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ENGENHARIA FUNEDI-UEMG CÁLCULO I – LIMITES Prof. Luiz Elpídio M. Machado
LIMITES
1 – Introdução
O limite permite estudar o comportamento funcional de valores próximo a um número qualquer do domínio e para
valores muito grandes ou muito pequenos da variável.
Exemplo
Ex.-1 Determine o valor do limite 11
2
1lim -
-
®xx
x
.
Quando x tende a um pela direita, ou seja, para
+®1x
x
11
2
--
xx
2 3 1,5 2,5 1,1 2,1 1,01 2,01 1,001 2,001
211
2
1lim =
--
+®
xx
x
Para 2=x , 31
141212
2
=-
=--
.
Para 5,1=x ,
5,25,0
25,15,0
125,215,115,1
2
==-
=--
.
Para 1,1=x ,
1,21,021,0
1,0121,1
11,111,1
2
==-
=--
.
Para 01,1=x ,
01,201,0
0201,001,0
10201,1101,1101,1
2
==-
=--
.
Para 001,1=x
001,2001,0
002001,0001,0
1002001,11001,11001,1
2
==-
=--
.
Quando x tende a zero pela esquerda, ou seja,
para -
®1x
x
11
2
--
xx
0 1 0,5 1,5 0,9 1,9 0,99 1,99 0,999 1,999
211
2
1lim =
--
-®
xx
x
Para 0=x , 111
110
1010
2
=--
=--
=--
.
Para 5,0=x ,
5,15,075,0
5,0125,0
15,015,0
2
=--
=-
-=
--
.
Para 9,0=x ,
9,11,0
19,01,0
181,019,019,0
2
=--
=-
-=
--
.
Para 99,0=x ,
99,101,0
0199,001,0
19801,0199,0199,0
2
=--
=-
-=
--
.
Para 999,0=x ,
999,1001,0
001999,0001,0
1998001,01999,01999,0
2
=-
-=
--
=--
.
1
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Ex.-2 Determine o valor do limite ( )
xxsen
xlim
0®
.
Quando x tende a zero pela direita, ou seja, para
+® 0x
x ( )xxsen
1 0,841470984 0,1 0,998334166 0,01 0,999983333 0,001 0,999999833 0,0001 0,999999998
( )1lim
0
=+
®x
xsen
x
Quando x tende a zero pela esquerda, ou seja,
para -
® 0x
x ( )xxsen
-1 0,841470984 -0,1 0,998334166 -0,01 0,999983333 -0,001 0,999999833 -0,0001 0,999999998
( )1lim
0
=-
®x
xsen
x
Ex.-3 Determine o valor do limite ( )x
x
xlim0+®
.
x xx
1 1 0,1 0,794328234 0,01 0,954992586 0,001 0,993116048 0,0001 0,99907939 0,00001 0,999884877
( ) 1lim0
=+
®
x
x
x
Ex.-4 Determine se a afirmativa é verdadeira ex
x
x
=÷øö
çèæ +
+¥®
11lim , ou seja, se o limite tende para o valor dado.
x x
x÷øö
çèæ +
11
1 2 10 2,59374246
100 2,704813829 1000 2,716923932
10000 2,718145927 100000 2,718268237
1000000 2,718280469 O valor de e é aproximadamente 67182818284,2 , o limite está tendendo a este valor, logo a afirmativa é
verdadeira.
Exercício
Determine o valor do limite:
E-1. ( )
xx
x
cos1lim
0
-
®
E-2. ( ) x
x
x 1
0
1lim +®
2
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E-3. ( )x
x
elim0®
E-4. ( )x
x
elim+¥®
E-5. ( )( )xx
lnlim0+®
E-6. ( )( )xx
lnlim+¥®
Exemplo
Verifique se o limite tende para o valor indicado
Ex.-5 ??????????????
Exercício
Verifique se o limite tende para o valor indicado:
E-7. ex
n
xn
=÷ø
öçè
æå=+¥® 0 !
1lim
E-8. 2
0 !2
lim ex
n
x
x
n
=÷÷ø
öççè
æå=+¥®
E-9. ( ) ( )2ln
1
1
1
lim =÷÷ø
öççè
æ -å=
-
+¥®
n
x
x
n x
E-10. ( )
4121
0lim
p=÷÷
ø
öççè
æ
+-å
=+¥®
n
x
x
n x
Resposta
R - 1 0
R - 2 e
R - 3 1
R - 4 ¥+
R - 5 ¥-
R - 6 ¥+
R - 7 Sim
R - 8 Sim
R - 9 Sim
R - 10 Sim
2 – Limites no Infinito
Definição – 2
Se f for uma função que está definida em um intervalo ] [¥+,a . O limite de f quando x cresce indefinidamente
é L , escrito ( ) Lf xx
=¥+®
lim se para todo 0>e , não importa quão pequeno, existir um número 0>N tal que se
Nx > então ( ) e<- Lf x .
Definição – 3
Se f for uma função que está definida em um intervalo ] [a,¥- . O limite de f quando x decresce
indefinidamente é L , notado por ( ) Lf xx
=¥-®
lim se para todo 0>e , não importa quão pequeno, existir um
número 0<N tal que se Nx < então ( ) e<- Lf x .
Teorema – 1
Se n for um número inteiro positivo qualquer, então:
(i) ( ) +¥=¥+®
n
x
xlim
3
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(ii). ( )îíì
¥-¥+
=¥-®
imparfornse
parfornsex
n
x,
,lim
(iii) 01lim =
¥+®n
r r
(iv) 01lim =
¥-®n
r r
(iii) +¥=+
®
n
rr
1lim0
(iv) îíì
¥-¥+
=-
®imparfornse
parfornse
rn
r,
,1lim0
Definição – 4
A reta Ly = é denotada uma assíntota horizontal do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintes
afirmativas for válida:
(i) ( ) Lf xx
=¥+®
lim e para um número N , se Nx > , então ( ) Lf x ¹ ;
(Ii) ( ) Lf xx
=¥-®
lim e para um número N , se Nx < , então ( ) Lf x ¹ .
Exemplo
Ache o limite:
Ex.-6 525
2
4lim -
-
®x
x
x
Ex.-7 525
2
6lim -
-
®x
x
x
Ex.-8 525
2
5lim -
-
®x
x
x
Ex.-9 6
1892
5lim -
+-
®x
xx
x
Ex.-10 6
1892
6lim -
+-
®x
xx
x
Ex.-11 6
1892
3lim -
+-
®x
xx
x
Ex.-12 2
652
2
2lim --
+-
® xx
xx
x
Ex.-13 6
6lim6 -
-
® x
x
x
Exercícios
Ache o limite:
E-11. 3
92
3lim -
-
® x
x
x
E-12. 49
72
7lim -
-
® x
x
x
E-13. 107
862
2
2lim ++
++
-® xx
xx
x
E-14. 5252
5lim -
-
® xx
x
E-15. 36
62
6lim -
-
® x
x
x
E-16. 4162
4lim -
-
® xx
x
E-17. 25
52
5lim -
-
® x
x
x
E-18. 128
1072
2
2lim +-
+-
® xx
xx
x
E-19. 9
32
3lim -
-
® x
x
x
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E-20. 7492
7lim -
-
® xx
x
E-21. 1811
16102
2
2lim ++
++
-® xx
xx
x
E-22. 242
2lim -
-
® xx
x
E-23. 648
28
lim --
® xx
x
E-24. 86
652
2
2lim ++
++
-® xx
xx
x
E-25. 8642
8lim -
-
® xx
x
E-26. 4
22
2lim -
-
® x
x
x
E-27. 2012
18112
2
2lim ++
++
-® xx
xx
x
E-28. 9812
9lim -
-
® xx
x
E-29. 112
1lim -
-
® xx
x
E-30. 22132012
2
2
2lim ++
++
-® xxxx
x
E-31. 5
5lim
5 --
® xx
x
E-32. 11
11lim
11 --
® xx
x
E-33. 7
7lim
7 --
® xx
x
E-34. 17
17lim
17 --
® xx
x
E-35. 3
3lim
3 --
® xx
x
E-36. 19
19lim
19 --
® xx
x
E-37. 23
23lim
23 --
® xx
x
E-38. 2512
lim -+
¥+® tt
t
E-39. 13426
lim +-
¥-® xx
x
E-40. x
x
x 5472
lim -+
¥-®
E-41. xx
x 3251
lim -+
¥+®
E-42. 583
1272
2
lim +++-
¥+® xx
xx
x
E-43. 12
342
2
lim -+
¥-® s
s
s
E-44. 53
42lim -+
¥+® x
x
x
E-45. 3
2 5lim x
x
x
+
¥+®
E-46. 132 2
lim +-
¥+® yyy
y
E-47. 1752
3
2
lim +++-
¥+® xxxx
x
E-48. 28
5243
24
lim ++-+
¥-® xx
xx
x
E-49. 12
2734
24
lim ++-
¥+® x
xx
x
E-50. 3542 3
lim +-
¥+® yy
y
E-51. 14
71252
3
lim -+-
¥-® x
xx
x
E-52. ÷øö
çèæ +
¥-®2
13lim xx
x
E-53. ÷øö
çèæ -
¥+®
ttt
422lim
E-54. 1
562
3lim +
++
-® xxx
x
E-55. 1
562
1lim +
++
-® xxx
x
E-56. 6678 4
lim --
¥+® xx
x
E-57. 3
1582
7lim -
+-
® xxx
x
E-58. 3
1582
3lim -
+-
® xxx
x
E-59. 1
232
2lim -
+-
-® xxx
x
E-60. 1
232
1lim -
+-
® xxx
x
E-61. 6
1892
4lim +
++
-® xxx
x
E-62. 6
1892
6lim +
++
-® xxx
x
E-63. 66
782
4
lim --
¥-® x
x
x
E-64. 1
67²lim
0 -+-
® xxx
x
E-65. 1
67²lim
1 -+-
® x
xx
x
E-66. 6³678 4
lim --
+¥® xx
x
E-67. 6
1282
8lim -
+-
® xxx
x
E-68. 6
1282
6lim -
+-
® xxx
x
E-69. 3258 2
lim +-
¥+® xx
x
E-70. 7
782
9lim +
++
-® xxx
x
E-71. 7
782
7lim +
++
-® xxx
x
5
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E-72. 31356
lim +-
+¥® xx
x
E-73. 1
10178 23
3lim -
-+-
® xxxx
x
E-74. 1
10178 23
1lim -
-+-
® xxxx
x
E-75. 1
452
1lim +
++
® xxx
x
E-76. 1
452
1lim +
++
® xxx
x
E-77. 34
4
62
6lim xx
xx
x +-
¥+®
E-78. 8
32122
9lim -
+-
® xxx
x
E-79. 8
32122
8lim -
+-
® xxx
x
E-80. 522
2382
3
lim -++-
-¥® xx
xx
x
E-81. 1
78²lim
3 -+-
® xxx
x
E-82. 1
78²lim
1 -+-
® xxx
x
E-83. xx
xx
x 624
734
34
lim --
+¥®
E-84. 8
16102
2lim -
+-
® xxx
x
E-85. 8
16102
8lim -
+-
® xxx
x
E-86. 572
2382
3
lim -++-
¥® xx
xx
x
E-87. 1
12198 23
2lim -
-+-
® xxxx
x
E-88. 1
12198 23
1lim -
-+-
® xxxx
x
E-89. 3
1 )1(6
lim --
® xx
x
E-90. 3
6116 23
3lim +
+++
® xxxx
x
E-91. 3
6116 23
3lim +
+++
-® xxxx
x
E-92. 5
10178 23
2lim +
+++
® xxxx
x
E-93. 5
10178 23
5lim +
+++
-® xxxx
x
E-94. 4
2 )2(
3lim -® x
x
x
E-95. 2
10178 23
4lim -
-+-
® xxxx
x
E-96. 2
10178 23
2lim -
---
® xxxx
x
E-97. 4
1 )1(6
lim -® xx
x
E-98.
E-99.
E-100.
E-101.
E-102.
E-103.
E-104.
Resposta
R - 11 3
92
3lim -
-
® x
x
x
( )( ) ( )
63
9
63333
33
3
3
3
9
mindet00
33
93
39
2
3
33
22
3
2
3
2
3
2
3
lim
limlimlimlim
limlim
=--
=+=+=--+
=--
=--
=--
=--
®
®®®®
®®
x
x
xx
xx
x
x
x
x
MatemáticaaçãoerInxx
x
xxxx
xx
R - 12 49
72
7lim -
-
® x
x
x
6
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( )( )
141
49
7
141
771
71
77
7
7
7
49
7
mindet00
4949
77
497
77
49
7
27
7722
72
7
227
lim
limlimlimlim
lim
=--
=+
=+
=+-
-=
--
=--
=--
=--
=--
®
®®®®
®
x
x
xxx
x
x
x
x
x
MatemáticaaçãoerInx
x
x
xxxx
x
R - 13 =++++
-® 10786
2
2
2lim xx
xx
x
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
( )( )
32
107
86
32
5242
54
5242
107
86
mindet00
14141212
10272
8262
107
86
2
2
2
222
2
2
2
2
2
2
2
lim
limlimlim
lim
=++++
=+-+-
=++
=++++
=++++
=--
=+-+-+-+-
=++++
-®
-®-®-®
-®
xx
xx
xx
xxxx
xx
xx
MatemáticaaçãoerInxx
xx
x
xxx
x
R - 14 5252
5lim -
-
® xx
x
( )( ) ( )
10525
105555
55
5
5
5
25
mindet00
02525
55
255
525
2
5
55
22
5
2
5
22
5
lim
limlimlimlim
lim
=--
=+=+=-
-+=
--
=--
=-
=--
=--
®
®®®®
®
xx
xx
xx
x
x
x
x
MatemáticaaçãoerInx
x
x
xxxx
x
R - 15 36
62
6lim -
-
® x
x
x
( )( )
121
36
6
121
661
61
66
6
6
6
36
6
mindet00
36360
366
66
36
6
26
6622
62
6
226
lim
limlimlimlim
lim
=--
=+
=+
=-+
-=
--
=--
=-
=--
=--
®
®®®®
®
x
x
xxx
x
x
x
x
x
MatemáticaçaõerInx
x
x
xxxx
x
R - 16 4162
4lim -
-
® xx
x
7
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( )
8416
84444
)4)(4(44
416
mindet00
44164
416
2
4
44
22
4
2
4
22
4
lim
limlimlimlim
lim
=--
=+=+=-
+-=
--
=--
=--
=--
®
®®®®
®
xx
xx
xxx
xx
x
MatemáticaaçãoerInx
x
x
xxxx
x
R - 17 255
25
lim --
® xx
x
101
25
5
101
551
51
)5)(5(5
5
5
25
5
mindet00
255
55
25
5
25
5522
52
5
25
25
lim
limlimlimlim
limlim
=--
=+
=+
=+-
-=
--
=--
=--
=--
®
®®®®
®®
x
x
xxxx
x
x
x
x
MatemáticaaçãoerInx
x
x
xxxx
xx
R - 18 128
1072
2
2lim +-
+-
® xx
xx
x
43
128
107
43
43
6252
65
)6)(2()5)(2(
128
107
mindet00
122.82
102.72
128
107
2
2
2
222
2
2
2
2
22
2
2
lim
limlimlim
limlim
=+-+-
=--
=--
=--
=----
=+-+-
=+-+-
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ENGENHARIA FUNEDI-UEMG CÁLCULO I – LIMITES Prof. Luiz Elpídio M. Machado
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162
7728179
7)9(8)9(7
78
2
9
22
9
lim
lim
-=+
++
-=-
=-
+-=
+-+-+-
=+
++
-®
-®
xxx
xxx
x
x
16
Page 16 of 27 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
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R - 71 7
782
7lim +
++
-® xxx
x
00
075649
777)7(8)7(
778 22
7lim =
+-=
+-+-+-
=+
++
-® xxx
x
Indeterminação matemática
( )
67
78
61717
)1)(7(7
78
2
7
77
2
7
lim
limlimlim
-=+
++
-=+-=+=+
++=
+++
-®
-®-®-®
xxx
xx
xxx
xx
x
xxx
R - 72 31356
lim +-
+¥® xx
x
136
31356
136
136
31356
lim
limlimlim
=+-
==+-
+¥®
+¥®+¥®+¥®
xx
xx
xx
x
xxx
R - 73 1
10178 23
3lim -
-+-
® xxxx
x
21
10178
224
2788210517227
1310)3(17)3(8)3(
110178
23
3
2323
3
lim
lim
-=-
-+-
-=-
=+--+-
=-
-+-=
--+-
®
®
xxxx
xxxx
x
x
R - 74 1
10178 23
1lim -
-+-
® xxxx
x
00
0101781
1110)1(17)1(8)1(
110178 2323
1lim =
-+-=
--+-
=-
-+-
® xxxx
x
Indeterminação matemática
( )( ) ( )
41
10178
410711071
10711
10178
23
1
2
1
2
1
23
1
lim
limlimlim
=-
-+-
=+-=+-=-
+--=
--+-
®
®®®
xxxx
xxx
xxxx
xxx
x
xxx
R - 75 1
452
1lim +
++
® xxx
x
( ) ( )
51
45
52
102
45111
41511
45
2
1
22
1
lim
lim
=+++
==++
=+
++=
+++
®
®
xxx
xxx
x
x
R - 76 1
452
1lim +
++
® xxx
x
17
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( ) ( )00
11451
114151
145 22
1lim =
+-+-
=+-
+-+-=
-+++
-® xxx
x
Indeterminação matemática
( )( ) ( )
31
45
34141
411
45
2
1
11
2
1
lim
limlimlim
=-+++
=+-=+=+++
=-+++
-®
-®-®-®
xxx
xx
xxx
xx
x
xxx
R - 77 34
4
62
6lim xx
xx
x +-
¥+®
362
6
3326
626
34
4
4
4
34
4
lim
limlimlim
=+-
===+-
¥+®
¥+®¥+®¥+®
xxxx
xx
xxxx
x
xxx
R - 78 8
32122
9lim -
+-
® xxx
x
58
3212
515
13210881
8932)9.(12)9(
83212
2
9
22
9
lim
lim
-=-+-
-=-
=+-
=-
+-=
-+-
®
®
xxx
xxx
x
x
R - 79 8
32122
8lim -
+-
® xxx
x
00
032)8.(12)8(
83212 22
8lim =
+-=
-+-
® xxx
x
Indeterminação matemática
( )
48
3212
4484)8(
)4).(8(8
3212
2
8
88
2
8
lim
limlimlim
=-+-
=-=-=-
--=
-+-
®
®®®
xxx
xx
xxx
xx
x
xxx
R - 80 522
2382
3
lim -++-
-¥® xx
xx
x
( ) ( )
-¥=-++-
-¥=¥-´===-++-
-¥®
-¥®-¥®-¥®
522238
4428
522238
2
3
2
3
2
3
lim
limlimlim
xxxx
xxx
xxxx
x
xxx
R - 81 1
78²lim
3 -+-
® xxx
x
428
27249
1373.8²3
178²
lim3
-=-
=+-
=-+-
=-+-
® xxx
x
R - 82 1
78²lim
1 -+-
® xxx
x
18
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( ) 6717)1(
)1)(7(1
78²
mindet00
11781
1171.8²1
178²
limlimlim
lim
111
1
-=-=-=-
--=
-+-
=-+-
=-
+-=
-+-
®®®
®
xx
xxx
xx
ticaaçãoMatemáerInx
xx
xxx
x
R - 83 xx
xx
x 624
734
34
lim --
+¥®
81
624
73
81
81
24
3
624
73
4
34
4
4
4
34
lim
limlimlim
=--
==--
+¥®
+¥®+¥®+¥®
xx
xx
x
x
xx
xx
x
xxx
R - 84 8
16102
2lim -
+-
® xxx
x
08
1610
06
06
1620482
16)2(1028
1610
2
2
22
2
lim
lim
=-+-
=-
=-+-
=-
+-=
-+-
®
®
xxx
xxx
x
x
R - 85 8
16102
8lim -
+-
® xxx
x
( )
68
1610
62828
)2)(8(8
1610
00
0168064
8816)8(108
81610
2
8
88
2
8
22
8
lim
limlimlim
lim
=-+-
=-=-=-
--=
-+-
=+-
=-
+-=
-+-
®
®®®
®
xxx
xx
xxx
xx
AÇÃOINDETERMINx
xx
x
xxx
x
R - 86 572
2382
3
lim -++-
¥® xx
xx
x
( ) ( )
+¥=-++-
¥+´====-++-
¥®
¥®¥®¥®¥®
572238
4428
28
572238
2
3
2
3
2
3
2
3
lim
limlimlimlim
xxxx
xxx
xx
xxxx
x
xxxx
R - 87 1
12198 23
2lim -
-+-
® xxxx
x
21
12198
212
122192821
12198
23
2
2323
2
lim
lim
=-
-+-
=-
-´+´-=
--+-
®
®
xxxx
xxxx
x
x
R - 88 1
12198 23
1lim -
-+-
® xxxx
x
19
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00
1112119181
112198 2323
1lim =
--´+´-
=-
-+-
® xxxx
x
51
12198
512171)127(1
)1)(127(1
12198
23
1
22
1
2
1
23
1
lim
limlimlim=
--+-
=+´-=+-=-
-+-=
--+-
®
®®®
xxxx
xxx
xxxx
xxx
x
xxx
R - 89 3
1 )1(6
lim --
® xx
x
x
3)1(6
--
xx
x
3)1(6
--
xx
0 6 2 -4 0,9 5.100 1,1 -4.999 0,99 5.010.000 1,01 -4.990.000 0,999 5.001.000.000 1,001 -4.999.000.000 0,9999 12100001,5 ´ 1,0001 12109999,4 ´-
+¥=--
-®3
1 )1(
6lim x
x
x
-¥=--
-®3
1 )1(
6lim x
x
x
31 )1(
6lim -
-
® x
x
x
não existe
R - 90 3
6116 23
3lim +
+++
® xxxx
x
203
6.11.6
206
12033
63354273
6116
23
3
23
3
lim
lim
=+
+++
==+
+++=
++++
®
®
xxxx
xxxx
x
x
R - 91 3
6116 23
3lim +
+++
-® xxxx
x
( )( )
( ) ( ) ( )
23
611.6
229923332.33
611.6
32.3.3
3611.6
00
06335427
336)3.(11)3.(6)3(
36116
23
3
22
3
23
3
2
3
23
3
2323
3
lim
limlim
limlim
lim
=+
+++
=+-=+-+-=++=+
+++
++++
=+
+++
=+-+-
=+-
+-+-+-=
++++
-®
-®-®
-®-®
-®
xxxx
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
x
xx
xx
x
R - 92 5
10178 23
2lim +
+++
® xxxx
x
20
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125
10178
127
847
103432852
10)2(17)2(8)2(5
10178
23
2
2323
2
lim
lim
=+
+++
==+++
=+
+++=
++++
®
®
xxxx
xxxx
x
x
R - 93 5
10178 23
5lim +
+++
-® xxxx
x
( )
125
10178
12215252)5(3)5(235
10178
5)5()23(
510178
00
5)5(10)5(17)5(8)5(
510178
23
5
22
5
23
5
2
5
23
5
2323
5
lim
limlim
limlim
lim
=+
++
=+-=+-+-=++=+
+++
++++
=+
++
=+-
+-+-+-=
++++
-®
-®-®
-®-®
-®
xxxx
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
x
xx
xx
x
R - 94 4
2x )2x(
x3lim -®
x 4)2(
3-xx
x
4)2(3-xx
1 3 3 9 1,9 4107,5 ´ 2,1 4103,6 ´ 1,99 81097,5 ´ 2,01 81003,6 ´ 1,999 1210997,5 ´ 2,001 1210003,6 ´ 1,9999 16109997,5 ´ 2,0001 16100003,6 ´ 1,99999 201099997,5 ´ 2,00001 201000003,6 ´
+¥=--®
42 )2(
3lim x
x
x
+¥=-+®
42 )2(
3lim x
x
x
+¥=-®
42 )2(
3lim x
x
x
R - 95 2
10178 23
4lim -
-+-
® xxxx
x
32
10178
326
2106812864
2410)4(17)4(84
210178
23
4
2323
4
lim
lim
-=-
-+-
-=-
=-+-
=-
-+-=
--+-
®
®
xxxx
xxxx
x
x
R - 96 2x
10x17x8x23
2xlim -
-+-
®
21
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32x
10x17x8x
35262)5x6x(2x
)2x)(5x6x(2x
10x17x8x
00
01034328
2210217)2(82
2x10x17x8x
23
2x
22
2x
2
2x
23
2x
2323
2x
lim
limlimlim
lim
-=-
-+-
-=+´-=+-=-
-+-=
--+-
=-+-
=-
-´+-=
--+-
®
®®®
®
R - 97 4
1 )1(6
lim -® xx
x
x 4)1(
6-xx
x
4)2x(
x6
-
0 0 2 12 0,9 4104,5 ´ 1,1 4106,6 ´ 0,99 81094,5 ´ 1,01 81006,6 ´ 0,999 1210994,5 ´ 1,001 1210006,6 ´ 0,9999 16109994,5 ´ 1,0001 16100006,6 ´ 0,99999 201099994,5 ´ 1,00001 201000006,6 ´
+¥=--®
41 )1(
6lim x
x
x
+¥=-+®
41 )1(
6lim x
x
x
+¥=-®
41 )1(
6lim x
x
x
R - 98
R - 99
R - 100
R - 101
R - 102
R - 103
R - 104
3 – Reta Tangente a uma Função
Definição – 1
Suponhamos que a função f seja contínua em 1x . A reta tangente ao gráfico de f no ponto ( )( )1
,1 xfxP = é:
22
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(i) a reta que passa por P tendo inclinação ( )1xta , dada por ( )( ) ( )
x
ffa xxx
xxt D
-= D+
®D
11
1 lim0
, se o limite existir;
(ii) a reta 1xx = se ( ) ( )
x
ff xxx
x D
-D+
®D +
11lim0
e ( ) ( )
x
ff xxx
x D
-D+
®D -
11lim0
forem ¥+ ou ¥- .
Calcule o valor da inclinação da reta tangente à função no ponto de abscissa 1x .
E-105. ( ) 83 -= xf x em 51 -=x .
E-106. ( ) 52 +-= xf x em 41 =x .
E-107. ( ) 134 -= xf x em 01 =x .
E-108. ( ) 154 2 ++= xxf x em 31 =x .
E-109. ( ) 172 2 +-= xxf x em 21 =x .
E-110. ( ) 283 2 -+-= xxf x em 11 =x .
E-111. ( ) 635 2 +-= xxf x em 01 =x .
E-112. ( ) xxf x 72 3 -= em 11 -=x .
E-113. ( ) 156 23 ++-= xxf x em 11 =x .
E-114. ( ) 1473
-+
=xx
f x em 21 -=x .
E-115. ( ) 52 += xf x para 61 =x .
E-116. ( ) 32 -= xf x para 21 =x .
E-117. ( ) 32 -= xf x para 51 -=x .
E-118. ( ) 16 23 -+= xxf x para 11 =x .
E-119. ( ) 16 23 -+= xxf x para 01 =x .
E-120. ( ) 54 23 ++-= xxf x para 31 =x .
E-121. ( ) 324 3 +--= xxf x para 21 -=x .
E-122. ( ) 43
-+
=xx
f x para 71 =x .
E-123. ( ) 43
-+
=xx
f x para 11 -=x .
E-124. ( ) 8372
--
=xx
f x para 41 =x .
Definição – 2
Suponhamos que a função f seja contínua em x . A reta tangente ao gráfico de f no ponto ( )( )xfxP ,= é:
(i) a reta que passa por P tendo inclinação ( )1xta , dada por ( )( ) ( )
x
ffa xxx
xxt D
-= D+
®Dlim
0
, se o limite existir;
(ii) a reta 1xx = se ( ) ( )
x
ff xxx
x D-D+
®D +lim
0
e ( ) ( )
x
ff xxx
x D-D+
®D -lim
0
forem ¥+ ou ¥- .
Exemplo
Determine a expressão que representa a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer do gráfico da função
Ex.-14 ( ) 543 2 +-= xxf x
Ex.-15 ( )23 7xxf x -=
Ex.-16 ( ) 4732+-
=x
xxf x
Exercício
Determine a expressão que representa a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer do gráfico da função
23
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E-125. ( ) 564 2 ++= xxf x
E-126. ( ) 976 2 -+-= xxf x
E-127. ( ) 145 3 --= xxf x
E-128. ( ) 1282 23 ---= xxf x
E-129. ( ) 7225
+-
=xx
f x
Resposta
R - 105 3
R - 106 2-
R - 107 4
R - 108 29
R - 109 1
R - 110 2
R - 111 3-
R - 112 1-
R - 113 8-
R - 114 8131
-
R - 115 2
R - 116 4
R - 117 10-
R - 118 15
R - 119 0
R - 120 102-
R - 121 50-
R - 122 97
-
R - 123 257
-
R - 124 165
R - 125 ( ) 68 += xa xt
R - 126 ( ) 712 +-= xa xt
R - 127 ( ) 415 2 -= xa xt
R - 128 ( ) xxa xt 166 2 --=
R - 129 ( ) ( ) 272
39
+=
xa xt
4 – Aplicação
4.1 – Movimento retilíneo
Serão usadas unidades do sistema internacional de medidas (SI) para o tempo e o comprimento, segundo ( )s e
metro ( )m , respectivamente.
4.1.1 – Velocidade
A velocidade de um corpo é definida como a variação da posição pela variação do tempo, ou seja, ( ) ( )
12
12
tt
PPv tt
-
-=
A velocidade é dita instantânea quando a variação do tempo tende a zero. Para determinar a velocidade instantânea
em um tempo específico usa-se o limite ( )( ) ( )
1
1
1
1 lim tt
PPv tt
ttt -
-=
®
, para determinar a função velocidade usa-se o limite
( )( ) ( )
t
PPv ttt
tt D
-= D+
®Dlim
0
.
4.1.2 – Aceleração
A aceleração de um corpo é definida como a variação da velocidade pela variação do tempo, ou seja,
( ) ( )
12
12
tt
vva
-
-=
24
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A aceleração é dita instantânea quando a variação do tempo tende a zero. Para determinar a aceleração instantânea
em um tempo específico usa-se o limite ( )( ) ( )
1
1
1
1 lim tt
vva tt
ttt -
-=
®
, para determinar a função aceleração usa-se o limite
( )( ) ( )
t
vva ttt
tt D
-= D+
®Dlim
0
.
Exemplo
Ex.-17 Dada a função posição ( ) 745 3 +-= ttP t , determine a velocidade instantânea no tempo st 3= .
Ex.-18 Seja ( ) 462 -+= ttv t , determine a aceleração instantânea no tempo 0=t .
Exercícios
Dada a função posição determine a velocidade instantânea no tempo dado.
E-130. ( )
732
+-= ttPt
em st 2= .
E-131. ( )
4543
-+= ttPt
em st 1= .
E-132. ( ) 23
4+
=tt
Pt
em 0=t .
Dada a função velocidade determine a aceleração instantânea no tempo dado.
E-133. ( ) ttv t 72 3 +-= em st 41 = .
E-134. ( )23 8ttv t -= em st 11 = .
E-135. ( ) 1
542 +-
=t
tv t em st 21 = .
Respostas
R - 130 sm1
R - 131 sm17
R - 132 sm2
R - 133 289 sm-
R - 134 213 sm-
R - 135 2
258
sm ou 232,0 sm
4.2 – Economia
E-136. O custo médio por disco em reais que a Companhia Herald Record tem ao fabricar x videodiscos é dado pela função
custo médio ( )x
C x7500
6,6 += . Calcule ( )x
x
Clim¥+®
e interprete o resultado obtido.
E-137. O custo médio (em reais) obtido pela Gravadora Lincoln por semana na fabricação de q CDs é dado por
( )q
qC q000.2
20001,0 ++-= , para 000.60 £< q . Interprete a variação de C neste intervalo.
E-138.
E-139. A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteria é aproximada pela função
( ) 4
7202
2
+=
t
tA t onde ( )tA é medido em milhões de reais e t é o número de meses do filme em cartaz.
a) Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro mês de lançamento?
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b) E após o segundo mês?
c) E após o terceiro mês?
d) Qual será a arrecadação do filme a longo prazo?
E-140. Um estudo de despesas com automóveis baseado em carros populares (quatro cilindros) modelo 1992 revelou que o
custo médio (prestações, combustível, seguro, manutenção e depreciação), medido em centavos por quilômetro, é
aproximado pela função ( ) 40,536030
2,2+=
xC x onde x denota o número milhares de quilômetros rodados em 1
ano.
a) Qual é o custo médio ao dirigirmos um determinado veículo por 5000 km/ano?
b) E por 10.000 km/ano?
c) E por 15.000 km/ano?
d) E por 20.000 km/ano?
e) E por 25.000 km/ano
f) Use os das anteriores para esboçar o gráfico da funçãoC .
g) O que acontece com o custo médio quando o número de quilômetros cresce ilimitadamente?
E-141. Numa certa cidade, descobriu-se que seu principal reservatório de água foi contaminado com tricloroetileno, um
composto químico cancerígeno, em razão de um vazamento ocorrido num depósito de lixo químico abandonado. Uma
proposta submetida aos membros do conselho da cidade indica que o custo, medido em milhões de reais, da remoção
de p por cento do poluente tóxico é dada por ( ) pp
C p -=
1005,1
para 1000 << p .
a) Determine o custo da remoção de 50%, 60%, 70%, 80%, 90%, 95%, 99% e 99,9%do poluente.
b) Calcule ( )px
Clim100®
e interprete o resultado.
E-142. Um grande grupo imobiliário está construindo um complexo de casas, escritórios, lojas, escolas e igrejas numa área de
5.000 acres no distrito de Ermida (Santo Antônio dos Campos), em Divinópolis. Como resultado desse investimento, os
projetistas estimam que a população de Ermida (em milhares) daqui a t anos será dada por
( ) 405
200125252
2
++++
=tt
ttP t .
a) Represente o gráfico de P na região retangular [ ] [ ]30,050,0 ´ .
b) Qual será a população de Ermida a longo prazo?
Resposta
R - 136 R$ 6,60. O custo médio da fabricação de videodiscos se aproxima de R$6,60 por disco a longo prazo.
R - 137 (a) R$144 milhões
(b) R$360 milhões
(c) R$498,5 milhões
(d) R$720 milhões
R - 138 (a) 228,23 centavos/milha
(b) 91,45 centavos/milha
(c) 68,99 centavos/milha
(d) 61,68 centavos/milha
(e) 58,47 centavos/milha
(f)
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(g) 53,4 centavos/milha
R - 139 (a) ( ) milhõesC 5,150 = ; ( ) milhõesC 25,260 = ; ( ) milhõesC 5,370 = ; ( ) milhõesC 0,680 = ;
( ) milhõesC 5,1390 = ; ( ) milhõesC 5,2895 = , ( ) milhõesC 5,14899 = ; ( ) milhõesC 5,14989,99 =
(b) O limite não é definido, à medida que a porcentagem de poluentes a ser removido se aproxima de 100%, o custo
se torna extremamente alto.
R - 140 (a)
(b) 25.000 habitantes
Bibliografia
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. Tradução Cyro de Carvalho Patarra. Revisão técnica
Wilson Castro Ferreira Junior e Silvio Pregnolatto. 3. ed. São Paulo: Ed. Harbra, 1994. v.1. 685p.
TAN, S.T. Matemática aplicada á administração e economia. 5.ed. americana Trad. Edson de Faria. São
Paulo: Pioneira Thompon Learning, 2003. 638p.
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