Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

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    06-Jul-2015
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Controle de Sistemas MecnicosSistemas FludicosSistemas Fludicos, Sistema de nvel de reservatrio, Sistema de dois nveis independentes, Sistema de dois nveis dependentesControle de Sistemas MecnicosSistema simplesSistema simplesqsqepu(t)d(t), Primeira ordem: controle de nvel de lquido em reservatrioControle de Sistemas MecnicosControle de nvel de lquido em tanqueControle de nvel de lquido em tanquePode-se notar: , o reservatrio, uma tubulao de entrada do fluido, uma tubulao de sada, duas vlvulas que controlam as duas vazes, trs instrumentos para medio das vazes e da presso diferencial na base do reservatrio, dois sinais de controleqsqepu(t)d(t)Controle de Sistemas MecnicosControle de nvelControle de nvel ParmetroValorUnidadeVarivel Altura do tanque4mH Nvel mximo3mHmax rea da base4*pim2 A Volume37,68m3 V Curso das vlvulas0-25mmd Presso0-6Barp Resistncia140s/m2 R , Alguns dados tcnicos do sistemaControle de Sistemas MecnicosRepresentao em blocosRepresentao em blocosProcessoVazo de entrada - Vazo de sada (m3/s)Nvel do tanque(m), O sistema pode ser representado na forma entradas - sadasControle de Sistemas MecnicosFuncionamento bsicoFuncionamento bsico, A variao do volume do lquido no reservatrio a diferena entre as vazes de entrada e a de sada, Pode ser representada pela equao diferencial ordinria de primeira ordem) ( ) () (t q t qdtt dVs e =Controle de Sistemas MecnicosVazo de sada e altura da colunaVazo de sada e altura da coluna, A vazo de sada depende diretamente da altura da coluna do lquido, para uma dada posio da vlvula de sada. , Adota-se ento o coeficiente de resistncia dado na tabela para relacionar a altura da coluna e a vazo de sada respectiva) (1) ( t hRt qs= ) (1) ( t hRt qs=Escoamento laminarEscoamento laminarEscoamento turbulentoEscoamento turbulentoControle de Sistemas MecnicosEquao diferencial respectivaEquao diferencial respectiva, Considerando escoamento laminar na restrio de sada e o volume como) ( ) () (t q t qdtt dVs e =) (1) ( t hRt qs=) ( ) ( t Ah t V =) (1) () (t hRt qdtt dhAe =) ( ) () (t Rq t hdtt dhRAe= +Controle de Sistemas MecnicosMudana de varivelMudana de varivel, Introduzindo as variveis de perturbao, Substituindo na equao diferencial temose e eq q qh h h+ =+ =) () ( ) () () (t q R t q R t h t hdtt h dRAe e+ = + +Controle de Sistemas MecnicosE.D. em torno do equilbrioE.D. em torno do equilbrio, No regime estacionrio temos, Portanto, Logo a E.D. em torno do equilbrio fica) ( ) ( t q R t he=) () ( ) () () (t q R t q R t h t hdtt h dRAe e+ = + +e eq qh h==) () () (t q R t hdtt h dRAe= +Controle de Sistemas MecnicosFTO para a planta em questoFTO para a planta em questo) (140 ) () (1759 t q t hdtt h de= +, Usando os dados da tabela encontram-se, e portanto, ou ainda140 1759 * 4 * 140 = = = R e pi RA) () () (t q R t hdtt h dRAe= +) (1 1759140) (t qpt he+=Controle de Sistemas MecnicosGeneralizando a E.D. do SPOGeneralizando a E.D. do SPO, Equao diferencial ordinria de primeira ordem genricaonde chamado de constante de tempo e K0de ganho esttico) () () (t q R t hdtt h dRAe= +R K =0RA = ) ( ) () (0t u K t ydtt dy= + Controle de Sistemas MecnicosParmetros SPOParmetros SPO, A constante de tempo est associada velocidade com que o sistema responde menor constante de tempo o sistema mais rpido maior constante de tempo o sistema mais lento maior constante de tempo, mais tempo para atingir o regime permanente. , O ganho esttico K0est diretamente associado a resposta esttica equivalente para uma entrada unitriaControle de Sistemas MecnicosRaiz do PC de um SPORaiz do PC de um SPO, Dado o SPO na forma padronizada, O PC da equao geral de um SPO, A raiz do PC pode ser encontrada facilmente atravs da equao algbrica1 ) ( + = p p PC 0 1 = + p 1 =) ( ) () (0t u K t ydtt dy= + Raiz realControle de Sistemas MecnicosPosio geomtrica da raizPosio geomtrica da raiz1Controle de Sistemas MecnicosDiagrama de blocos de SPODiagrama de blocos de SPO, Isolando o termo de maior ordem temos) ( ) () (0t u K t ydtt dy= + ) (1) ( ) (0t y t uKt y =&) (t y&-) (t y) (t u0K1Controle de Sistemas MecnicosSistema simplesSistema simplesqsqepu(t)d(t), Primeira ordem: controle de nvel de lquido em reservatrio com escoamento turbulentoControle de Sistemas MecnicosEquao diferencial respectivaEquao diferencial respectiva, Considerando escoamento laminar na restrio de sada e o volume como) ( ) () (t q t qdtt dVs e =) (1) ( t hRt qs=) ( ) ( t Ah t V =) (1) () (t hRt qdtt dhAe =) ( ) () (t Rq t hdtt dhRAe= +Controle de Sistemas MecnicosExpandindo em serie de TaylorExpandindo em serie de Taylor, Linearizando o termo no linear da E.D. temos, Substituindo na equao temos)) ( ) ( () ( 21) ( ) ( t h t ht ht h t h + =) ( )) ( ) ( () ( 21) () (t Rq t h t ht ht hdtt dhRAe= + +Controle de Sistemas MecnicosMudana de varivelMudana de varivel, Introduzindo as variveis de perturbao, Substituindo na equao j linearizada temose e eq q qh h h+ =+ =) () ( ) () ( 21) () (t q R t q R t ht ht hdtt h dRAe e+ = + +Controle de Sistemas MecnicosE.D. em torno do equilbrioE.D. em torno do equilbrio, No regime estacionrio temos, Portanto, Logo a E.D. em torno do equilbrio fica) ( ) ( t q R t he=) () ( ) () ( 21) () (t q R t q R t ht ht hdtt h dRAe e+ = + +e eq qh h==) () () ( 21 ) (t q R t ht hdtt h dRAe= +Controle de Sistemas MecnicosDois tanques independentesDois tanques independentesq2qep1u(t)d1(t)qsp2d2(t), Considerar a planta abaixo, onde o nvel do segundo tanque no interfere com a vazo do primeiroControle de Sistemas MecnicosDiagrama de blocosDiagrama de blocosNvel 2P1qe(t)Vazo deentradaP2Nvel 1y2(t)y1(t), Podem ser considerados dois blocos em cascata) ( ) () (1 0 1111t u K t ydtt dy= + ) ( ) () (2 0 2222t u K t ydtt dy= + ) ( ) () (tanque um de nvel E.D.t Rq t hdtt dhRAe= +-) (1 t y) (t u101K11-) (2 t y202K21011K) (1 t u) (2 t uControle de Sistemas MecnicosFuno de transferncia globalFuno de transferncia global) () 1 ) ( () (12 122 1022t up pKt y+ + += , Encontra-se facilmente e EDG correspondente) 1 )( 1 ( 111 ) ( ) () () (2 10220201 101 212+ +=+ += =p pKpKK pKt qt ht ut ye ) ( ) () () () (1 02 222 12222 1t u K t ydt t dydtt y d= + + + Controle de Sistemas MecnicosDois tanques interligadosDois tanques interligados) ( ) ( 4 ) ( t d t u t y =q2qep1u(t)d1(t)qsd2(t)p22h1h, Os dois tanques abaixo no so independentesControle de Sistemas MecnicosModelagem matemticaModelagem matemtica) (1 1) (12 11 1 112 112211h hR AqA dtdhh hRqq qdtdhAee = )` = =, Podem-se escrever as seguintes equaes: Tanque 1:Controle de Sistemas MecnicosModelagem matemticaModelagem matemtica22 22 11 22222221) (11hR Ah hR A dtdhhRqq qdtdhAss = )`= =, Podem-se escrever as seguintes equaes: Tanque 2:Controle de Sistemas MecnicosDiagrama de blocosDiagrama de blocos-) (1 t y) (t u11A1 11R A-) (2 t y1 21R A2 2 1 21 1R A R A+1 11R A, Observe o acoplamento entre os dois nveisControle de Sistemas MecnicosEquao diferencial de 2Equao diferencial de 2a aordemordem, Pode-se mostrar que a FTO e a EDG de 2aordem respectivas so1 ) ( ) ( ) () (2 1 2 2 1 122 2 1 1212+ + + +=p R A R A R A p R A R ARt ut y) ( ) () () () () (1 2 222 1 2 12222 1t u R t ydt t dyR Adtt y d= + + + + Notar a similaridade com a EDG anteriorControle de Sistemas MecnicosExerccioExerccio, Encontrar a funo de transferncia operacional dos dois tanques interligados, sada h2e entrada qeControle de Sistemas MecnicosFuno de transfernciaFuno de transferncia, Aplicar operador p para obter FT h2/qe) (1 12 11 1 11h hR AqA dtdhe =1 2 212 2 21 1 1R AR AR A===) (1 12 11 11h h qAphe =21 1111 1 1h qAh pe + =||.|

\|+21 11111 1 1h qAhpe + =||.|

\|+Controle de Sistemas MecnicosContinuaoContinuao22 22 11 221) (1hR Ah hR A dtdh =222 12121) (1h h h ph =12122 211 1 1h h p =||.|

\|+ +1 2 212 2 21 1 1R AR AR A===Controle de Sistemas MecnicosContinuaoContinuao12122 211 1 1h h p =||.|

\|+ +21 11111 1 1h qAhpe + =||.|

\|+||.|

\|+||.|

\|+=||.|

\|+ +21 1112122 211 111 1 1 1h qAph pe ||.|

\|+ =||.|

\|+||.|

\|+ +21 1 212112 211 1 1 1 1 1h qAhppe Controle de Sistemas MecnicosContinuaoContinuao||.|

\|+ =||.|

\|+||.|

\|+ +21 1 212112 211 1 1 1 1 1h qAhppe ( )||.|

\|+ = +||.|

\|+ +21 1 2112 12 211 111 1h qAh p pe ||.|

\|+ =||.|

\|+ + + + +21 1 21122 21 21211211 1 1 1h qAh p p p pe Controle de Sistemas MecnicosContinuaoContinuao||.|

\|+ =||.|

\|+ + + + +21 1 211221 221 2 21 2 21 1 2 1221 2 11 1 ) (h qAhp pe ||.|

\|+ = + + + + +21 1 2121 2 12 21 2 21 2 21 1 2 1221 2 11 1) ) ( ( h qAh p pe ||.|

\|+ =||.|

\|+ + + + +21 1 21122 21 21211211 1 1 1h qAh p p p pe ||.|

\|+ = + + + + +212 112 12 21 2 21 2 21 1 2 1221 2 1) ) ( ( h qAh p pe ||.|

\|+ = + + + + +2 212 12 21 2 21 2 21 1 2 1221 2 1) ) ( ( h qAh p pe Controle de Sistemas MecnicosContinuaoContinuao||.|

\|+ = + + + + +2 212 12 21 2 21 2 21 1 2 1221 2 1) ) ( ( h qAh p pe eqAh p p12 12 21 21 2 21 1 2 1221 2 1) ) ( ( = + + + +eqAh p p1 212 12 2 1212 122 1) 1 ) ( ( = + + + +Controle de Sistemas MecnicosContinuaoContinuaoeqAh p p1 212 12 2 1212 122 1) 1 ) ( ( = + + + +1 2 212 2 21 1 1R AR AR A===eq R h p R A p2 2 2 1 2 122 1) 1 ) ( ( = + + + + 1 ) ( ) ( ) ( ) (2 1 2 122 12 2+ + + +=p R A pRt qt he Controle de Sistemas MecnicosGeneralizando a E.D. do SSOGeneralizando a E.D. do SSO, Para um SSO, a EDG , Fazendo uso do operador derivativo, , FTO e o PC 0 122) ( a p a p a p PC + + =) ( ) () ( ) (0 0 1222t u b t y adtt dyadt t y da = + +( ) ) ( ) (0 0 122t u b t y a p a p a = + +( )0 1220) ( ) (a p a p abt u t yFTO+ += =Controle de Sistemas MecnicosDefinindo os parmetros padronizadosDefinindo os parmetros padronizados, Parmetros padronizados20aan= 2 012 a aa= 000abK =Freqncia natural no amortecidaFreqncia natural no amortecidaFator de amortecimentoFator de amortecimentoGanho estticoGanho estticon1=Constante de tempoConstante de tempoControle de Sistemas MecnicosED e FTO padronizada do SSOED e FTO padronizada do SSO, Substituindo os parmetros na EDG, temos a equao diferencial padronizada (EDP) SSO, e a FTO20aan = 2 012 a aa= 000abK =) ( ) ( ) 2 (202 2t u K t y p pn n n = + +) ( ) () ( ) (0 0 1222t u b t y adtt dyadt t y da = + +) 2 () (2 220n nnp pKp P + +=Controle de Sistemas MecnicosRazes do PC de um SSORazes do PC de um SSO0 22 2= + +n n p p , O PC da equao geral de um SSO, As razes do PC podem ser encontradas facilmente atravs da equao algbrica, As duas razes podem ser:2 22 ) (n n p p p PC + + =122 , 1 = n nReais diferentesReais iguais Um par complexo conjugadoControle de Sistemas MecnicosVariao do fator de amortecimentoVariao do fator de amortecimento, > 1: as razes so reais simples, = 1: razes reais duplas, < 1: razes complexas conjugadas122 , 1 = n n122 , 1 = n nn =2 , 122 , 11 =n njControle de Sistemas MecnicosRelaes geomtricas das razesRelaes geomtricas das razes = const . n12n i + =cos =nconst = .n i =21 n d n= 12 = ) cos(Controle de Sistemas MecnicosRefernciaReferncia, Tanques interligados, Ogata pg 79,100-101