empresa tem as seguintes 3 dvidas para com um fornecedor:

10.000 euros, com vencimento daqui a 30 dias 5.000 euros, com vencimento daqui a 60 dias 7.500 euros, com vencimento daqui a 100 dias

Pretende substituir estas 3 dvidas por um nico pagamento, com vencimento daqui a 75 dias.

De que valor deve ser este pagamento nico, admitindo que a equivalncia ser efectuada taxa anual de 10%?

Equivalncia de Capitais343www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)44Exemplo de Equivalncia de CapitaisA situao pode ser representada do seguinte modo:

10.0005.000 X7.500 30 6075 100 (dias)

O valor do pagamento nico, X, com vencimento daqui a 75 dias, que equivalente ao pagamento das 3 dvidas iniciais depende de vrios factores:

Regime de equivalncia adoptado (RJS ou RJC)Soluo adoptada para actualizar capitais (comercial ou racional)Data-focal adoptada 1____________1 A data-focal s relevante se o regime de equivalncia adoptado for o RJS.Equivalncia de Capitais3DF44www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)45Exemplo de Equivalncia de CapitaisHiptese 1: RJS; soluo comercial; data-focal: daqui a 75 dias (DF75)

10.0005.000 X7.500 0 30 6075 100 (dias)

Como a data-focal o momento 75, temos que

Capitalizar os 10.000 euros durante 45 diasCapitalizar os 5.000 euros durante 15 diasActualizar os 7.500 euros durante 25 diasNo actualizar nem capitalizar X, uma vez que o seu vencimen-to coincide com a data-focal.

Equivalncia de Capitais3DF45www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)46Exemplo de Equivalncia de CapitaisHiptese 1: RJS; soluo comercial; data-focal: daqui a 75 dias (DF75)

O valor de X ser o que resultar da resoluo da seguinte equao:

Esta a chamada equao de equivalncia ou equao de valor.

Note-se que todas as parcelas da equao de valor representam capitais reportados a um mesmo momento (a data-focal).

Neste caso, X = 22.592,47 euros (RJS, SC, DF75)

Equivalncia de Capitais3

46www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)47Exemplo de Equivalncia de CapitaisHiptese 2: RJS; soluo racional; data-focal: daqui a 75 dias (DF75)

10.0005.000 X7.500 0 30 6075 100 (dias)



Equivalncia de Capitais3DF47www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)48Exemplo de Equivalncia de CapitaisHiptese 2: RJS; soluo racional; data-focal: daqui a 75 dias (DF75)

Assim, o valor de X ser o que resultar da resoluo da seguinte equao (equao de equivalncia ou equao de valor):


A nica diferena para a situao anterior reside na forma de actualizar os 7.500 euros (agora, segundo a soluo racional).

Neste caso, X = 22.592,82 euros (RJS, SR, DF75)(A diferena mnima porque a nica diferena entre as duas situaes a actualizao de 7.500 euros durante apenas 25 dias)


48www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)49Exemplo de Equivalncia de CapitaisHiptese 3: RJC; soluo comercial; data-focal: daqui a 75 dias (DF75)

10.0005.000 X7.500 0 30 6075 100 (dias)



Equivalncia de Capitais3DF49www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)50Exemplo de Equivalncia de CapitaisHiptese 3: RJC; soluo comercial; data-focal: daqui a 75 dias (DF75)



Agora utilizam-se os factores de capitalizao e actualizao (neste caso, segundo a soluo comercial) associados ao RJC.

Neste caso, X = 22.583,89 euros (RJC, SC, DF75)


50www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)51Exemplo de Equivalncia de CapitaisHiptese 4: RJC; soluo racional; data-focal: daqui a 75 dias (DF75)

10.0005.000 X7.500 0 30 6075 100 (dias)



Equivalncia de Capitais3DF51www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)52Exemplo de Equivalncia de CapitaisHiptese 4: RJC; soluo racional; data-focal: daqui a 75 dias (DF75)



A nica diferena para a situao anterior reside na forma de actualizar os 7.500 euros (agora, segundo a soluo racional).

Neste caso, X = 22.589,02 euros (RJC, SR, DF75)


52www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)53CAP. 4 RENDAS EM REGIME DE JURO COMPOSTOClculo Financeiro - Teoria e PrticaApresentao de apoio ao livroRogrio Matias www.calculofinanceiro.com Escolar Editora 1 edio (2004) ISBN 972-592-176-3 2 edio (2007) ISBN 978-972-592-210-153www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)554.1 Conceito e Caracterizao.Renda: conjunto de capitais (habitualmente designados por termos da renda), constantes ou no, ocorrendo a intervalos de tempo iguais (perodo da renda).

Origem da renda: momento que fica situado 1 perodo antes do vencimento do 1 termo da renda.

Valor acumulado da renda: soma dos valores de todos os termos da renda reportados, a uma dada taxa, ao momento em que ocorre o ltimo desses termos.

Valor actual da renda: soma dos valores de todos os termos da renda reportados , a uma dada taxa, respectiva origem.4Pgs. 209/211Pgs. 205/208Rendas em Regime de Juro Composto55www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)564.1 Conceito e Caracterizao.Renda de termos quaisquer

4Rendas em Regime de Juro Composto 0 1 2 3 . . . n-1 n t1 t2 t3 . . . tn-1 tn| Perodo || Perodo || Perodo |Origem(perodos)Termos da rendaPgs. 209/211Pgs. 205/20856www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)574.1 Conceito e Caracterizao.Valor acumulado de uma renda de termos quaisquer(reportado ao momento em que ocorre o ltimo termo)4Rendas em Regime de Juro CompostoSn = t1 (1+i)n-1 + t2 (1+i)n-2 + t3 (1+i)n-3 + ... + tn-1 (1+i)1 + tn

0 1 2 3 . . . n-1 n t1 t2 t3 . . . tn-1 tnSnPgs. 209/211Pgs. 205/20857www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)584.1 Conceito e Caracterizao.Valor actual de uma renda de termos quaisquer(reportado origem)(momento que fica situado 1 perodo antes do vencimento do 1 termo)

4Rendas em Regime de Juro CompostoAn = t1(1+i)-1+t2(1+i)-2+t3(1+i)-3+...+tn-1(1+i)-(n-1)+tn(1+i)-n

0 1 2 3 . . . n-1 n t1 t2 t3 . . . tn-1 tnAnPgs. 209/211Pgs. 205/20858www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)594.2 Classificao das Rendas.4Pgs. 212/215Pgs. 210/213Rendas em Regime de Juro CompostoRENDASCRITRIOS DE CLASSIFICAODESIGNAO DAS RENDAS1. Quanto ao prazo de vignciaRendas TemporriasRendas Perptuas2. Quanto ao perodo da rendaRendas InteirasRendas Fraccionadas3. Quanto ao valor dos termosRendas ConstantesRendas Variveis4. Quanto ao momento de refernciaRendas ImediatasRendas Diferidas5. Quanto ao vencimento dos termosRendas Postecipadas (ou Normais)Rendas Antecipadas59www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)604.3 Rendas Temporrias.Renda temporria de termos constantes

Se os termos forem todos do mesmo valor os clculos do valor acumulado e do valor actual ficam muito simplificados.

4Pgs. 216/261Pgs. 214/292Rendas em Regime de Juro Composto 0 1 2 3 . . . n-1 n t t t . . . t t60www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)614.3 Rendas Temporrias (continuao)Valor acumulado de uma renda de termos constantes(reportado ao momento em que ocorre o ltimo termo)4Pgs. 216/220Pgs. 214/235Rendas em Regime de Juro Composto 0 1 2 3 . . . n-1 n t t t . . . t tSn(1+i)n - 1 i

Sn = t . sn i em que sn i =

61www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)634.3 Rendas Temporrias (continuao)Clculos relativos a Sn e An :4Rendas em Regime de Juro CompostoIncgnitaClculoSnNo oferece qualquer dificuldadeAnNo oferece qualquer dificuldadetNo oferece qualquer dificuldaden3 possibilidades: 1. Por consulta nas tabelas financeiras, eventualmente seguida de interpolao linear; 2. Por desenvolvimento matemtico; 3. Atravs de uma calculadora financeira ou programvel.i2 possibilidades: 1. Por consulta nas tabelas financeiras, eventualmente seguida de interpolao linear; 2. Atravs de uma calculadora financeira ou programvel.Pgs. 221/230 e 242/252Pgs. 220/230 e 243/25363www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)644.3 Rendas Temporrias (continuao)Valor de uma renda de termos constantes d perodos aps o vencimento do ltimo termo4Pgs. 231/232Pgs. 230/231Rendas em Regime de Juro Composto 0 1 2 3 . . . n-1 n ... n+d t t t . . . t tSnSnd = Sn (1+i)d

Snd64www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)654.3 Rendas Temporrias (continuao)Valor de uma renda de termos constantes d perodos antes da origem4Pgs. 252/253Pgs. 253/254Rendas em Regime de Juro Composto -d ... 0 1 2 3 . . . n-1 n t t t . . . t tAnAn-dAn-d = An (1+i)-d65www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)664.3 Rendas Temporrias (continuao)Notas importantes relativas a Sn e An :

. n o nmero de termos da renda.

. t o valor de cada termo da renda.

. O valor de Sn vem reportado ao momento em que ocorre o ltimo termo da renda e o valor de An vem reportado origem da mesma; para reportar o valor da renda a outro momento, basta capitalizar ou actualizar um destes valores correctamente (em RJC, SR).

. Antes de tudo o resto, necessrio que a taxa esteja reportada ao mesmo perodo da renda; se no estiver, necessrio convert-la adequadamente:

1) Calcular a taxa reportada ao mesmo perodo das capitalizaes;2) A partir desta taxa (que j uma taxa efectiva), calcular a taxa reportada ao mesmo perodo da renda.Deste modo, todas as rendas acabam por ser inteiras.

4Rendas em Regime de Juro CompostoPgs. 259/26466www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)674.3 Rendas Temporrias (continuao)Renda temporria de termos variveis em progresso aritmtica

Se os termos variarem em progresso aritmtica os clculos do valor acumulado e do valor actual ficam tambm simplificados(embora no tanto quanto no caso de os termos serem constantes).

4Pg. 263Pgs. 265/266Rendas em Regime de Juro Composto 0 1 2 3 . . . n-1 n t t+r t+2r . . . t+(n-2)r t+(n-1)r67www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)684.3 Rendas Temporrias (continuao)Valor acumulado de uma renda de termos variveis em progresso aritmtica(reportado ao momento em que ocorre o ltimo termo)4Pgs. 263/268Pgs. 266/271Rendas em Regime de Juro Composto 0 1 2 3 . . . n-1 n t t+r t+2r . . . t+(n-2)r t+(n-1)r(a)Sn(a)Sn = sn i (t+ )

r inr i68www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)704.3 Rendas Temporrias (continuao)Renda de termos variveis em progresso aritmtica

Caso particular em que a razo da progresso negativa:

Neste caso, como os termos da renda vo diminuindo, torna-se necessriogarantir que todos eles tm valor positivo (isto , que a renda tem sentidofinanceiro).

O limite de aplicabilidade prtica (LAP) de uma renda nestas condies dado por

LAP =

Se o valor daqui resultante for no inteiro, a renda tem sentido financeiroat ao inteiro imediatamente superior, sendo que o ltimo termo de valorinferior razo (em mdulo), mas ainda de valor positivo.4Pg. 265; Ex 4.28 (Pg. 276)Pgs. 268/271; Ex 4.28 (Pg. 279)Rendas em Regime de Juro Composto t |r|70www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)714.3 Rendas Temporrias (continuao)Renda temporria de termos variveis em progresso geomtrica

Se os termos variarem em progresso geomtrica os clculos dovalor acumulado e do valor actual ficam tambm simplificados(embora no tanto quanto no caso de os termos serem constantes).

4Pg. 277Pgs. 281/283Rendas em Regime de Juro Composto 0 1 2 3 . . . n-1 n t t.r t.r2 . . . t.rn-2 t.rn-171www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)724.3 Rendas Temporrias (continuao)Valor acumulado de uma renda de termos variveis em progresso geomtrica(reportado ao momento em que ocorre o ltimo termo)4Pgs. 277/279Pgs. 281/283Rendas em Regime de Juro Composto 0 1 2 3 . . . n-1 n t t.r t.r2 . . . t.rn-2 t.rn-1(g)Sn(g)Sn = t.

rn (1+i)n r (1+i)72www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)734.3 Rendas Temporrias (continuao)Valor actual de uma renda de termos variveis em progresso geomtrica(reportado origem)(momento que fica situado 1 perodo antes do vencimento do 1 termo)4Pgs. 280/282Pgs. 285/286Rendas em Regime de Juro Composto 0 1 2 3 . . . n-1 n t t.r t.r2 . . . t.rn-2 t.rn-1(g)An(g)An = .

rn (1+i)n r (1+i) t (1+i)n73www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)744.3 Rendas Temporrias (continuao)Renda de termos variveis em progresso geomtrica

Caso particular em que a razo da progresso igual a (1+i):

Neste caso o clculo do valor acumulado e do valor actual da renda ficamsimplificados, sendo respectivamente

4Pgs. 285/286Pgs. 290/292Rendas em Regime de Juro Composto(g)Sn = n.t.(1+i)n-1(g)An = n.t.(1+i)-174www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)754.3 Rendas Temporrias (concluso)Notas importantes relativas a (a)Sn, (g)Sn, (a)An, (g)An :

. n o nmero de termos da renda.

. t o valor do primeiro termo da renda.

. Os valores de (a)Sn e (g)Sn vm reportados ao momento em que ocorreo ltimo termo da renda; para reportar o valor da renda a outro momento, basta capitaliz-los ou actualiz-los correctamente (RJC,SR).

. Os valores de (a)An e (g)An vm reportados origem da renda; para reportar o valor da renda a outro momento, basta capitaliz-los ou actualiz-los correctamente (RJC, SR).

. Antes de tudo o resto, necessrio que a taxa esteja reportada ao mesmo perodo da renda; se no estiver, necessrio convert-la adequadamente (ver o que foi dito atrs - diapositivo 61).4Rendas em Regime de Juro Composto75www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)764.4 Rendas Perptuas.Renda perptua

Normalmente considera-se que uma renda perptua se o nmero dos seus termos for infinito. Ora, dito deste modo, podemos questionar se, de facto, existem rendas perptuas. Acontece que aquilo que realmente determina se uma renda (pode ser considerada como) perptua no tanto o seu nmero de termos, por si s, mas em conjunto com a taxa utilizada.

4Pgs. 287/289Pgs. 293/295Rendas em Regime de Juro Composto 0 1 2 3 . . . t1 t2 t3 . . . 76www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)774.4 Rendas Perptuas (continuao)Renda perptua

Uma renda com 100 termos pode ser considerada perptua e uma outra com 1000 termos pode no o ser, de todo. Depende da taxa utilizada (o que, por sua vez, depende certamente do perodo da renda).

No fundo podemos dizer que uma renda ser perptua se o seu ltimo termo j no acrescentar valor significativo ao valor actual (global) da renda (em rendas perptuas apenas se calcula o respectivo valor actual).4Rendas em Regime de Juro Composto 0 1 2 3 . . . t1 t2 t3 . . . Pgs. 287/289Pgs. 293/29577www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)794.4 Rendas Perptuas (continuao)Valor actual de uma renda perptua de termos variveis em progresso aritmtica

Se os termos forem variveis em progresso aritmtica, o valor actualda renda mais complicado de deduzir. Contudo, fcil de calcular.Ele dado por

4Pgs. 298/304Pgs. 305/310Rendas em Regime de Juro Composto 0 1 2 3 . . . t t+r t+2r . . . t i r i2(a)A =

+

79www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)804.4 Rendas Perptuas (continuao)Valor actual de uma renda perptua de termos variveis em progresso aritmtica decrescente (r < 0)

Nota: se a razo da progresso for negativa (progresso aritmticadecrescente), isso significa que, mais tarde ou mais cedo, os termospassaro de positivos a negativos, o que deixa de ter sentido financeiro(recordar...). A renda ficar, pois, temporria com n termos, sendo4Pgs. 300/304Pgs. 307/310Rendas em Regime de Juro Composto 0 1 2 3 . . . t t+r t+2r . . . t |r|n =

80www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)824.4 Rendas Perptuas (concluso)Notas importantes relativas a A, (a)A, (g)A:

Como anteriormente,

.t o valor de cada termo da renda, se ela for de termos constantes, ou do primeiro termo da renda, se ela for de termos variveis.

. Os valores obtidos vm reportados origem da renda; para reportar o valor da renda a outro momento, basta capitaliz-los ou actualiz-los correctamente (em RJC, SR).

. Antes de tudo o resto, necessrio que a taxa esteja repor-tada ao mesmo perodo da renda; se no estiver, necessrio convert-la adequadamente (recordar...).4Rendas em Regime de Juro Composto82www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)83

4.5 Rendas em Regime de Juro Composto. Sistematizao e Sntese.RENDAS TEMPORRIAS, INTEIRAS, IMEDIATAS, DE TERMOS NORMAISVALOR ACTUAL(na origem)VALOR ACUMULADO (no momento em que ocorre o ltimo termo)De termos constantesDe termos variveis em progresso aritmtica 1De termos variveis em progresso geomtrica, caso geralDe termos variveis em progresso geomtrica, caso particular: r=(1+i)

Pgs. 308/309Pgs. 314/315Rendas em Regime de Juro Composto4

t: valor de cada termo da renda (rendas de termos constantes) ou do 1 termo da renda (rendas de termos variveis)n: nmero de termos da rendai: taxa (devidamente reportada ao mesmo perodo da renda)r: razo da progresso (rendas de termos variveis)LEGENDA1 Se r < 0, tem limite de aplicabilidade, dado por

83www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)84

4.5 Rendas em Regime de Juro Composto. Sistematizao e Sntese.RENDAS PERPTUAS, INTEIRAS, IMEDIATAS, DE TERMOS NORMAISVALOR ACTUAL(na origem)NOTASDe termos constantesDe termos variveis em progresso aritmtica, com (r>0)Se r 0, a renda acaba por se transformar em temporria, com De termos variveis em progresso geomtrica, com r Vn- Emisso abaixo do par: quando Ve < Vn

- Reembolso ao par: quando Vr = Vn- Reembolso acima do par: quando Vr > Vn- Reembolso abaixo do par: quando Vr < Vn6Emprstimos ObrigacionistasPg. 525Pgs. 531/533122www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1236.2 Algumas Modalidades de Amortizao de Emprstimos Obrigacionistas- Atravs de prestaes (aproximadamente) constantes (semelhanas com o Sistema Francs, Cap. 5)

- Atravs de amortizaes constantes (semelhanas com o Sistema de Amortizaes Constantes, Cap. 5)

- Atravs de amortizao nica (semelhanas com o Sistema Americano, Cap. 5)6Emprstimos ObrigacionistasPg. 525Pgs. 531/533123www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1246.2 Algumas Modalidades de Amortizao de Emprstimos Obrigacionistas6.2.1 - Reembolso atravs de prestaes (aproximadamente*) constantes

- Forma-pura . As prestaes so postecipadas e (aproximadamente) constantes, compostas por duas parcelas: amortizao de capital e juro.

- Possveis variantes . Existncia de . Prazo de carncia. Prmio de reembolso. Pode ser i) Considerado parte da prestao ouii) Includo na prestao (neste caso, torna-se necessrio efectuar a chamada normalizao do emprstimo)

* Aproximadamente porque o que se amortiza um determinado nmero de obrigaes, que tem que ser inteiro. Isto significa que pode acontecer que tenham que ser efectuados alguns ajustamentos que impliquem que as prestaes (valor em euros) no sejam exactamente constantes.6Pgs. 526/538Pgs. 534/544Emprstimos Obrigacionistas124www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1256.2 Algumas Modalidades de Amortizao de Emprstimos Obrigacionistas6.2.2 - Reembolso atravs de amortizaes constantes

- Forma-pura . As prestaes so postecipadas e compostas por duas parcelas: amortizao de capital (constante) e juro.

- Possveis variantes . Existncia de . Prazo de carncia. Prmio de reembolso. Nesta modalidade a existncia de prmio de reembolso no acarreta qualquer tipo de dificuldade.

6.2.3 - Reembolso atravs de amortizao nica

. Ao longo do prazo do emprstimo apenas so pagos, periodicamente, os juros. A amortizao do emprstimo feita de uma s vez, no final do prazo.

6Pgs. 539/543Pgs. 545/549Emprstimos Obrigacionistas125www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1266.3 Aspectos Especficos dos Emprstimos Obrigacionistas- Taxa efectiva da operao . Deve ter em conta todos os fluxos, positivos e negativos, associados compra ou venda das obrigaes (perspectiva do subscritor ou da emitente, respectivamente).

- Para o subscritor. Deve ter em conta . Fluxo negativo: o preo de compra das obrigaes . Fluxos positivos: os juros recebidos at data de reembolso e o valor de reembolso. - Para a emitente. Deve ter em conta . Fluxo positivo: o montante encaixado com o emprstimo . Fluxos negativos: as despesas suportadas na emisso, os juros pagos, a amortizao de capital efectuada e os prmios pagos (por exemplo, de emisso e/ou de reembolso).6Pgs. 543/550Pgs. 549/556Emprstimos Obrigacionistas126www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)127CAP. 7 NOES BSICAS DE AVALIAO DE INVESTIMENTOSClculo Financeiro - Teoria e PrticaApresentao de apoio ao livroRogrio Matias www.calculofinanceiro.com Escolar Editora 1 edio (2004) ISBN 972-592-176-3 2 edio (2007) ISBN 978-972-592-210-1127www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1287. Noes Bsicas de Avaliao de Investimentos7.1 Introduo. Investimentos em Activos Reais e Investimentos em Activos Financeiros.

7.2 Avaliao de Investimentos em Activos Reais

7.3 Avaliao de Investimentos em Activos Financeiros.7Noes Bsicas de Avaliao de Investimentos128www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1297.1 Introduo. Investimentos em Activos Reais e Investimentos em Activos Financeiros. Activos Reais: bens corpreos (mquinas, edifcios, etc).

Activos Financeiros: ttulos de rendimento (aces, obrigaes, etc).

7Pg. 573Pg. 579Noes Bsicas de Avaliao de Investimentos129www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1307.2 Avaliao de Investimentos em Activos Reais. Critrios de avaliao:

. Prazo de Recuperao do Capital (PRC) (Payback Period)

. Valor Actual Lquido (VAL) (Net Present Value)

. Taxa Interna de Rendibilidade (TIR) (Internal Rate of Return)7Pgs. 574/588Pgs. 580/594Noes Bsicas de Avaliao de Investimentos130www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1317.2 Avaliao de Investimentos em Activos Reais. Hipteses assumidas:

Legenda:

. It: Fluxos directamente associados ao custo do investimento (negativos) . CFt: Fluxos gerados pela explorao do investimento (positivos ou negativos) . Vr: Fluxo associado ao final da vida til do investimento (positivo ou negativo)7Pgs. 574/577Pgs. 581/582Noes Bsicas de Avaliao de Investimentos 0 1 2 3 . . . n-1 n CF1 CF2 CF3 . . . CFn-1 CFn -I0 -I1 -I2 . . . -In-1 Vr131www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1327.2 - Avaliao de Investimentos em Activos Reais.Prazo de Recuperao do Capital (PRC)

o tempo necessrio para que os fluxos positivos igualem os fluxos negativos, todos eles expressos num mesmo momento (por exemplo, o momento 0). Assim, PRC ser o prazo x tal que

Notas: 1) Mais importante que a frmula o conceito.

2) Importncia da taxa de actualizao (ou avaliao) utilizada.7Pg. 577Pg. 583Noes Bsicas de Avaliao de Investimentos

132www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1337.2 Avaliao de Investimentos em Activos Reais.Valor Actual Lquido (VAL)

a soma algbrica de todos os fluxos associados ao investimento, devidamente reportados a um mesmo momento o momento 0.


2) Importncia da taxa de actualizao (ou avaliao) utilizada.

3) Tem implcita a hiptese de reinvestimento dos Cash-Flows taxa i.7Pg. 578Pg. 584Noes Bsicas de Avaliao de Investimentos

133www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1347.2 Avaliao de Investimentos em Activos Reais.Valor Actual Lquido (VAL)

Critrio de deciso (assumindo como boas todas as hipteses subjacentes*):

1) VAL > 0: o investimento interessante (os fluxos positivos superam os fluxos negativos, j actualizados)2) VAL < 0: o investimento no interessante (os fluxos positivos no so suficiente para compensar os fluxos negativos, em termos actualizados)

* Nomeadamente, as seguintes: Vida til do investimento Previses para os Cash-Flows e Valor Residual Taxa de actualizao7Pg. 578Pg. 584Noes Bsicas de Avaliao de Investimentos134www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1357.2 Avaliao de Investimentos em Activos Reais.Taxa Interna de Rendibilidade (TIR)

a taxa de actualizao qual o VAL igual a 0 (zero). No fundo, representa a taxa mxima de rendibilidade do investimento, assumindo todas as outras hipteses como boas.


2) Importncia da taxa de actualizao (ou avaliao) utilizada.

3) Tem implcita a hiptese de reinvestimento dos Cash-Flows taxa i.7Pg. 579Pg. 585Noes Bsicas de Avaliao de Investimentos

135www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1367.2 Avaliao de Investimentos em Activos Reais.Taxa Interna de Rendibilidade (TIR)

Critrio de deciso (assumindo como boas todas as hipteses subjacentes*):

Uma vez obtida a TIR, deve ser comparada com a taxa de retorno mnima que o investidor est disposto a aceitar.

* Nomeadamente, as seguintes: Vida til do investimento Previses para os Cash-Flows e Valor Residual Taxa de actualizao7Noes Bsicas de Avaliao de InvestimentosPg. 579Pg. 585136www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1377.3 Avaliao de Investimentos em Activos Financeiros.Aces

Aco: ttulo representativo do capital social de uma sociedade annima.

Eventuais rendimentos provenientes das aces: mais-valias e dividendos (ambos incertos).

Avaliao de aces

Dificuldades subjacentes (devido incerteza associada aos eventuais rendimentos provenientes do investimento em aces).

7Pgs. 588/595Pgs. 595/602Noes Bsicas de Avaliao de Investimentos137www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1387.3 Avaliao de Investimentos em Activos Financeiros.Avaliao de aces (1 perodo)

Equao que permite obter o retorno deste investimento (ir):

(Data focal: mom. 0)7Noes Bsicas de Avaliao de Investimentos-P0 +P1 0 1+d1

Pgs. 588/595Pgs. 595/602138www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1397.3 Avaliao de Investimentos em Activos Financeiros.Avaliao de aces (2 perodos)


(Data focal: mom. 0)

7Noes Bsicas de Avaliao de Investimentos-P0 +P2 0 1 2 +d1+d2

Pgs. 588/595Pgs. 595/602139www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1407.3 Avaliao de Investimentos em Activos Financeiros.Avaliao de aces (n perodos)


(Data focal: mom. 0)

7Noes Bsicas de Avaliao de Investimentos

0 1 2 3 . . . n-1 n -Pn -d1 -d2 -d3 . . . -dn-1 -dnPgs. 588/595Pgs. 595/602140www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1417.3 Avaliao de Investimentos em Activos Financeiros.Avaliao de aces (n )


Apenas so relevantes os dividendos. (Data focal: mom. 0)


0 1 2 3 . . . -d1 -d2 -d3 . . . Pgs. 588/595Pgs. 595/602141www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1427.3 Avaliao de Investimentos em Activos Financeiros.Avaliao de aces (n ); hiptese: dividendos constantes


Trata-se de uma renda perptua de termos constantes(recordar...). (Data focal: mom. 0)


0 1 2 3 . . . -d -d -d . . . Pgs. 588/595Pgs. 595/602142www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1437.3 Avaliao de Investimentos em Activos Financeiros.Avaliao de aces (n ); hiptese: dividendos crescentes a uma taxa constante, g (ou seja, variam segundo uma PG com r=1+g).


Trata-se de uma renda perptua de termos variveis em PG, razo igual a g (recordar...). (Data focal: mom. 0)


0 1 2 3 . . . -d1 -d2 -d3 . . . Pgs. 588/595Pgs. 595/602143www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1447.3 Avaliao de Investimentos em Activos Financeiros.Obrigaes

Obrigao: ttulo de crdito representando uma fraco de um emprstimo.

No caso das Obrigaes de Taxa Fixa, o rendimentos provm dos juros.

Avaliao de obrigaes

Mais fcil do que a avaliao de aces, uma vez que o grau de incerteza menor (particularmente no caso de Obrigaes do Tesouro de Taxa Fixa, OTTF).7Pgs. 595/603Pgs. 602/611Noes Bsicas de Avaliao de Investimentos144www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1457.3 Avaliao de Investimentos em Activos Financeiros. Avaliao de obrigaes (OTTF):


Os juros constituem uma renda de termos constantes (recordar...). (Data focal: mom. 0) (Nota: ir ou TRM-Taxa de Rendimento at Maturidade)7Noes Bsicas de Avaliao de Investimentos 0 1 2 3 . . . n-1 n +j +j +j . . . +j +j -P0 +Vr

Pgs. 595/603Pgs. 602/610145www.calculofinanceiro.com [email protected] Verso 1.0 (26.Abr.2007)1467.3 Avaliao de Investimentos em Activos Financeiros. Avaliao de Obrigaes de Cupo Zero (OCZ):


Equivalncia entre dois capitais (nicos). (Data focal: mom. 0)7Pg. 604Pg. 611Noes Bsicas de Avaliao de Investimentos 0 1 2 3 . . . n-1 n -Ve +Vr

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