Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

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Controle de Sistemas Mecânicos

Sistemas FluídicosSistemas Fluídicos

Sistema de nível de reservatório

Sistema de dois níveis independentes

Sistema de dois níveis dependentes

Sistema simplesSistema simples

Primeira ordem: controle de nível de líquido

em reservatório

Controle de nível de líquido em tanqueControle de nível de líquido em tanque

Pode-se notar:

o reservatório uma tubulação de

entrada do fluido

uma tubulação desaída

duas válvulas quecontrolam as duasvazões

três instrumentos para

medição das vazões eda pressão diferencialna base do reservatório

dois sinais de controle

Controle de nível Controle de nível

Parâmetro Valor Unidade Variável

Altura do tanque 4 m H

Nível máximo 3 m Hmax

Área da base 4*pi m2 A

Volume 37,68 m3 V

Curso das válvulas 0-25 mm d

Pressão 0-6 Bar pResistência 140 s/m2 R

Alguns

dadostécnicos

sistema

Representação em blocosRepresentação em blocos

Processo

Vazão de entrada - Vazão de saída

(m3 /s)

Nível do tanque

O sistema pode ser representado na forma

entradas - saídas

Funcionamento básicoFuncionamento básico

A variação do volume do líquido no reservatório é

a diferença entre as vazões de entrada e a desaída

Pode ser representada pela equação diferencial

ordinária de primeira ordem

t qt qdt

se−=

Vazão de saída e altura da colunaVazão de saída e altura da coluna

A vazão de saída depende diretamente da altura

da coluna do líquido, para uma dada posição daválvula de saída.

Adota-se então o coeficiente de resistência dado

na tabela para relacionar a altura da coluna e avazão de saída respectiva

)(1)( t h R

t q s = )(1)( t h R

t q s =

Escoamento laminar Escoamento laminar Escoamento turbulentoEscoamento turbulento

Equação diferencial respectivaEquação diferencial respectiva

Considerando escoamento laminar na

restrição de saída e o volume como

)()()(

t qt qdt

t dV se −= )(

1)( t h

Rt q s =)()( t Aht V =

t dh A e −=

)()()(

t Rqt hdt

t dh RA e=+

Mudança de variável Mudança de variável

Introduzindo as variáveis de perturbação

Substituindo na equação diferencial temos

eee qqq

)(ˆ)()(ˆ)()(ˆ

t q Rt q Rt ht hdt

t hd RA ee +=++

E.D. em torno do equilíbrioE.D. em torno do equilíbrio

No regime estacionário temos

Portanto

Logo a E.D. em torno do equilíbrio fica

)()( t q Rt h e=

)(ˆ)()(ˆ)()(ˆ

t q Rt q Rt ht hdt

t hd RA ee +=++

)(ˆ)(ˆ)(ˆ

t q Rt hdt

t hd RA e=+

FTO para a planta em questãoFTO para a planta em questão

)(ˆ140)(ˆ)(ˆ

1759 t qt hdt

t hd e=+

Usando os dados da tabela encontram-se

e portanto

ou ainda

1401759*4*140 === Re pi RA

)(ˆ)(ˆ)(ˆ

t q Rt h

t hd RA e=+

)(ˆ11759

140)(ˆ t q

pt h e

Generalizando a E.D. do SPOGeneralizando a E.D. do SPO

Equação diferencial ordinária de primeira

ordem genérica

onde τ é chamado de constante de tempo e K 0

de ganho estático

)(ˆ)(ˆ)(ˆ

t q Rt h

t hd RA e=+

R K =0 RA=τ )()(

)(0 t u K t y

t dy=+τ

Parâmetros SPOParâmetros SPO

A constante de tempo τ está associada à

velocidade com que o sistema responde• menor constante de tempo o sistema é mais rápido

• maior constante de tempo o sistema é mais lento

• maior constante de tempo, mais tempo para atingir oregime permanente.

O ganho estático K 0 está diretamente associado a

resposta estática equivalente para uma entrada

unitária

Raiz do PC de um SPORaiz do PC de um SPO

Dado o SPO na forma padronizada

O PC da equação geral de um SPO

A raiz do PC pode ser encontrada facilmente através da

equação algébrica

1)( += p p PC τ

01 =+ pτ τ

)()()(0 t u K t y

t dy=+τ

Raiz real

Posição geométrica da raiz Posição geométrica da raiz

Diagrama de blocos de SPODiagrama de blocos de SPO

Isolando o termo de maior ordem temos

)()()(

0 t u K t ydt

t dy=+τ )(

1)()( 0 t yt u

τ τ −=&

)(t y&

∫ )(t u

Sistema simplesSistema simples

Primeira ordem: controle de nível de líquido

em reservatório com escoamento turbulento

Equação diferencial respectivaEquação diferencial respectiva

Considerando escoamento laminar na

restrição de saída e o volume como

)()()(

t qt qdt

t dV se −= )(

1)( t h

Rt q s =)()( t Aht V =

t dh A e −=

)()()(

t Rqt hdt

t dh RA e=+

Expandindo em serie de Taylor Expandindo em serie de Taylor

Linearizando o termo não linear da E.D. temos

Substituindo na equação temos

))()(()(2

1)()( t ht h

t ht ht h −+=

)())()(()(2

)(t Rqt ht ht ht hdt

RA e=−++

Mudança de variável Mudança de variável

Introduzindo as variáveis de perturbação

Substituindo na equação já linearizada temos

eee qqq

)(ˆ)()(ˆ)(2

t q Rt q Rt ht h

t hd RA ee +=++

E.D. em torno do equilíbrioE.D. em torno do equilíbrio

No regime estacionário temos

Portanto

Logo a E.D. em torno do equilíbrio fica

)()( t q Rt h e=

)(ˆ)()(ˆ)(2

)(ˆt q Rt q Rt h

t ht h

t hd RA ee +=++

)(ˆ)(ˆ)(2

1)(ˆt q Rt h

t hd RA e=+

Dois tanques independentesDois tanques independentes

Considerar a planta abaixo, onde o nível do segundo

tanque não interfere com a vazão do primeiro

Diagrama de blocosDiagrama de blocos

Nível 2

Vazão de

entrada

Nível 1

y2(t)y

Podem ser considerados dois blocos em cascata

)()()( 1011

1 1t u K t y

dt t dy =+τ )()()( 202

t u K t ydt

t dy =+τ

)()()(

tanqueumdenívelE.D.

t Rqt hdt

t dh RA e=+

)(1 t y

)(2 t y

)(1 t u )(2 t u

Função de transferência global Função de transferência global

)()1)((

022 t u

K t y+++

=τ τ τ τ

Encontra-se facilmente e EDG correspondente

)1)(1(1

e τ τ τ τ

)()()(

21 t u K t ydt

t yd =+++ τ τ τ τ

Dois tanques interligadosDois tanques interligados

)()(4)( t d t ut y −=

Os dois tanques abaixo não são independentes

Modelagem matemáticaModelagem matemática

)(1 21

1 hh R A

e −−=⇒

Podem-se escrever as seguintes equações:

• Tanque 1:

Modelagem matemáticaModelagem matemática

222 1)(

hh R Adt

qqdt dh A

−−=⇒

Podem-se escrever as seguintes equações:

• Tanque 2:

Diagrama de blocosDiagrama de blocos

)(1 t y∫

)(2 t y∫

R A R A

Observe o acoplamento entre os dois níveis

Equação diferencial de 2 Equação diferencial de 2 aa ordemordem

Pode-se mostrar que a FTO e a EDG de 2 a

ordem respectivas são

1)()()(

212211

p R A R A R A p R A R A

)()()(

)( 1222

21 t u Rt y

t dy R A

t yd =++++ τ τ τ τ

Notar a similaridade com a EDG anterior

ExercícioExercício

Encontrar a função de transferência

operacional dos dois tanques interligados,saída h2 e entrada q e

Função de transferênciaFunção de transferência

Aplicar operador p para obter FT h2/qe

)(1121

1 hh R A

dhe −−=

)(11 21

1 hhq A

ph e −−= τ

111hq Ah p e

τ τ +=

1 111 hq A

τ τ τ +=

ContinuaçãoContinuação

dh−−=

1hhh ph

τ τ −−=

111hh p

τ τ τ =

111hh p

τ τ τ =

1 111hq

1111 hq A p

h p eτ

τ τ τ τ

111111hq

τ τ τ

++ 21121

111111 hq A

p eτ τ τ

11111 hq A

h p p eτ τ

+++++ 2

1111hq

Ah p p p p e

τ τ τ

+++++2

21221221121

2121 11)(hq

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

+=+++++ 2

2121221221221121

11))(( hq

Ah p p e

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

+++++ 2

11111 hq

Ah p p p p e

τ τ τ

+=+++++ 2

21221221221121

2121 ))(( hq Ah p p eτ

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

+=+++++ 22

21221221221121

2121 ))(( hq A

h p p e τ τ τ

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

+=+++++ 22

21221221221121

22121 ))(( hq

Ah p p e τ

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

h p p1

2122121221121

2121 ))((τ τ

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ =++++

h p p121

21 )1)((τ

τ τ τ τ

τ τ τ τ =++++

h p p121

21 )1)((τ

τ τ τ τ

τ τ τ τ =++++

R A R A

eq Rh p R A p 222121

21 )1)(( =++++ τ τ τ τ

1)()()(

p R A p

e τ τ τ τ

Generalizando a E.D. do SSOGeneralizando a E.D. do SSO

Para um SSO, a EDG é

Fazendo uso do operador derivativo,

FTO e o PC

2)( a pa pa p PC ++=

)()()()(

2 t ubt yadt

t yd a =++

)()( 001

2 t ubt ya pa pa =++

a pa pa

t y FTO

Definindo os parâmetros padronizadosDefinindo os parâmetros padronizados

Parâmetros padronizados

Freqüência natural não amortecidaFreqüência natural não amortecida

Fator de amortecimentoFator de amortecimento

Ganho estáticoGanho estático

nζω τ

1= Constante de tempoConstante de tempo

ED e FTO padronizada do SSOED e FTO padronizada do SSO

Substituindo os parâmetros na EDG

temos a equação diferencial padronizada (EDP) SSO

e a FTO

an =ω

2 aaa=ζ

ab K =

)()()2( 20

22 t u K t y p p nnn ω ω ζω =++

)()()()(0012

2 t ubt yadt

t dyadt

t yd a =++

ω ζω

Raízes do PC de um SSORaízes do PC de um SSO

02 22 =++ nn p p ω ζω

O PC da equação geral de um SSO

As raízes do PC podem ser encontradas facilmente através da

equação algébrica

As duas raízes podem ser:

2)( nn p p p PC ω ζω ++=

122,1 −±−= ζ ω ζω α nn

–Reais diferentes –Reais iguais

–Um par complexo conjugado

Variação do fator de amortecimentoVariação do fator de amortecimento

ζ > 1: as raízes são reais simples

ζ = 1: raízes reais duplas

ζ < 1: raízes complexas conjugadas

122,1 −±−= ζ ω ζω α nn

nω α −=2,1

22,1 1 ζ ω ζω α −±−= nn j

Relações geométricas das raízesRelações geométricas das raízes

ζ = const . ℑ

ω ζ n 1 2−

−ζω n

ω σ λ i+=

cosα =ω n const = .

ω σ λ i−= 21 ζ ω −− n

ω ω ζ d n= −1 2

ζ α =)cos(

ReferênciaReferência

Tanques interligados

Ogata pg 79,100-101

Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

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