Controle Da Qualidade-Apostila[UFPI]

8/19/2019 Controle Da Qualidade-Apostila[UFPI]

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ

APOSTILA DE

CONTROLE DA QUALIDADE

Prof. William Morán

LSC

LIC


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UFPI – CONTROLE DA QUALIDADE: Prof. William Morán 2


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Denomina-se “CEP em tempo real” (on-line) quando se obtêm dados do processo enquanto ele estasendo executado (principalmente os gráficos de controle). Aos experimentos planejados (Análise deRegressão, Análise de Regressão Múltipla, ANOVA, Comparações Múltiplas, teste de medidas individuais,etc) denominam-se “CEP Off-line”, já que eles são realizados fora do tempo de execução do processo.

Assim, o CEP visa basicamente detectar:

O aumento/diminuição dos produtos/serviços defeituosos. As tendências ou variações na fabricação/prestação de produtos/serviços que fiquem fora dospadrões estabelecidos.

Devido a que não existem dois produtos ou serviços exatamente iguais, inclusive quando os processosestiverem operando conforme o previsto, devido a que os processos usados para produzi-los contêm muitasfontes de variação. As fontes de variação basicamente são duas (Souza, 1998):

a) Fontes Usuais: As fontes usuais de variação representam àquelas causas puramente aleatórias, asquais se caracterizam por ser inevitáveis e não-identificáveis, isto é, elas só podem ser reduzidas pormeio de modificações no sistema. Exemplo: Em uma máquina que enche uma bolsa de batatasfritas, pode-se observar que apesar de que o peso e a quantidade de batatinhas por bolsa deveriam

ser iguais, nós sabemos que tanto o peso quanto o número de batatinhas são diferentes.b) Fontes Especiais ou Identificáveis: As fontes especiais representam padrões (grandes flutuações) queacontecem nos dados que não são inerentes a um processo, isto é, são aquelas causas passíveis decorreção sem modificar o sistema. Exemplo: Um trabalhador inexperiente comandando umamáquina.


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Diagramas de Ramo e Folhas:O Diagrama de Ramo e Folhas é especialmente utilizado quando o número de dados for

moderadamente alto. Ele fornece uma apresentação visual informativa de um conjunto de dados x 1, x2, .....,xn, em que cada número x i consiste em, no mínimo, dois dígitos. Para construir o diagrama de ramo e folhas,dividimos cada número xi em duas partes: um ramo, consistindo em um ou mais dígitos iniciais, e uma folha,consistindo nos dígitos restantes.

Exemplo: Para ilustrar a construção de um diagrama de ramo e folha, considere os seguintes 40 dadosdo rendimento semanal de uma fábrica de semicondutores:

Semana Rendimento Semana Rendimento Semana Rendimento Semana Rendimento1 48 11 59 21 68 31 752 53 12 54 22 65 32 853 49 13 47 23 73 33 814 52 14 49 24 88 34 775 51 15 45 25 69 35 826 52 16 64 26 83 36 767 63 17 79 27 78 37 75

8 60 18 65 28 81 38 919 53 19 62 29 86 39 7310 64 20 60 30 92 40 92

Segundo esses dados, o diagrama de ramo e folha ficaria da seguinte forma (observe que osvalores da variável rendimento são de dois dígitos):

Ramo Folha Freqüência4 8 9 7 9 5 55 3 2 1 2 3 9 4 76 3 0 4 4 5 2 0 8 5 9 107 9 3 8 5 7 6 5 3 8

8 8 3 1 6 5 1 2 79 2 1 2 3

O diagrama nos permite observar que a distribuição do rendimento tem uma formaaproximadamente simétrica, com um pico só (no ramo 6).

Uma variante do diagrama é o Diagrama de Ramo e Folha Ordenado, o qual apresenta as folhasordenadas pela sua magnitude, como mostrado abaixo:

Ramo Folha Freqüência Frequência Acumulada4 5 7 8 9 9 5 55 1 2 2 3 3 4 9 7 12

6 0 0 2 3 4 4 5 5 8 9 10 227 3 3 5 5 6 7 8 9 8 308 1 1 2 3 5 6 8 7 379 1 2 2 3 40

A variante permite fazer o cálculo dos percentis, dos quartis e da mediana, de forma simples.

Desde um ponto de vista prático, sabe-se que: S(p) = [ (n) (0,p) + (k/2) ]Onde:

“S(p)” indica a posição do termo da amostra ordenada que define o percentil procurado. “n” é o número de observações da amostra “p” é o percentil procurado

“k” é uma constante


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)p(Spordefinidoseirosinttermosdosmédiaàigualé)p(P,contráriocaso

)p(Spordefinidotermoaoigualé)p(Pentão,eirointnúmeroumé)p(SSe

onde:P(p) é o percentil procurado.

Assim, utilizando a fórmula indicada acima, o “percentil 10” é determinado pelo termo com a posição

(40) (0,10) + 0,5 = 4,5 (ponto médio entre o quarto e o quinto termo), ou seja: (49 + 49) / 2 = 49

O primeiro quartil (Q1) ou quartil inferior é o termo com a posição (0,25) (40) + 0,5 = 10,5 (ponto médioentre o décima e o décima primeiro termo), ou seja: (53 + 54) / 2 = 53,5.

O qüinquagésimo percentil equivale a falar segundo quartil ou ainda chamar de mediana é a observaçãocom a posição (0,50) (40) + 0,5 = 20,5 (ponto médio entre a vigésima e a vigésima primeira observação),ou seja: (65 + 68) / 2 = 66,5.

O terceiro quartil (Q3) ou quartil superior é a observação com a posição (0,75) (40) + 0,5 = 30,5 (pontomédio entre a trigésima e a trigésima primeira observação), ou seja: (79 + 81) / 2 = 80.

A Faixa Interquartil (ou Intervalo Interquartil) = IQR = Q3 – Q1 = 80 – 53,5 = 26,5

Problema: Se registraram nove medições da temperatura (em °F) de um forno para o processo de fabricaçãode uma peça metálica, obtendo-se os seguintes dados:

953 955 948951 957 949954 950 959

a) Calcule a média amostral e o desvio padrão amostralb) Determine a mediana amostral desses dados.

Problema: Foram registrados 30 dados sobre as taxas de octanagem de combustível para motor (leia porlinha), de várias misturas de gasolina:

88,5 87,7 83,4 86,7 87,5 94,7 91,1 91,0 94,2 87,884,3 86,7 88,2 90,8 88,3 90,1 93,4 88,5 90,1 89,289,0 96,1 93,3 91,8 92,3 88,9 92,3 89,8 89,6 87,4

Os mesmos dados ordenados de forma crescente seriam (leia por linha, de esquerda para direita):

83,4 84,3 86,7 86,7 87,4 87,5 87,7 87,8 88,2 88,388,5 88,5 88,9 89,0 89,2 89,6 89,8 90,1 90,1 90,8

91,0 91,1 91,8 92,3 92,3 93,3 93,4 94,2 94,7 96,1

a) Construa um diagrama de ramo e folha para esses dados.b) Que características importantes podem ser observadas nos dados.

Problema: Um fabricante de giz implantou um programa de qualidade para controlar a densidade da giz.Foram registrados os seguintes dados:

0,204 0,315 0,096 0,184 0,230 0,212 0,322 0,2870,145 0,211 0,053 0,145 0,272 0,351 0,159 0,2140,388 0,187 0,150 0,229 0,276 0,118 0,091 0,056

Sabe-se que o maior valor é 0,388 e o menor valor é 0,053.

a) Construa um diagrama de caixa (leia por linha).b) Comente sobre as informações fornecidas pelo diagrama.


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Problema: Foram registrados os tempos entre chegadas (em minutos) de peças, para uma estação detrabalho, como mostrado na tabela abaixo (leia por linha):

18 3 13 24 3 14 40 24 9 81 1 17 5 29 6 2 10 22 54

20 5 5 12 8 2 6 14 10 12

15 12 8 5 1 46 23 18 29 215 4 2 4 1 2 1 19 40 1

a. Construa um diagrama de ramo e folha ordenado (leia por linha). b. Determine o valor do percentil 60.c. Se a média amostral é 12,9 e o desvio padrão amostral é 12,4708, interprete as características dos

dados.


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Diagrama de Caixa (Diagrama de Caixa e Linha):O diagrama de pontos, o diagrama de ramo e folhas e o diagrama de freqüências fornecem

impressioneis visuais gerais acerca de um conjunto de dados, enquanto quantidades numéricas, tais como

x e S fornecem informação sobre somente uma característica dos dados. O Diagrama de Caixa (às vezeschamado de Diagrama de Caixa e Linha) é uma apresentação gráfica que descreve simultaneamente váriascaracterísticas importantes de um conjunto de dados, tais como centro, dispersão, desvio da simetria e

identificação das observações que estão surpreendentemente longe do seio dos dados (essas observações sãochamadas de ”outliers”).O diagrama de caixa apresenta três quartis, o mínimo e o máximo dos dados em uma caixa retangular,

podendo estar alinhados tanto vertical quanto horizontalmente. A caixa inclui a amplitude interquartil(IQR), com o canto esquerdo (ou inferior) no primeiro quartil (Q1), e o canto direito (ou superior) no terceiroquartil (Q3). Uma linha é desenhada, através da caixa, no segundo quartil, que é o percentil 50 ou a mediana(Q2 = x~ ). Uma linha (bigode) estende-se de cada extremidade da caixa. A linha inferior (bigode esquerdoou inferior) começa no primeiro quartil indo até o menor valor do conjunto de pontos dentro da faixa de 1,5interquartil (1,5 IQR) a partir do primeiro quartil. A linha superior (bigode direito ou superior) começa noterceiro quartil indo até o maior valor do conjunto de pontos dentro da faixa de 1,5 interquartil (1,5 IQR) doterceiro quartil. Dados mais afastados do que os bigodes são desenhados como pontos individuais. Umponto além do bigode, porém a menos de 3 amplitudes interquartis da extremidade da caixa, é chamado de

“outliers”. Um ponto a mais de 3 amplitudes interquartis da extremidade da caixa é chamado de “outliersextremo”. Geralmente os outliers são representados como círculos fechados e os outliers extremos sãorepresentados como círculos abertos. A descrição de um diagrama de caixa se mostra na seguinte figura:

Exemplo: Para os dados do exemplo anterior (dados da resistência à compressão de 80 corpos de provade liga de Alumínio-Lítio), determine o diagrama de caixa desses dados.Solução:Note que os dados não se aproximam da curva normal. Fazendo um diagrama de freqüências fica mais

claro de enxergar ou calculando o C(as). Classificando os dados de menor a maior, temos:

76 123 145 154 163 171 181 200

87 131 146 156 163 172 181 201

97 133 148 157 164 174 183 207

101 133 149 158 165 174 184 208

105 134 149 158 167 175 186 218

110 135 150 158 167 176 190 221

115 135 150 158 168 176 193 228

118 141 151 160 169 178 196 229

120 142 153 160 170 180 199 237121 143 154 160 171 180 199 245

Como (0,25) (80) + 0,5 = 20,5; para calcular Q1, temos que encontrar a média dos termos 20 e 21:

Bigode esquerdo:A linha se estende, a partir doprimeiro quartil, até o menor

ponto dado que esteja na faixade 1,5 interquartil Primeiro quartil

Segundo quartil

Terceiro quartil

OutliersOutliers:

Outlier extremo:

Bigode direito:A linha se estende, a partir do

terceiro quartil, até o maiorponto dado que esteja na faixa

de 1,5 interquartil

IQR1,5 IQR1,5 IQR 1,5 IQR 1,5 IQR

Ponto além do bigode, porém amenos de 3 amplitudes interquartis

da extremidade da caixa

Ponto a mais de 3amplitudes interquartis da

extremidade da caixa


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Q1 = (143 + 145) / 2 = 144Como (0,50) (80) + 0,5 = 40,5; para calcular Q2, temos que encontrar a média dos termos 40 e 41:

Q2 = (160 + 163) / 2 = 161,5Como (0,75) (80) + 0,5 = 60,5; para calcular Q3, temos que encontrar a média dos termos 60 e 61:

Q3 = (180 + 181) / 2 = 180,5O intervalo interquartil = IQR = Q3 – Q1 = 180,5 – 144 = 36,5

1,5 IQR = 54,75 e 3 IQR = 109,5Como Q1 – 1,5 IQR = 144 – 54,75 = 89,25; então o bigode da esquerda será: 97 ;Outlier (e) 1: 87; Outlier (e) 2: 76

Como Q3 + 1,5 IQR = 180,5 + 54,75 = 235,25; o bigode da direita será: 229;Outlier (d) 1: 237; Outlier (d) 2: 245

Não existem outliers extremos.

A curva formada pelos dados têm forma mesocúrtica, leptocúrtica ou platicúrtica?

(0,10) (80) + 0,5 = 8,5 , então, P(10) = (118 + 120) / 2 = 119(0,90) (80) + 0,5 = 72,5 , então, P(90) = (201 + 207) / 2 = 204

215,0)119204(2)1445,180(

)PP(2)QQ(C)10()90(

13 , então, curva leptocúrtica, curva de freqüência mais

fechada que a normal ou mais aguda ou afilada em sua parte superior.

O diagrama de caixa ficaria da seguinte forma:

Problema: Uma empresa utiliza duas máquinas diferentes para fabricar certo tipo de arruelas. Durante umturno só, se obteve uma amostra de n = 20 arruelas produzidas por cada máquina e se determinou o valordo diâmetro externo das arruelas. As especificações geralmente variam entre 100 5 mm. Analise osdiagramas de caixa de cada máquina e explique qual delas compraria. O diagrama de caixa comparativamostra-se abaixo:

Problema: Os seguintes são dados da sincronização de um dispositivo elétrico em milissegundos (leia porlinha de acima para abaixo):

195 204 195 211 204 200 196 201200 203 195 193 200 199 189 198

198 206 197 196 202 204 199 194

a) Calcule a média, mediana, desvio padrão amostral e a variância amostral.b) Construa um diagrama de caixa dos dados e comente sobre a informação nesse diagrama.

100 150 200 250

Resistência

85 95 105 115100

Máquina 1

Máquina 2


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c) Encontre os percentis 5% e 95% dos dados.d) O desvio dos dados é para a esquerda ou para a direita?


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Intervalo de classe (psi) Código do intervalo Freqüência Freq. Relativa Freq. Acumulada70 x < 90 1 2 0,0250 0,0250

90 x < 110 2 3 0,0375 0,0625110 x < 130 3 6 0,0750 0,1375130 x < 150 4 14 0,1750 0,3125

150 x < 170 5 22 0,2750 0,5875170 x < 190 6 17 0,2125 0,8000190 x < 210 7 10 0,1250 0,9250210 x < 230 8 4 0,0500 0,9750230 x < 250 9 2 0,0250 1,0000

O gráfico de distribuição de freqüências relativas seria:

24020016012080

30

25

20

15

10

5

0

Resistência à Compressão (psi)

F r e q u ê n c i a

r e l a t i v a

2,50

5,00

12,50

21,25

27,50

17,50

7,50

3,75

2,50

Distribuição de Frequências Relativas

O gráfico de barras da distribuição de freqüências acumuladas seria o seguinte:

24020016012080

100

80

60

40

20

0

Resitência à Compressão (psi)

F r e q u ê n c i a s A c u

m u l a d a s

100,0097,50

92,50

80,00

58,75

31,25

13,75

6,252,50

Distribuição de Frequências Acumuladas


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A DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Com certeza a Distribuição Normal é a distribuição mais importante tanto na teoria como na prática daestatística. Se x é uma variável aleatória normal, então a distribuição de probabilidade de x se define comosegue:

xondee2

1

)x(f

2x

2

1

A média da distribuição normal é (- < < ) e a variância é 2 > 0.

A utilização da distribuição normal é tão freqüente que muitas vezes se emprega uma notação especialx N(, 2), para denotar que x segue uma distribuição normal com média e variância 2. A forma dadistribuição normal é uma curva simétrica, unimodal, em forma de campana, a qual se mostra na figuraabaixo:

Há uma interpretação simples do desvio padrão de uma distribuição normal, a qual se mostra nafigura abaixo. Note que 68,26% dos valores da população se localizam entre os limites 1 , definidos pelamédia mais menos um desvio padrão ( 1). 95,46% dos valores da população se localizam entre os

limites 2, definidos pela média mais menos dois desvios padrão ( 2); já os limites 3 determinam99,73% dos valores da população e se localizam entre os limites definidos pela média mais menos trêsdesvios padrão ( 3).

A distribuição normal acumulada se define como a probabilidade de que a variável aleatória normal xseja menor ou igual que certo valor “a”, o qual em termos matemáticos significa:

dxe2

1)a(F}ax{P

2x

2

1a

Esta integral é fácil de integrar utilizando a seguinte mudança de variável:

x

z . Assim, ao fazer amudança de variável e resolver a integral teríamos:

Curva

),(N 2

f (x)

x

Área = 0,6826

Área = 0,9546

2 3 2 3

Área = 0,9973

Limites 1

Limites 2

Limites 3


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aazP}ax{P

Onde (.) é a distribuição acumulada da distribuição normal padrão (média = 0, variância = 1). À

mudança de variável

xz é comum de chamar-la de “ padronização”, já que converte uma variável

aleatória N (, 2) em uma variável aleatória N (0, 1).

Observação: Devido à simetria da curva normal sempre se cumprirá que P { x - a } = P { x a }

Exercício: A tensão do papel empregado para fazer as sacolas é uma característica importante de qualidade.Sabe-se que resistência tem uma distribuição normal com média = 40 lb/pol2 e variância 2 = 4 lb/pol2 (sedenota como x N (40, 4). O comprador das sacolas requer que elas tenham uma resistência de pelo menos35 lb/pol2. Qual é a probabilidade de que uma sacola feita com esse papel cumprirá com essa especificação?

Solução:Nota-se que a probabilidade de que uma sacola feita com esse papel cumpra com essa especificação éde:

P { x 35} = 1 - P { x 35}De forma gráfica, significa que devemos encontrar a área sombreada para o gráfico mostrado abaixo.Para padronizar a variável resistência devemos fazer z = (35 – 40)/2 = - 2,5. O sinal negativo davariável padronizada z, significa que o valor de z se encontra à esquerda da média = 0. O gráfico dadireita é o gráfico padronizado da variável resistência.

Nota-se que a probabilidade de que a variável resistência tenha uma resistência de pelo menos 35lb/pol2, equivale a dizer que a probabilidade seja a 35 ou ainda, que após de padronizada, equivale adizer que a probabilidade seja - 2,5, então da “tabela da normal” (a tabela se encontra no final daapostila):

P { x 35} = P { 35 x 40 } + P { x > 40}= P { – 2,5 z 0 } + P { 0 z }= 0,4938 + 0,5= 0,9938 = 99,38%

Com a “tabela da normal acumulada” o cálculo seria da seguinte forma (a tabela se encontra no final

da apostila): P { x 35} = 1 – P { x 35}= 1 – P { z – 2,5 }= 1 – (1 – 0,9938)= 0,9938 = 99,38%

Exercício: Supondo uma variável x N (10, 9), determine o valor de “a”, tal que P{ x > a } = 0,05. Solução:Nesse caso, teremos que fazer o caminho inverso do exercício anterior, assim:

45,03

10azPou05,0

3

10azP}ax{P

Da tabela, temos que z = 1,645. Portanto, 935,14aentão;645,13

10a


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Exercício: Suponha que X é uma variável aleatória distribuída de acordo com a distribuição normal N(3, 28).Um gerente de vendas deseja saber: (a) P(0 < X < 8); (b) P(-5 < X < 1); (c) P ( 3 < X < 4); (d) P ( 4,5 < X < 6)

Solução (foi usada a tabela acumulada da curva normal):Aqui, teremos

a. P ( 0 < X < 8 ) =

28

38zP -

28

30zP

Da tabela: P (0


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Problema: Uma empresa que vende batatas fritas em pacotes vai a começar a controlar o peso (em gramas)por pacote de seu processo produtivo. Dez subgrupos (amostras) de tamanho 8 foram tiradas do processoregistrando os seguintes valores:

Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑

ix 10,04 10,19 9,93 10,22 10,10 9,984 10,024 10,15 10,20 10,38 101,218

Ri 1,03 0,46 0,49 0,64 0,34 0,63 0,66 0,35 0,50 0,27 5,37‘

Determine o valor de σ (lembre que2d

Rˆ )

Exercício: De um processo de produção de anéis para pistões, onde se controla o diâmetro interno (em mm),se obtiveram os seguintes dados:

Observações ix Si

A m o s t r a s

1 74,000 73,984 74,005 73,998 73,996 73,9966 0,007802 74,006 74,010 74,018 74,005 74,000 74,0078 0,00672

3 73,984 74,002 74,003 74,003 73,997 73,9978 0,008114 74,000 74,010 74,013 74,005 74,003 74,0062 0,005265 74,004 73,999 73,990 74,005 74,009 74,0014 0,007306 74,010 73,989 73,990 74,009 74,014 74,0024 0,011937 74,015 74,008 73,993 74,000 74,010 74,0052 0,008708 73,982 73,984 73,995 74,017 74,013 73,9982 0,01618

592,0156 0,071997Média

Determine o valor de σ (lembre que

4

c

Sˆ )


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A DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL

A discussão da distribuição de Poisson definiu uma variável aleatória como o número de falhas aolongo do que poderia ser o comprimento (no caso da distribuição de Poisson também pode ser a área ouainda o volume) de algum objeto. A distância entre as falhas é outra variável aleatória que é frequentementede interesse, sendo essa basicamente a definição da distribuição exponencial (Montgomery e Rutger, 1999).

Em geral, se diz que X tem uma distribuição exponencial com parâmetro ( > 0) se a função dedensidade de probabilidade de X é (Devore, 2008):

contráriocaso0

0xparae);x(f

x

Alguns livros escrevem a fdp exponencial na forma /xe/1 , de forma que = 1/.

O valor esperado de uma va X exponencialmente distribuída é:

0x

dxex)x(E

Para obter o valor esperado se requer integrar por partes. A variância se calcula usando o fato de queV(X) = E(X2) – [ E(X) ]2. O cálculo de E(X2) requer integrar por partes, duas vezes. Os cálculos dão comoresultado:

2

2 11

É importante ressaltar que é o recíproco da média, e á variância é igual à média elevada ao quadrado.Algumas curvas de densidade exponencial para valores diferentes de mostram-se abaixo:

A fdp exponencial é fácil de integrar para obter a função de densidade acumulativa F(X):

0xparae1

0xpara0e)xX(P);x(F

x

x

0

x

Devore (2008) menciona que uma aplicação importante da distribuição exponencial é modelar adistribuição da duração de um componente. O fato de que a distribuição exponencial seja a únicadistribuição contínua a ter a propriedade de “falta de memória” dá a ela uma grande popularidade. A faltade memória consiste do seguinte: Suponha que a duração de um componente seja exponencialmente

x

f (x)

2

1

0,5

0

= 2

= 0,5

= 1

Curvas de densidade exponencial


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distribuído com parâmetro ( > 0), Depois de pôr o componente em serviço, se deixa que passe umperíodo de t0 horas e depois se vê se o componente segue trabalhando. Qual seria agora a probabilidade deque dure pelo menos “t” horas a mais?. Em símbolos matemáticos é uma probabilidade condicional, daseguinte forma:

P(X t0 + t | X t0).

Por definição da probabilidade condicional, teremos:

)tX(P

])tX()ttX([P)tX|ttX(P

0

0000

Mas o evento X t0 no numerador é redundante, pois ambos eventos podem ocorrer se e somente se X t0 + t, portanto:

t

t

tt

t

)tt(

0

0

0

000 e

e

ee

e

e

);t(F1

);tt(F1

)tX(P

)ttX(P)tX|ttX(P

0

0

0

0

Essa probabilidade condicional é idêntica à probabilidade original P(X t), ou seja, a probabilidade deque o componente dure “t” horas. Portanto, a distribuição da duração adicional é exatamente a mesma quea distribuição original da duração, isso implica que em cada ponto do tempo o componente não mostranenhum efeito de desgaste.

Embora a propriedade de falta de memória se justifica pelo menos em forma aproximada em muitosproblemas reais, em outras situações os componentes se deterioram com o tempo, ou às vezes melhoramcom ele (até certo ponto). As distribuições Gama, Weibull e Lognormal proporcionam modelos maispróximos da realidade do que a distribuição Exponencial (Devore, 2008).

Problema: Suponha que o tempo de resposta X em um servidor de computador em linha (o tempotranscorrido entre o final da consulta de um usuário e o início da resposta do sistema a àquela consulta) temuma distribuição exponencial com tempo de resposta esperado de 5 segundos.

a)

Determine a probabilidade de que o tempo de resposta seja quando muito 10 segundos.b) Determine a probabilidade de que o tempo de resposta fique entre 5 e 10 segundos.Solução:a) Note que o tempo de resposta esperado se refere ao valor esperado E(X) [ u.t./u ], que é o recíprocoda média de eventos por unidade de tempo [ u /u.t. ], ou seja, o recíproco de .

Como E(X) = 5 = 1/, então = 0,2P(X 10) = F(10; 0,2) = 1 – e – (0,2) (10) = 1 – e -2 = 1 – 0,135 = 0,865

b) P(5 X 10) = F(10; 0,2) – F(5; 0,2) = (1 - e -2 ) – (1 - e -1 ) = 0,233

Problema: Suponha que se recebem chamadas durante 24 horas em uma linha de emergência para prevençãode suicídios, de acordo com um processo de Poisson com = 0,5 chamadas por dia.

a) Determine a probabilidade de que transcorram mais de 2 dias entre chamadas.

b)

Determine o tempo esperado entre chamadas sucessivas.Solução:a) P(X > 2) = 1 – P(X 2) = 1 – F(2; 0,5) = 1 – (1 - e – (0,5) (2) ) = 0,368b) E(X) = 1/ = 1/0,5 = 2 dias

Problema: Em uma grande rede corporativa de computadores, as conexões dos usuários as sistema podemser modeladas como um processo de Poisson, com uma média de 25 conexões por hora.

a) Qual é a probabilidade de não haver conexões em um intervalo de 6 minutos?b) Qual é a probabilidade de que o tempo até a próxima conexão esteja entre 2 e 3 minutos?c) Determine o intervalo de tempo tal que a probabilidade de nenhuma conexão ocorrer no intervalo

seja 0,90, o valor esperado e o desvio padrão até a próxima conexão.Solução:

a)

Faça X denotar o tempo, em horas, do início do intervalo até a primeira conexão. = 25 conexões por horaPede-se P(X > 6 min) = P(X > 0,1 horas), note que as probabilidades devem estar nas mesmasunidades daquelas encontradas em .


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P(X > 0,1) =

1,0

x25 dxe25 = e – (25) (0,1) = 0,082

Note que se usarmos = 25/60 conexões/min = 25 conexões/hr deveríamos calcular P(X > 6min), confira esse cálculo, deve dar 0,082.Note também que P(X > 0,1) = 1 – P(X 1)

b) P(0,033 < X < 0,05) = 152,0edxe2505,0

033,0

x2505,0

033,0

x25

c) Pede-se P(X > x) = 0,90P(X > x) = e -25 x = 0,90, tomando logaritmos naturais a ambos os lados:ln e -25 x = ln 0,90, então – 25 x = ln 0,90, portanto, x = – ln 0,90/25x = 0,00421 hora = 0,25 minutoO tempo médio (valor esperado) até a próxima conexão é = 1/25 = 0,04 hora = 2,4 minO desvio padrão até a próxima conexão é = 1/25 hora = 2,4 min

Problema: A ampla experiência na fabricação de ventiladores utilizados em motores diesel há sugerido que adistribuição exponencial é um bom modelo do tempo até falhar o ventilador. Suponha que o tempo médioaté a falha é de 25.000 horas. Qual é a probabilidade de que:

a) Um ventilador selecionado aleatoriamente dure pelo menos 20.000 horas? Quando muito 30.000

horas? Entre 20.000 e 30.000 horas?b) Exceda a duração média de um ventilador por mais de 2 desvios padrões? Por mais de três

desvios padrões?Respostas: a) P(X > 20.000) = 0,440; P(X 30.000) = 0,699; P(20.000 X 30.000) = 0,148

b) P(X > + 2) = 0,05; P(X > + 3) = 0,018

Problema: O tempo entre as chegadas de táxis a um cruzamento movimentado é distribuídoexponencialmente, com uma média de 10 minutos.

a) Qual é a probabilidade de você esperar mais de uma hora por um táxi?b) Supondo que você já estivesse esperando uma hora por um táxi, qual será a probabilidade de que

um táxi chegue dentro dos próximos 10 minutos?c) Determine x tal que a probabilidade de você esperar mais de x minutos seja 0,10.

d)

Determine x tal que a probabilidade de você esperar menos de x minutos seja 0,90.e) Determine x tal que a probabilidade de você esperar mais de x minutos seja 0,50

Respostas: c) 23,03% d) 23,03% e) 6,93%


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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Segundo Montgomery e Runger (1999), um experimento aleatório, consistindo de n repetidas tentativas,de modo que:

a) as tentativas sejam independentes,

b)

cada tentativa resulte em somente dois resultados possíveis, designados como “sucesso” e “ falha”, c) a probabilidade de um sucesso em cada tentativa, denotada por p, permaneça constante

é chamado de experimento binomial.

A va X, que é igual ao número de tentativas que resultam em um sucesso, tem uma distribuição binomial com parâmetros p e n = 1, 2, ....

Em geral, a notação usada para identificar uma distribuição binomial é a seguinte: Bin(n, p). Bin debinomial, n relacionado com o número de sucessos e p como a probabilidade de sucesso para uma tentativa.

A função de probabilidade de uma va binomial X é:

contráriocaso0

n......,,2,1,0xpara)p1(px

n

)x(f)p,n;x(bxnx

A letra “b” indica que é uma va binomial, a letra “x” indica que o número de sucessos, a letra “n”indica o número de tentativas e a letra “p” indica a probabilidade de obter um sucesso numa únicatentativa.

É bom ressaltar que geralmente (1 – p) se representa como q, ou seja, (1 – p) = q.

Na fórmula anterior se indica que

x

n é igual ao número total de sequências diferentes de tentativas

que contém x sucessos e (n – x) falhas. O número total de sequências diferentes de tentativas que contém xsucessos e (n – x) falhas vezes a probabilidades de cada sequência é igual a P(X = x).

Em geral a média µ de uma distribuição binomial e a variância 2 são iguais a:

µ = np e 2 = n p (1 – p) = n p q

A forma de uma distribuição binomial poderia ser a seguinte:

Para uma va X Bin (x, n, p), a função de distribuição acumulativa será denotada por:

n.....,,1,0xpara)p;n;y(b)p;n;x(B)xX(Px

0y

Problema: Calcule as seguintes probabilidades binomiais diretamente com a fórmula para b(x; n; p):

Binomial (p, n)

x

f (x)


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a) b(3; 8; 0,6) b) b(5; 8; 0,6)c) P(3 X 5), quando n = 7 e p = 0,6 d) P(1 X), quando n = 9 e p = 0,1Respostas:a) 0,124 b) 0,279 c) 0,635 d) 0,718

Problema: Use as tabelas da binomial para obter as seguintes probabilidades:

a) B(4; 10; 0,3) b) b(4; 10; 03)c) b(6; 10; 0,7) d) P(2 X 4), quando X Bin (10; 0,3)e) P(2 X), quando X Bin (10; 0,3) f) P(2 < X < 6), quando X Bin (10; 0,3)Respostas:a) 0,85 b) 0,20 c) 0,2 d) 0,701 e) 0,851 f) 0,57

Problema: Seis lotes de peças estão prontos para ser enviados a um fornecedor. O número de peçasdefeituosas em cada lote é:

Lote 1 2 3 4 5 6Número de peças com defeito 0 2 0 1 2 0

Um lote desses tem que ser selecionado aleatoriamente para ser enviado a um cliente em particular. SeX é o número de peças defeituosas no lote selecionado, determine:

a) A distribuição de probabilidade de Xb) A probabilidade de enviar um lote com 1 peça defeituosa

Respostas:a) p(0) = 0,5; p(1) = 0,167; p(2) = 0,333 b) 0,167

Problema: Uma companhia produz lâmpadas entre as quais 2% estão defeituosas.a) Se 50 lâmpadas forem selecionadas para teste, qual é a probabilidade de que exatamente duas

sejam defeituosas?

b)

Se o distribuidor recebe um lote de 1.000 lâmpadas, qual seria a média e a variância do númerode lâmpadas defeituosas?Respostas:a) 0,1859 b) 20 e 19,6


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DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA

As suposições que conduzem à distribuição hipergeométrica são as seguintes:

a) A população ou conjunto da qual se vai a tirar uma amostra se compõe de N indivíduos, objetos ouelementos (uma população finita).

b)

Cada individuo pode ser caracterizado como sucesso (S) ou falha (F) e há M sucessos na população.c)

Seleciona-se uma amostra de “n” indivíduos sem substituição de forma que cada subconjunto detamanho “n” é igualmente provável de ser selecionado.

Em geral, se X é o número de sucessos (S) numa amostra aleatória de tamanho “n” extraída de umapopulação composta de M sucessos e (N - M) falhas, então a distribuição de probabilidade de X sedenomina distribuição hipergeométrica, definida como:

n

N

xn

MN

x

M

)N;M;n;x(h)xX(P

com x sendo um inteiro que satisfaze máx (0, n – N + M) x mín (n, M).

A média e a variância da va hipergeométrica X cuja função de massa de probabilidade é h (x; n; M; N)são:

N

M1

N

Mn

1N

nN)X(V;

N

Mn)X(E

Observações:

1)

Note que o termo M/N é a proporção de sucessos na população. Se substituirmos M/N por “p” emE(X) e V(X) obtemos:

p1pn1N

nN)X(V;pn)X(E

2) Note que as médias das va binomiais e hipergeométricas são iguais. As variâncias diferem pelo fator (N– n)/(N – 1), chamado de fator de correção por população finita. Quando “n” é pequeno em relação à N,esse fator pode se escrever como (1 – n/M) (1 – 1/N).

3) Quando não se conhece o tamanho da população N, mas se conhece o valor de x (número de sucessos

na amostra) e “n” (tamanho da amostra), e se deseja estimar o valor de N, é possível usar a seguinteestimação:

x

nMN̂

Essa estimação é adequada devido a que é razoável igualar a proporção amostral observada de sucessos(x/n) à proporção populacional de sucessos (M/N).

Problema: Supondo uma maço de 52 cartas, determine:a) A probabilidade de que, em uma mão de 13 cartas, um jogador não tivesse nenhum as, rei, rainha ou

valete.b) Qual seria a probabilidade de que, em uma mão com 13 cartas, ele obtivesse os 4 ases.c) Qual seria a probabilidade de que, em uma mão com 13 cartas, ele obtivesse um ou mais ases.


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Solução:a) Numa mão de 13 cartas, são 4 cartas (as, rei, rainha e valete) que não devem sair, portanto, 16

cartas no total não devem sair:

%36,00036,0

1352

013

1652

0

16

p

b) Numa mão de 13 cartas, para que saiam os 4 ases teríamos:

%24,00024,0

13

52

413

452

4

4

p

c) Numa mão de 13 cartas, para que saiam um ou mais ases teríamos:

%62,696962,0

13

52

013

452

0

4

1p

Problema: Uma população ou lote contém 200 itens, com uma probabilidade de itens defeituosos igual à y %.Um plano de inspeção demanda uma amostra de 5 itens. O limite de resistência mínimo que um item podeter é de 70.000 psi. O gerente do Departamento de Pesquisas e Desenvolvimento deseja saber qual aprobabilidade de se aceitar essa população se:

a) y = 5%, sendo que nenhum item defeituoso poderá ser encontrado entre os cinco itens testados.b)

y = 10%, e nenhum item defeituoso poderá ser encontrado entre os cinco itens testados.c) y = 5%, e apenas um item defeituoso poderá ser encontrado entre os cinco itens testados.d) y = 5%, e um máximo de dois itens defeituosos poderão ser encontrados entre os cinco itens

testados.e) y = 5%, e um máximo de três itens defeituosos poderão ser encontrados entre os cinco itens

testados.

Solução:a) Nenhum item defeituoso é permitido entre os cinco itens testados. Como y = 5%, teremos um total

de 0,05 200 = 10 itens com o limite de resistência menor do que 70.000 psi, isso é, 10 itensdefeituosos entre os 200 itens da população. A probabilidade de se aceitar a população ou lote serádada por:

aceitarP =

5

200

05

190

0

10

=

!195!5

!200

!185!5

!190

!10!0

!10

=196197198199200

186187188189190

=

11

11

1004278,3

103481606,2

aceitarP = 0,7717155 ou 77,17155%

b) Nenhum item defeituoso é permitido entre os cinco itens testados. Aqui, y = 10%, e desse modoteremos 0,10 200 = 20 itens defeituosos entre os 200 itens da população. A probabilidade de se

aceitar a população será dada por:


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aceitarP =

5

200

05

180

0

20

=

!195!5

!200!175!5

!180

!20!0

!20

=196197198199200

176177178179180

aceitarP = 1111

1004278,310786617,1 = 0,587166 ou 58,7166%

c) Um item defeituoso é permitido entre os cinco itens testados. Como y = 5%, teremos um total de0,05 200 = 10 itens defeituosos entre os 200 itens da população. Desde que é permitido a presençade um item defeituoso entre os cinco itens testados, a probabilidade de se aceitar a população serádada por:

P(aceitar)=P(zero defeituoso) +P(um defeituoso)

A probabilidade de se ter nenhum item defeituoso entre os cinco testados já foi calculada no item a,e é igual à 0,7717155. Logo, a probabilidade de se aceitar a população será dada por:

aceitarP = 0,7717155

5

200

4

190

1

10

= 0,7717155

!195!5

!200

!186!4

!190

!9!1

!10

aceitarP = 0,7717155 234196197198199200

234518718818919010

aceitarP = 0,7717155 12

12

103026721,7

105149424,1

; Então:

aceitarP = 0,9791659 ou 97,91659%

d) É permitido um máximo de dois itens defeituosos entre os cinco testados. Novamente, com y = 5%,teremos um total de 10 itens defeituosos entre os 200 itens da população. Desde que é permitido apresença de dois itens defeituosos entre os cinco itens testados, a probabilidade de se aceitar apopulação será dada por:

P(aceitar) = P(zero defeituoso) + P(um defeituoso) + P(dois defeituosos)

A probabilidade de zero item defeituoso mais a probabilidade de um item defeituoso entre os cinco

itens testados já foi calculada no item c, e é igual à 0,9791659. Logo, a probabilidade de se aceitar apopulação será dada por:


5

200

3

190

2

10

= 0,9791659

!195!5

!200

!187!3

!190

!8!2

!10

aceitarP = 0,9791659 232196197198199200

2345188189190910

aceitarP = 0,9791659 1210

106513361,3102911664,7

; Logo:


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aceitarP = 0,9991343 ou 99,91343%

e) É permitido um máximo de três itens defeituosos entre os cinco itens testados. Uma vez mais, comy = 5%, teremos um total de 10 itens defeituosos entre os 200 itens da população. A probabilidadede se aceitar a população será dada por:

P(aceitar)=P(zero defeituoso) +P(um defeituoso) +P(dois defeituosos) +P(três defeituosos)

A probabilidade de zero item defeituoso mais a probabilidade de um item defeituoso mais aprobabilidade de dois itens defeituosos entre os cinco itens testados já foi calculada no item d, e éigual à 0,9991343. Logo, a probabilidade de se aceitar a população será dada por:


5

200

2

190

3

10

= 0,9991343

!195!5

!200

!188!2

!190

!7!3

!10

aceitarP = 0,9991343 223196197198199200 23451891908910

aceitarP = 0,9991343 12

9

106513361,3

10102624,3

; Finalmente:

aceitarP = 0,999984 ou 99,9984%

Problema: Um comprador adquire lotes de má qualidade, pagando barato por eles, mas sem possibilidade dedevolução. Ele não quer correr muitos riscos e pretende aceitar lotes que no máximo tenham 25% das peçasdefeituosas. Oferecido um lote com 12 peças (que contem 8 peças boas e quatro defeituosas, mas ocomprador não sabe disso), testa a qualidade do lote da seguinte forma: escolhe aleatoriamente 4 peças, senessa amostra existir no máximo uma peça defeituosa, aceita o lote. Baseado em seus conhecimentos deestatística, o que você aconselharia ao comprador, continuar com esse procedimento ou mudar deprocedimento?. Explique com cálculos sua resposta.

Solução:Para esse teste (lote de N = 12 peças, amostra de n = 4 peças), a probabilidade de se encontrar x = 0peças defeituosas é:

%14,141414,0

4

12

04

412

0

4

)0(p

Para esse teste (lote de N = 12, amostra de n = 4), a probabilidade de se encontrar x = 1 peça defeituosaé:

%25,454525,0

4

12

14

412

1

4

)1(p

Portanto, como p(0) + p(1) = 14,14 + 45,25 = 59,39, ele não deve continuar com esse procedimento, elena verdade está aceitando lotes com aproximadamente 60% de probabilidade de que pelo menos umapeça esteja ruim. Ele deve aceitar só lotes com amostras com nenhuma peça defeituosa (nesse caso aprobabilidade de que o lote seja ruim é de 14% aproximadamente e não 25% como ele quer).


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DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

Considere um intervalo de números reais e suponha que contagens (sobre algum evento) ocorramatravés do intervalo (ou região). Se o intervalo pode ser dividido em subintervalos com comprimentossuficientemente pequenos tal que:

1)

A probabilidade de mais de uma contagem em um subintervalo seja próxima de zero;2) A probabilidade de uma contagem em um subintervalo seja a mesma para todos os subintervalos eproporcional ao comprimento do subintervalo, e

3) A contagem em cada subintervalo seja independente de outros subintervalos,

então nesse caso o experimento aleatório será chamado de “processo de Poisson”.

Se o número médio de contagens no intervalo for > 0, a variável aleatória X, que é igual ao númerode contagens no intervalo, terá uma distribuição de Poisson, com parâmetro , sendo a função dedistribuição de probabilidade de X é dada por:

!x

e

)x(f);x(p

x

, x = 0, 1, 2, .....

A função acumulativa da distribuição de Poisson está dada por:

r

0x

xr

0x !x

e);x(p);r(P

Em geral a média µ de uma distribuição de Poisson e a variância 2 são iguais a:

µ = e 2 =

A forma de uma distribuição de Poisson poderia ser a seguinte:

Problema: Durante um experimento de laboratório a média de partículas radiativas que passa através de umcontador em um milissegundo é 4. Qual é a probabilidade de que 6 partículas passem pelo contador nummilissegundo dado?Solução:

x = 6; = 4, então:

1042,07851,08893,0)4;x(p)4;x(p!6

4e)4;6(p

6

0x

5

0x

64

Problema: A média de caminhões que chega cada dia a uma cidade portuária é 10. As instalações no portotoleram até 15 caminhões por dia. Qual é a probabilidade de que num dia algum caminhão não chegue a seratendido no porto.Solução:

x = 15; = 10, então: 0487,09513,01)10;x(p1)15X(P1)15X(P15

0x

x

f (x)

)(Poisson


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Problema: Um determinado equipamento eletrônico utilizado em turbinas de usinas hidroelétricas possuiuma distribuição de falhas Poisson com = sêm/3,0 . Novas unidades de reposição desse equipamentosão enviadas a uma determinada usina hidroelétrica em intervalos de 0,5 meses. Sabendo-se que aprobabilidade de que essa usina não tenha unidades desse equipamento para reposição (quando necessário)não possa ser maior do que 2%, um gerente de operação deseja determinar o número de unidades emestoque desse equipamento que a usina deverá ter no início de cada um dos intervalos de 0,5 meses.

Sabe-se que a probabilidade de que o número de unidades do equipamento eletrônico que venham a falharem um período de 0,5 meses seja maior do que on será dada por:

onXP = 1

on

0x

!x

et tx

Solução:Como desejamos que a probabilidade de falta de estoque fosse no máximo de 2%, teremos:

0XP = 1

!0

e5,03,0 5,03,00 = 1 15,0e = 1 0,8607 = 0,1393 ou 13,93%

1XP = 1

!0

e5,03,0 5,03,00

!1

e5,03,0 5,03,01 = 0,0102 ou 1,02%

Então existe menos de 2% de probabilidade de que mais de 1 unidade do equipamento eletrônicovenha a falhar durante o período de 0,5 meses. Logo, uma unidade desse equipamento deverá sermantida em estoque no início de cada período de 0,5 meses.

Problema: Se um gramado contém em média 1 pé de erva daninha em cada 600 2cm , qual deverá ser adistribuição de r = número de ervas daninhas em uma área de 400 2cm ? Com a distribuição escolhida,calcule as probabilidades de:a) r = 0 b) r = 1 c) r = 2 d) r = 3 e) r = 4

Solução:Um modelo adequado nesse caso é a distribuição Poisson, com uma média de

600

400 =

3

2.

Logo, !r

3

2e

rP

r32

. Cada termo ou probabilidade poderá ser encontrado diretamente ou

calculado através do termo anterior. Então:

a) 0rP = 32e = 0,51342 ou 51,34%

b)

1rP = 32 32

e

= 32

0rP = 0,34228 ou 34,23%

c) 2rP =!2

e3

2 322

=2

1

3

2 1rP = 0,11409 ou 11,41%

d) 3rP =!3

e3

2 323

=3

1

3

2 2rP = 0,025354 ou 2,54%

e) 4rP =!4

e32 32

4

=4

1

3

2 3rP = 0,004226 ou 0,42%


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Aproximação da a distribuição Binomial pela distribuição Poisson:

Embora a distribuição de Poisson tenha aplicações principalmente em problemas de espaço e tempo,ela também é vista como uma forma limitante da distribuição binomial, isto é, a distribuição de Poissonpoderia ser usada para aproximar probabilidades binomiais. De fato, isso ocorrerá quando numa binomial“n” seja grande (n ) e “p” próximo de 0 (n 0), mas com o produto np permanecendo constante. Nesse

caso se pode usar a distribuição de Poisson com média = np.Assim, seja X uma variável aleatória binomial com distribuição de probabilidade b (x; n, p), então,

quando temos que n → ∞, p → 0 e np n permanece constante, termos que b (x; n, p) n p (x;).

!x

e)x(f);x(p

x

, x = 0, 1, 2, .....

É bom ressaltar que muitas das distribuições discretas e contínuas adquirem cada vez mais a formasimétrica a medida que a média vira mais grande.

Problema: A probabilidade de que determinado componente eletrônico apresente qualquer tipo dedefeito quando utilizado em um avião 747 é de 0,15% por viagem. Assumindo-se uma distribuição defalhas Poisson, um inspetor de segurança deseja determinar a probabilidade de que em 3.000 viagensdesse avião, o componente eletrônico venha a falhar em

a) Mais de 3 vezes.b) Exatamente 2 vezes.

Solução:a) Mais de 3 vezes. Sabemos que = np = 3.000 0,0015 = 4,50. Além disso,

xXP = !x

ex ; Logo, teremos:

3XP = 1 3XP2XP1XP0XP 3XP = 1 5,4e

!3

5,4

!2

5,45,41

32

= 1 0,0111089 30,8125

3XP = 0,6577 ou 65,77%

b) Exatamente 2 vezes. Com = 4,5, teremos:

2XP =!x

ex =

!2

e5,4 5,42 = 0,112478 ou 11,247%

Problema: Em certas instalações industriais os acidentes ocorrem com muita pouca freqüência. Sabe-seque a probabilidade de acontecer um acidente em um dia qualquer é 0,005 e que os acidentes sãoindependentes entre eles,

a) Qual é a probabilidade de que em qualquer período dado de 400 dias haverá um acidente numdia qualquer?

b) Qual é a probabilidade de que nesse período, aconteça 1 acidente em três dias diferentes?Solução:a) n = 400, p = 0,005 = np = (400) (0,005) = 2

1XP =!x

ex =

!1

e2 21 = 0,271

b) 3XP =

3

0x

x

!x

e = 3XP2XP1XP0XP = 0,857


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INSPEÇÃO DA QUALIDADE

Este capítulo de “Inspeção da Qualidade” foi tomado da apostila de Controle Estatístico da Qualidade,da Universidade Federal de São Carlos, preparada pelos professores José Carlos de Toledo e DárioHenrique Alliprandini (2004).

Objetivos da Inspeção da Qualidade

Determinar se há ou não conformidade de um produto, ou lote, já produzido, em relação àsespecificações de projeto

Gerar informações que permitam tomar ações corretivas sobre o lote ou processo

Pontos de InspeçãoA inspeção pode ocorrer nas seguintes fases da Produção:

a) Inspeção de recebimentoA extensão da inspeção em produtos (matéria-prima ou produto acabado) recebidos de terceirosdepende da capacidade do fornecedor, devidamente avaliada previamente e continuamenteacompanhada. Em um extremo, temos a inspeção utilizando-se o conceito de "auditoria da decisão",onde o comprador compara os dados obtidos por sua inspeção com os dados recebidos dofornecedor. Quando os dados recebidos do fornecedor forem e continuarem a ser confiáveis, ainspeção se transforma em apenas uma identificação do produto recebido. No outro extremo, ainspeção de recebimento torna-se um controle da qualidade do fornecedor.

b) Inspeção durante a fabricaçãoA inspeção durante a fabricação tem o objetivo de fornecer informações para a tomada de decisãosobre o produto, isto é, se o produto está ou não conforme com a especificação e para a tomada dedecisão sobre o processo, isto é, se o processo deve prosseguir ou parar. A freqüência de inspeçãopode ser mais facilmente estabelecida se o processo é estável (um processo estável implica que noprocesso só estão atuando fontes de variação usuais).

c)

Inspeção de produto acabadoA inspeção de produtos acabados (também conhecida como inspeção final) pode ser executadatanto na linha de produção (nos pontos de inspeção), como em áreas de inspeção separadas. Muitasvezes a inspeção é feita em 100% dos produtos acabados, simulando as condições de uso ourealizando uma checagem completa no produto (check list) por meio de inspeção sensorial (seutilizada a sensibilidade humana como instrumento de medição).

Tipos de Inspeção

a) Inspeção 100%A inspeção 100% é conveniente quando a característica é crítica ou a capacidade do processo é

inerentemente insuficiente (incapaz) para alcançar os requisitos das especificações. É bom lembrarque o excesso de inspeção pode ser tão custoso quanto a falta de inspeção. A experiência mostra quea inspeção 100% não garante produtos perfeitos, isto é, não há garantias de segregação de todos osdefeituosos. Vários estudos demonstram que o inspetor encontra aproximadamente 80% dosdefeitos presentes.

b) Inspeção por amostragemOs objetivos principais dessa inspeção são de aceitação de um lote por meio de uma amostrarepresentativa que forneça auxílio no controle do processo. A inspeção por amostragem éconveniente para reduzir os custos da inspeção, manter a área de produção informada a respeito daqualidade dos produtos ao longo do processo e em situações onde o julgamento da conformidade sedá através de um ensaio destrutivo. Para que a inspeção por amostragem tenha eficácia, alguns

cuidados devem ser observados: Procedimentos adequados para seleção da amostra

Representatividade da amostra (aleatoriedade)


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c) Inspeção SensorialA qualidade sensorial é aquela para a qual há dificuldade de se ter instrumentos tecnológicos demedição, sendo utilizada a sensibilidade humana como instrumento de medição. As característicasnormalmente avaliadas por inspeção sensorial são:

sabor odor

ruído aparência

As formas de padrões para a inspeção sensorial são: amostras para comparação fotografias sons gravados amostras com cheiro ou sabor

A característica visual é uma categoria especial de qualidade sensorial. O resultado de umainspeção visual é bastante influenciado pela iluminação (tipo, cor e intensidade), pelo ângulo devisão, pela distância da observação, etc. Devem-se padronizar essas condições‚ para assegurar uma

maior uniformidade nos resultados.

d) Outros tipos de inspeção de conformidade Inspeção automatizada (inspeção utilizando robôs, software, leitor óptico, etc.) Inspeção auxiliada por computador (isto se aplica especialmente à inspeção de peças de

maquinas de precisão) Inspeção de preparação antes da produção (em processos estáveis: se a preparação estiver

correta o lote também deverá estar) Inspeção volante (para processos que não permanecem estáveis durante a produção de um

lote)

Considerações gerais sobre a inspeção da qualidade

Atividades da Inspeção:

Interpretação da especificaçãoMedição da característica de qualidade

Julgamento da conformidadeTratamento dos casos conformesTratamento dos casos não-conformesRegistros dos dados obtidos

Conhecimentos necessários para a atividade de inspeção:

Que características da qualidade verificarComo determinar se um produto está ou não conforme aos padrões requeridosQual o critério de aceitação de lotes de produtosO que fazer com os produtos conformes e não-conformesO que deve ser registrado

O Perfil desejado de um inspetor deve considerar:

Conhecimentos imprescindíveis· Regulamentos e procedimentos da empresa· Produtos e processos aplicados· Elementos de medição de precisão

· Matemática aplicada à fabricação· Segurança· Sistemas de unidades de medida· Teoria dos erros de medição


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Conhecimentos desejáveis:· Organização do controle da qualidade e suas funções· Conhecimento de física básica· Elaboração de relatórios técnicos· Controle estatístico da qualidade básico

Habilidades Técnicas:· Encontrar defeitos· Interpretar especificações· Relatar com exatidão

Habilidades Pessoais:· Controle emocional· Temperamento· Aptidão· Atenção/ Concentração


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PLANOS DE AMOSTRAGEM (por atributos)

A inspeção da qualidade faz-se em um produto já existente (já produzido), que pode ser uma matériaprima, um produto semi-acabado (em processo) ou um produto acabado, com a finalidade de verificar se aqualidade do lote atende os padrões ou especificações de aceitação. Os Planos de Amostragem são aplicadosna Inspeção de Recebimento, na Inspeção Final (de Produto Acabado) ou na passagem de uma etapa paraoutra de um processo de produção (por ex. na passagem de um produto da seção A para a seção B; daprodução para a linha de montagem; da produção para uma câmara de resfriamento; da produção para oalmoxarifado; etc). A inspeção não impede a produção de defeituosos, mas permite separar os lotes bonsdos defeituosos (lotes com problemas, que não cumprem os requisitos mínimos de qualidade definidosentre o cliente e o fornecedor), ou seja, separar os lotes conformes dos não-conformes. A inspeção pode ser:

(1) inspeção para aceitação: neste caso os lotes aprovados serão aceitos, contendo, eventualmente, itensdefeituosos.

(2) inspeção retificadora: neste caso, além da situação descrita em 1, os lotes rejeitados passam por umainspeção completa, todos os itens defeituosos são substituídos por bons, e aí o lote é aceito.

Níveis de Qualidade, Risco do Produtor e Risco do Consumidor

Define-se P0 como sendo o Nível de Qualidade Aceitável – NQA (em inglês, Acceptable Quality Level– AQL) e P1 como o Nível de Qualidade Inaceitável – NQI (em inglês, Lot Tolerance Percent Defective -LTPD). P0 e P1 se referem a porcentagens de defeituosos do lote. Um plano de amostragem consiste nadefinição de um tamanho de amostra e de um critério de decisão para aceitar (ou não) um lote:

“n” é o tamanho da amostra,“d” é a quantidade de defeituosos na amostra, e,“c” é a quantidade máxima de defeituosos aceitável na amostra para se poder aprovar o lote.

Como se trabalha com amostras, existe o risco de se tirar conclusões erradas sobre o lote. O exemplo aseguir mostra isso.

Exemplo: níveis de qualidade, risco do produtor e risco do consumidor Imagine um lote N=100, o qual contem (sem se saber) 5 itens defeituosos e 95 bons. Suponha que o

Plano de Amostragem seja: n = 5 e c = 1, para P 0 (NQA) = 6% (isso implica que se aceitam até 6%(100) = 6itens defeituosos no lote). Se soubéssemos esses valores, o lote poderia ser considerado bom, atendendo oque foi especificado. Entretanto, neste caso existe o risco da amostra com n = 5 conter, por exemplo,exatamente os 5 itens defeituosos e portanto de se rejeitar o lote sendo que ele é bom, pois tem 5% dedefeituosos e o NQA é de 6% (se aceitam até 6 defeituosos no lote).

Imagine agora um lote N=100, o qual contém: 95 itens defeituosos e 5 bons. Suponha o mesmo planode amostragem anterior. Neste caso existe o risco da amostra conter exatamente os 5 itens bons e portantode se aceitar um lote ruim. O produtor deseja uma proteção contra a rejeição de lotes bons e o consumidor(cliente) deseja proteção contra a aceitação de lotes de má qualidade. Para tanto se distingue 2 tipos deriscos:

Risco do produtor (): é a probabilidade de que um lote de boa qualidade (P < P0) seja rejeitado.

Risco do consumidor (): é a probabilidade de que um lote de má qualidade (P > P1) seja aceito.

Observação: P = porcentagem de defeituosos na amostra.

Tipos de Planos de Amostragem

Existem 3 tipos de planos de amostragem, conforme a quantidade de amostras que se toma: Simples,Duplo e Múltiplo. A continuação se explicaram os dois primeiros tipos de planos de amostragem.


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PLANO DE AMOSTRAGEM SIMPLES (para atributos)De forma simples o plano de amostragem simples consiste do seguinte: A quantidade de unidades de

produto inspecionada deve ser igual ao tamanho da amostra dada pelo plano. Se o número de unidadesdefeituosas encontradas na amostra for igual ou menor do que o número de Aceitação (c), o lote deverá serconsiderado aceito. Se o n° de unidades defeituosas for maior do que “c” o lote deve ser rejeitado. Assim:

d = número de unidades defeituosas na amostrac = número de aceitação

Se na amostra d c, então aceitar o loteSe na amostra d > c, então rejeitar o lote

Agora, suponha que se vai a fazer a inspeção de um lote de tamanho N. O plano de amostragemsimples está definido pelo tamanho de amostra “n” e pelo número de aceitação “c”. Assim, se o tamanho dolote é N = 10.000, n = 89 e c = 2; significa que se vai a inspecionar uma amostra aleatória de n = 89 unidadesdo lote de tamanho N = 10.000 e que se o número de itens defeituosos observados “d” é menor igual que c =2, o lote será aceito. Se o número de itens defeituosos “d” é maior que 2, o lote será rejeitado.

Note que se pode inspecionar um ou mais atributos na mesma amostra. Em geral se diz que uma

unidade que é desconforme em relação às especificações, em um ou mais atributos, é uma unidadedefeituosa. O plano de amostragem simples deriva seu nome do fato de que se analisa somente ainformação de uma única amostra, informação com a qual se faz a tomada de decisão de aceitar ou rejeitar olote (Montgomery, 2004). Considerando a seguinte notação:

N = número de itens de um loten = número de itens da amostra (n < N)M = número de itens defeituosos no lote = risco do consumidor (probabilidade de um lote ruim ser aceito) = risco do produtor (probabilidade de um lote bom ser rejeitado)c = número de aceitação do loted = número de itens defeituosos na amostra

p = proporção de itens defeituosos no lote (p = M/N)p0 = É uma proporção que define o Nível de qualidade aceitável (NQA)p1 = É uma proporção que define o Nível de qualidade inaceitável (NQI)

(em inglês lot tolerance percent defective – LTPD)

Segundo Nahmias (2007), o objetivo de todos os procedimentos de amostragem consiste de estimar aspropriedades de uma população a partir das propriedades da amostra. Em especial se deseja testar asseguintes hipóteses:

H0: O lote tem uma qualidade aceitável (p p0)H1: O lote tem uma qualidade inaceitável (p p1)

O teste seria da forma: Rejeite H0 se d > c.

O valor de “c” depende da seleção de , a probabilidade do erro tipo I. A probabilidade do erro tipo I éa probabilidade de rejeitar H0, quando H0 é verdadeiro. No contexto do controle da qualidade, é aprobabilidade de rejeitar o lote quando ele é aceitável. Isso se conhece também como risco do produtor. Emforma de equação seria:

= P [ Rejeitar H0| H0 é verdadeira ] = P [ Rejeitar o lote| O lote é bom ] = P [ d > c|p = p0 ]

A distribuição exata de “d” é a distribuição hipergeométrica, com parâmetros n, N e M. Isto é:

!)nN(!n

!N

n

N

onde),n,M(mínm0para

n

N

mn

MN

m

M

)md(P


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Na maioria de aplicações, N é muito maior que “n”, de forma que é satisfatória a aproximação dadistribuição hipergeométrica pela distribuição binomial. Nesse caso teríamos:

nm0para)p1(pm

n)md(P mnm

onde:

p = M/N é a proporção verdadeira de itens defeituosos no lote.

Usando a aproximação binomial, o risco do produtor e o risco do consumidor são dados por:

mn0

m0

n

1cm0 )p1(pm

n)pp|cd(P

mn1

m1

d

0m1 )p1(pm

n)pp|cd(P

A maioria dos testes estatísticos requerem a especificação de (probabilidade do erro tipo 1). Osvalores de , n e p0 determinarão um valor único de “c”, que pode ser obtido nas tabelas da distribuiçãobinomial acumulada. Porém, como a distribuição binomial é uma distribuição discreta, tal vez não sejapossível encontrar um valor de “c” que coincida exatamente com o valor desejado de (lembre que “c”deve ser inteiro). Se “p” é pequeno e “n” é moderadamente grande (n > 25 e np 5, a distribuição normal fornece uma distribuição adequada da binomial (Nahmias, 2007).

Exemplo (Nahmias, 2007, p. 647): A Spire Records é uma cadeia de lojas que se especializa na venda deDVD’s. Um dos fornecedores da Spire Records é a B&G Records que envia DVD’s à Spire em lotes de 100DVD’s. Depois de uma negociação, a Spire e a B&G acordaram que uma taxa de 10% de ite ns defeituosos éaceitável, e uma taxa de 30% é inaceitável. De cada lote de 100 discos, a Spire há estabelecido o seguinteplano de amostragem: se coleta uma amostra de 10 discos e se tiver mais de 2 DVD’s defeituosos se rejeita olote. Calcule o risco do consumidor e do produtor associado com esse plano de amostragem.

Solução:Dos dados temos que p0 = 0,1; p1 = 0,3; N = 100; n = 10; c = 2

Sabe-se que: mn0m0

n

1cm0 )p1(pm

n)pp|cd(P

, ou seja:

]1,0p|2d[P1)1,0p|2d(P

%02,70702,09298,01)9,0(1,0k

101 k10k

2

0k

Sabe-se que mn1m1

d

0m1 )p1(pm

n)pp|cd(P

, ou seja:

%28,383828,0)7,0(3,0k

10)3,0p|2d(P k10k

2

0k

O valor = 0,3828 implica que a Spire está passando quase 40% dos lotes que contem 30% de itens defeituosos. Além disso, não se descarta a probabilidade de aceitar lotes com proporções de itens defeituosos tão altos como40% e ainda 50%. O valor = 0,0702 implica que a Spire está rejeitando quase 7% dos lotes que tem até 10% dedefeituosos.

Observe que os valores dos parâmetros n = 10; p0 = 0,1 e n = 10, p1 = 0,3 implicam que nem adistribuição normal nem a aproximação de Poisson são exatas (verifique o dito aqui para a distribuiçãode Poisson com = np, que fornece os valores aproximados de = 0,0803 e = 0,4216).


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Problema: Se extraem amostras de tamanho 20 de lotes de 100 itens. Os lotes se rejeitam se o número de itensdefeituosos na amostra passa de 2. Se a proporção verdadeira de itens defeituosos no lote é 5%, determine aprobabilidade de aceitar um lote usando:

a) A distribuição Hipergeométrica exatab) A aproximação pela Binomialc) A aproximação de Poisson (Sugestão: calcule a média = np)

d)

A aproximação da Normal (Sugestão: calcule a média µ = np)Problema: Um produtor de calculadoras compra chips em lotes de 1.000 unidades. Ele gostaria de ter umataxa de itens defeituosos de 1%, mas geralmente não vai rejeitar um lote a menos que tenha 4% ou mais deitens defeituosos. Extraem-se amostras de tamanho 50 de cada lote, e o lote se rejeita quando se encontrammais de 2 itens defeituosos.

a) Calcule p0, p1, “n” e “c”.b) Calcule e . Use a aproximação de Poisson nos seus cálculos.c) Calcule e . Use a aproximação de Binomial nos seus cálculos.


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CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERAÇÃO (Nahmias, 2007):

A Curva Característica de Operação (CCO) mede a efetividade de um teste para separar lotes dequalidade variável. A curva CCO é uma função de “p”, a proporção verdadeira de itens defeituosos no lote,e está dada por:

CCO(p) = p [ Aceitar o lote|Proporção verdadeira de itens defeituosos no lote é igual a p ]Agora determinaremos a forma da curva CCO para o caso particular de um plano de amostragem

simples com uma amostra de tamanho “n” e um nível de aceitação igual a “c”. Nesse caso:

CCO(p) = p [ d c|Proporção de itens defeituosos no lote é “p” ]

knkc

0k

)p1(pk

n)p(CCO

Um bom plano de amostragem é aquele que tem um grande poder de discriminação (ou seja, uma boacapacidade de discriminar/separar os lotes bons dos defeituosos), o que é dado pela inclinação da curva

CCO. A Figura mostrada abaixo seria a CCO ideal:

Define-se a Função Característica de Operação como sendo: L(p) = F(), onde L(p) é a probabilidade deaceitação de um lote em função de “p” , ou seja, em função da proporção defeituosa do lote.

A CCO é o gráfico da função L(p), mostrado na figura abaixo, para um dado plano: n e .

nptodopara)d0(P)p(L

A CCO deverá passar por dois pontos: (P0, L(P0)) e (P1, L(P1)), sendo L(P0) = (1 – ) e L(P1) =

Tendo-se fixado previamente esses 4 valores (P0, P1, L(P0), L(P1)), determina-se o Plano de Amostragem(n e ), por meio das equações:

1

p

L(p)

10p

Proporção de itens defeituosos no lote

P r o b a b i l i d a d e d e a c e i t a r o l o t e

1

p

L(p)

produtordorisco

consumidordorisco

1

)p(L 1

)p(L 0

1p0p


P r o b a b i l i d a d e d e a c e i t a r o l o t e


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dn0

d0

c

0d0 )p1(pd

n1)P(L

dn1

d1

c

0d1 )p1(pd

n)P(L

Entretanto, procedendo-se assim, não se tem controle sobre o tamanho da amostra e pode-se chegar aum tamanho que não seja conveniente ou aceito pela empresa. Para tanto já existem planos de amostragemtabelados que fixam previamente os valores de “n” e “ ”, considerados convenientes, e fixa-se apenas umponto da CCO, perdendo-se o controle do outro ponto. Assim, neste caso, se fixa (P 0, 1-), perde-se ocontrole sobre o ponto (P1, ).

Problema (Nahmias, 2007, p. 648): Considere o problema da Spire Records cujos dados eram p 0 = 0,1; p1 = 0,3;N = 100; n = 10; c = 2. A curva CCO para seu plano de amostragem simples está dada por:

k10k2

0k

)p1(pk

10)p(CCO

Encontrando pontos da curva CCO, para n = 10 e c = 2, para diferentes valores de “p”, incluindo p0 =0,1 e p1 = 0,3:

Proporção de itens defeituosos no lote (p) 0,10 0,15 0,20 0,30 0,40 0,50Probabilidade de aceitação (pa) 0,9278 0,8202 0,6778 0,3828 0,1673 0,0547

O esboço da gráfica da curva CCO da empresa Spire mostra-se abaixo. Uma análise da figura indica queesse plano de amostragem tem mais vantagens para o fornecedor B&G do que para a Spire. O valor = 0,3828 implicaque a Spire está passando quase 40% dos lotes que contem 30% de itens defeituosos. Além disso, não se descarta a

probabilidade de aceitar lotes com proporções de itens defeituosos tão altos como 40% e ainda 50%. Isso concorda

com o fato de que a Spire parecia ter muitas devoluções dos clientes de DVDs da marca B&G.

João, um empregado da Spire, inscrito na faculdade local, foi requerido para analisar o problema dosDVDs da B&G. Ele descobriu a causa do problema analisando a curva CCO mostrada acima. Para diminuira probabilidade de que a Spire receba lotes ruins da B&G, sugeriu que se modificara o plano de amostragem

fazendo d = 0. Nesse caso o risco do consumidor é:

%3028,0)3,01()3,0(0

10]3,0p|0d[p 0100

1

p

L(p)

10,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

(0,3; 0,3828)

(0,1; 0,9278)


P r o b a b

i l i d a d e d e a c e i t a r o l o t e

9278,01

3828,0

)qualidadedeaceitávelNívelAQL(1,0p0

)linaceitávequalidadedeNívelNQI(3,0p1

2c;10n;100N


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aproximadamente 3%. Isso parecia ter um nível aceitável de risco (para o consumidor), e por esse motivo aSpire implantou essa política. Infelizmente, a proporção de grupos rejeitados aumentou dramaticamente. Ovalor resultante do risco do produtor () é:

%656513,0)9,0()1,0(0

101]1,0p|0d[p1]1,0p|0d[p 100

Isso implica que a Spire está rejeitando aproximadamente 65% de grupos bons. A B&G ameaçou com deixar deentregar lotes à Spire se esta não voltasse ao plano de amostragem anterior.

A gerência da Spire não sabia o que fazer. Se voltasse ao plano original (p 0 = 0,1; p1 = 0,3; N = 100; n =10; c = 2) corria o risco de perder clientes que iriam a outra loja que venda DVDs com mais qualidade. Secontinuasse com o novo plano (p0 = 0,1; p1 = 0,3; N = 100; n = 10; c = 0) se arriscava a perder a B&G comofornecedor. Felizmente João, quem havia estado estudando o problema, propôs uma solução. Se aumentasseo tamanho da amostra, a potência do teste (1 - ) poderia melhorar. Dessa forma poderia se projetar umplano de amostragem que tivesse níveis aceitáveis tanto para o risco do consumidor () como para o riscodo produtor (). Já que a B&G insistia em ter uma probabilidade de 10% de rejeitar os lotes bons, a Spiretambém queria ter no máximo uma probabilidade de 10% de aceitar os lotes ruins.

Depois de alguns testes, João encontrou que o tamanho de amostra n = 25 com um nível de aceitação c= 4 parecia cumprir com os requerimentos tanto da Spire quanto da B&G. Os valores de e para esseplano são:

0980,0]25n;1,0p|4d[p

0905,0]25n;3,0p|4d[p

Encontrando pontos da curva CCO, para n = 25 e c = 4, para diferentes valores de “p”, incluindo p 0 =0,1 e p1 = 0,3:

Proporção de itens defeituosos no lote (p) 0,10 0,15 0,20 0,30 0,40 0,50

Probabilidade de aceitação (pa) 0,0980 0,6821 0,4207 0,0905 0,0095 0,0005

Com certeza que a eficiência melhorada desse plano não é de graça. O tempo do empregado requeridopara inspecionar os DVDs da B&G aumentou duas vezes e meia (de 10 para 25). A B&G e a Spireconcordaram em compartir o custo adicional da inspeção. A curva CCO do novo plano com n = 25 e c = 4 é:

Note que essa gráfica se aproxima muito mais à curva CCO ideal que a CCO original (n = 10 e c = 2).

1

p

L(p)

10,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

(0,3; 0,0905)

(0,1; 0,9020)

Proporção de itens defeituosos num lote

P r o b a b i l i d a d e d e a c e i t a r u m l o t e

9020,01

0905,0

)qualidadedeaceitávelNívelAQL(1,0p0

)linaceitávequalidadedeNívelNQI(3,0p1

4c;25n;100N


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FORMAS DE CALCULAR “n” E “c” PARA VALORES ESPECÍFICOS DE p0 , , p1 E

a) Mediante o uso de nomogramas. Ver o nomograma para determinar “n” e “c” no anexo de tabelas.

O procedimento é muito simples. Desenhar duas retas: uma que conecte p0 e (1 - ) e outra que conectep1 e . A interseção das duas retas indicará a região do nomograma que define os valores de “n” e “c”.

Note que o lado direito do nomograma é onde se localizam os valores de (1 - ) e , já o lado esquerdo éonde se localizam os valores de p0 e p1.

Exemplo (Peter, 1990, p. 184): Suponha que um engenheiro deseja desenhar um plano deamostragem com = 5% quando p = 0,02 e = 10% quando p = 0,07.

Solução:Segundo o nomograma n = 140 e c = 5. É bom conferir as probabilidades obtidas com n = 140 e c =5 para estar mais seguros de obter valores de e próximos dos desejados.Usando a binomial: 0632,0]140n;02,0p|5d[p1]140n;02,0p|5d[p

Usando a binomial: 0680,0]140n;07,0p|5d[p

b) Mediante o uso de tabelas. Ver tabela de fatores para determinar “n” e “c” no anexo de tabelas.

Exemplo (Devore, 2008, p. 657): Determine “n” e “c” para um plano de amostragem com NQA = 0,01e NQI = 0,045.Solução:Considerando p0 = NQA = 0,01 e p1 = NQI = 0,045Então p1/p0 = 0,045/0,01 = 4,50Procurando na tabela de fatores, p1/p0 = 4,5 fica entre c = 3 e c = 4.

Considerando usar c = 3 temos (o valor np0 e np1 são da tabela):n = np0/p0 = 1,366/0,01 = 136,6 137n = np1/p1 = 6,68/0,045 = 148,4 149De preferência usar n = 137 (o menor) por comodidade na amostragemUsando a binomial: 05,0]137n;01,0p|3d[p1]137n;01,0p|3d[p Usando a binomial: 131,0]137n;045,0p|3d[p

Considerando usar c = 4 temos (o valor np0 e np1 são da tabela):n = np0/p0 = 1,97/0,01 = 197n = np1/p1 = 7,99/0,045 = 177,5 178De preferência usar n = 178 (o menor) por comodidade na amostragemUsando a binomial: 034,0]178n;01,0p|4d[p1]178n;01,0p|4d[p

Usando a binomial: 094,0]178n;045,0p|4d[p

Note que para um tamanho maior de amostra (178 > 137) tanto e diminuem como esperado. Aescolha do plano n = 137 e c = 3 ou do plano n = 178 e c = 4 dependerá do gerente decisor.

c) Cálculo de “n” e “c” mediante o método estatístico (Peter, 1990, p. 184):

Por estatística nós sabemos que conhecendo e , pode-se encontrar o tamanho da amostramediante a distribuição normal. Na aproximação da binomial mediante a normal teríamos:

qpn

pnXZ0

Se p = p0 temos: 000 qpnzpnc

Se p = p1 temos: 111 qpnzcpn


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Consequentemente:01

1100

pp

qpzqpzn

e “c” pode ser calculado depois de obter o

valor de “n”

Exemplo (Peter, 1990, p. 184): Suponha que um engenheiro deseja desenhar um plano deamostragem com = 5% quando p = 0,02 e = 10% quando p = 0,07.Solução:

14,1102,007,0

)93,0()07,0(28,1)98,0()02,0(64,1

pp

qpzqpzn

01

1100

Então: n = (11,14)2 124Assim, substituindo n = 124 em 000 qpnzpnc , ou em 111 qpnzcpn , deve dar

um valor de “c” similar, nesse caso, n 5.Para esses valores 0390,0]124n;02,0p|5d[p1]124n;02,0p|5d[p

Para esses valores 1274,0]124n;07,0p|5d[p

Curvas CCO tipo A e tipo B:As curvas CCO que se construíram no exemplo anterior se denominam curvas CCO tipo B. Naquelaconstrução se supõe que as amostras vinham de um lote grande ou que a amostragem se estava fazendo deum fluxo de lotes de um processo selecionado aleatoriamente. Nessa situação, a distribuição binomial é adistribuição de probabilidade exata para calcular a probabilidade de aceitar o lote. Esse tipo de curva CCOse conhece como curva CCO tipo B.

A curva CCO tipo A se usa para calcular probabilidades de aceitação de um lote isolado, de tamanhofinito. Supor que o tamanho do lote é N, que o tamanho da amostra é “n” e que o número de aceitação é “c”.A distribuição de amostragem exata do número de itens defeituoso na amostra é a distribuiçãohipergeométrica.

É interessante ressaltar o fato que se o tamanho do lote é pelo menos 10 vezes o tamanho da amostra(n/N 0,10), as curvas CCO tipo A e tipo B são praticamente indistinguíveis.

A curva CCO tipo A sempre se localizará abaixo da curva tipo B. Isso significa que toda vez que seaproxima uma curva tipo A com uma tipo B, as probabilidades de aceitação calculadas para a curva tipo Bsempre serão maiores do que as obtidas com uma curva tipo A. Porém, essa diferença só é significativaquando o tamanho do lote é relativamente pequeno em comparação com o tamanho da amostra. Nestaapostila serão consideradas curvas CCO do tipo B, a menos que se indique o contrário.

Critérios para a construção de CCO’s:

Observação: Embora esses critérios sejam de uso comum, não significa que deve ser seguido a risca.

p = n/N

p > 0,10 Sim Hipergeométrica

Não

k = c/n

k > 0,10 Sim

Binomial

Não

Poisson


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Problema: Esboce a curva CCO tipo B (no mínimo 5 pontos, para 0 < p < 0,20) para o plano de amostragemsimples com n = 50 e c = 1.

Problema: Esboce a curva CCO tipo B (no mínimo 5 pontos, para 0 < p < 0,12) para o plano de amostragemsimples com n = 100 e c = 2.

Problema: Suponha que um produto se despacha em lotes de N = 5.000. O procedimento de inspeção narecepção usado é um plano de amostragem simples com n = 50 e c = 1.a) Esboce a curva CCO tipo A para o plano.b) Esboce a curva CCO tipo B para o plano e compare com o esboço encontrado em “a”. c) Qual das curvas CCO é a adequada para essa situação?

Problema: Encontre um plano de amostragem simples para p 0 = 0,01; = 0,05; p1 = 0,10 e = 0,10:a) Usando o nomograma (Rta: n = 45; c = 1)b) A tabela para determinar “n” e “c” c) O método estatístico (Rta: n = 37; c = 1)

Problema: Uma empresa utiliza o seguinte procedimento de amostragem de aceitação: se toma uma amostra

igual a 10% do lote e se 2% ou menos dos itens da amostra são defeituosos, o lote é aceito; caso contrário érejeitado.a) Se os tamanhos dos lotes considerados variam entre 5.000 e 10.000 unidades, o que se pode dizer em

relação à proteção de esse plano?b) Se 0,05 é o NQI desejada, esse plano oferece uma proteção razoável ao consumidor?


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AMOSTRAGEM DUPLA (para atributos)

Cinco números definem um plano de amostragem duplo: n1, n2, c1, c2 e c3. O plano deve serimplementado da seguinte forma: Se extrai uma amostra inicial de tamanho n 1 e se determina o número deit

Controle Da Qualidade-Apostila[UFPI]

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