AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS

Coeficiente de Flambagem - CisalhamentoCoeficiente de Flambagem - Cisalhamento

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Coeficiente de Flambagem - CisalhamentoCoeficiente de Flambagem - Cisalhamento

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Coeficiente de Flambagem - CisalhamentoCoeficiente de Flambagem - Cisalhamento

3

c

chdh 2

1hdRRRkk sss

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ExemploExemplo

Uma placa 8 x 6.4 x 0.1 in , simplesmente apoiada nos quatro bordos e manufaturada em liga de alumínio 7075-T6 a 300oF (E = 9400 ksi, 0.7 = 55.8 ksi, n = 15.6, e = 0.3), está sujeita a um fluxo de cisalhamento q = 1.6 kips/in. O requisito de projeto determina que esta placa não flambe sob o carregamento e temperatura dados. Qual o coeficiente de segurança?

Solução:Para a/b = 8/6.4 = 1.25, a curva inferior da Fig. 5-26 fornece ks = 7.8.

A tensão de cisalhamento aplicada é dada por fs = q/t = 1.6 / 0.1 = 16 ksi.

A margem de segurança é, então, dada por MS = (Fs)cr / fs - 1 = 16.2 / 16 – 1 = 0.013

ksi cr 2.164.61.0

91.01294008.7

)1(12

222

2

2

btEkF

e

ss

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Complessão Bi-Axial - Apoio SimplesComplessão Bi-Axial - Apoio Simples

012

2

2

2

4

4

22

4

4

4

ywN

xwN

Dyw

yxw

xw

yx

byn

axmAyxw mn

sensen),(

yx Nb

nNa

mDb

na

m 22222 1

1

2

22

2

22

2

222

bDn

nabm

N

bD

mban

amb

N yx

, 2

2

2

2

DbN

kD

bNk yy

xx

12

2

2222

n

nabm

k

mban

amb

k yx

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Compressão Bi-Axial - Placa QuadradaCompressão Bi-Axial - Placa Quadrada

12222

n

nm

k

mnm

k yx

16 2,2

254 1,2

254 2,1

4 1,1

yx

yx

yx

yx

kknm

kknm

kknm

kknm

4 8 12 20-4

-4

4

8

12

16

16

m=2, n=2

m=1, n=2

m=2, n=1

m=1, n=1

Estável

Instável

Fronteira de Estabilidade

kx

ky

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Compressão Uniaxial - Bordas Descarregadas FixasCompressão Uniaxial - Bordas Descarregadas Fixas

xy NN

077.3 43.1 ; 3.0 3.0 xxyxxyxy kkkkkkNN

atA

atANN

r

r

x

y

1

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Carregamentos Combinados - Curvas de InteraçãoCarregamentos Combinados - Curvas de Interação

1

2

22

2

22

2

222

bDn

nabm

N

bD

mban

amb

N yx

144

1 e ;

2

2

2

2

bDN

bDNnmba yx

2

2

cr2

2

cr 4 ; 4b

DNb

DN yx

1cry

y

crx

x

NN

NN

1 yx RRou Curva de Interação

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Curvas de InteraçãoCurvas de Interação1.0

1.0

Curva de InteraçãoRx + Ry = 1

C

Rx

Ry

0A

Rx

Ry

c

dB

1

11

dc

Rd

RcMS

yx

11

yx RR

MS

1... cba RRR

Caso Geral

sozinhaatuandoquandocríticatensãoouésimaicombinadotocarregamenocomagindooutensãoésimaiRi carga carga

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Compressão Bi-AxialCompressão Bi-Axial

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Flexão + Compressão LongitudinalFlexão + Compressão Longitudinal

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Flexão + CisalhamentoFlexão + Cisalhamento

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Cisalhamento + Tensão LongitudinalCisalhamento + Tensão Longitudinal

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ExemploExemploUm painel de revestimento de uma asa de aeronave está sujeita a uma tensão de

compressão longitudinal de 3 ksi e um fluxo de cisalhamento de 0.1 kips/in na carga limite. Determine a margem de segurança se, para preservar a suavidade aerodinâmica, é requerido que não ocorra flambagem na carga limite. O painel, de dimensões 4 x 10 x 0.040 in , é manufaturado em liga de alumínio (E = 10500 ksi, = 0.3)

Solução:Considerando, de forma conservativa, que os bordos são simplesmente apoiados,

obtém-se, das Figs. 15-9 e 15.26, com a/b = 10/4 = 2.5, kc = 4.1 e ks = 6.0 onde os subscritos referem-se a compressão e cisalhamento, respectivamente. As tensões críticas são dadas pela Eq. (5.32)

ksi

ksi

69.54040.0

)3.01(12105000.6

89.34040.0

)3.01(12105001.4

2

2

2

2

2

2

crs

crc

440.0

69.5040.01.0

771.089.33

crs

sc

crc

cc

R

R

e

03.0144.04771.0771.0

214

22222

sLL RRR

MS

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Flexão + Compressão Longitudinal + CisalhamentoFlexão + Compressão Longitudinal + Cisalhamento

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Flexão + Compressão Bi-AxialFlexão + Compressão Bi-Axial

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Flexão + Cisalhamento + Compressão TransversalFlexão + Cisalhamento + Compressão Transversal

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Cisalhamento + Compressão Bi-AxialCisalhamento + Compressão Bi-Axial

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Flambagem Inelástica de PlacasFlambagem Inelástica de Placas

2

2

2

cr 112

btEk

e

elásticocr

cr

= Fator de Correção de Plasticidade

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Fator de Correção de PlasticidadeFator de Correção de Plasticidade

EEt

Douglas

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Curvas de Correção de Plasticidade - Curvas de Correção de Plasticidade - DouglasDouglas

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Curvas de Correção de Plasticidade - BoeingCurvas de Correção de Plasticidade - Boeing

kKbtKE

92.10

22

cr

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Correção de Plasticidade – Ramberg-OsgoodCorreção de Plasticidade – Ramberg-Osgood

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Correção de Plasticidade – Ramberg-OsgoodCorreção de Plasticidade – Ramberg-Osgood

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Correção de Plasticidade – Ramberg-OsgoodCorreção de Plasticidade – Ramberg-Osgood

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ExemploExemploConsidere um painel 3 x 9 x 0.094 in, simplesmente apoiado nos quatro

bordos, manufaturado em liga de alumínio 2024-T3 (E = 10700 ksi, 0.7 = 39 ksi, n = 11.5, e = 0.3), submetido à compressão uniaxial. Ache a tensão crítica cr .

Solução:Para a/b = 9/3 = 3, a curva C da Fig. 5-9 fornece kc = 4.0. A tensão crítica no

regime elástico (h = 1) é dada por

ksi 0.383094.0

91.012107004

)1(12

222

2

2

btEk

e

c

Esta tensão está acima do limite de proporcionalidade, ou seja, < 1. Como não estão disponíveis, aqui, curvas para o material como aquelas apresentadas na Fig. 5-53, adotar-se-á as curvas adimensionalizadas baseadas no modelo de Ramberg-Osgood da Fig. 5-54.

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ExemploExemplo

n = 11.5974.03094.0

3991.012107004

)1(12

222

7.02

2

btEk

e

c

84.07.0

cr

cr = 0.84 x 39 = 32.8 ksi

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ExemploExemploO fator de correção de plasticidade, para este caso, é

A espessura de placa utilizada neste exemplo, de 0.094 in, é relativamente grande. Se esta espessura for modificada para .051 in, os cálculos indicariam: a Fig. 5-54 com n = 11.5 e

cr = 0.287 x 39 = 11.2 ksi, que é o mesmo valor obtido fazendo-se = 1, ou seja, a flambagem se dá no regime elástico.

863.00.388.32

287.07.0

cr

287.03051.0

3991.012107004

)1(12

222

7.02

2

btEk

e

c

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Correção de Plasticidade – Tensão de CorteCorreção de Plasticidade – Tensão de CorteDouglas – Indicadas na Curvas

Boeing – Tensão de Escoamento

NASA - Tabela

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Fator de Redução para “Cladding”Fator de Redução para “Cladding”

crcr

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Comportamento de Placas Após a FlambagemComportamento de Placas Após a Flambagem

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Imperfeições IniciaisImperfeições Iniciais

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Largura Efetiva de ChapaLargura Efetiva de Chapa

b

xxe

b

exxee dybdyttbP00

1

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Largura Efetiva de ChapaLargura Efetiva de Chapa

Koiter – placas longas; grandes cargas após a flambagem – Ar/at = 0 apoio simples, engaste e restrição elástica

2.18.04.0

45.065.02.1e

cr

e

cr

e

cre bb

Marguerre– placas quadradas; grandes cargas após a flambagem – Ar/at = 0

2/1

81.019.0e

cre bb

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Largura Efetiva de ChapaLargura Efetiva de Chapa

Argyris & Dunne – Cargas relativamente pequenas (e/cr 3 ) placas longas simplesmente apoiadas

Ar

t

a

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Largura Efetiva de von KarmanLargura Efetiva de von Karman

2

2

2

112

btEk

e cr

k = 4, = 0.3, be = b

be

e

EtbbtE

b 90.1615.3

2

be

Etb 70.1Reforçadores leves

Boeing: = 1b

eEtb

70.1

Douglas: = (Et/E)1/2 b

te

Etb

90.1

be

e

EtbbtE

b 52.235.6

2

Bordas engastadas

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Largura Efetiva – Materiais DistintosLargura Efetiva – Materiais Distintos

Curva 1 = reforçador

Curva 2 = chapa

bs

se

EE

Etb

reforçador

chapa 90.1

reforçador materialreforçador

chapaee bb

Mesma deformação

reforçador

chapa

reforçador

chapa

s

s

EE

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Falha de PlacasFalha de Placas

cy

crecyeu bbtbP

com Von Karman

cy

cr

cy

cre bb

25.01Winter

cycycycyeu

Etb

EttbP

475.019.1 2k = 4

cycyu

EtP

29.1k = 4

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Falha de Placas – Método de GerardFalha de Placas – Método de Gerard

determinar a empíricas constantes , ,

r

bb

r

e

cre

rcreeee bb / 1/ r

crecr

Seja a tensão média de falhaf ncrcycrf n = r + 1

cyn

cr

n

cr

cy

cr

f

1

para cy

ncr

cr

f 11 para

Flambagem inelástica crf

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Falha de Placas – Método de GerardFalha de Placas – Método de Gerard

Tab. 5-5 Valores de e n para Falha de Placas.

Condição n

1. Teoria para placa simplesmente apoiada, com bordas descarregadas retas

0.78 0.80

2. Ensaios para placa simplesmente apoiada ou engastada, com bordas livres para empenar

0.80 0.58

3. Ensaios para placa de três painéis 0.80 0.65

4. Testes para flange simplesmente apoiado, com borda apoiada reta

0.81 0.80

5. Testes para flange simplesmente apoiado, com borda livre para empenar

0.68 0.58

crcycrf e correlacionados via ensaios

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Falha de Placas – Método de GerardFalha de Placas – Método de Gerard

n

cy

n

e

n

cy

e

n

cr

cy

cy

fn

cr

cy

cr

f

Ebtk

btEk

12211

2

2

12

2

2

1

112

112

m

cycy

f Ebt

21

nmkn

e

12112

1

2

2

e