Aula 3 –

Lei de GaussViviane Galvão

vivgalvao@gmail.com

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Estudo Dirigido1 – Do que trata a Lei de Gauss2– Fluxo3 – Fluxo do Campo Elétrico4 – Lei de Gauss5 – Cálculo do Campo Elétrico de uma carga puntiforme6 - Cálculo do Campo Elétrico em um Condutor7 - Cálculo do Campo Elétrico em uma Simetria Plana8 - Cálculo do Campo Elétrico em uma Simetria Cilíndrica9 - Cálculo do Campo Elétrico em uma Simetria Esférica

LEI DE GAUSSA lei de Gauss é equivalente a lei de Coulomb na eletrostática, a escolha de qual utilizar dependerá do tipo de problema proposto.

Lei de Coulomb = problemas que tenham pouco ou nenhum grau de simetria.

Lei de Gauss = problemas com elevado grau de simetria.

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Propriedades das linhas de campo elétrico

• A quantidade de linhas de campo associada a uma distribuição de carga elétrica é proporcional à carga da distribuição Quanto maior a carga, maior a quantidade de linhasde campo.

• Linhas de campo não se cruzam! Divergem de cargas positivas;Convergem para cargas negativas;

• O vetor campo elétrico é um ponto do espaço é tangente à linha de campo naquele ponto

LEI DE GAUSSA figura principal da lei de Gauss é uma superfície fechada hipotética, chamada SUPERFÍCIE GAUSSIANA. Pode ser uma ESFERA, CILINDRICO ou qualquer outra forma simétrica.

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Lei de GaussConhecendo a Lei de Gauss podemos calcular com precisão a quantidade de carga líquida que esta no interior da superfície.

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Fluxo elétrico de uma superfície fechada

dAEAdE nE

90

0E

900E

90180

0E

entra quesai que NNE

quando existe mais linhas saindo do que entrando na superfície.

0E

0E quando existe mais linhas entrando do que saindo da superfície.

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• A quantidade de linhas emitidas por uma carga é proporcional à quantidade de cargas.

• A intensidade do campo depende da densidadede linhas. O campo elétrico deve ser proporcional à quantidade de cargas.

• Para contar as linhas do campo, englobamos as cargas em uma superfície fechada Superfície Gaussiana, arbitrariamente escolhida.

Lei de Gauss

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é um vetor que representa um elemento local de área

• Através da Lei de Gauss podemos calcular o campo elétrico para distribuições simétricas de cargas em problemas mais complexos.• Consideramos uma carga pontual positiva q situada no centro de uma superfície esférica de raio r,

• As linhas do campo irradiam para fora e, portanto, são perpendiculares à superfície em cada ponto

iiinE AEAEAE o0cos

iA

iA

O fluxo através da pequena área é:

dAEdAEnE O fluxo resultante através de toda a superfície

EAdAEE Como E é constante sobre toda a superfície

Lei de Gauss

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módulo do campo elétrico em toda a parte da superfície esférica 2

rqkE e

área da superfície esférica 24 rA • Substituindo na expressão do fluxo teremos

qkrrqkEA eeE 44 2

2

4

1

0

ekComo,

444

0 qqkeE

0q

E

• É um resultado que não depende de r e diz que O fluxo resultante através duma superfície esférica é proporcional à carga q no interior da superfície

Lei de Gauss

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Lei de Gauss é uma representação

matemática do fato de que:

0q

E

• O fluxo resultante é proporcional ao número de linhas do campo

• O número de linhas do campo é proporcional à carga no interior da superfície

• Toda linha do campo a partir da carga tem de atravessar a superfície

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Lei de Gauss

Superfícies fechadas de várias formas englobando uma carga q

• O número de linhas do campo elétrico através da superfície esférica S1 = ao número de linhas do campo elétrico através das superfícies não esféricas S2 e S3.

• Portanto, é razoável concluir que o fluxo resultante através de qualquer superfície fechada é independente da forma dessa superfície

• O fluxo resultante através de qualquer superfície fechada que envolve uma carga pontual q é dado por

0q

Lei de Gauss A lei de Gauss relaciona fluxo do campo através de uma superfície fechada e a carga líquida que esta envolvida por esta superfície.

q é a soma algébrica de todas as cargas. Podemos escrever também como

q = positiva, o fluxo é para fora q = negativa, o fluxo é entrando.

As cargas fora da superfície não são incluídas no termo q, e a maneira como as cargas são distribuídas no interior também não importa, só o módulo e o sinal de q importa.

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Condutor Isolado

“ Qualquer excesso de carga colocado em um condutor isolado se moverá inteiramente para a superfície do condutor. Nenhum excesso de carga será encontrado no interior do condutor.”

A lei de Gauss nos permite demonstrar um importante teorema sobre os condutores isolados:

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Simetria Esférica Vimos dois teoremas:

“ Uma casca com uma carga uniforme atrai ou repele uma partícula carregada externa à casca, como se toda a carga se concentrasse no seu centro.”

“Uma casca uniforme não exerce força eletrostática sobre uma partícula carregada que se localize no interior da casca.”

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Simetria Esférica Provar Primeiro Teorema:

Consideremos uma casca esférica de carga total q e de raio R e duas superfícies esféricas gaussianas concêntricas S1 e S2.

Para S2:

Que é idêntico a um campo criado por uma carga puntiforme. Assim o módulo da força que atua sobre a carga externa é o mesmo que de uma carga colocado no centro da casca.

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Simetria Esférica Provar Segundo teorema:

Aplicando a Lei de Gauss para S1 temos:

Para S1:

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Exemplo 1: Determinar o fluxo elétrico através de uma superfície cilíndrica, que está num campo elétrico uniforme

E

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AdEE

Φ dAE cos

2180cosΦ REEdAdAEE a

b

20cosΦ REEdAdAEE

090cosΦ dAEE

c

O fluxo através de toda a superfície é

00 22 RERE