Matemática

FUNÇÃO de 1° GRAU

Professor Dudan

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma :onde a e b são números reais dados e a ≠ 0.

Seu gráfico é sempre uma reta. a → Coeficiente angular, Parâmetro angular, Inclinação ou Declividade.b → Coeficiente linear, Parâmetro linear ou Termo Independente.

Função de 1° Grau

b ax f(x) +=

ATENÇÃOO coeficiente linear b é o ponto de intersecção do eixo y. O coeficiente angular a não é o ponto de intersecção do eixo x.

Função de 1° Grau

Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = -3

f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = -7

f(x) = -x, onde a = -1 e b = 0

Função de 1° Grau

ExemploSendo f(x) = -4x + 10, determine:a) f(3) b) f(0) c) f(x) = 2 d) f(x) = 0

Função de 1° Grau

COEFICIENTE ANGULAR

a > 0 a < 0

Reta CRESCENTE Reta DECRESCENTE

Função de 1° Grau

COEFICIENTE LINEAR

b > 0 b < 0 b = 0

Função de 1° Grau

ExemploAssinale as leis de formação das funções abaixo:

( ) f(x) = -3/2 x ( ) f(x) = -3x +2( ) f(x) = -3/2 x +2 ( ) f(x) = 2x -3( ) f(x) = -3x +2 ( ) f(x) = 2x -1( ) f(x) = -2x + 3 ( ) f(x) = x - 2( ) f(x) = -2/3x ( ) f(x) = 2x -2

Função de 1° Grau

ExemploUma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8. Portanto, o valor de f(10) é:a) 16b) 17c) 18d) 19e) 20

Função de 1° Grau

ExemploConsidere a tabela a seguir, que apresenta dados sobre as funções g, h, k, m, f.A função cujo gráfico está sobre uma mesma reta éa) gb) hc) kd) me) f

Função de 1° Grau

ExemploA tabela a seguir, obtida a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção.Se mantida, nos anos subseqüentes, a tendência linear de crescimento mostrada na tabela, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a:a) 461b) 498c) 535d) 572e) n.d.a.

Função de 1° Grau

ExemploEm fevereiro, o governo da Cidade do México, metrópole com uma das maiores frotas de automóveis do mundo, passou a oferecer à população bicicletas como opção de transporte. Por uma anuidade de 24 dólares, os usuários têm direito a 30 minutos de uso livre por dia. O ciclista pode retirar em uma estação e devolver em qualquer outra e, se quiser estender a pedalada, paga 3 dólares por hora.A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da bicicleta por um ano, quando se utilizam x horas extras nesse período éa) f(x) = 3xb) f(x) = 24c) f(x) = 27d) f(x) = 3x + 24e) f(x) = 24x + 3

Função de 1° Grau

ExemploEm uma experiência realizada na aula de Biologia, um grupo de alunos mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. Plotando os pontos (t,a), em que t corresponde ao tempo em dias, e a corresponde à altura da planta em centímetros, os alunos obtiveram a figura a seguir.Se essa relação entre tempo e altura da planta for mantida, estima-se que, no 34º dia, a planta tenha, aproximadamente,a) 10 cm.b) 6 cm.c) 8 cm.d) 5 cm.e) 7 cm.

Função de 1° Grau

ExemploO valor de um caminhão do tipo A novo é de R$ 90.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$50.000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma função linear, o valor de um caminhão do tipo A, com 2 anos de uso, em reais, é de

a) 40.000,00b) 50.000,00c) 60.000,00d) 70.000,00e) 80.000,00

Função de 1° Grau

Matemática

EQUAÇÃO DE 2° GRAU

Professor Dudan

A equação de 2° grau é a equação na forma ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e x é a variável (incógnita). O valor da incógnita x é determinado pela fórmula de Bháskara. Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.“a” é sempre o coeficiente de x²;“b” é sempre o coeficiente de x,“c” é o coeficiente ou termo independente.

Equação de 2° grau

Assim:x² - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6.

6x² - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c =-1

7x² - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0.

x² - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.

Equação de 2° grau

EquaçãoCoeficientes

a b c6x² - 3x + 1= 0

-3x² - 5/2+4x = 0

2x² - 8 =0

6x² - 3x =0

Complete o quadro conforme os exemplos:Equação de 2° grau

RESOLUÇÃO1 – COMPLETASPara solucionar equações do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bháskara.

Onde a, b e c são os coeficientes (números) encontrados na equação.

Equação de 2° grau

ExemploResolução a equação 7x² + 13x -2 = 0.

Equação de 2° grau

Vale ressaltar que de acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

1º Caso: O discriminante é positivo , ∆ > 0, então a equação tem duas raízes reais diferentes.

2º Caso: O discriminante é nulo , ∆=0, então a equação tem duas raízes reais e iguais.

3º Caso: O discriminante é negativo , ∆<0 ,então não há raízes reias.

Equação de 2° grau

Atenção!A raiz (ou zero da função) é(são) o(s) valor(es) da incógnita x que zeram a equação.Exemplos

I) As raízes de x² - 6x + 8 = 0 são x1 = 2 e x2 = 4 pois (2)² - 6(2) +8 =0 e (4)² - 6(4) +8 =0

II) As raízes de x² + 6x + 9 = 0 são x1 = x2 = -3 pois(-3)² +6(-3) +9 =0

Equação de 2° grau

RESOLUÇÃO2 – INCOMPLETASNa resolução das incompletas não é necessário resolver por Bháskara, basta usar os métodos específicos que variam de acordo com o tipo de incompleta: incompleta sem o termo com “x” ou a incompleta sem o termo independente.

Equação de 2° grau

Encontre as raízes das equações abaixo:a) x² - 4x = 0

Equação de 2° grau

b) x² - 36 = 0

Equação de 2° grau

SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES

A soma e o produto das raízes da função quadrática são dados pelas fórmulas:

Equação de 2° grau

ExemploDetermine a soma e o produto das raízes das equações:a) x² – 7x – 9 = 0 b) -4x² + 6x = 0 c) 3x² - 10 = 0

Equação de 2° grau

ExemploO número -3 é a raíz da equação x2 - 7x - 2c = 0. Nessas condições, o valor do coeficiente c é.a) 11b) 12c) 13d) 14e) 15

ExemploO produto das raízes reais da equação 4x² - 14x + 6 = 0 é igual a) -3/2b) -1/2c) 1/2d) 3/2e) 5/2

ExemploA maior raiz da equação -2x² + 3x + 5 = 0 vale:a) -1b) 1c) 2d) 2,5e) (3 + )/419

ExemploO quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha há 20 anos é igual a 2000. Assim minha idade atual é.a) 41b) 42c) 43d) 44e) 45

ExemploConsidere as seguintes equações:

I. x² + 4 = 0II. x² - 2 = 0

III. 0,3x = 0,1Sobre as soluções dessas equações é verdade que em

a) II são números irracionais.b) III é número irracional.c) I e II são números reais.d) I e III são números não reais.e) II e III são números racionais.

Matemática

FUNÇÃO de 2° GRAU

Professor Dudan

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva chamada parábola.

Função de 2° Grau

cbx ax² f(x) ++=

Exemplos de função quadráticas:

f(x) = 3x² - 4x + 1, onde a = 3, b = -4 e c = 1

f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1

f(x) = - x² + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0

f(x) = -4x², onde a = -4, b = 0 e c = 0

Função de 2° Grau

Representação gráficaAo construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:

concavidade voltada para cima concavidade voltada para baixo

Função de 2° Grau

Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente “c” na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o corta.

Função de 2° Grau

A análise do coeficiente "b" pode ser orientada pela analise de uma reta “imaginária” que passa pelo “c” e pelo vértice. Assim:

Nos exemplos acima se a reta “imaginária” for crescente, b > 0 caso contrário b < 0 e no caso em que o vértice e o “c” coincidem, teremos b = 0 e uma simetria em relação ao eixo Y.

Função de 2° Grau

Atenção!

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante:

Se Δ > 0, Se Δ = 0, Se Δ < 0, há duas raízes há duas raízes reais não há raiz real. reais e distintas; e iguais;

Função de 2° Grau

Complete as lacunas:

Função de 2° Grau

Função de 2° Grau

ExemploDetermine o valor de K para que a função f(x) = x² - kx + 9 tenha raízes reais e iguais.

Função de 2° Grau

Zero ou Raiz da FunçãoChama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Para determinar as raízes, aplica-se a chamada fórmula de Bhaskara:

4.a.c-b² sendo 2a

4.a.c-b²b-x =∆±

= ,

Função de 2° Grau

SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES

A soma e o produto das raízes da função quadrática são dados pelas fórmulas:

Função de 2° Grau

VÉRTICE da PARÁBOLAO vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos, observe:

Para determinar o ponto de máximo (quando a < 0) ou ponto de mínimo (quando a > 0):

Função de 2° Grau

COORDENADAS DO VÉRTICE

Atenção: Xv é o ponto médio das raízes reais.

) ,( vv yxVa2

bxv −=

a4yv

∆−=

Função de 2° Grau

ExemploDetermine o vértice da parábola f(x) = 2x² - 8x + 5.

Função de 2° Grau

ExemploA expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado, é:(A) f(x) = –2x2 – 2x + 4.(B) f(x) = x2 + 2x – 4.(C) f(x) = x2 + x – 2.(D) f(x) = 2x2 + 2x – 4.(E) f(x) = 2x2 + 2x – 2.

Função de 2° Grau

ExemploBaseado no gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, e c , pode-se afirmar que:

Função de 2° Grau

ExemploA função f(x) = Ax2 + Bx + C, A 0 tem como gráfico a figura abaixo. Podemos então concluir que:

Função de 2° Grau

ExemploNa parábola y = 2x² - (m - 3)x + 5, o vértice tem abscissa 1. A ordenada do vértice é:(A) 3(B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

Função de 2° Grau

FUNÇÕES

COMO AFEPESE

COBRA ISSO?

Seja f: IR → IR dada por f(x) = 2x + 2.Encontre o valor de a para que a equação f(ax – 1) = x seja válida para todo

número real x.a. 1/4b. 1/2c. 3/4d. 3/2e. 5/2

UFFS - 2012

As raízes da função quadrática y = 2x² +mx + 1 são positivas e uma é o dobro da outra. A soma dessas raízes é:

a. 2,4b. 2,1c. 1,8d. 1,5e. 1,2

UDESC - 2012

UDESC - 2010

GABARITOSQuestões FEPESE : B-D-B