1
MATEMÁTICA 2
Agronomia 2º P
Prof. Raquel Gondim
1. MATRIZES
Um conglomerado é composto por 5 lojas numeradas e 1 a 5. A tabela a seguir apresenta o faturamento, em
reais, nos quatro primeiros dias do mês de agosto de um determinado ano.
Qual o faturamento da loja 3 no dia 2?
Qual o faturamento total de todas as lojas no dia 3?
Qual o faturamento total da loja 1 nos 4 dias?
Podemos representar a tabela acima, abstraindo o significado de suas linhas e colunas, da seguinte maneira (que
chamamos de matriz):
Definição 1: Um arranjo ordenado de m.n escalares aij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n) é denominado matriz de
dimensão m×n. As matrizes são descritas por letras maiúsculas do alfabeto romano expressas em itálico, e
assumem a forma:
Consiste em m.n elementos dispostos em m (i) linhas e n (j) colunas, que indicaremos mxnijaA )( .
Se a matriz A é de ordem m por n, costuma-se escrever simplesmente mxnA .
Os elementos de uma matriz são denominados coeficientes.
Exemplo: A matriz P abaixo fornece a quantidade de vitaminas A, B e C (representadas nas colunas) contidas
nos alimentos I e II (representados nas linhas).
A matriz é de ordem________
O elemento 12a __________
1.1 Tipos Especiais de Matrizes.
1.1.2 Matriz Nula – é aquela em que aij = 0, ∀i, ∀j.
1.1.3 Matriz Linha – é toda matriz do tipo xnijaA 1)(
2
Exemplo: A =(− 1 0 4 3). Esta matriz tem ordem 1x4.
1.1.4 Matriz Coluna – é toda matriz do tipo 1)( mxijaA
1.1.5 Matriz Retangular – é toda matriz onde .nm
Exemplo: 4/3
8
52
11A
1.1.6 Matriz Quadrada – é toda matriz do tipo nxnijaA )( , isto é, o número de linhas é igual ao número de
colunas. Neste caso, dizemos que A é uma matriz quadrada de ordem n e podemos usar a notação An.
Definições:
1. Diagonal Principal - Numa matriz quadrada A de ordem n, os elementos ija , em que i=j constituem a
diagonal principal. Exemplo: a11, a22, a33, ..., ann.
2. Diagonal Secundária - Numa matriz quadrada A de ordem n, os elementos ija , em que i+j=n+1
constituem a diagonal secundária.
Diz-se também que os elementos 7, 1 e 4 formam a diagonal secundária.
1.1.7 Matriz Diagonal – é a matriz quadrada em que os elementos que não estão na diagonal principal são
nulos.
1.1.8 Matriz Escalar – é a matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais.
1.1.9 Matriz Identidade – é uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal são iguais a 1. Usamos a
notação In para indicar a matriz identidade de ordem n.
Exemplos:
1.1.10 Matriz Triangular Superior – é uma matriz quadrada em que todos os elementos abaixo da diagonal
principal são nulos, isto é, a ij =0 , se i> j.
3
1.1.11 Matriz Triangular Inferior – é uma matriz quadrada em que todos os elementos acima da diagonal
principal são nulos, isto é, a ij =0 , se i< j.
1.2 Operações com Matrizes
1.2.1 Igualdade - Duas matrizes mxnijaA )( e
rxsijbB )( são iguais se possuem a mesma ordem, isto é, m = r
e n = s e aij=bij, ., ji
Exemplo: Seja 00
121
xA e
06
2
t
zyB , encontre o valor de x, y, z e t para que A=B.
1.2.3 Transposta – Dada uma matriz Amxn, denomina-se transposta de A a matriz nxmtA :
Exemplo: Seja tAA
46
53
23
1.2.4 Adição - A soma de duas matrizes de mesma ordem
mxnijaA )( e mxnijbB )( é outra matriz C de
mesma ordem mxn que denotamos por C = A + B, tal que mxnijcC )( , onde cij= aij + bij,, ., ji
Propriedades da adição:
I) Comutatividade: A + B = B + A.
II) Associatividade: A + (B + C) = (A + B) + C.
III) Elemento neutro: A + 0 = 0 + A, onde 0 representa a matriz nula.
IV) Elemento oposto: Dada a matriz A, existe a matriz oposta de A, que denotaremos por -A, tal que
A + (–A) = 0.
Exercício: Verifique que as propriedades acima são validas. (Invente as matrizes A, B e C)
Observação: A diferença A – B é a soma de A com a oposta de B, isto é A + (–B).
1.2.5 Multiplicação por um Escalar – Seja mxnijaA )( e k um escalar. Define-se a matriz B=kA, onde
mxnijbB )( , tal que bij=kaij. Isto é, multiplicam-se todos os elementos de A por k.
4
Propriedades da multiplicação por escalar:
I) k(A + B) = kA + kB.
II) (k1 + k2)A = k1A + k2A.
III) k1.(k2A) = (k1 . k2 )A.
IV) 1.A=A
Obs.: kA = Ak .
Exercícios:
1) Obter a matriz 33)( xijaA em que jiaij 3 e 33)( xijbB onde jibij 2 .
2) Usando as matrizes do exercício 1) encontre:
a) A+B
b) 2A-B
c) At
d) Bt
3) Seja a matriz ,22)( xijaA , sendo 2)( jiaij
a) Qual a ordem da matriz A? d) Para quais valores de i tem-se 0ija ?
b) Escreva o elemento 32a . e) Quais os elementos da diagonal principal?
c) Qual a transposta de A? f) Quais os elementos da diagonal secundária?
1.2.6 Multiplicação de Matrizes - Considere as matrizes mxnijaA )( e
nxpjkbB )( . O produto
mxpnxpmxn CBA . , onde nkinkijk
n
j
ijik bababac ...... 11
1
.
Obs.: De acordo com a definição, somente é possível multiplicar matrizes onde o número de colunas da
primeira é igual ao número de linhas da segunda matriz. O diagrama abaixo auxilia a interpretação.
Nem todas as matrizes podem ser multiplicadas entre si.
A ordem da multiplicação é importante.
A segunda dimensão da primeira matriz (nº de colunas) deve ser igual à primeira dimensão da segunda
matriz (nº de linhas) para que a multiplicação seja possível.
A matriz resultado terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
A multiplicação de matrizes pode ser vista como uma série de produtos internos.
5
Exemplo: Dadas as matrizes abaixo, calcule B x C
Exemplos:
1) Um corretor da bolsa de valores, calculando o patrimônio adquirido no dia por dois clientes, nas quatro
primeiras horas do pregão, montou as seguintes matrizes:
Onde:
Cada elemento a ij da matriz A é a quantidade das ações de uma empresa adquiridas pelo cliente i na hora j.
Por exemplo, o elemento a 23 =800 nos diz que foram adquiridas 800 ações pelo cliente 2 na hora 3.
Cada elemento b ij da matriz B é o preço, em dólares, de cada ação na hora i. Por exemplo, o elemento b21 nos
diz que na hora 2 o preço de cada ação era de 2,5 dólares.
Quanto investiu cada cliente para adquirir suas ações?
Esse investimento é calculado multiplicando-se o número de ações adquiridas em cada hora pelo preço unitário
e somando-se os resultados.
Cliente 1: 5000×2 + 2000× 2,5 + 1800×3 + 1000×4 = 24400.
Cliente 2: 2000×2 + 3000× 2,5 + 800×3 + 1200×4 = 18700.
Formando assim a matriz 18700
24400C
2) Sejam 210
012A e
1
2
5
1
2
4
1
1
3
B encontre A.B
3)
Propriedades da multiplicação de matrizes.
Desde que sejam possíveis os produtos entre as matrizes, são válidas as seguintes propriedades:
i) A(B ± C) = AB ± AC. (distributiva à esquerda).
ii) (A ± B)C = AC ± BC. (distributiva à direita).
iii) (AB)C = A(BC). (associativa).
iv) A.0 = 0.
Obs.:
1. Em geral ABBA ..
2. AAIIA ..
6
2. DETERMINANTES
Seja M uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos determinante da matriz M e indicamos por det(M) (ou os
elementos da matriz entre barras verticais) o número real que obtemos operando com os elementos de M da
seguinte forma:
2.1 Cálculo do Determinante
I) Se M é de ordem n = 1 , então det(M) é o único elemento de M.
Exemplo: 2)det(22)2( AouA
II) Se M é de ordem n = 2 , então det(M) é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos
elementos da diagonal secundária.
Exemplo: 52
31A então det(A) =
III) Se M é de ordem n = 3, então det(M) é definido pela Regra de Sarrus:
Exemplos:
1) Encontre os determinantes:
a)
120
413
752
)det( A
b)
423
215
113
)det(B
2) Resolva a equação 15
102
1
132
xx
7
Principais propriedades dos determinantes.
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Então:
I) det (A) = det (AT ).
II) Se a matriz A possui fila nula, então det (A) = 0 .
III) det (λA)= λn det (A).
IV) Se a matriz A é triangular (superior ou inferior), det (A) é o produto dos elementos da diagonal principal.
V) det(A. B)= det(A). det(B).
VI) Se a matriz A tem duas linhas (ou colunas) iguais o determinante é nulo.
VII) Se 2 linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada forem iguais ou proporcionais o determinante é nulo.
VIII) Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) de uma matriz o determinante muda de sinal.
IV) Se M é de ordem n > 3, então calcularemos o determinante de M usando o Teorema de Laplace. Veremos
as definições preliminares de menor complementar e cofator que serão utilizados no citado teorema.
Cofator.
Definição: Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, *Nn e n 2 , denomina-se cofator aij o produto de ji)1( pelo determinante Dij da matriz que se obtém quando se retira de A a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Então: ij
ji
ij Dc .)1(
Por exemplo: 3332
232211
11
333231
232221
131211
.)1(aa
aac
aaa
aaa
aaa
A
Exemplo: Seja
1
2
5
1
2
4
1
1
3
B , calcule c11, c32, c22:
Teorema de Laplace – Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, *Nn e n 2 . O determinante dessa matriz
é igual à soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos respectivos cofatores.
Exemplo: 131312121111
333231
232221
131211
...)det( acacacA
aaa
aaa
aaa
A
Exemplo: Calcule det (A), onde
126
540
312
A
Observação 1: Para calcular o determinante de uma matriz de ordem maior que 3, 1º aplica-se o Teorema de
Laplace e depois a Regra de Sarrus.
Observação 2: É melhor escolher uma fila da matriz que possua a maior quantidade de zeros com a finalidade
de simplificar os cálculos do determinante.
Exemplo: Calcular o determinante de
1422
5100
3432
0121
A
8
3. SISTEMAS LINEARES
Pense: Um caminhão pode levar no máximo 58 caixas do tipo A ou B, de mesmo tamanho. Elas têm
respectivamente 56 Kg e 72 Kg. À carga máxima para esse caminhão é de 3,84 toneladas em cada viagem.
Quantas caixas de cada tipo são transportadas, estando o caminhão com capacidade máxima?
3.1 Equação Linear Equação linear é toda equação da forma: a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b
onde a1, a2, a3, ... , an são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas
x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real chamado termo independente ( quando b=0, a equação recebe o nome de
linear homogênea).
Veja alguns exemplos de equações lineares:
1) 3x - 2y + 4z = 7
2) -2x + 4z = 3t - y + 4
3) (homogênea)
As equações a seguir não são lineares:
1) xy - 3z + t = 8
2) x2- 4y = 3t – 4
3)
3.2 Sistema Linear
Um conjunto de equações lineares da forma:
é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é,
simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.
Exemplo 1: Verifique se (-1, 2) é solução do sistema:
13
94
ba
ba
Exemplo 2: Numa lanchonete os pastéis têm preço único e os refrigerantes também. Nesse lugar, paguei
R$ 5,80 por 5 pastéis e 3 copos de refrigerante e meu amigo pagou R$ 3,60 por 3 pastéis e 2 copos de
refrigerante. Qual o preço do pastel e refrigerante?
Vamos chamar: x o preço do pastel e y o preço do refrigerante
3.2.1 Sistemas Homogêneos
Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes das equações são nulos:
9
Veja um exemplo:
A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de
solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.
3.2.2 Classificação de um Sistema Quanto ao Número de Soluções
Exemplo: Resolva os sistemas lineares abaixo em ℜ2
e interprete geometricamente as soluções.
3.2.3 Matrizes Associadas a um Sistema Linear A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:
matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema.
Em relação ao sistema:
a matriz incompleta é:
10
matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada
pelos termos independentes das equações do sistema.
Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:
3.2.4 Sistemas Equivalentes Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
Por exemplo, dados os sistemas:
e
Verifica-se que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único.
Logo, S1 e S2 são equivalentes: S1 ~ S2.
3.2.5 Propriedades
a) Trocando de posição a equação de um sistema obtém outro sistema equivalente.
Por exemplo:
e
S1 ~S2
b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K IR*), obtém um sistema
equivalente ao anterior. Por exemplo:
S1 ~S2
c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um
número k ( K IR*), obtém um sistema equivalente ao anterior.
Por exemplo:
Dado , substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -1 com (II), obtém:
S1~S2, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os sistemas.
3.2.6 Sistemas Escalonados Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está
escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para
equação.
Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:
a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero.
b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das
demais equações.
c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.
11
Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema:
I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)
Exemplo 1:
1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades dos
sistemas equivalentes.
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação.
3º passo: O sistema está escalonado e pode-se resolvê-lo.
Exemplo 2:
II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m < n)
Exemplo:
1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação.
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita, a partir da 3º equação.
3º passo: O sistema está escalonado. Como m<n, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas
soluções. A diferença entre o número de incógnitas (n) e o de equações (m) de um sistema nessas condições é
chamada grau de indeterminação (GI):
GI= n - m
Para resolver um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:
Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições:
GI = n-m = 4-3 = 1
Como o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um valor , supostamente conhecido, e
resolvemos o sistema em função desse valor. Sendo t= , substituindo esse valor na 3º equação.
Para cada valor que seja atribuído a , encontraremos uma quádrupla que é solução para o sistema.
3.2.7 Sistema Normal Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da
matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.
12
I) Regra de Cramer
Todo sistema normal tem uma única solução dada por:
em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o
determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos
independentes.
Discussão de um sistema linear pela Regra de Cramer
Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:
a) Possível e determinado, se D=det A 0; caso em que a solução é única.
Exemplo:
m=n=3
Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.
b) Possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n 3, essa condição só será
válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos
independentes não-proporcionais.
Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.
Exemplo:
D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0
Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.
c) Impossível, se D=0 e Dxi 0, 1 i n; caso em que o sistema não tem solução.
Exemplo:
Como D=0 e Dx 0, o sistema é impossível e não apresenta solução.
4. Matriz Inversa
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é uma matriz inversível se existir uma matriz B tal que
AB = BA = In . A matriz B é chamada de inversa da matriz A e denotada por B = 1A .
Obs.: É evidente que a matriz inversa 1A , se existir, deve ser também quadrada de ordem n, pois
1A comuta
com A.
13
Definição: Matriz singular é uma matriz quadrada que o determinante é nulo. A matriz singular não tem
inversa.
Teorema:
Onde:
Propriedades da inversa de uma matriz.
Se A e B são matrizes quadradas de ordem n e inversíveis, então:
iv) )det(
1)det( 1
AA
Exemplos:
1) Verificar se B é inversa de A, onde 23
58A e
83
52B
2) Seja 41
32A determine
1A :
3) Seja
201
110
011
A determine 1A :
Exercícios
1. Escreva a matriz em cada caso:
a) ,13)( xijaA , sendo jiaij b) ,22)( xijaA , sendo 2)( jiaij
2. Determine x e y em cada caso:
a) 04
743
04
3
xx
yx b)
030
8
030
211 xyxy
3. Dada as matrizes 345
021A e
1569
1263B , determine:
a) -2.A b) )(2
1BA
c) B+A d) -4A - tB3
2
4. Dadas as matrizes A e B, encontre o determinante de A.B:
4,1
4,1)( 43
jise
jiseacomaA ijxij e
4,1
4,1)( 34
jise
jiseacombB ijxij
1 1( )
detadjA A
A
11 12 13
21 22 23
31 32 33
( ) t
tC C C
adj C C C C
C C C
A
14
5. Encontre o determinante das matrizes em cada caso:
a)
126
540
312
B b)
1422
5100
3432
0121
C
6. Considere que se queira fazer 5 construções rurais de madeira, 7 de alvenaria e 12 mistas. O quadro as
seguir designa quanto de material será gasto em cada tipo de construção:
Tábuas Tijolos(mil) Telhas(mil) Tinta ( litros) Mão-de-obra
Madeira 200 1 5 80 12
Alvenaria 10 10 5.5 60 9
Mista 80 4 5 70 10
Quantas unidades de cada componente serão gastas?
7. Sendo as matrizesny
mxA
32 e
91
68B , achar os valores de x, y, m e n para que se tenha A=B.
8. Dadas as matrizes 108
62A ,
08
52B e
42
63C , calcular CBA 2
9. Se A = (aij) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o seu determinante é
igual a:
10. O valor de a para que a igualdade matricial 10
01
1
11.
11
12
aseja verdadeira é:
a. 1 b. 2 c. 0 d. -2 e. -1
11. Na equação 1012
3x, o valor de x é:
(A) 16 (B) 4 (C) 5 (D) 15 (E) -4
12. Sobre a matriz
431
865
431
A , marque a alternativa correta:
(A) O elemento 113a
(B) A diagonal principal é composta pelos elementos 5, 6 e 8
(C) A diagonal secundária é formada pelos elementos 1, 6 e 4
(D) A ordem da matriz transposta de A é 3x2
(E) O elemento 622a e pertence à diagonal principal
13. Sendo as matrizes3/
2
ny
mxA e
92/1
216B , os valores de x, y, m e n para que se tenha A=B, são:
14. Sobre matrizes pode-se afirmar corretamente:
a) Duas matrizes nulas são sempre iguais.
b) Toda matriz tem inversa.
c) Todas as matrizes iguais são quadradas.
d) Nem sempre podemos somar duas matrizes.
15. Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:
a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3;
15
b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3;
c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3;
d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B;
e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.
16. Se A, B e C são matrizes do tipo 2x3, 3x1 e 1x4, respectivamente, então o produto A. B. C:
a. É matriz do tipo 4x2
b. É matriz do tipo 2x4
c. É matriz do tipo 3x4
d. É matriz do tipo 4x3
e. Não é definido.
17. Uma associação promoveu um show, onde compareceram 2.000 pessoas. A associação arrecadou ao todo
R$ 34.000,00, sabendo que todas as pessoas pagaram ingresso, e que cada ingresso custava R$ 20,00 e os
estudantes pagaram metade desse valor. O número de estudantes presentes no show foi:
18. Necessita-se corrigir um terreno, acrescentando a cada 10 m2
140g de nitrato, 190g de fósforo e 205g de
potássio. Dispõe-se de 4 tipos de adubo com as seguintes características por kg:
Adubo I – contém 10g de nitrato, 10g de fósforo e 100g de potássio e custa R$ 5,00
Adubo II – contém 10g de nitrato, 100g de fósforo e 30g de potássio e custa R$ 15,00
Adubo III – contém 50g de nitrato, 20g de fósforo e 20g de potássio e custa R$ 5,00
Adubo IV – contém 20g de nitrato, 40g de fósforo e 35g de potássio e custa R$ 10,00
Quanto de cada adubo deve ser misturado para conseguir o efeito desejado, podendo se gastar R$ 40,00 para
cada 10 m2 de adubação?
"São as dúvidas que nos fazem crescer, porque nos obrigam a olhar sem medo
para as muitas respostas de uma mesma pergunta."
Paulo Coelho
Bom Trabalho!!!
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