Lista de treinamento 2 - Cone Sul - 2015 professor PONCE

Problema 15

DEMONSTRAO

Para que a equao (*), tenha soluo, necessariamente, devemos ter y = a .p para algum inteiro p.

Substituindo este valor de y em [*] , obtm-se: 63=1.7.9= a2 (p3 1 ) [**] .

De [**],claramente, 1 p3 1 63 . Alm disso, 7 no pode dividir a , pois caso contrrio, 63 seria

divisvel por 49; o que no possvel. Em consequncia disso, (p3 1 ) deve ser divisvel por 7 .

Mas como 1 p3 1 63, segue-se (p3 1) {7,14,21,63}, o que implica, p { 2,4}. Nestas condies,

tem-se de [**]: p=2 a = 3 ou a = -3 e p=4 a = 1 ou a = -1.

Deste modo, dos pares (a,p ), obtidos com valores de a e p j obtidos, tem-se de 2

7a

x e y = a. p :

a = 3 e p =2 x = -2 e y = 6

a = -3 e p =2 x = -5 e y = - 6

a = 1 e p =4 x = -3 e y = 4

a = -1 e p =4 x = -4 e y = - 4 Substituindo os pares ordenados (x,y): (-2,6),(-5,-6),(-3,4) e (-4,-4) , obtidos acima, em [ * ],verifica-se que so solues. Portanto, eles so as nicas solues inteiras para a equao dada.

RESPOSTA: (-2,6),(-5,- 6),(-3,4) e (-4,-4) Nota: O inicio desta soluo foi desenvolvida brilhantemente pelo amigo RODRIGO.