Fluxo bidimensional

Profa. M.Sc. Maria Valéria Mello Vieira Toniazzo

Fluxo Permanente Bidimensional

Por que estudar percolação de água?

Importante para o dimensionamento de barragens

Obtenção da Rede de Fluxo:

• Gradientes hidráulicos (potencial de piping)

• Poropressão

• Vazão

Fluxo Permanente Bidimensional

Quando o fluxo de água ocorre sempre na mesma

direção, como no caso dos permeâmetros diz-se que o

fluxo é unidimensional. Sendo uniforme a areia, a

direção do fluxo e o gradiente são constantes em

qualquer ponto.

Nos fluxos unidirecionais (vertical ou horizontal), para

calcular a vazão de percolação através de um solo

aplica-se diretamente a lei de Darcy:

Q = v ×A = k × i × A

Fluxo Permanente Bidimensional

Quando as partículas de água se deslocam segundo

qualquer direção, o fluxo é tridimensional. A migração

de água para um poço é um exemplo de fluxo

tridimensional de interesse para a engenharia.

Quando as partículas de água seguem caminhos

curvos, mas paralelos, o fluxo é bidimensional (caso

da percolação pelas fundações de uma barragem).

Fluxo Permanente Bidimensional

Equação de Laplace

Onde: kx, ky, kz = Coeficiente de permeabilidade nas respectivas

direções;

ht = carga total no ponto considerado;

x,y,z = direção de fluxo;

e = índice de vazios;

S = grau de saturação;

t = tempo.

t

eS

t

Se

ez

hk

y

hk

x

hk t

zt

yt

x1

122

2

22

2

22

2

Equação de Laplace

A equação da Laplace é muito conhecida no meio

matemático e conseqüentemente na engenharia. A

solução da equação de Laplace são dois grupos de

curvas ortogonais entre si.

No caso de Fluxo:

Curvas – Linhas de fluxo;

Curvas – Linhas equipotenciais.

O conjunto das linhas de fluxo e equipotenciais é

denominado de rede de fluxo.

Rede de Fluxo

A rede de fluxo é a solução gráfica da

equação de Laplace, composta de dois

grupos de curvas perpendiculares entre si,

formando quadrados curvilíneos.

Dados extraídos da Rede de Fluxo

Determinação da vazão total em uma região de fluxo.

lf

lf

lf

lf

lf

l.e. l.e. l.e. l.e. l.e. l.e.

Canal de Fluxo

dQ

dQ

dQ

dQ

Q

Dh Dh Dh Dh Dh

h

Linhas equipotencias

Linhas de fluxo

Dados extraídos da Rede de Fluxo Q = dQ . Nf

Onde:

Q = vazão total

dQ = Vazão em cada um canal de fluxo;

nf = número de canais de fluxo.

dQ = Q / Nf

h = Dh . Nd

Onde:

h = Diferença de carga total;

Dh = diferença de carga entre equipotenciais;

Nd = número de regiões entre equipotenciais.

Dados extraídos da Rede de Fluxo

Pela lei de Darcy a vazão em um canal é

dQ = k (Dh/l)A

dQ = k.(Dh/l)b.l

Substituindo

Q/Nf = k (h / Nd l).b.l (para l = b temos)

Q = k (h) Nf/Nd

b

l

Diferença de carga

entre equipotenciais

Dados extraídos da Rede de Fluxo

Determinação da carga total em um ponto

qualquer.

ht = ht início do fluxo – Dh * número de regiões

entre equipotenciais até o ponto.

Rede de fluxo • É a trajetória percorrida pela água no interior do maciço de solo.

Linhas de Fluxo = trajetória do fluxo

Equipotenciais = pontos com igual carga total

Linhas de Fluxo Limites = AEC/FG

Linhas Equipotenciais Limites = BA/CD

Traçado da rede de fluxo – Método Gráfico A perda de carga entre duas equipotenciais consecutivas e a vazão

entre duas linhas de fluxo consecutivas devem ser constantes.

Lei de Darcy no elemento i:

Conceito de rede:

Rede composta por regiões formando “quadrados”: (kv = kh = isotropia)

Exemplos de rede de fluxo

Exemplos de rede de fluxo

Exemplos de rede de fluxo

Exemplos de rede de fluxo

Exercício – Determinar a vazão que passa

no sistema

40

0

90

30

0

100

k = 0,001 cm/seg

Linha equipotencial ht cte

1x30.100

40)-(90 0,001 .A

L

htf)(htikQ

Exercício – Determinar a vazão que passa

no sistema

extensãode/cm/

3cm015,0Q s

Exercício – Determinar a vazão que passa

no sistema

40

0

90

30

0

100

k = 0,001 cm/seg

Dividir como quero mas

sempre em quadrados.

90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40

ht é uma linha

s/3

cm015,010

3.40-90 0,001

Nd

NfhkQ

Exercício – Determinar a vazão que passa

no sistema

Valida as duas equações!!!

nf = número de canais de fluxo;

nd = número de regiões entre equipotenciais.

Exemplo: Qual a seção

mais indicada

Linhas equipotenciais com

mesma carga

4 canais de fluxo e 12

regiões equipotenciais

Linhas de fluxo (da água)

Exemplo:

Rede de fluxo na fundação da barragem de concreto

Vazão é determinada

pela fórmula:

DN

hkQfN

Exemplo: Qual a seção

mais indicada

No exemplo considerado, existem 4 canais de fluxo e 12

faixas de perda de potencial. Para um k =10-4 m/s, por

exemplo, Q = 10-4 x 6 x 4/12 = 2 x 10-4 m3/s (cerca de

0,72m3/hora) por metro de comprimento de barragem.

GRADIENTES:

a diferença de carga total que provoca percolação, dividida pelo

número de faixas de perda de potencial, indica a perda de carga de

uma equipotencial para a seguinte.

No exemplo considerado, a perda de carga entre equipotenciais

consecutivas é de 6/12 = 0,5 m, Esta perda de carga dividida entre as

equipotenciais é o gradiente.

3,70m

9,00m

1,0m

K=1x10-4 m/s

Para o sistema de fluxo abaixo calcular a vazão que passa pela fundação.

ht = 12,7m

ht = 10,0m

s/3

m410x35,18

4.107,12.

410

Nh kQ

D

fN

Determinar qual a vazão através da fundação por unidade de comprimento longitudinal da barragem. Qual o valor do gradiente hidráulico no quadrado X. Qual o valor da poropressão nos pontos A, B e C. Sabe-se que o coeficiente de permeabilidade do solo da fundação é igual a 10-3 cm/s.

A seção transversal de uma barragem está mostrada na Figura 67. Determinar a

vazão sob a barragem e plotar a distribuição da subpressão na base da mesma. O

coeficiente de permeabilidade do solo da fundação é 2,5x10-5m/s.

Condições de Contorno

Essas condições estão diretamente ligadas à geometria do problema. A determinação das fronteiras dos problemas de fluxo é fator preponderante para a definição da rede de fluxo. Os problemas de fluxo podem ser classificados (em relação às fronteiras) em problemas de fluxo confinado e problemas de fluxo não-confinado.

Condições de Contorno Fluxo confinado Neste caso, as fronteiras estão bem definidas. Sabe-se que o fluxo se dará na região ABCDEFG, estando assim as condições de contorno pré-fixadas.

Condições de Contorno Fluxo confinado Neste caso, uma parte das fronteiras necessita ser pré-determinada de modo a

se resolver o problema.

A linha BCD não é conhecida a priori, devendo assim ser determinada antes da

resolução do problema.

Uma vez definidos os 2 tipos de problema (fluxo confinado e fluxo não-confinado), tem-se 4 tipos de condições de contorno geralmente encontrados: superfície impermeável superfície em contato com o líquido superfície livre de fluxo linha freática

Condições de Contorno

Assim, as linhas equipotenciais são perpendiculares à superfície impermeável. As superfícies normalmente encontradas são aquelas que delimitam os contatos solo-rocha, solo-concreto e solo-metal, além dos contatos entre solos com coeficientes de permeabilidade bastante distintos.

Superfície impermeável

As linhas ABC e DEF definem superfícies em contato com o líquido. Se para qualquer ponto a carga total é a mesma, então ABC é uma equipotencial. O mesmo se aplica para a superfície DEF. Logo, as superfícies em contato com o líquido constituem equipotenciais.

Superfície em contato com o líquido

CD define uma superfície livre de fluxo. Dessa forma, a carga total varia linearmente com a altura, portanto CD não é uma equipotencial. Como as linhas de fluxo encontram CD, então CD também não é uma linha de fluxo.

Superfície livre de fluxo

A linha freática é a fronteira superior da região por onde se processa o fluxo. É a linha de fluxo superior do meio, ao longo da qual a carga piezométrica é nula (só existe carga de elevação).

Linha freática