Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

“Determinação de uma reta no plano”.“Determinação de uma reta no plano”.

A(x,y)

B(x,y)

Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos A e B de uma reta, podemos representá-la no plano cartesiano, pois dois pontos distintos determinam uma reta.

Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos A e B de uma reta, podemos representá-la no plano cartesiano, pois dois pontos distintos determinam uma reta.

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

Dados os pontos A,B e C, pertencentes a uma reta r, pela condição de alinhamento de três pontos, o determinante formado por esses pontos vale zero ( D=0)

Dados os pontos A,B e C, pertencentes a uma reta r, pela condição de alinhamento de três pontos, o determinante formado por esses pontos vale zero ( D=0)

“Equação geral da reta no plano cartesiano”.“Equação geral da reta no plano cartesiano”.

A(x,y)

B(x,y)

C(x,y)

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

Desenvolvendo o determinante obtemos:a equação : ax + by + c = 0   que é chamada equação geral da reta r

Equação geral da reta, determinada por dois pontosEquação geral da reta, determinada por dois pontos

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

Desenvolvendo o determinante obtemos:a equação : 1x -1y + 2 = 0   que é chamada equação geral da reta r

Exemplo Determinar a equação da reta que passa por A(1,3) e (2,4)

Exemplo Determinar a equação da reta que passa por A(1,3) e (2,4)

0

142

131

1

yx

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

Da equação geral da reta ax + by + c = 0, obtemos a equação reduzida da reta y = mx + k, onde m é o coeficiente angular da reta e k coeficiente linear da reta, ou a equação na forma y = ax + b. (a é o coeficiente angular e b coeficiente linear).

Da equação geral da reta ax + by + c = 0, obtemos a equação reduzida da reta y = mx + k, onde m é o coeficiente angular da reta e k coeficiente linear da reta, ou a equação na forma y = ax + b. (a é o coeficiente angular e b coeficiente linear).

“Equação reduzida da reta”.“Equação reduzida da reta”.

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

“Exemplo de equação reduzida da reta”.“Exemplo de equação reduzida da reta”.

Da equação geral

6x-3y-12=0

obtemos a equação reduzida da reta:

Y= 2.x - 4

Cuja representação gráfica é

- 4

m=2 c.a =2

c.l =- 4

Onde:

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

Equação segmentária da retaEquação segmentária da reta

Da equação geral

ax+by+c=0

obtemos a equação segmentária da reta:

x/p + y/q=1ax/c +by/c= c/c

Graficamente temos:

qp1

q

y

p

x

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

Exemplo de equação segmentária da reta”.Exemplo de equação segmentária da reta”.

Da equação geral

6x-3y-12=0

obtemos a equação segmentária da reta:

6x-3y= 12

x/2 + y/ - 4=16x/12 - 3y/12= 12/12

Graficamente temos:

- 42

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

• Quando um ponto qualquer P(x , y) de uma reta vem com suas coordenadas x e y expressas em função de uma terceira variável t (denominada parâmetro), nós temos nesse caso as equações paramétricas da reta.•Se x= f(t) e y = g(t) onde f e g são funções de 1º grau.• Nestas condições , para se encontrar a equação geral da reta , basta se tirar o valor de t em uma das equações e substituir na outra .•

“Equação paramétrica da reta”.“Equação paramétrica da reta”.

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

“Exemplo de equação paramétrica da reta”.“Exemplo de equação paramétrica da reta”.

Dados os pontos X= 2.t+1 e Y= t+3

Coordenadas do ponto P(x,y)

Isolando “t” em y temos: t = y- 3

Substituindo “t” em x temos: x = 2.(y- 3)+1

Organizando, obtemos a equação geral

x-2y+5=0

Obs: existe outra forma de obtermos a equação geral, em uma equação paramétrica

()

Equação da reta r que passa pelo ponto P(x,y) e tem coeficiente angular m

P(x,y)

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

“Equação fundamental da reta”.“Equação fundamental da reta”.

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

• A equação y – yo = m (x – xo) onde (xo,yo) é um ponto conhecido e m é o coeficiente angular da reta, é chamada equação fundamental da reta

“Equação fundamental da reta”.“Equação fundamental da reta”.

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

Exemplo aplicação da equação fundamental da retaExemplo aplicação da equação fundamental da reta

A equação da reta que passa por P(2,3) e

Tem coeficiente angular m =-2 é

y- 3=-2(x- 2)

2

3m =-2

Equação geral:2.x+y-7=0

• m= a = tg

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

• O coeficiente angular de uma reta ( m )é um número real “a” que representa a sua inclinação (). Por definição, temos que:

• São quatro as possibilidades para o coeficiente angular:

COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETACOEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

é agudo a > 0

Neste caso a reta tem um coeficiente angular positivo.

COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETACOEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

Neste caso a reta tem um coeficiente angular negativo.

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

é obtuso a < 0

COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETACOEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

= 0º ou 180º a = 0 = 90º a não existe

Neste caso a reta tem um coeficiente zero.

Neste caso a reta não tem coeficiente angular

COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETACOEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

Determinação do Coeficiente angular na equação Determinação do Coeficiente angular na equação

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

Dada a equação geral ax+by+c=0, podemos determinar o coeficiente angular através da expressão.

m =•Exemplo-a

b Qual o “c.a” na equação 3x-2y+5=0

m =- 3

-2m = 3

2

Determinação do Coeficiente angular entre dois pontos Determinação do Coeficiente angular entre dois pontos

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

Dados os pontos A(xa,ya) e B(xb,yb), o coeficiente angular da reta que passa por esses pontos é representado por:

m =

•Exemplo

yb-ya

xb-xa

Qual o “c.a” da reta que passa por A(3,6) e B(5,10)

m =10 - 6

5 - 3m =

4 2m =2

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

Em relação ao plano cartesiano, as retas podem ocupar várias posições, posições estas que determinam nomes e propriedades particulares.

Veremos aqui a algumas delas ....

• RETAS PARALELAS

• RETAS CONCORRENTES

• RETAS PERPENDICULARES

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

• RETAS PARALELAS: •retas paralelas tem os mesmos coeficientes angulares

• RETAS CONCORRENTES: • tem os coeficientes angulares diferentes.

• RETAS PERPENDICULARES:• Formam entre si ângulo de 90º.

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS

• RETAS PARALELAS: • tem os coeficientes angulares iguais • (m1 = m2)

m1 m2

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

POSIÇÕES DAS RETAS POSIÇÕES DAS RETAS

• RETAS CONCORRENTES: • tem os coeficientes angulares diferentes • (m1 diferente de m2)

m1 m2

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

• RETAS PERPENDICULARES: • Formam entre si ângulo de 90º•O produto entre os coeficientes angulares vale -1 (m1 . M2 = -1)

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

POSIÇÕES DAS RETAS POSIÇÕES DAS RETAS

Dado um ponto P(X,y) e uma reta r: ax+by+c=0, a distância entre o ponto e a reta é representada por:

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

*P(x,y)

dp,r22,ba

cbyaxd

pp

rp

DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETADISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

Ângulo entre Retas Ângulo entre Retas

Ângulo formado por duas retasSendo mr e ms os coeficientes angulares das retas r e s respectivamente , a tangente do ângulo agudo formado pelas retas é dado por :

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

msmr

msmrtg

.1

mrms

r s

BIBLIOGRÁFIA BIBLIOGRÁFIA

Livro de matemática volume 3 editora Moderna , autor Manoel Paiva

www.net-rosas.com.br

www.unificado.com.br/matematica

Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.