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1
unesp CAMPUS DE GUARATINGUETÁ Computação e Cálculo Numérico
Prof. G.J. de Sena - Depto. de Matemática – Ed. 2005.
CAPÍTULO 1
ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE 1.1. Representação de Números num Sistema de Aritmética de Ponto Flutuante
O Sistema Computacional de Aritmética de Ponto Flutuante é utilizado por calculadoras e computadores na representação dos números e execução das operações. Um número qualquer na base β em aritmética de ponto flutuante de t dígitos tem a forma:
et
ddd ββ ×± )...21
(.
onde
(. ... )d d d t1 2 é a mantissa , 0 ≤ dj ≤ β - 1, j = 1, ... t
e é um expoente no intervalo [m, M]
Observações:
- m, M dependem da máquina utilizada
- um número em aritmética de ponto flutuante está normalizado se d1 0≠
- o número máximo de dígitos da mantissa (t) é definido em termos do comprimento da palavra do computador
- dado um número N, sua representação em aritmética de ponto flutuante de t dígitos é efetuada por truncamento ou arredondamento.
- erros decorrentes da impossibilidade de se representar um número dado:
"OVERFLOW" SE e M>
"UNDERFLOW" SE e m<
Preservamos o máximo de exatidão normalizando todos os resultados.
Ex.:
t m
M
= = −
= =
3 4
10 4β
REPRESENTAÇÃO
x ARREDONDAMENTO TRUNCAMENTO
1,25 2.71828 -238.15
0.000007 718235.82
0.125 x 10 0.272 x 10
-0.238 x 103 - -
0.125 x 10 0.271 x 10
-0.238 x 103 - -
2
Uma representação com t dígitos na mantissa é dada estar em precisão simples. Um sistema de precisão dupla é um sistema de aritmética de ponto flutuante com aproximadamente o dobro de dígitos disponíveis para a mantissa
1.2. ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS
ERRO ABSOLUTO: É a diferença entre o valor exato de um número x e seu valor aproximado x :
EA x xX
= −
Ex.: ( )π π∈ 314 315. , . , um valor tomado dentro deste intervalo,
EAπ
π π= − < 0 01. (limitante superior p/ o módulo do erro)
Ex.:
( )x
x
EAx
=⇒ ∈
<
2112 92112 8 2113
01
.. ,
.
EAy
yy
<
=⇒ ∈
0 1
5 35 2 5 4
.
.( . , . )
ERRO RELATIVO: É o quociente do erro absoluto pelo valor aproximado:
EREA
x
x x
xx
x= =−
Ex.:
x
EREA
xx
EA
x
x
x
=
⇒ = < ≅
<
−
2112 9
01
2112 94 7 10
01
5
.
.
.,
.
1.0
02.03.5
1.0
3.5
<
≅<=⇒
=
y
y
y
EA
y
EAER
y
∴ o erro relativo fornece uma indicação do grau de precisão da representação. 1.3. ERROS DE ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO
EM UM SISTEMA DE ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
Se um dado número x não tem representação finita na base numérica empregada numa máquina, ou se o comprimento da palavra não comporta x, uma aproximação será obtida por arredondamento ou por truncamento. Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de t dígitos (base 10); x pode ser escrito na forma:
3
.10 11.01010 <≤<≤×+×= −xx
te
x
e
x gefondegfx
Exemplo:
7.02345.0
107.0102345.0
57.234,413
==⇒
×+×=
==−
xx gef
x
xt
TRUNCAMENTO:
O termo
ter)pode f que mínimo valor o é 0.1 (pois
10101.0
10
10
10
)1|g| (pois1010
10
dodespreza é10
x
1
x
+−−−
−−
−
=×
<×
×==
<<×=−=
×=∴
×
t
e
te
e
x
te
xx
x
tete
xx
e
x
te
x
f
g
x
EAER
gxxEA
fx
g
ARREDONDAMENTO: Arredondamento simétrico:
≥+×
<×=
−
2
1,1010
2
1,10
x
tee
x
x
e
x
gsef
gsef
x
1102
1
101.0
1021
10
10
102
110
:2
1
+−−−
−−
×=×
×<
×
×==
<×=−=
<
t
e
te
e
x
te
xx
x
tete
xx
x
f
g
x
EAER
xgxxEA
gSe
( ) ( )
( )
102
1
101.0
1021
10
1021
1010
1021
102
1101
1010
10101010
:21
1+−−−
−
−
−−
−−
−−
×=×
×<
×
×<
+×
×≤=
×≤×−=
−×=
+×−+×=−=
≥
t
e
te
e
x
te
tee
x
tex
x
tete
x
tete
x
tee
x
te
x
e
xx
x
ffx
EAER
xg
g
fxgfxxEA
gSe
4
RESUMO TRUNCAMENTO
EA
ER
x
e t
x
t
<
<
−
− +
10
10 1
ARREDONDAMENTO
1102
1
102
1
+−
−
×<
×<
t
x
te
x
ER
EA
Exemplo:
2
4
101272.0
?
10937.0
×=
=+
×=
y
yx
x
Solução
A mantissa do número de menor expoente deve ser deslocada para a direita de um número de casas igual à diferença entre os dois expoentes.
{x x y x
x y x x
= =
∴ + = + =
−
0 937 10 0 001272 10
0 937 0 001272 10 0 938272 10
4
4 2
4
4 4
. .
( . . ) .resultado exato
1 244 344
Sistema com t = 4
truncamento x y x
arredondamento x y x
= + == + =
0 9382 100 9383 10
4
4
..
Para o caso de arredondamento:
414
15
105102
1
102
1109841.2
9383.0
9383.0938272.0)()(
−+−
+−−+
==
<=−
=+
+−+=
x
xyx
yxyxER t
yx
Ex.:
xx
x
x
1
2
1
01246 100 3290 10
== −
..
( ))( 101278.101278.
10003290.1246. 103290.101246.1
211
11121
otruncamentxx
xxx
×=+∴×=
+=×+×=+ −
Exemplo:
x.y = ?
Solução:
6
6
6
6
24
101192.0.
101191.0.
101191864.0
10)1272.0937.0(
)101272.0()10937.0(.
×=
×=∴
×=
×=
×=
yxentoarredondam
yxotruncament
x
xxyx
5
O zero em ponto flutuante é, em geral, representado com o menor expoente possível da máquina. O exemplo a seguir ilustra a razão desta necessidade. Exemplo:
x xy x
x y x x
x y x
==
⇒ + = + =⇒ + =
0 0000 1001234 10
0 0000 0 001234 10 0 001234 100 0012 10
4
2
4 4
4
.
.( . . ) ..
∴ Exemplo de zero de ponto flutuante: 0 0000 10 50. x −
1.4. PROPAGAÇÃO DE ERRO
Obtenção de expressões para os erros absoluto e relativo no resultado de cada uma das quatro operações aritméticas, como funções de seus operandos e de seus erros.
(a) Adição (x+y)
)()()()( yxyx EAEAyxEAyEAxyx +++=+++=+
∴EA EA EAx y x y+
= +
EREA
x y
EA
x
x
x y
EA
y
y
x yx y
x y x y
+
+
=+
=+
+
+
=.
⇒ ER ERx
x yER
y
x yx y x y+=
+
+
+
.
(b) Subtração (x-y)
EA EA EAx y x y−
= −
ER ERx
x yER
y
x yx y x y−=
−
−
−
.
(c) Multiplicação: (x.y)
x y x EA y EA xy xEA yEAx y y x. ( ).( )= + + = + + +
∴ ER x EA y EAx y y x.
. .= +
ERx EA y EA
x y
EA
x
EA
yx y
y x x y
.
. .
.=
+= +
∴ER ER ERx y x y.
= +
(d) Divisão (x/y)
x
y
x EA
y EA
x EA
y EA
y
x EA
y
EA
y
x
y
x
y
x y
=+
+=
+
+
=+
+
−
.1
1
1
1
6
aproximaç ão do binômior nr p rn( ) , /1 1 1+ ≅ + <<
∴ ≅+
−
x
y
x EA
y
EA
y
x y
. 1
= − + −x
y
xEAy
y
EAx
y2
∴ ≅ + −
∴ ≅ −
x
y
x
y
EA
y
x EA
y
EAEA
y
x EA
y
x y
x y
x y
.
./
2
2
∴EAy EA x EA
yx y
x y
/
. .=
−2
ERy EA xEA
y
y
x
EA
x
EA
yx y
x y x y
/
..=
−= −
2
∴ = −EREA
x
EA
yx y
x y
/ ∴ER ER ER
x y x y/= −
Exemplo:
Sistema de aritmética de ponto flutuante
t = 4= 10β
dosrepresentaexatamente merosnú
102585.0
102145.0
107237.0
1
3
4
×=
×=
×=−
z
y
x
Efetuar as operações e obter o erro relativo no resultado (arredondamento) (a) x + y + z (d) (x y)/z (b) x - y -z (e) x . (y/z) (c) x/y
Solução de (b)
{w x y zs
s
= − −1
2
124 34
41
4
41
107237.0
1072369998.0
10)00000002.07237.0(
×=∴
×=
×−=−=
s
yxs
42
4412
3141
107234.0
107234415.010)0002585.07237.0(
102
110
2
1
×=∴
×=×−=−=
×=×<∴ −+−
s
zss
ERs
7
ERs ERss
s z2 1
1
1
=−
−.
z
s zRA
1−
+
1432 10
2
1
7234.0
7237.010
2
1 +−− ×+×<∴ xERs
3
4
32
100002.1
107234.0
100002.1
−−−
−
×<
×=−−∴
×<
zyxER
zyx
ERs
Exercício: Supondo que x é representado num computador por x , onde x é obtido por arredondamento, obtenha os limites superiores para os erros relativos de u=2x e w=x +x . Respostas:
ERuERw
t
t
<<
− +
− +
1010
1
1
Exercício: Idem para u 3x e w = x + x + x Respostas:
ERu e ERw xt t< <− + − +104
3101 1
Exercício: Sejam x e y as representações de x e y obtidas por arredondamento em um computador. Deduza expressões de limite de erro para mostrar
que o limite do erro relativo de u = 3x - y é menor que o limite do erro relativo de w=( ) .x x x y+ + −
Respostas:
ER x ER xut
wt< <− + − +2 10
7
3101 1
Exemplo:
Solução do item (d) do exemplo anterior:
{
11
1341
101552.0
10152336.0102145.07237.0(.
/).(
2
1
×=∴
×=×==
=
−
s
xyxs
zyxw
s
s 4321
6004.0
6003868.0
10)2585.01552.0(
102
1
102
110
2
110
2
1
2
1112
31
31411
=∴
=
×==
<∴
×==×<∴
−
−
−+−+−
s
zss
ERs
ERs t
8
∴ < + =− − −ERs2
3 3 31
210
1
210 10
∴( . ) / .
( . ) /x y z
ER x y z
=<
−
0 600410
3
Solução do item (e): w x y z
s
s
= . ( / )1
2
123124 34
41
4131
108298.0
108297872.010)2585.02145.0(−
−−
×=
×=×==
s
zys
6005.0
6005262.010)8298.07237.0(.
2
4412
=∴
=×== −
s
xsxs
ERs2 = ERs RA ERs1 23 31
210
1
210+ ∴ < +− −
⇒ < −ERs2
310
∴( . ) / .
. ( / )x y z
ERx y z
=<
−
0 600510
3
Ex.: implementação com dígito de proteção ou dígito de guarda: (imediatamente à direita da mantissa do número de menor expoente).
( ) 3321
22
31
1007467.1003173.1064.
103173.
101064.
×=×−=+
×−=
×=
xx
x
x
com dígito de guarda: x x x1 2
27467 10+ =.
sem digito de guarda: x x x1 2
27460 10+ =.
Exemplo:
ivo!significat é não zero este
106550.100655.
101976.102631.1
212
21
22
21
↑
×=+∴×=+
×=×=
xxxxx
xx
Exemplo:
9921 10999.10999. ×=×= xx
43421
Supor que é o maior valor possível na representação da máquina:
9
flutuantepontodeOverflowxx ""109998.1 9921 ⇒×=+∴
(interrupção). 1.5. REPRESENTAÇÕES EM DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERAÇÃO a) decimal flutuante Notação utilizada:
x f
f
e=
≤ <
. 101
101
f mantissae característica
::
entoarredondamER
otruncamentER
t
x
t
x
1
1
102
1
10
+−
+−
<
<
b) máquina binária x f
f
e=
≤ <
. 21
21
Porquê f ≥1
2 para base 2?
Ex.: Considere-se o decimal 30:
)(246875.030
)(29375.0306
5
bou
a
×=
×=
Optando-se por (a):
9375.016
1
8
1
4
1
2
11111.0
1110.0
020
0.125.0
50.1275.0
75.12875.0
875.129375.0
=+++→
=×
=×
=×
=×
=×
x
Optando-se por (b): 0.467875 x 2 = 0.9375
. 1o dígito = 0
ER arredondamento
ER truncamento
x
t
x
t
<
<
−
− +
2
2 1
c) sistema hexadecimal
x f
f
e=
≤ <
. 161
161
ER x arredondamento
ER x truncamento
x
t
x
t
<
<
−
−
8 16
16 16
10
Exercício: obter as expressões dos erros relativos para os sistemas binário e hexadecimal. Diz-se que um computador digital tem uma precisão de t dígitos se há t dígitos na mantissa no número de ponto flutuante. A precisão está relacionada com o número de algarismos significativos. Também se diz que um computador tem t dígitos significativos se, quando os números são truncados, o limite do erro relativo é 10 1− +t . Exemplo: IBM 360 e 370 mantissa com 6 dígitos hexadecimais p = ? (dígitos significativos) sist. decimal = 10 101 1− + − +=td p sist. hexadecimal = 56 1616161616 −−− == xx th
∴ =− + −10 161 5p
( )
710ln
16ln51
10ln
16ln51
16ln510ln1
≅⇒+=
−=+−
−=+−
pp
p
p
Exercício: computador binário com 27 bits na mantissa; p = ? (dígitos decimais significativos).
Apêndice ao capítulo: breves considerações sobre sistemas de numeração A tabela a seguir sumariza algumas das características de algumas bases de sistemas de numeração:
BASE DÍGITOS DENOMINAÇÃO
2
8
10
16
0,1
0,1,2,...,7
0,1,2,...,7,8,9
0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F,
binário
octal
decimal
hexadecimal Considere-se inicialmente o número 2526 (base 10), denotado aqui por 2526
10 Este número pode ser escrito em termos de potências da
base como: 2526 2 10 5 10 2 10 6 10
10
3 2 1 0= + + +x x x x Mudança de uma base para outra
Para conversão de um número da base 10 para qualquer uma das outras bases, divide-se o número pela base, anotando-se o quociente e o resto. Caso o quociente seja diferente de zero, este deverá ser dividido pela base, anotando-se os novos valores de quociente e resto. O processo deve ser continuado até que se obtenha um quociente igual a 0. O número, na base de interesse, terá como dígitos os restos obtidos, justapostos em ordem contrária à de geração.
11
Exemplo: Converter 2910 para os sistema binários, octal e
hexadecimal.
29 2
(1) 14 2 29 1110110 2
=
(0) 7 2
(1) 3 2
(1) 1 2
(1) 0
29 8
(5) 3 8 29 3510 8
=
(3) 0
29 16
(13) 1 16 29 110 16
= D
(1) 0
Para conversão da representação nas bases 2, 8 e 16, para a base 10, basta utilizar a representação do número em termos de potência das bases, como ilustrado no exemplo a seguir.
Ex.: mostrar como são convertidos as representações 11101
2,
35 108 16
e para base 10
( )( )( )
11101 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2 2935 3 8 5 8 2910 1 16 13 16 29
2
4 3 2 1 0
10 10
8
1 0
10
16
1 0
10
= + + + + == + == + =
x x x x x
x x
x x
Para conversão da representação na base 2 para as bases 8 e 16, basta agrupar os bits da representação binária em conjuntos de
( ) ( )3 2 8 4 2 163 4= =e bits, respectivamente, como ilustrado no exemplo a seguir.
Ex.: obter as representações nas bases 8 e 16 para o número 11101
2
{{011101
11101 352 2 52 2 3
2 82 0
1 0
⇒ =+ =+ =
0001 1101
11101 12 2 2 13
2 1
2 163 2 0
0
123 123
⇒ =+ + =
=
D
Os exemplos a seguir ilustra a conversão de números fracionários, de base 10 para base 2.
12
Ex.: obter a representação, na base 2, do número 0 687510.
0.6875 x 2 =
0.375 x 2 =
0.75 x 2 =
0.50 x 2 =
0.00 x 2 =
1.
0.
1.
1.
0.
375
75
50
00
00
∴ =0 6785 0101110 2. . Observar que a conversão para a base 10 segue o mesmo esquema apresentado para inteiros, ou seja:
( )01011 1 2 0 2 1 2 1 2 0 68752
1 2 3 4
10 10. .= + + + =− − − −x x x x
Ex.: obter a representação, na base 2, do número 0.110 0.1 x 2 = 0.2 0.2 x 2 = 0.4 0.4 x 2 = 0.8 0.8 x 2 = 1.6 0.6 x 2 = 1.2 0.2 x 2 = 0.4 0.4 x 2 = 0.8 0.8 x 2 = 1.6 0.6 x 2 = 1.2 . 01 0 00011001100
10. . ...=
Notar que o número 0110. não tem representação exata na base 2.
CAPÍTULO 2
RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES
INTRODUÇÃO Em muitos problemas de Ciência e Engenharia há a necessidade de se determinar um número ρ que anule uma determinada função F(x), isto é, F(ρ ) = 0. Este número ρ é chamado de raiz da equação F(x) = 0 ou zero da função y= F(x). Classificação: (i) eq. algébricas: Ex.: x x x x4 3 25 6 4 8 0− + + − = (ii) eq. transcendentes: Ex.: x x x e x
xsen ( ) cos+ + =2 4 Etapas no cálculo de uma aproximação para a raiz: (i) isolamento da raiz: determinação de um intervalo [a,b] o menor
possível contendo uma e somente uma raiz da equação F(x) = 0 (ii) melhoramento do valor da raiz aproximada até o grau de exatidão
requerido. EQUAÇÕES TRANSCENDENTES 2.1.1 ISOLAMENTO DE RAÍZES - MÉTODO GRÁFICO
Uma raiz real de uma equação F(x) = 0 é a abscissa de qualquer ponto no qual a função y = F(x) intercepta o eixo 0x:
13
Ex.: seja y = F(x) = ex - senx - 2
-2 -1 1 2 3 4
-1
-0.5
0.5
1
Como se observa, para esta equação, 06.1≅ρ . Pode-se também identificar duas funções g(x) e h(x) a partir da função F(x), impondo-se a condição de que F(x) = g(x) - h(x). Constroem-se os gráficos de y1 = g(x) e de y2 = h(x). Estes se interceptam num ponto cuja abscissa é x = x0:
⇒ g(x0) - h(x0) = F(x0) = 0
⇒ ρ = x0
Exemplo: isolar todas as raízes da equação
{ 43421)()(
2
2
)1(sen
1sen)(
xhxg
xx
xxxF
+−=
−−=
Gráfico de 2)( xxg = :
-2 -1 1 2
1
2
3
4
14
Gráfico de h(x) = sen x + 1:
-2 -1 1 2
0.5
1
1.5
2
Gráficos de g(x) e h(x) superpostos:
-2 -1 1 2
1
2
3
4
Como se observa, há duas raízes reais, localizadas nos seguintes intervalos:
)2,1(2
)0,1(1
∈−∈ ρρ e .
Exercício: Localize, graficamente, as raízes das equações abaixo:
032)
02
)
01log)
039)
0)cos(4)3
2
=−
=−
=−
=+−
=−
xe
xtgx
d
xxc
xxb
exa
x
x
2.1.2 GRAU DE EXATIDÃO DA RAIZ
Uma vez isolada uma raiz num intervalo [a,b] passa-se a calculá-la através de métodos numéricos. Estes métodos fornecem uma seqüência {xi}de aproximações cujo limite é a raiz exata ρ. TEOREMA: Seja ρ uma raiz isolada exata e ρ uma raiz aproximada da equação F(x)=0, com ρ e ρ pertencentes ao intervalo [a,b] e
.b][a, intervalo nox todopara,0)(' >≥ mxF
Então a seguinte desigualdade se verifica:
m
F )(ρρρ ≤−
Exemplo: Sendo 1)sen()( 2 −−= xxxF , delimitar o erro cometido com ρ = 1.4 no intervalo [1,0,1,5]. Resolução:
15
)cos(2)('1)sen()( 2 xxxFxxxF −=⇒−−= Designando ),cos(2 21 xyexy == sobrepondo-se os gráficos destas duas funções, obtém-se:
0.5 1 1.5 2
1
2
3
4
Observa-se que o menor valor (m) de F’(x) no intervalo [1,1.5] ocorre em x = 1.0, ou seja: m = (2)(1) – cos(1) = 1.460
=≤−∴m
F )(ρρρ 017,0
46,1
025,0
460,1
)4,1(==
F
417,1383.1017,04,1 ≤≤⇒≤−=−∴ ρρρρ
Observa-se que o cálculo de m é difícil de ser efetuado na maioria dos casos. Por esta razão, no cálculo de uma aproximação para uma raiz exata ρ de uma equação F(x) = 0, a cada aproximação obtida, xn, utiliza-se um dos critérios abaixo para comparação do resultado obtido com uma tolerância L prefixada:
L
nx
nxnxiiiLnxnxiiLnxFi ≤−−
≤−−≤ 1)(1)()()(
Observações:
(a)
(b)
16
O MÉTODO DA BISSECÇÃO Seja y = F(x) uma função contínua num intervalo [a,b] e F(a). F(b) < 0 Interpretação geométrica:
Construção de uma seqüência { }x x x x xi n n
=−0 1 1
, ,..., , , tomando-se
ρ = xn quando algum critério escolhido dentre os anteriores, por exemplo, x x Ln n− ≤−1 , for satisfeito:
Na aplicação do método, a cada xi obtido, (i ≥ 1), calcula-se ∈ = − −i i ix x 1 e verifica-se ∈i satisfaz alguma condição especificada. Teorema: Seja y = F(x) uma função contínua num intervalo [a,b]. Se
0)().( <bFaF então existe pelo menos um ponto x = ρ entre a e b que é zero de y = F(x).
Sob as hipóteses do teorema anterior, se h = F'(x) existe e preserva o sinal em (a, b), então este intervalo contém um único zero de y = F(x).
],[,0)(' baxxF ∈∀> ],[,0)(' baxxF ∈∀< .
17
Aplicação do método da bisseção:
<
<
=
<
0)().(),(
0)().(),(
0)().(
),(
int
bFxFsebx
ou
xFaFsexa
médiopontox
bFaF
ba
i
ervalonovo
i
ii
i 321
Exemplo: Determinar, usando o método da bisseção uma aproximação para a raiz da equação
0.01 com (1,2), intervalo no 05)( ≤=−= − εxexxF
Resolução:
i a b xi F(a) F(b) F(xi) ε i i ix x= − −1
0
1
2
3
4
5
6
1
1
1.25
1.38
1.38
1.41
1.43
2
1.5
1.5
1.5
1.44
1.44
1.44
1.5
1.25
1.38
1.44
1.41
1.43
1.44
-0.8
-0.8
-0.3
-0.08
-0.08
-0.03
-0.0007
0.7
0.1
0.1
0.1
0.02
0.02
0.02
0.1
-0.3
-0.08
0.02
-0.03
-0.0007
0.02
εi
x x= − =1 0
0 25.
ε2 2 1
013= − =x x .
ε3 3 2
0 06= − =x x .
ε4 4 3
0 03= − =x x .
ε5 5 4
0 02= − =x x .
ε6 6 5
0 01= − =x x .
Assume-se para aproximação da raiz o último valor obtido para xi, ou seja, 44.1=ρ .
Algoritmo Início Defina F(x) = x^2-sen(x)-1 Solicite os extremos do intervalo, a e b Leia a, b Solicite a precisão P Leia P Xm=(a+b)/2 Repita Se f(a)*f(xm) < 0 Então b=xm Senão se f(a)*f(xm) > 0 Então a=xm Senão Escreva ‘raiz = ‘, xm Pare Fim Se Fim Se Xma=xm
Até que |xm-xma| ≤ P Escreva ‘aproximação ‘, (xm+xma)/2 Fim 2.1.4 MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR (MIL) O MIL consiste em transformar a equação F(x) = 0 na equação x = ϕ (x), tal que ( ) ( )F x x x= − =ϕ 0 , onde ( )ϕ x é chamada de função de
iteração. Suponha que xo corresponda a uma primeira aproximação de ρ; geramos uma seqüência do seguinte modo:
18
xo
x1 = ϕ (xo)
x2= ϕ (x1)
xn+1= ϕ (xn)
Se {xn} é uma seq. convergente, então ∃ ρ tal que
limn
nx→∞
= ρ
Como ϕ é contínua:
)()lim()(limlim 11 ρϕϕϕρ ==== −∞→
−∞→∞→
nn
nn
nn
xxx
Portanto, quando ,∞→n ).()(1 ρϕρϕ =→=+ nn xx Ou seja, .ρρ =
Exemplo: Seja 0)sen()( 2 =−= xxxF . Obter funções de iteração para esta equação. Solução:
(a) x2 - sen x = 0
x + x2 - sen x = x
( ) xxxx sen 21 −+=∴ϕ
( )
senx= x
sensensen
0sen 2
2
±
=+−
=−
xxxx
xxb
( ) xx sen 2 =∴ϕ
( )
2
2
222
2
sen
sen
sen
0sen
xarcx
xx
xxxx
xxc
=
=
−=/−−/
=−
( ) 23 sen xarcx =∴ϕ
Exemplo: Determinar uma aproximação para a raiz da equação
( )F x x x= − − =2 1 0sen no intervalo [1.0, 1.5], com grau de exatidão 310−∈≤ usando o M.I.L.
Solução:
Função de iteração: ( )
1sen
1sen
01sen2
2
+=⇒
+=⇒
=−−=
xx
xx
xxxF
( ) 1sen +=∴ xxϕ
Processo Iterativo:
( ) ( )3.1
10 1sen 3111
=
≤−=+=⇒= −−++
o
nnnnnnn
x
xxxxxx εϕ
( ) ( ) 4013.113.1sen1 =+== oxx ϕ
001.01013.03.14013.111 >=−=−= oxxε
19
( ) ( ) 4091.114013.1sen12 =+== xx ϕ
001.00078.0140134091.1122 >=−=−= xxε
( ) ( ) 4096.114091.1sen23 =+== xx ϕ
001.00005.0140914096.1233 <=−=−= xxε
∴ = ρ 14096. com grau de exatidão ≤ − 10 3
Obs.: ( ) ( ) ( ) 52 1038.614096.1sen4096.1 −−=−−= xF ρ . Exemplo:
Seja determinar, iterativamente, uma aproximação para 5 . (a) tentativa com a função de iteração simplificada:
x
ax
ax
ax
=
=
=−2
2 0
(função de iteração : x = ϕ(x))
x
ax =)(ϕ
)(
4.1
5
1
0
nn xx
x
a
ϕ=
=
=
+
5.1333.3
5)(
333.35.1
5)5.1()(
5.1
12
01
0
===
====
=∴
xx
xx
x
ϕ
ϕϕ
( ) 0x=xF
equação da raiz a para converge não 5
)(
333.35.1
5)(
2
1
23
=−
==∴
===
+
a
xxx
xx
n
nn ϕ
ϕ
(b) tentativa com uma função de iteração mais trabalhada:
x
axaxax =⇒=⇒=− 22 0
+=∴=
+=∴+=+
++n
nnnnx
axxxx
x
axxx
x
axx
2
1)(
2
1
11 ϕ
=
=
5.1
5
0x
a
+=+
n
nnx
axx
2
11
1n
-3
:passo cada
10 :TOLERÂNCIA
−−=
≤
nn xxa ε
ε
=−=
=
+=
+==
=
917.05.1417.2
417.25.1
55.1
2
15
2
1)(
5.1
1
0
001
0
ε
ϕx
xxx
x
20
=−=
=
+==
174.0417.2443.2
243.2417.2
5417.2
2
1)(
2
12
ε
ϕ xx
=−=
=
+==
007.0243.2236.2
236.2243.2
5243.2
2
1)(
3
23
ε
ϕ xx
236.2236.2
10236.2236.2
236.2236.2
5236.2
2
1)(
34
34
≅⇒=∴
<−=
=
+==
−
ρρ
ε
ϕ xx
Obs.: K2360679.25 =
Convergência no M.I.L. Para o caso da equação x = 5 , com xo = 1 5. , observamos que:
( ) convergenãox
x 5
1 =ϕ
( ) convergex x
5+x
2
12
=ϕ
Por quê? Para concluir sobre isto, basta verificar o comportamento do M.I.L. geometricamente. Observe-se inicialmente a situação ilustrada na figura a seguir:
( )( )
( )( )( )
=
=
=
=
=
23
12
01
0
0
...
xx
xx
xx
x
xx
xF
LIM
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )x
x
xhxgxF
xxxx
ϕ
ϕϕ
=
=
=−=
=−⇒=
xh
xg :onde
0
0
( )( )( )1'
!
direita pela
=
=
→
xg
bissetrizéxgy
xn ρ
( ) 1' <∴ xϕ numa vizinhança de ρ.
Observe-se agora a situação ilustrada na figura a seguir:
21
.1)(' ρϕ devizinhançanumax >
A figura a seguir ilustra a situação de “convergência alternada”.
1)(' <xϕ
Teorema da Convergência de M.I.L.:
Seja xo uma aproximação para a raiz ρ da equação F(x) = 0 numa vizinhança [ ]., δρδρ +−=I Seja ϕ uma função de iteração para a
equação F(x) = 0 e suponha-se que ϕ e ϕ ' sejam contínuos em I. Então, se ( ) , ,1 ' Ixx ∈∀<ϕ a sequência gerada por
( ) K,3,2,1,0 ,1 ==+ nxx nn ϕ converge para ρ.
Observação: como o valor de ρ é desconhecido, substitui-se o valor de xo na derivada para se concluir sobre a convergência. Esboço da demonstração: M.I.L.
( ) ( )ρϕϕρ −=− −1nn xx
Teorema do valor médio:
( ) ( ) ( ) ρεϕρϕϕρ −=−=−∴ −− 11 ' nnn xxx
22
Seja L o valor máximo de ( )ϕ ' x no intervalo I, ou seja, ( ) Lx ' ≤ϕ no
intervalo I. ρρ −≤−∴ −1 nn xLx
Do mesmo modo
ρε
ρρ
ρρρρ
→⇒∀⟨
−≤−∴
−≤−⇒−≤− −−−
n
n
n
nnnn
xnIxLSe
xLx
ocontinuand
xLxxLx
aumentando , intervalo, todoem 1
0
0
22
21
( )( )
diverge processo o 1 '
converge processo o 1 'Ix
x
xε
ϕ
ϕ∀
⟩
⟨∴
Exemplo: estudar a convergência das funções de iteração do exemplo anterior. Resolução:
( ) 5.1 5 0 02 ===−= xaaxxF
( ) ( )
( )
( )( )
ρϕ
ϕ
ϕ
ϕ
para converge não
1 222.225.2
5
5.1
5
1
220
0'1
2'1
1
>====
−=
=
x
ax
x
ax
x
axa
( ) ( )
( )
( ) ( )
ρϕ
ϕ
ϕ
ϕ
para converge
1 < 611.0222.212
1=
96.1
51
2
1
12
1
2
1
2
0'2
2'2
2
=−
−=
−=
+=
x
x
ax
x
axxb
Observações:
(1) A maior dificuldade de M.I.L. está em encontrar uma função de iteração ϕ satisfazendo o critério de convergência.
(2) O teste ( ) 1 ' 0 <xϕ pode levar a um engano se xo não estiver
suficientemente próximo da raiz. (3) A velocidade de convergência dependerá de ( )ϕ ρ' : quanto
menor este valor, mais rapidamente o processo convergirá. Exemplo:
( )
( )
( )
( ) 1 555.09
5'
2360679.2 3
5
0
20
0
0
2
<==−=
≅
=
=
=
=−=
x
ax
x
a
x
ax
axxF
ϕ
ρ
ϕ
23
Aplicação:
( )
( )
( ) converge! não 667.1999.2
5
999.2667.1
5
667.13
5
3
23
12
01
0
===
===
===
=
xx
xx
xx
x
ϕ
ϕ
ϕ
Exemplo: estudar a convergência das funções de iterações obtidas anteriormente para a equação
( ) 9.0 0sen 02 ==−= xparaxxxF ,
obter uma aproximação para a raiz da equação.
Sol.:
( )( )( )
iteração de funções
sen
sen
sen
23
2
21
=
=
−+=
xarcx
xx
xxxx
ϕ
ϕ
ϕ
Derivadas:
( )
( ) xx
x
xx
cos sen2
1
xcos12
'2
'1
⋅=
−+=
ϕ
ϕ
( ) xx
x 2 1
14
'3 ⋅
−=ϕ
No ponto :9.0 x0 =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
1 069.39.01
9.0.29.0
1 351.00885.2
622.0
9.0sen2
9.0cos9.0
1 178.29.0cos19.029.0
4
'20
'2
'20
'2
'10
'1
>=−
==
<====
>=−+⋅==
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
x
x
x
∴Somente ( ) 2 xϕ deverá convergir.
Isolamento da raiz:
( )( ) ( ) ( ) ( ) .senxg=
sen2
2
xxhexxgondexh
xxxF
==−
−=
Aplicação de M.I.L ( ) ( ) 320 10 sen e 9.0 −⟨=== εϕϕ xxxx
24
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 001.0 878.0879.0sen
006.0 879.0885.0sen
015.0 885.09.0sen
9.0
323
212
101
0
====
====
====
=
εϕ
εϕ
εϕ
xx
xx
xx
x
( ) ( )( ) ( )
ρ para oaproximaçã uma é 877.0
10 877.0877.0sen
001.0 877.0878.0sen3-
545
434
=
⟨===
====
ρ
εϕ
εϕ
xx
xx
Obs.:
( ) ( ) ( ) ( ) 42 10051.3877.0sen877.0877.0 −=−== xFF ρ
Exercícios:
(1) Calcular a raiz da equação ( ) .01.0 com 0ln2 ≤=+= εxxxF
Usar o M.I.L. ( )65.0 : =ρR
(2) Calcular a raiz da equação ( ) .01.0 com 0103 ≤=−= εxxF
Usar o M.I.L. ( )15.2 : =ρR
(3) Calcular a raiz da equação ( ) 0332 =−+= xexxF , -310 com ≤ε , usando o M.I.L. ( )R: . ρ = 0 3521
Algoritmo:
Adaptado para determinar uma aproximação para a raiz da equação ( ) 01sen2 =−−= xxxF , usando a função de iteração:
( ) 1sen += xxϕ Início (* MIL*)
Defina Fi(x) = 1sen +x Solicite a aproximação inicial (x0) Leia Xv Solicite a precisão (E) Leia E Solicite o limite de iterações (N) Leia N Para i de 1 até N Faça Xn = Fi(Xv)
Se |Xn – Xv| ≤ E Então Escreva “aprox “,Xn,“
com “,i,“ iteracoes” Saia da repetição Senão Xv=Xn Fim Se Fim para Se |Xn – Xv| > E Então Escreva “Aplicação não converge ou “ Escreva “grau de exatidão não”,
“ pode ser alcançado com “, N, “ iterações”
Fim Se Fim (* MIL *)
25
MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON (N-R) Descrição Seja I um intervalo contendo a raiz ρ da equação F(x) = 0. Suponha-se que F'(x) ≠ 0 ∀ ∈x I.
F(x) = 0 0)('
)(=−⇒
xF
xFx
xF
xFx =−⇒
)('
)(
)('
)()(
xF
xFxx −=∴ϕ
∴ )('
)(1
n
nnn
xF
xFxx −=+
,...2,1,0
)(
=
−
n
RN
Como no M.I.L., o objetivo é gerar uma seqüência {xn} a partir de uma aproximação inicial xo:
)('
)()(
)('
)()(
)('
)()(
1
1
1112
0
0001
n
nnnn
xF
xFxxx
xF
xFxxx
xF
xFxxx
−==
−==
−==
+ ϕ
ϕ
ϕ
MM
Encontra-se portanto uma aproximação xn+1 de ρ. Exemplo: Seja calcular uma aproximação para a raiz da eq. F(x) = x2 - senx - 1 = 0 no intervalo [1.0, 1.5], com grau de exatidão 310−≤ε , utilizando o método de N-R e adotando 3.10 =x .
Resolução:
xxxFy
xxxFy
cos2)(''
1sen)( 2
−==
−−==
Equação para iteração:
−
−−−=∴−= ++
kk
kkkk
k
kkk
xx
xxxx
xF
xFxx
cos2
1sen
)('
)( 2
11
3101173.03.14173.1011
4173.13325.2
2736.03.1
)3.1cos()3.1(2
1)3.1sen(2)3.1(3.11
3.10
−>=−=−=
=−
−=−
−−−=
=
xx
x
x
ε
4096.1
3100001.04097.14096.1233
4096.16590.2
41002.24097.1
)4097.1cos()4097.1.(2
1)4097.1sen(2)4097.1(4097.13
0076.04173.14097.1122
4097.16817.2
0205.04173.1
)4173.1cos()4173.1.(2
1)4173.1sen(2)4173.1(4173.12
=∴
−<=−=−=
=−
−=−
−−−=
=−=−=
=−=−
−−−=
ρ
ε
ε
xx
xx
xx
x
Interpretação Geométrica
26
)1(
)1(12
)1(
)1()21(
)1()21()1(
)1(
21
0)1(
xF
xFxx
xF
xFxx
xFxxxF
xFxx
xFtg
′−=⇒
′−=−−⇒
=−′⇒
′=−
−=β
)0(
)0(01
01)0(
)0(
)1(0()0()0(
)0(
10
0)0(
xF
xFxx
xxxF
xF
xxxFxF
xFxx
xFtg
′−=⇒
−=′
−⇒
−′=⇒
′=−
−=α
O método de N-R é conhecido como método das tangentes.
∴ )('
)(1
n
nnn
xF
xFxx −=+
,...2,1,0
)(
=
−
n
RN
Obtenção da fórmula de N-R a partir do desenvolvimento de y= f(x) em série de Taylor
...).(
!2
)("))(()f(x=f(x)
:Taylor de Fórmula2
00000
+−
+−′+xxxf
xxxf
0))(()(
...2,1,00))(()()(
1
11
=−′+⇒
==−′+=
+
++
nnnn
nnnnn
xxxFxF
nxxxFxFxF
0)(
)(1 =−+
′⇒ + nn
n
n xxxF
xF
⇒ )(
)(1
n
nnn
xF
xFxx
′−=+ n = 0,1,2...
SOBRE A CONVERGÊNCIA DO MÉTODO
Para que um processo iterativo x x= ϕ( ) seja convergente, devemos ter
0,1)( Ix x ∈∀<′ϕ , onde I0 é uma vizinhança da raiz ρ da equação
F(x)=0.
2))((
)(").(
2))((
)(").(2))((2))((2))((
)](").()().([1)(
)(
)()(
xF
xFxF
xF
xFxFxFxF
xF
xFxFxFxFx
xF
xFxx
′=
′
+′−′=
′
−′′−=′⇒
′−=
ϕ
ϕ
Portanto, o processo será convergente se
27
1)]([
)(").()(
2<
′=′
xF
xFxFxϕ
Observe-se que:
10)]([
)(").()(
0)(
2<=
′=′
=⇒=
ρρρ
ρϕ
ρρ
F
FF
Fx
Se F’ e F’’ são contínuos em I, ϕ’ é contínua em I e, portanto, desde que ϕ ρ′ =( ) 0, existe uma vizinhança I I′⊂ tal que Ixx ∈∀<′ 1)(ϕ '.
Conclusão: o método de N-R, quando pode ser aplicado, é sempre
convergente. A dificuldade está em determinar este subintervalo I´ onde seguramente ϕ′ <( )x 1 .
Exemplo: Para o problema de se determinar uma aproximação para a raiz da eq. F x x x( ) sen= − − =2 1 0 no intervalo [1.0, 1.5], com x0 1 3= . , estudar quanto à convergência as funções de iterações utilizadas nos métodos M.I.L. e N.R.
Resolução: (a) M.I.L
1sen2
coscos.
1sen2
1)(1sen)(
+=
+=′∴+=
x
xx
xxxx ϕϕ
434211954.0
1)3.1sen(2
)3.1cos()( 0 <=
+=′ xϕ
0 xse∴ estiver suficientemente próximo da raiz, a aplicação do
método deverá ser convergente. (b) método de N-R
xxFxxxFxxxF
xF
xFxFx
sen2)(",cos2)(,1sen)(
)(
)(").()(
2
2
+=−=′−−=
′=′ϕ
[ ][ ][ ]
4342111490.0
)3.1cos()3.1.(2
)3.1sen(21)3.1sen()3.1(
)(
)(").()(
2
2
20
000
<=
−
+−−=
′=′∴
xF
xFxFxϕ
0 xse∴ estiver suficientemente próximo da raiz, a aplicação do
método deverá ser convergente. APLICABILIDADE DO MÉTODO N-R (Teorema de Fourier) É condição suficiente para a convergência do método de N-R que F´(x) e F"(x) não se anulem e mantenham sinais constantes numa vizinhança I de uma raiz ρ da equação F(x)=0 e que o processo se inicie num ponto Ix ∈0 tal que 0)(").( 00 >xFxF .
28
Exemplo: Calcular a raiz da equação 0sen)( 2 =−= xxxF usando o método de
N-R )10;9.0( 30
−∈<=x
Resolução:
)(
)(1
n
nnn
xF
xFxx
′−=+
xxxF
xxxF
cos2)(
sen)( 2
−=′
−=
nn
nnnn
xx
xxxx
cos2
)sen( 2
1 −
−−=⇒ +
Condições para convergência:
xxF
xxxFa
sen2)("
cos2)()(
+=
−=′
Conclui-se, pelo método grãfico, que ρ ∈( . , )0 5 1 com relação a F´(x):
4434421
anula se .nãosinal .preserva
0cos2)(
)0.1,5.0(
>−=′
∈∀∴
xxxF
x
Com relação a F"(x):
.0sen2)(",)0.1,5.0( >+=∈∀ xxFx
9.00
cos2
sen2
1
0)0(").0(
783.2)9.0sen(2)9.0(")0("
03.0)9.0sen(2)9.0()9.0()0()(
=
−
−−=+
>
=+==
=−==
x
nxnx
nxnxnx
nx
xFxF
FxF
FxFb
[ ]
[ ]
3100006.08773.08767.02
8767.0
1154.1
410395.68773.0
)8773.0cos()8773.0.(2
8773.0sen(2)8773.0(8773.02
0227.09.08773.01
8773.01784.1
0267.09.0
)9.0cos()9.0.(2
)9.0sen(2)9.0(9.01
−<=−=
=
=−
−=−
−−=
=−=
=−=−
−−=
ε
ε
xx
x
∴ 8767.0=ρ
Exemplo: Calcular a raiz da equação F(x) = 2x - cos x usando o método de N-R ( )410−∈< Resolução:
29
{ {h(x) - g(x) = F(x) xcos2x
]5.0,0[∈∴ ρ
Função de iteração
x
xxxx
x
xxxx
xxF
xxxF
nxF
xFxx
n
nnnn
n
nnn
sen2
)cos2()(
sen2
)cos2(
sen2)(
cos2)(
...2,1,0)(
)(
1
1
+
−−=∴
+
−−=⇒
−=′
−=
=′
−=
+
+
ϕ
Condições para convergência (suficientes)
a. vizinhançna sinal o preservam e anulam se 0)("
0)(
]5.0,0[
]5.0,0[cos)("
sen2)(
nãoxF
xF
xxF
xxF
x
>
>′
∈∀
∈=
+=′ρ
0)(").(
010cos)("
010cos0.2)(
0
0)(").()(
00
0
0
0
00
<⇒
>==
<−=−=
=
>
xFxF
xF
xF
x
xFxFb
0)(").(
0878.0)5.0cos()("
0>0.12=0.878-1)5.0cos(-)05.(2)(
5.0
00
0
0
0
>⇒
>==
==
=
xFxF
xF
xF
x
Aplicação do método de N-R
[ ]4506.0
4794.2
1224.05.0
5.0sen2
)5.0cos()5.0.(25.0
5.0
sen2
)cos2(
1
0
1
=−=+
−−=
=
+
−−=+
x
x
x
xxxx
n
nnnn
[ ]
4502.0
4355.2
10014.14506.0
)4506.0sen(2
)4506.0cos()4506.0.(24506.0
0494.05.04506.03
2
011
=
−=+
−−=
=−=−=−x
x
xxε
[ ]
4502.0
4355.2
1099.34502.0
)4502.0sen(2
)4502.0cos()4502.0.(24502.0
0004.04506.04502.05
3
122
=
−=+
−−=
=−=−=−x
x
xxε
30
4233 10−<−=∴ xxε
∴ 4502.0=ρ
Exercício Dada a função: F(x) = x ln x - 1 = 0 pede-se calcular uma aproximação para a sua raiz usando o método de N-R com 410−≤∈ ( )763.1=ρ Exercício: Usando o método de N-R determine a menor raiz positiva das equações abaixo.
( )
( )( )43097.106)(
754.0cos2)(
2748.402
)(
5
2/
==−
==
==−
ρ
ρ
ρ
xc
exb
tgxx
a
x
Considere 410−≤ε . Exercício: Seja F(x) = ex - 4x2 . Obter uma aproximação para ρ com 410−≤ε usando o método de N-R ( . )ρ = 0 7148 Algoritmo: Adaptado para determinação de uma aproximação para a raiz da eq. F(x) = 2x - cos(x) = 0 através do método de N-R.
Início (* N-R *) Defina F(x) = 2x-cos(x) Defina DF(x) = 2 + sen(x) Solicite a aproximação inicial (x0) Leia Xv Solicite a precisão (E) Leia E Solicite o limite de iterações (N) Leia N Para i de 1 até N Faça Xn = xv – F(xv)/DF(xv)
Se |Xn – Xv| ≤ E Então Escreva “aprox “,xn,“
com “,i,“ iteracoes” Saia da repetição Senão Xv=Xn Fim Se Fim para Se |Xn – Xv| > E Então Escreva “Aplicação não converge ou “ Escreva “grau de exatidão não”,
” pode ser alcançado com “, N, “ iterações”
Fim Se Fim (* N-R *)
31
2.2 ESTUDO DAS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 2.2.1 INTRODUÇÃO
Seja uma equação algébrica (polinomial) de grau ( )1≥nn :
( ) 0... 012
21
1 =+++++= −−
−− axaxaxaxaxP n
n
n
n
n
n
onde os coeficientes ai são números reais e an ≠ 0 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA
Todo eq. algébrica de grau n, n ≥ 1, tem exatamente n raízes, que podem ser reais ou complexas, e não necessariamente distintas. Uma raiz ρ da equação ( ) 0=xP é dita ter multiplicidade m se:
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) 0
0..."' 1
≠
===== −
ρ
ρρρρρm
m
P
ePPP
Exemplo: Mostrar que ρ = 2 é raiz da equação algébrica
( ) 08465 234 =−++−= xxxxxP com multiplicidade m = 3 Solução:
( )( )( ) 0424603242.122.152.42'
412154'
08824401682.42.62.522
23
23
234
=++−=++−=⇒
++−=
=−++−=−++−=
P
xxxxP
P
( )( ) 0126048122.302.122"
123012" 2
2
=+−=+−=⇒
+−=
P
xxxP
( )( ) 01830482'''
3024'''
≠=−=⇒
−=
P
xxP
2 =∴ ρ é raiz e tem multiplicidade 3.
2.2.2 VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO Dado um polinómio ( )xP , um problema que se coloca é o de calcular
o valor numérico de ( )xP para x x= 0 , ou seja, ( )0xP . Observe-se que
o cálculo de ( )0xP requer n adições e ( )
2
1+nn multiplicações. De
fato:
( ){ {
produtoprodutosprodutos
axaxaxaxP
n
n
n
n
n
n 0
1
01
1
10100 ... ++++=
−
−− 43421
( ) ( ) ( )2
112...21
+=+++−+−+
nnnnn
( )
n. termosde ,1,2
.:..
1
1
===
+=
númeroanacom
aanSAP
n
nn
Então, se o grau n do polinômio for elevado (digamos, 20≥n ), o cálculo de ( )0xP , além de se tornar muito laborioso, é também
ineficiente do ponto de vista computacional.
32
Exemplo: Dado o polinômio
( ) 5316231521023 23456789 −+−+−−+−+= xxxxxxxxxxP
seja determinar ( )2P . Resolução:
( )( ) 3212
52.32.162.22.32.152.22.102.22.32 23456789
=⇒
−+−+−−+−+=
P
P
2.2.3 MÉTODO DE BRIOT-RUFFINI Dado o polinômio ( ) 01
11 . axaxaxaxP n
n
n
n ++++= −− K ,
dividindo-se ( )xP pelo binômio ( )cx − , obtém-se a igualdade:
( ) ( ) ( ){ {
divisãoda resto
quocientepolinômio
rxQcxxP +−=
onde ( )xQ é da forma:
( ) 122
11 . bxbxbxbxQ n
n
n
n ++++= −−
− L
Como determinar os coeficientes nibi ,,1, L= e o resto r?
( ) ( )( )( )( ) 12
21
1
011
1
bxbxbxbxQ
axaxaxaxP
rcxxQxP
n
n
n
n
n
n
n
n
++++=
++++=
+−=
−−
−
−−
L
L
( )( )( ) ( )
( ) ( ) rcbxcbbxcbb
xcbbxcbbxb
rcxbxbxbxb
axaxaxa
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+−−+−+
+−+−+=
+−++++
=++++
−−−
−−
−−
−
−−
1212
32
212
11
122
11
011
1
L
L
L
Obtém-se, da redução a termos semelhantes:
01
121
212
11
.
.
.
.
abcr
abcb
abcb
abcb
ab
nnn
nnn
nn
+=
+=
+=
+=
=
−−−
−−
M
Ou, equivalentemente,
01
1
.
Ruffini)-Briot de (algoritmo11.
abcr
nkabcb
ab
knknkn
nn
+=
−≤≤+=
=
−+−−
EXEMPLO: Seja dividir
( ) 10167 23 −+−= xxxxP
pelo binômio ( )2−x , usando o método de Briot-Ruffini Solução:
( ) ( ) ( )( ) 12
23
.2
bxbxbxQ
rxQxxP
++=
+−=
33
Cálculo dos bi's i = 1 2 3, ,
( )( ) 6165.2.
571.2.
1
121
232
33
=+−=+=
−=−+=+=
==
abcb
abcb
ab
Cálculo do resto:
( )( )2
65
2106.22
01
=
+−=∴
=−+=+=
r
xxxQ
acbr
Usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini:
ai s'6 74444444 84444444
1 7 16− -10
2 2 10− 12
1 5 6−bi s'
1 2444 3444
{r
2
Exemplo: Seja dividir
( ) 10167 23 −+−= xxxxP
Pelo binômio ( )3+x , usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini. Resolução:
1 7 16− -10 -3 − 3 30 -138 1 10 46− -148
( )148
46102
−=
+−=∴
R
xxxQ
Observe-se que: ( ) ( ) ( ) ( ) 148103163.733 23 −=−−+−−−=−P Teorema: o valor numérico de ( )xP em x c= é igual ao resto da
divisão de ( )xP por ( )cx − Demonstração:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) rcP
rcQcccP
cx
rxQcxxP
=⇒
+−=⇒
=
+−=
.
Exemplo: Dado o polinômio
( ) ,5316231521023 23456789 −+−+−−+−+= xxxxxxxxxxP seja
calcular ( )2P usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini.
Resolução: 3 2 -10 2 -15 -3 2 -16 3 -5
2 6 16 12 28 26 46 96 160 326
3 8 6 14 13 23 48 80 163 321
( ) 3212 =∴P
34
Teorema: o valor numérico da derivada de ( )xP para x c= é igual ao
resto da divisão de ( )xQ por ( )cx − , onde ( )xQ é o polinômio
quociente da divisão de ( )xP por ( )cx − . Demonstração:
( ) ( ) ( )tecons
rxQcxxPtan
. +−=
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )cQcP
cQcccQcQcP
temoscxpara
cxxQxQxP
=⇒
=−+=
=
−+=
'
.''
:,
''
Pelo teorema anterior sabemos que ( )cQ é igual ao resto da divisão de
( )xQ pelo binômio ( )cx − . Exemplo: Dado o polinômio ( ) 030202 23 =+−−= xxxxP
seja calcular ( )2'P usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini. Resolução:
1 -2 -20 +30 2 2 0 -40 1 0 -20 -10
2 2 4 1 2 -16
( ) 102 −=∴ P e ( ) 162' −=P Observe-se que:
( )( ) ( ) (( ) ) 3020230202
302022
23
+−−=+−−=⇒
+−−=
xxxxxxxP
xxxxP
( ) (( ) ) 103040302202222 −=+−=+−⋅−=∴ P
( ) ( )( ) ( ) 1620420242.32'
20432043' 2
−=−=−⋅−=⇒
−−=−−=
P
xxxxxP
2.2.4 MÉTODO DE HORNER
( )( )(( ) )
(({ ) ) 0121
1
0123
12
0122
11
012
21
1
)( axaxaxaxa
axaxaxaxa
axaxaxaxa
axaxaxaxaxP
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+++++=
+++++=
+++++=
+++++=
−
−
−−
−
−−
−
−−
LL
M
L
L
L
Exemplo: Dado ( ) 84252 234 −+−−= xxxxxP , calcular ( )3P (Horner). Resolução:
( )( )( )( )( )( )( ) 84252
84252
84252
84252
2
23
234
−+−−=
−+−−=
−+−−=
−+−−=
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxxP
35
( ) ( )( )( ) ( ) 13383432353.23 =⇒−⋅+⋅−⋅−=∴ PP Exemplo: Dado ( ) ,5316231521023 23456789 −+−+−−+−+= xxxxxxxxxxP
calcular ( )2P pelo método de Horner. Resolução:
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )( )( )
( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) 32152321622232152221022232
5316231521023
5316231521023
5316231521023
5316231521023
5316231521023
5316231521023
5316231521023
5316231521023
5316231521023
2
23
234
2345
23456
234567
2345678
23456789
=−+−+−−+−⋅+⋅=∴
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
P
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxxxP
Observe-se que é possível obter a forma fatorada final diretamente, em um único “passo”:
( )
( )( )( )( )( )( )( )( )xxxxxxxxx
xxxxxxxxxxP
3210215321635
3210215321635 98765432
++−++−+−++−++−=
++−+−−+−+−=
2.2.5 MÉTODO DE BIRGE-VIETA O algorítmo obtido quando usamos os resultados dos teoremas anteriores para aplicar o método de N-R é chamado de método de Birge-Vieta:
( )( )
,...2,1,0'1 =−=+ n
xP
xPxx
n
nnn
onde:
( )nxP é o resto da divisão de ( )xP por ( )nxx − ( )nxP' é o resto da
divisão do quociente obtido quando do cálculo da divisão de ( )nxP
pelo binômio ( )nxx − .
Exemplo: Calcule uma aproximação ρ para a raiz ρ de
( ) 4616327633 −+−= xxxxp no intervalo (20,25) tal que 210−<ε , usando o método de Brige-Vieta. Assumir x0 22 5= . como aproximação inicial da raiz. Resolução: Cálculo de 1x :
)5.22('
)5.22(5.22
)('
)(
0
001
P
P
xP
xPxx −=−=
Dispositivo prático de Briot-Ruffini:
36
3 -76 +163 -46 22.5 67.5 -191.25 -635.63 3 -8.5 -28.25 -681.63 22.5 67.5 1.327,5 3 59 1.299,25 = P'(22.5)
02.2325,299.1
63.6815.221 =
−−=⇒ x
52.05.2202.23011 =−=−= xxε
Cálculo de 2x :
)02.23('
)02.23(02.23
)('
)(
1
112
P
P
xP
xPxx −=−=
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 3 -76 +163 -46 23.02 69.06 -159.76 +74.61 3 -6.94 +3.24 +28.61 23.02 69.06 1.430.00 3 61.12 1.433.24 = P'(23.02)
00.2324.1433
61.2802.232 =−=⇒ x
02.002.2300.23122 =−=−= xxε
Cálculo de 3x :
)23('
)23(23
)('
)(
2
223
P
P
xp
xpxx −=−=
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 3 -76 +163 -46 23 69 -161 46 3 -7 2 0 = p(23)
< 10-2
232 ===∴ xρρ
2.2.6 NÚMERO DE ZEROS REAIS DE UM POLINÔMIO COM COEFICIENTES REAIS Regras de Sinais de Descartes:
O número de raízes reais posistivas n+ de uma equação algébrica é igual ao número de variações de sinais na seqüência dos coeficientes, ou menor que este número por um inteiro, par, não negativo, sendo que uma raiz de multiplicidade m é contada como m raízes e que coeficientes iguais a zero não são considerados. Para se determinar o número e raízes reais negativas, n-, aplica-se a regra anterior a P(-x). Exemplos: ( ) ( ) 0302975 234 =+++−= xxxxxPa
+ − − + +123 123
n+ = 2 ou 0 raízes reais positivas
37
( ) 302975 234 +−−+=− xxxxxP + + − − +123 123
n- = 2 ou 0 raízes reais negativas ( ) ( ) 1432 345 ++−−= xxxxxPb
+ + 321321 −−+
n+ = 2 ou 0 raízes reais positivas ( ) 1432 345 +−+−−=− xxxxxP
− − + − + 123123123
n- = 3 ou 1 raízes reais negativas ( ) ( ) 144 235 −−+−= xxxxxPc
{{{ −−+−+
n+ = 3 ou 1 raízes reais positivas
( ) 144 235 −+++−=− xxxxxP − + + − + 123 123
n- = 2 ou 0 raízes reais negativas
( ) ( ) 1 7 += xxPd + + 123
n+ = 0 raízes reais positivas ( ) 17 +−=− xxP
− + 123
n- = 1 raíz real negativa
2.2.7 LIMITAÇÃO DAS RAÍZES REAIS DE UMA EQUAÇÃO
ALGÉBRICA: MÉTODO DE LAGUERRE
Limitar as raízes de uma equação F(x)=0 é determinar um intervalo onde estão todas as raízes da equação. O MÉTODO DE LAGUERRE Seja determinar um número real Ls tal que, dada a função polinomial y = P(x), P(x) > 0 0 >≥∀ Lx .Diz-se que Ls é um limitante superior para as raízes da equação algébrica P(x) = 0. Para se determinar Ls divide-se sucessivamente P(x) por (x - xk), xk = 1, 2, ... até que para um particular valor de x, digamos xL, tem-se todos os coeficientes do quociente e o resto da divisão positivos. Dividindo-se P(x) pelo binômio (x - Ls) obtém-se:
( ) ( ) ( ) RxQLxxP S +−= onde Q( x ) é da forma:
121
11 bxbnx
nbnxnb +++−
−+− L
Obviamente:
( ) .0 0R e ,,,2,1 ,0 ,0 >>=>>≥ xPentãonibLxSe iS L
Exemplo: Seja o polinômio:
38
( ) 302975 234 ++−−= xxxxxP . Encontrar um limitante superior para os seus zeros. Resolução: Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 1 -5 -7 29 30
1 1 1 − <4 0
1 -5 -7 29 30
2 2 1 − <3 0
1 -5 -7 29 30
3 3 1 − <2 0
1 -5 -7 29 30
4 4 1 −1
1 -5 -7 29 30
5 5 0 1 0 − <7 0
1 -5 -7 29 30
6 6 6 1 1 − <1 0
1 -5 -7 +29 +30 7 7 14 49 546 1 2 7 78 576
∴ =LS 7 é um limitante superior para os zeros da função polinomial y = P(x).
Para se determinar um limitante inferior, Li, para as raízes reais não positivas da eq. algébrica P(x) = 0, procede-se como indicado a seguir. Seja n o grau da equação algébrica P(x) = 0. Então:
(a) se n é par, determina-se o limitante superior Ks de y=P(-x) e toma-se Li=Ks.
(b) se n é ímpar, determina-se o limitante superior Ks de y=-P(-x) e toma-se Li=-Ks.
Graficamente:
Caso (a):
39
Caso (b): Exemplo: Determinar um limitante inferior para os zeros do polinômio do exemplo anterior. Solução:
( ) 302975 234 ++−−= xxxxxP n = 4, par ⇒ Li = - Ks onde Ks limit sup. para P( -x) Determinação de Ks:
( ) 302975 234 +−−+=− xxxxxP
40
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 1 5 -7 -29 30
1 1 6 1 6 -1 < 0
1 5 -7 -29 30
2 2 14 14 1 7 7 -15 < 0
1 5 -7 -29 30
3 3 24 51 66 ⇒ ks = 3 1 8 17 22 96
3−=−=∴ si kL é um limitante inferior para os zeros da função
polinomial y = P(x). Observação: as raízes da equação 0302975 234 =++−− xxxx são:
( ) 4,3,2,1 , 7,3
,5 ,3 ,1 ,2 4321
=−∈∴
==−=−=
iiρ
ρρρρ
Exemplo completo: Dada a equação algébrica: ( ) 013 345 =++−−= xxxxxP pede-se determinar: (a) o número de raízes reais positivas (b) o número de raízes reais negativas (c) um limitante superior para as raízes reais (d) um limitante inferior para as raízes reais (e) um intervalo contendo no mínimo uma raiz real. (f) a raiz isolada usando o método de Birge-Vieta.
( ) ( ) 013 345 =++−−= xxxxxPa
+ − − + + 1 1
123 123
n+ = 2 ou 0 raízes reais positivas ( ) ( ) 013 345 =+−+−−=− xxxxxPb
− − + − +11 1
123123123
n- = 1 ou 3 raízes reais negativas (c) 3 -1 -1 0 1 1
1 3 2 1 1 2 ⇒ Ls = 1 3 2 1 1 2 3
(d) n = 5 ⇒ Li = - Ks Ks limitante superior de -P( -x)
( )( ) 13
13345
345
−+−+=−−
+−+−−=−
xxxxxP
xxxxxP
3 1 -1 0 1 -1 1 3 4 3 3 4 3 4 3 3 4 3 ⇒ Li = - Ks = -1 ∴ = − Li 1
De ( ) ( ) ( ) ( )1,10:: e −∈⇒=ℜ∈∀ ρρρ Pdc (e) P(xi ) = ? xi ∈(-1, 1) Do item (c) : P( 1 ) = 3 > 0
P(0) = 1 > 0 P( -1) = ? Do item (d): - P ( -1) = 3 ⇒ P( -1 ) = -3
41
Separação das raízes ( i ) raízes positivas (?) P( 0 ) = 1 > 0 P( 1 ) = 3 > 0 P( 0.5) = ? 3 -1 -1 0 1 1
0.5 1.5 0.25 -0.3753 -0.188 0.407 3 0.5 -0.75 -0.375 0.813 1.407
⇒ P(0.5) = 1.407 > 0 Nada se pode concluir sobre as raízes positivas a partir dos valores obtidos. ( ii ) raízes negativas (?) P( 0 ) = 1 > 0 P( -1) = -3 < 0 P( -0,5) = ?
( )0,1 ; −∈∃ ρρ real
3 -1 -1 0 1 1 - 0.5 -1.5 1.25 -0.125 0.0625 -0.531
3 -2.5 0.25 -0.125 1.0625 0.469 ⇒ P(-0..5) = 0.469 > 0
( )5.0- ,1 ; −∈∃ ρρ real (f) determinação da raiz real negativa
Método de Birge-Vieta:
( )( )
)(arbitrado6.0
,2,1,0 , '
0
1
−=
=−=+
x
nxP
xPxx
n
nnn L
Verificação quanto à convergência:
3 -1 -1 0 1 1
-0.6 -1.8 1.68 -0,41 0.25 -0.75 3 -2.8 0.68 -0.41 1.25 0.25 = P ( -0.6)
-0.6 -1.8 2.76 -2.06 1.48 3 -4.6 3.44 -2.47 2.73 = P' ( - 0.6)
-0.6 -1.8 3.84 -4.368 3 -6.4 7.28 -6.838 ⇒ P''(-0.6)=-13.676
1459.0)73.2(
)676.13)(25.0(
)(
)(").()(
220
000 <=
−=
′=′
xP
xPxPxϕ
. de próximo mentesuficienteestiver xse iaconvergênc haverá 0 ρ∴
Cálculo de 1x :
( )( )
( )( )6.0'
6.06.0
' 10
001 −
−−−=⇒−=
P
Px
xP
xPxx
69.0 73.2
25.0- 6.0 11 −=⇒−=⇒ xx
( ) 2011 1009.06.0069 −>=−−−=−= xxε
42
Cálculo de 2x :
( )( )
( )( )69.0'
69.069.0
' 1
112 −
−−−=−=
P
P
xP
xPxx
3 -1 -1 0 1 1
-0.69 -2.07 2.12 -0.77 0.53 -1.06
3 -3.07 1.12 -0.77 1.53 -0.06 = P ( -0.69)
-0.69 -2.07 3.55 -3.22 2.75
3 -5.14 4.67 -3.99 4.28 = P' ( - 0.6)
68.028.4
06.069.02 −=
−−−=⇒ x
( ) 01.069.068.0122 =−−−=−= xxε
∴∴∴∴ 68.0−=ρ
( ) ?=ρP
3 -1 -1 0 1 1
-0.68 -2.04 2.07 -0.73 0.50 -1.02
3 -3.04 1.07 -0.73 1.50 0.02 = P ( -0.68)
Exercício: Dada a equação algébrica:
( ) 0104079218579 2345 =+−++−= xxxxxxP pede-se determinar: (a) o número de raízes reais positivas (b) o número de raízes reais negativas (c) um limitante superior para as raízes reais
(d) um limitante inferior para as raízes reais (e) a forma obtida da aplicação do método de Honer. (f) o valor numérico de P(x) nos pontos -5 e 4. Exercício: Dada a equação algébrica:
( ) 0306 23 =+−−= xxxxP pede-se determinar: (a) o número de raízes reais positivas (b) o número de raízes reais negativas (c) um limitante superior para as raízes reais (d) um limitante inferior para as raízes reais (e) a forma obtida da aplicação do método de Honer. (f) o valor numérico de P(x) nos pontos -2 e 99. usando a expressão obtida no item interior. Exercício: Dada a equação algébrica:
( ) 096106 234 =+−+−= xxxxxP pede-se determinar: (a) o número de raízes reais positivas e negativas. (b) um limitante superior e um limitante inferior para as raízes reais. (c) a forma obtida da aplicação do método de Honer. Exercício: Dada a equação algébrica:
( ) 022 23 =−+= xxxP Pede-se determinar: (a) o número de raízes positivas (b) o número de raízes negativas (c) um limitante superior para as raízes reais
43
(d) um limitante inferior para as raízes reais (e) um intervalo contendo no mínimo uma raiz real positiva
(f) uma raiz real positiva ( )ρ no intervalo identificado no item anterior (Birge-Vieta)
(g) o valor numérico de ( )ρP . Obs.: tomar 310−≤ε
Resp.: 8581.0=ρ 2.2.9 MÉTODO DAS SEQÜÊNCIAS DE STURM Seqüência de funções ( ){ } ( ) ( ) ( )xgxgxgxg noi ,,,: 1 L construída do
seguinte modo: ( ) ( )( ) ( )xPxg
xPxgo
'1 =
=
( ) 2, ≥kxgk , é igual ao simétrico do resto da divisão de 12 −− kk gporg
O número de zeros da função ( )xPy = no intervalo (a,b) é a diferença entre o número de variações de sinal da seqüência
( ) ( ) ( )agagag n,,,, 10 L e da seqüência ( ) ( ) ( )bgbgbg n,,, 10 L .
Exemplo Aplicar o método das seqüências de Sturm para localizar todas as raízes reais de:
( ) 032.06.003.14.2 234 =−++−= xxxxxP
Resolução: (a) seqüência ( ){ }xgi
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )xgxgrestoxg
xxxxg
xxxxgxPxg
xxxxxgxPxg
102
231
2311
23400
15.0515.08.1
46.006.22.74'
32.06.003.14.2
−=
++−=
÷++−=⇒=
−++−=⇒=
23.0759.0565.0
09.0309.008.16.0
32.045.0515.06.0
6.015.0515.08.1
15.0515.08.132.06.003.14.2
2
23
23
234
23234
−+−
++−
−++−
−−−+−
++−−++−
xx
xxx
xxx
xxxxx
xxxxxxx
( ) ( )( ) 4071.0343.1
565.023.0759.0565.02
2
22
+−=⇒
÷+−+=∴
xxxg
xxxg
( ) ( ) ( )( )
336.05059.0
1860.0613.0457.0
15.01079.0457.0
457.04071.0343.1
4071.0343.115.0515.08.1
2
2
23
223
213
+−
+−+
++−
−−+−
+−++−
−=
x
xx
xx
xxx
xxxxx
xgxgrestoxg
( ) ( )( ) 6642.0
5059.0336.05059.0
3
3
−=⇒
÷−=∴
xxg
xxg
44
( ) ( ) ( )( )
( ) 0438.0
0438.0
4509.06788.0
4071.06788.0
6788.06642.0
6642.04071.0343.1
4
2
2
324
=∴
−
−+
+−
−+−
−+−
−=
xg
x
x
xxx
xxx
xgxgrestoxg
(b) Tabela de sinais: Ls = ?
1 -2.4 1.03 0.6 -0.32
3 3.0 1.8 8.49 27.27 ∴ LS = 3
1 0.6 2.83 9.09 26.95 =P(3)
LI = ?
32.06.003.14.2)(
32.06.003.14.2)(234
234
−−++=−
−++−=
xxxxxP
xxxxxP
1 2.4 1.03 -0.6 -0.32
1 1 3.4 4.43 3.83 LI = −1
1 3.4 4.43 3.83 3.51 = P(-1)
Tabela:
x g0 g1 g2 g3 g4 VARIAÇÃO
-1 + - + - + 4
0 - + + - + 3
1 - - + + + 1
2 + + + + + 0
3 + + + + + 0
Observações sobre a construção da tabela acima: g0(3) = P(3) = 26.95 > 0 g1(3) = ? g1(x) = x3 - 1.8 x2 + 0.515x + 0.15 g1(3) = 12.495 > 0 g2(3) = ? g2(x) = x2 - 1.343 x + 0.4071 g2(3) = 5.3781 g3(3) = ? g3(x) = x - 0.6642 ⇒ g3(3) > 0 g4(3) > 0 (c) Interpretação: Seja v(xi) o número de variações de sinal da seqüência {gi (x)} em x = xi.
45
)2,1(0)2(
1)1(
)1,0(,1)1(
3)0(
)0,1(3)0(
4)1(
4
32
1
∈⇒=
=
∈⇒=
=
−∈⇒=
=−
ρ
ρρ
ρ
v
v
v
v
v
v
(d) continuação da aplicação do método de Sturm:
g0(0.6) = 0.022 > 0 g1(0.6) = ? g1(0.6) = 0.027 g2(0.6) = ? g2(0.6) = 0.0387 g3(0.6) = 0.6 - 0.6642 = -0.0642 < 0
g4(0.6) > 0
∴ 0 - + + - + 3
0.6 + + - - + 2
1 - - + + + 1
)1,6.0(1)1(
2)6.0(
)6.0,0(2)6.0(
3)0(
3
2
∈⇒=
=
∈⇒=
=∴
ρ
ρ
v
v
v
v
Observação quanto às raízes isoladas: (i) verificação dos intervalos:
)0,1(032.0)0(
051.3)1(1 −∈
<−=
>=−ρ
P
P
)2,1(08.1)2(
009.0)1(4 ∈
>=
<−=ρ
P
P
)2,1(
)1,6,0(
0)2(
0)1(
)6.0,0(
)0,1(
0)6.0(
0)0(
0)1(
4
3
2
1
∈∴
∈∴
>
<
∈∴
−∈∴
>
<
>−∴
ρ
ρ
ρ
ρ
P
P
P
P
P
(ii) raízes da equação P (x) = 0:
6.1,8.0,5.0,5.0 4321 ===−= ρρρρ
Exemplo completo: Dada a equação algébrica
( ) ,0245.44.0 23 =+−+= xxxxP determinar aproximações para as
suas raízes utilizando o método de Birge-Vieta ( )01.0 ≤ε
46
Resolução: (a) Regra de sinais de Descartes (número de raízes)
( )43421321 + + +
245.44.0 23
−−
+−+= xxxxP
n+ = 2 ou 0 raízes reais positivas
( )43421321 +
245.44.0 23
++−
+++−=− xxxxP
n- = 1 raiz real negativa (b) Limitantes para as raízes Método de Laguerre Ls = ?
1 0 4 4 45. .− 2 1 1 1 4. 1 1 4 - 3.05.
1 0.4 -4.45 2
2 2 4.8 0.7 ∴ Ls = 2 1 2.4 0.35 2.7
LI= ?
( ) 245.44.0 23 +−+= xxxxP
( ) 245.44.0 23 +++−=− xxxxP
( ) 245.44.0 23 −−−=−− xxxxP
1 -0.4 -4.45 -2 1 1 0.6 1 0.6 -3.85
1 -0.4 -4.45 -2
2 2 3.2 1 1.6 -1.25
1 -0.4 -4.45 -2
3 3 7.8 10.05 ∴ LI= -3 1 2.6 3.35 8.05
(c) Isolamento das raízes (c.1) Método das seqüências de Sturm: (c.1.1) Seqüência { }(x)g i :
245.44.0)( 230 +−+= xxxxg
)3(45.48.03)( 2
1 ÷−+= xxxg
483.1267.0)( 21 −+= xxxg
( ))(/)(g resto - )( 102 xgxxg =
47
197.2003.3/
197.0036.0133.0
2967.2133.0/
133.0483.1267.0
483.1267.0|245.44.0
2
2
23
223
+−
+−−
+−
++−−
−++−+
x
xx
xx
xxxx
xxxxx
197.2003.3)(2 −=∴ xxg
732.0)(2 −=∴ xxg
( ))(/)(g resto - )( 213 xgxxg =
1 0.267 -1.483 0.732 0.732 0.731 1 0.999 -0.752
752.0)(3 =∴ xg
(c.1.2) Tabela de sinais LI = -3, Ls = 2
x g0 g1 g2 g3 VARIAÇÃO -3 - + - + 3 -2 + + - + 2 Qρ1 3 2∈ − −( , ) 1 + - - + 2 0 + - - + 2 ρ2 0 1∈( , ) 1 - - + + 1 2 + + + + 0 ρ3 1 2∈( , )
(c.2) Briot-Ruffini
( ) 245.44.0 23 +−+= xxxxP
1 0.4 -4.45 2
2.0 2.0 4.8 0.7 1 2.4 0.35 2.7 = P (2.0) > 0
1 0.4 -4.45 2 1.0 1.0 1.4 -3.05
1 1.4 -3.05 -1.05 = P (1.0) < 0
)0.2,0.1(1 ∈∴ ρ
)1,0(02)0( 2∈⇒>= ρP
1 0.4 -4.45 2 -1.0 -1.0 +0.6 3.85
1 -0.6 -3.85 5.85 = P (-1.0) > 0
)0.2,0.3(005.8)3(
05.4)2(3 −−∈
<−=−
>=−ρ
P
P
48
(d) Verificação quanto à convergência
5.10 =x (arbitrado)
[ ]20
000
)('
)(").()('
xP
xPxPx =ϕ
1 0.4 -4.45 +2
1.5 1.5 2.85 -2.4
1 1.9 -1.60 -0.4 = P(1.5)
1.5 1.5 5.1
1 3.4 3.5 = P'(1.5)
1.5 1.5
1 8.9)5.1("2/)5.1("9.4 =⇒= PP44 344 21
O resto da terceira aplicação do método de Briot-Ruffini é igual à metade da derivada segunda de P(x) no ponto considerado.
43421 132.0)5.3(
)8.9)(4.0()('
20 <=−
=∴ xϕ
Portanto, xo suficientemente próximo da raiz implicará na convergência da aplicação do método. (e) Cálculo das raízes
(e.1) Cálculo de ))0.2,0.1(( 11 ∈ρρ
)('
)(1
k
k
kkxP
xPxx −=+
xo = 1.5
61.15.3
4.05.1
)5.1('
)5.1(5.11 =
−−=−=
P
Px
)61.1('
)61.1(61.1
1011.05.161.1
2
2011
P
Px
xx
−=
>=−=−= −ε
1 0.4 -4.45 +2
1.61 1.61 3.2361 -1.9544
1 2.01 -1.2139 0.0456 = P(1.61)
1.61 1.61 5.8282
1 3.62 4.6143 = P'(1.61)
01.061.160.1
60.16143.4
0456.061.1
122
2
=−=−=
=−=∴
xx
x
ε
60.11 =∴ ρ Verificação: P(1.60) = ?
49
1 0.4 -4.45 2 1.60 1.60 3.20 -2 1 2.0 -1.25 0.0 = P(1.60) Exercício: obter aproximações para as demais raízes usando Birge-Vieta Exercício: Dada a equação algébrica: P x x x x( ) = + + − =3 22 10 20 0 pede-se: (a) o número de raízes reais positivas (n+) e negativas (n-); (b) os limitantes superior (Ls) e inferior (LI) para as raízes reais; (c) um intervalo com extremos inteiros contendo exatamente uma raiz
real positiva, usando o método das sequüências de Sturm; (d) verificar se o ponto médio do intervalo identificado em (c) satisfaz
o critério de convergência do método de Newton; (e) calcular uma aproximação para a raiz isolada usando o método de
Birge-Vieta com ∈< −10 2 . Resposta: 3688.1=ρ
Algoritmo para o cálculo do valor numérico de um polinômio: Seja o problema de se calcular o valor numérico de um polinômio P(x) da forma:
( ) 01
11 axaxaxaxP n
n
n
n ++++= −− L
em x=c (ou seja, P(c)). Deve ser utilizado o esquema a seguir:
01
1
.
Ruffini)-Briot de (algoritmo11.
abcr
nkabcb
ab
knknkn
nn
+=
−≤≤+=
=
−+−−
através do qual são obtidos os coeficientes do polinômio quociente:
( ) 122
11 bxbxbxbxQ n
n
n
n ++++= −−
− L
A seguir apresenta-se um esquema para o cálculo da derivada de um polinômio: bn bn-1 bn-2 … b2 b1
c dn-1*c dn-2*c … d2*c d1*c
bn bn-1+dn-1*c bn-2+dn-2*c b2+d2*c b1+d1*c
dn-1 dn-2 dn-3 d1 resto
∴ dn-1 = bn;
dn-k-1 = bn-k + dn-k*c, k =1,2,...n-2;
resto = b1+d1*c (valor numérico da derivada do polinômio).
50
SEJAM A: VETOR DOS COEFICIENTES DO POLINÔMIO: A(0:N) B: VETOR DOS COEF. DO POL. QUOCIENTE: B(1:N) D: VETOR COEF. POL. P/ CÁLC. DE P’(C): D(1:N-1) ! ! INICIO ALGORITMO ! DADOS SOLICITAR O GRAU DO POLINÔMIO LER N SOLICITAR OS COEFICIENTES LER (A(I),I=0,...,N) SOLICITAR C LER C ! ! APLICAÇÃO DO ALGORITMO DE BRIOT-RUFFINI: P(C) B(N)=A(N) PARA K DE 1 ATÉ N-1 FAÇA B(N-K)=C*B(N-K+1)+A(N-K) FIM PARA ! VALOR NUMÉRICO DO POLINÔMIO VNP = C*B(1) + A(0) ESCREVA ‘P(‘,C,’)=’, VNP ! ! APLICAÇÃO DO ALGORITMO BRIOT-RUFFINI: P’(C) D(N-1)=B(N) PARA K DE 1 ATÉ N-2 FAÇA D(N-K-1)=C*D(N-K)+B(N-K) FIM PARA ! VALOR NUMÉRICO DERIVADA P’(C) VNDP = C*D(1)+B(1) ESCREVA ‘D/DX(P(‘,C,’))=’,VNDP ! FIM ALGORITMO
CAPÍTULO 3
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
3.1. INTRODUÇÃO Um problema de grande interesse prático é a resolução numérica de um sistema Sn de n equações lineares com n incógnitas.
=+++
=+++
=+++
nnnnnn
nn
nn
n
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
S
...
...
...
:
2211
22222121
11212111
ou
∑=
==n
j
ijijn nibxaS1
,...,2,1,:
Onde:
).,...2,1,(tan:,var:,: njitesconsbiáveisxescoeficienta ijij =
Sob a forma matricial Sn pode ser representado como: bAX = onde:
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
21
22221
11211
é a matriz dos coeficientes.
⋅
⋅
⋅=
nx
x
x
X
2
1
é o vetor das variáveis
51
.tantan
2
1
tesconstermosdosvetorouteconsvetoroé
b
b
b
be
n
⋅
⋅
⋅=
A matriz
[ ]
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
nnnnn
n
n
baaa
baaa
baaa
bA
....
....
....
:
21
111211
111211
é chamada matriz aumentada ou matriz completa do sistema. A resolução de um sistema linear consiste em calcular os valores de
( )njx j ,...,1, = , caso existam, satisfazendo as n equações
simultaneamente. Exemplo: Dado o sistema linear 3S :
−=+−
=−+
=−+
132
3344
532
:
321
321
321
3
xxx
xxx
xxx
S
pede-se:
(a) escrevê-lo sob a forma matricial (b) identificar a sua matriz completa (c) mostrar que o vetor
=
3
2
1
x
é o vetor solução para o sistema
Solução
(a) forma matricial
( )
{ {
)(
1
3
5
132
344
132
)(tan
)(var
3
2
1
bAXformadaéque
x
x
x
btescons
termosdosvetor
Xiáveis
devetor
Aescoeficientdosmatriz
=
−
=
−
−
−
43421
(b) matriz completa
[ ]
−−
−
−
=
1132
3344
5132
: bA
52
(c)
bAX =
−
=
+−
−+
−+
=
−
−
−
=
1
3
5
3.12.31.2
3.32.41.4
3.12.31.2
3
2
1
132
344
132
SISTEMAS TRIANGULARES Um sistema linear S AX bn : = é chamado triangular superior se a matriz
( )ijaA = é tal que ( )njiijseaij ,...,2,1,,0 =<= , ou seja:
=
=++
=+++
nnnn
nn
nn
n
bxa
bxaxa
bxaxaxa
SM
22222
11212111
...
...
:
Um sistema linear bAXSn == é chamado triangular inferior se a
matriz ( )ijaA = é tal que a ij = 0 para ( )njij ,...,2,1, => , ou seja:
=+++
=+
=
nnnnnn
n
bxaxaxa
bxaxa
bxa
S
...
:
2211
2222121
1111
MM
Observe-se que os sistemas triangulares em que ( )naii ,...,1,0≠ , são
facilmente resolvidos por substituição retroativa ou progressiva.
Exemplo: Encontrar o vetor solução do sistema linear 4S :
( )( )
( )( )
=
=−
−=−+
−=+−+
422
3354
212
110543
:
4
43
432
4321
4
x
xx
xxx
xxxx
S
Resolução: eq. (4):
⇒= 22 4x 14 =x
substituições retroativas eq. (3):
⇒=−⇒=− 354354 343 xxx x3 2=
eq. (2):
⇒−=−+ 12 432 xxx
⇒−=−+ 1222x x2 1= −
eq. (1):
( ) 1012.5143
10543
1
4321
−=+−−+⇒
−=+−+
x
xxxx
⇒=⇒ 33 1x x1 1=
53
−=∴
1
2
1
1
Xésoluçãovetoro
Métodos Numéricos de Resolução: Métodos diretos: são métodos que determinam a solução exata (X) de um sistema linear com um número finito de operações aritméticas elementares. Métodos iterativos são métodos que permitem obter uma solução aproximada ( )X para um sistema linear, utilizando-se de um método iterativo para gerar uma seqüência de aproximações sucessivas ( ) ( ),..., 21 XX a partir de
uma aproximação inicial escolhida ( )0X . Quando um critério de parada é satisfeito, o último vetor de aproximação ( )kX da seqüência é
tomado para X . 3.2. MÉTODOS DIRETOS 3.2.1. MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS 3.2.1.1. CARACTERIZAÇÃO GERAL O método da Eliminação de Gauss consiste em transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente triangular superior.
Exemplo: Seja resolver o sistema:
( )( )
( )( )
( )( )
−=+−
=−+
=−+
0321
0321
0321
3
3132
23344
1532
:
xxx
xxx
xxx
S
Resolução: Triangularização do sistema original: Passo 1: eliminação de x1 das equações ( ) ( ) )0()0( 32 e :
( )( )
( )( )
( )
( ) 12
22
2
40
11
0311
3011
0211
2 ======a
am
a
am
( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
−=−=−−
−=−=−−
==−+
00132
00132
01321
13
1*133626
1*22272
11532
:
xx
xx
xxx
S
Passo 2: eliminação de x2 da equação ( ) )1(3 :
( )( )
( ) 32
61
22
1322
2 =−
−==
a
am
54
( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
−==
=−=−−
==−+
1123
1232
12321
23
2*333155
2272
11532
:
x
xx
xxx
S
Resolução do sistema triangularizado: determinação do vetor X por substituições retroativas:
( )
( )( )
( )( )
( )( )
=
−=−−
=−+
23
232
2321
23
3155
272
1532
:
x
xx
xxx
S
eq. ( )( )23 : 3155 33 =⇒= xx
eq. ( )( )22 : 237272 2232 =⇒−=⇒−=−− xxxx
eq. ( )( )21 : 16352532 11321 =⇒−+=⇒=−+− xxxxx
=∴
3
2
1
X
Cálculo do determinante de A:
( )
−−
−
=
−
−
−
=
500
120
132
132
344
1322AA
det ( )( ) ( ) 205*2*22 −=−=A
Exemplo:
Resolver o sistema:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
=+++
=+++
=+++
=+++
04321
04321
04321
04321
4
45234
36223
27322
110432
:
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
S
Resolução: Triangularização do sistema original: Passo 1: eliminação de x1 das equações ( )( ) ( )( ) ( )( )000 43,2 e :
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( ) 41
43
1
3
1
20
11
0411
4011
0311
3011
0211
2 ========a
am
a
am
a
am
( )
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
−=−=−−−
−=−=−−−
−=−=−−−
=+++
4*1443515105
3*133241084
2*12213443
110432
:
001432
001432
001432
14321
14
xxx
xxx
xxx
xxxx
S
Passo 2: eliminação de x2 das equações ( )( ) ( )( )11 43 e
( )( )
( )( )
( )
( ) 667.13
5333.1
3
4
3
41
22
1422
4122
1323
2 =−
−====
−
−==
a
am
a
am
55
( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
−=−=−−
−=−=−
=−=−−−
==+++
11243
11243
12432
124321
24
2*667.144329.13665.6332.3
2*333.133671.6335.3866.2
2213543
1110432
:
xx
xx
xxx
xxxx
S
Passo 3: eliminação de x3 da equação ( )( )24 :
( )( )
( ) 249.1668.2
332.32
33
2433
4 =−
−==
a
am
( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
−=−=−
=−=−−
=−=−−−
==+++
2234
2343
23432
234321
34
3*249.144997.4500.2
33671.6335.3866.2
2213543
1110432
:
x
xx
xxx
xxxx
S
Determinação do vetor solução X por substituições retroativas: eq. ( )( )34 : 999.1997.45.2 44 =⇒−=− xx
eq. ( )( )33 :
( )( )002.0
671.6999.1335.3668.2671.6335.3668.2
3
343
x
xxx
⇒
−=−−⇒−=−−
eq. ( )( )32 :
( )( ) ( )( ) 999.013999.15002.043
13543
22
432
=⇒−=−−−⇒
−=−−−
xx
xxx
eq. ( )( )31 :
( )( ) ( )( ) ( )( )0998.1006.0996.710
10999.14002.03999.02
10432
11
1
4321
=⇒−−−=⇒
=+++⇒
=+++
xx
x
xxxx
=∴
999.1
002.0
999.0
0
x
3.2.1.2. ALGORITMO PARA A ELIMINAÇÃO GAUSSIANA Seja ( ) ( ) njibbaAbAXS iijn ≤≤=== ,1,,,: , um sistema de n
equações lineares a n incógnitas. Para 1,...,1 −= nk /*/* passoesimok − Para nki ,...,1+=
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )11
1
1
−−
−
−
−=
=
k
k
k
i
k
i
k
i
k
kk
k
ikk
i
bmbb
a
am
Para nj ,...,1=
( ) ( ) ( ) ( )11 −− −= k
kj
k
i
k
ij
k
ij amaa
fim para fim para fim para
56
3.2.1.3 ESTRATÉGIAS DE PIVOTEAMENTO - ELIMINAÇÃO GAUSSIANA: Estágio k: eliminação de xk das equações (k + 1), ..., n, para
)1(1 −≤≤ nk . PIVÔ DO ESTÁGIO K: akk (k = 1, ..., n - 1) (A) PIVOTEAMENTO PARCIAL Escolhe-se um novo pivô para cada estágio k utilizando o algoritmo: identifica-se:
máx rkik aa =
i ≥ k
se r = k entao nao ha permutacao
senao
as linhas r e k sao permutadas entre si
fim se
Ex.:
=++
=+−−
=++
)3(15042
)2(7753
)1(630
:
321
321
321
3
xxx
xxx
xxx
S
(i) eliminação de x1 das equações (2) e (3): Estratégia de pivoteamento parcial:
)1(i1,2,3= i
2 e 1 linhas das 3 211
≥
∴== permutaçãoaamáx i
−=−=−
==++
−=−=−
==++
=+−−
667.03
2
3
2)3(15042
333.03
1
3
1)2(630
)1(7753
:
)1(3
)0(321
)1(2
)0(321
)0(321
)0(3
mxxx
mxxx
xxx
S
−−==+
−−==+−
==+−−
)667.0(*)1()3()3(669.19669.4665.0/
)333.0(*)1()2()2(331.8331.5)665.1(/
)1()1(7753
:)0()0()1(
32
)0()0()1(32
)0()1(321
)1(3
xx
xx
xxx
S
(ii) eliminação de x2 da equação (3)(1): Estratégia de pivoteamento parcial:
2)=(2222
3,2linha de permutaçao há não665.1 ∴==
=aamáx i
i.
399.0665.1
665.0)2(3 −=
−=m
−−==
−−==+−
==+−−
∴
)399.0(*)2()3()3(993.22796.6
)333.0(*)1()2()2(331.8331.5665.1
)1()1(7753
:)1()1()2(
3
)0()1()2(32
)1()2(321
)2(3
x
xx
xxx
S
57
⇒==796.6
993.22)3.( 3
)2( xeq 383.33 =x
331.8)383.3)(331.5(665.1)2( 2)2( =+−= xeq
⇒ 528.52 =x
7)383.3)(7()828.5)(5(3)1( 1)2( =+−−= xeq
⇒ 153.41 −=x
(B) PIVOTEAMENTO COMPLETO De acordo com esta estratégia, no início do estágio k é escolhido para pivô o elemento de maior módulo dentre todos os elementos que ainda atuam no processo de eliminação: Algoritmo: identifica-se:
k
aamáx
ji
rsij
≥∀
=
,
casos:
r = k e s = k : ok; (não há permutação a efetuar)
r = k e s ≠ k : permutar colunas s e k;
r ≠ k e s = k : permutar linhas r e k;
≠≠k; e s colunaspermular
k; er linhaspermutar :k s ek r
fim casos.
Exemplo
=++
=+−−
=++
)3(15042
)2(7753
)1(630
:
321
321
321
3
xxx
xxx
xxx
S
Resolução: Passo 1: (k = 1)
1
7
,,
23
≥∀≥∀
===
jiji
ijij
k
aamáxamáx
∴←(3). e (1) colunas permutar
(2); e (1) linhas 2311
permutaraa
=++
=++
=−−
)0(123
)0(123
)0(123
3
)3(15240
)2(603
)1(7357
:
xxx
xxx
xxx
S
Eliminação de x3 das equações )0(2 e )0(3 :
07
0429.0
7
3)1(
11
)1(31)1(
3)1(11
)1(21)1(
2 ======a
am
a
am
58
−==+
−==+
==−−
)0()0()1(12
)0()0()1(12
)0()1(123
)1(3
)1(*0)3()3(1524
)1(*429.0)2()2(997.2287.2145.2
)1()1(7357
:
xx
xx
xxx
S
Passo 2: (k = 2)
=+
=+
=−−
1524
997.2287.2145.2
7357
:
12
12
123
)1(3
xx
xx
xxx
S
2
4maxmax
,,
32
≥∀≥∀
===
jiji
ijij
k
aaa
{ 3 e 2 linhas 3222 permutaraa ←
( )
=+
=−
=−−
∴)1(
12
)1(12
)1(123
)1(3
3997.2287.2145.2
)2(1524
)1(7357
:
xx
xx
xxx
S
Eliminação de 2x da equação )1(3 :
536.04
145.2)1(
22
)1(32)2(
3 ===a
am
( )
−=−=
==+
==−−
∴)1()1()2(
1
)1(212
)1()2(123
)2(3
)2(*536.0)3()3(043.5215.1
)2()2(1524
)1()1(7357
:
x
xx
xxx
S
Determinação do vetor X por substituições retroativas
382.3)1.(
825.5)2.(
151.4)3.(
3)2(
2)2(
1)2(
==
==
−==
xeq
xeq
xeq
Exemplo: [RUGGIERO, LOPES: 1996]
=+
=+
622
520002.0:
21
212
xx
xxS
(sistema de aritmética de ponto flutuante de 3 dígitos (t = 3)) Resolução (A) Sem pivoteamento:
543
1)1(
2 101.0101102.0
102.0×=×=
××
= −m
−=×−=×−
=×=×+×
==
−
2)0()0()1(5
25
)0()1(12
11
3
)1(2 *)1()2()2(105.0102.0
)1()1(105.0102.0102.0:
)2()1(
mx
xx
S4342143421
59
�=
555
51511
102.0102.01002000.0
102.0102.0)101.0)(102.0(102.0
×−=×−×
=×−×=××−×=
�=
555
51151
105.0105.01006000.0
105.0106.0)105.0)(101.0(106.0
×−=×−×=
×−×=××−×=
Vetor solução: eq. )1()2( :
1025.0105.0102.0 25
25 ×=⇒×−=×− xx
eq. )1()1( :
=∴=⇒
×=××+× −
5.2
00
105.0)1025.0)(102.0(102.0
1
105.01005.0
111
3
2
Xx
x
xx
444 3444 21
Observação: Substituindo-se na equação )0()2( , obtém-se:
655.2222 21 ≠=×=+ xx (B) Com pivoteamento (parcial)
×=×+×
×=×+× −
)2(106.0102.0102.0
)1(105.0102.0102.0:
12
11
1
12
11
3
2xx
xxS
(I) eliminando-se x1 da eq. (2) Estratégia de pivoteamento parcial
(2) e (1) linhas
1
102.0 211
permutar
iki
aamáxamáx ikik
∴
≥≥
=×==
×=×+×
×=×+×∴
− )0(12
11
3
)0(12
11
1
3)2(105.0102.0102.0
)1(106.0102.0102.0:S
xx
xx
31
3)1(
2 101.0102.0
102.0 −−
×=××
=m
−=×=×
=×=×+×
∴
×=×−×==×−×=
=×××−×−
−
2)0()0()1(1
102.0104000.0102.01004.0102.0
)102.0()102.0(102.0
21
)0()1(12
11
1
)1(3
*)1()2()2(105.0102.0
)1()1(106.0102.0102.0
:
111
21
131
mx
xx
S 43421
eq. )1()2( :
1025.0102.0
105.0105.0102.0 1
1
21
21 ×=
××
=⇒×=× xx
eq. )1()1( :
60
=∴=⇒
×=××+×
××
5.2
5.05.0
106.0)1025.0)(102.0(102.0
1
1
105.01005.0
111
1
1
2
Xx
x444 3444 21
Obs.: Substituindo nas eq. (1) e (2), obtém-se:
5105.01005.0
1005.0101.0)1025.0)(102.0()5.0)(102.0()1(
6)5.2.(2)5.0.(222)2(
2
2313
21
===
+=+
=+=+−−
xx
xxxxx
xx
3.2.2. O MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN 3.2.2.1. CARACTERIZAÇÃO GERAL Dada a matriz aumentada [A : b : I] As transformações elementares para se obter uma matriz identidade a partir de A quando aplicados a b e a I conduzem, respectivamente, a X, vetor solução do sistema, e a A-1, inversa de A, ou seja
[A : b : I] transformações → [I : X : A-1] elementares
Exemplo:
−
=
−
−
−
=
1
3
5
132
344
132
bA
Matriz aumentada:
}
)0(
)0(
)0(
)3(
)2(
)1(
100
010
001
1
3
5
132
344
132
]::[
−−
−
−
=
4847648476 IBA
IbA
Passo 1:
)0()3(
)1()1(*2
)1()3(
)0()2(
)1()1(*4
)1()2(
2/)0(
)1()1(
)1(
1
0
0
016
10.27
05.05.2
0.20.60
0.10.20
5.05.11
+−=
+−=
=
−−
−−
−
−−
−
Passo 2:
)1()3(
)2()2(*6
)2()3(
)0.2/()1(
)2()2(
)2(
)1()1(
)2()2(*5.1
)2()1(
1
0
0
3515
5.015.3
75.00.175.2
0.500
5.010
25.101
+=
−=
+−=
−
−
−−−
Passo 3:
{
( )
5/)2(
)3()3(
)3(
)2()2(
)3()3(*5.0
)3()2(
)2()1(
)3(3*25.1
)3()1(
1
2.06.01
1.02.05.0
25.0025.0
3
2
1
100
010
001
=
+−=
+=
−
−−
−444 3444 2143421
AXI
61
−
−−=
=∴ −
2.06.01
1.02.05.0
25.0025.0
3
2
11AeX
3.2.2.2. ALGORITMO PARA O MÉTODO DE JORDAN SEJA C A MATRIZ AUMENTADA [A : b : I] PARA I DE 1 ATE N FACA (* PASSO I *) PIVOT = C(I,I) (* ELEMENTO DA DIAGONAL PRINCIPAL = 1 *) PARA J DE 1 ATE (2 * N + 1) FACA C(I,J) = C(I,J)/PIVOT FIM PARA (* DEMAIS ELEMENTOS NA COLUNA I IGUAIS A 0 *) PARA K DE 1 ATÉ N SE K <> I ENTAO (* NÃO É LINHA DO PIVOT *) ENTÃO FMULT = -C(K,I) PARA J DE 1 ATE (2 * N + 1) FACA C(K,J) = C(K,J) + FMULT*C(I,J) FIM PARA FIM SE FIM PARA FIM PARA Exercício: Dado o sistema linear
=+−−
=+++−
=−++
=+−+
4938126
115973
42745
278122
:4
zyxw
zyxw
zyxw
zyxw
S
Pede-se: a) Determinar o seu vetor solução (X) e a inversa da matriz dos
coeficientes (A-1 ) usando o método de Jordan; b) Determinar o seu vetor solução (X) e o determinante da matriz
dos coeficientes usando o método de eliminação de Gauss; Resp.:
−
−
−−
−
=−−=
0626.01081.00163.00299.0
0329.00652.00098.00506.0
0715.00289.00566.00590.0
0362.00249.01345.00356.0
1
5
1
2
3
AX
Exercício: determinar a inversa da matriz de Wilson
Jordan de método o
10957
91068
5657
78710
utilizandoA
=
Resp.:
−−
−−
−−
−−
=−
23106
351710
10176841
6104125
1A
62
Exercíçio: determinar o vetor solução e a inversa da matriz dos coeficientes do sistema abaixo:
=+++
=+++
=+++
=+++
5234
6223
7322
10432
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Resp.:
−
−−
=
0.2
71009.2
0.1
71028,3
x
x
X
−
−
−
−
=−
4.05.001.0
5.00.15.00
05.00.15.0
1.005.04.0
1A
Exercício: Inverter a matriz de Pascal
=
70351551
35
15
5
1
201041
10631
4321
1111
A
Resp.:
−−
−
−
−−
−−
−−
−−
=−
14641
4
6
4
1
1727195
27463510
19353010
510105
1A
3.3. MÉTODOS ITERATIVOS 3.3.1. GERAL Um sistema linear é dito ser esparso quando a matriz A dos coeficientes possui uma grande porcentagem de elementos nulos. Para tais sistemas o emprego do método da Eliminação de Gaus para a sua resolução não é aconselhável, dado que este método não preserva esparsidade, ou seja, durante o processo de eliminação muitos elementos nulos poderão se tornar não nulos. Observe-se que sistemas lineares de grande porte são em geral esparsos. Os métodos iterativos preservam a esparsidade de A, pois os elementos desta matriz não são alterados. Apresentam ainda uma outra vantagem sobre o método da Eliminação de Gauss dada pelo fato de que são métodos relativamente insensíveis ao crescimento de erros de arredondamento. A idéia central dos métodos iterativos é generalizar o M.I.L. utilizado na busca de raízes de uma equação, estudado anteriormente. Considere um sistema linear da forma:
63
Sn : AX=b:
=+++
=+++
=+++
)(...
)2(...
)1(...
:
2211
22222121
11212111
nbxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
S
nnnnnn
nn
nn
nM
Obtém-se a partir de Sn as equações:
)...(1
1313212111
1 nn xaxaxaba
x −−−−=
)...(1
)...(1
11,2211
2323121222
2
−−−−−−=
−−−−=
nnnnnn
nn
n
nn
xaxaxaba
x
xaxaxaba
x
M
ou, equivalentemente,
)......(1
11,11,11 niniiiiiiii
ii
i xaxaxaxaba
x −−−−−= ++−−
nixaxaba
xi
j
n
ij
jijjiji
ii
i ,...,2,1,1 1
1 1
=
−−=⇔ ∑ ∑
−
= +=
3.3.2 MÉTODO DE GAUSS-JACOBI: 3.3.2.1 CARACTERIZAÇÃO Suponha-se que:
)(k
ix designa a aproximação de ordem k de xi;
( )Tk
n
kkk xxxX )()(2
)(1
)( ,...,,= designa o vetor de aproximação de ordem k
do vetor solução do sistema (k = 0, 1, 2,...). Calculam-se os vetores aproximativos X(1), X(2), ..., a partir de um vetor de aproximação inicial X(0), utilizando-se do esquema:
,...2,1,0,...,2,1
1 1
1 1
)()()1(
==
−−= ∑ ∑
−
= +=
+
kni
xaxaba
xi
j
n
ij
k
jij
k
jiji
ii
k
i
Exemplo: (Método Iterativo de Gauss-Jacobi) Seja resolver o sistema linear:
=++
−=++
=++
61032
85
7210
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Pelo método iterativo de Gauss-Jacobi, com 05.0
6.0
6.1
7.0)0( ≤
−= εeX
64
Resolução: Obtenção da forma iterativa:
( )
( ),...2,1,0
32610
1)326(
10
1
)8(5
1)8(
5
1
2710
1)27(
10
1
)(2
)(1
)1(3213
)(3
)(1
)1(2312
)(3
)(2
)1(1321
=
−−=⇒−−=
−−−=⇒−−−=
−−=⇒−−=
+
+
+
k
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
kkk
kkk
kkk
Aplicação do método: Cálculo de )1(X :
( )
( )
( ) 94.0))6.1(3)7.0.(26(10
1326
10
1
86.1)6.07.08(5
18
5
1
96.0)6.0)6.1(27(10
1.27
10
1
)0(2
)0(1
)1(3
)0(3
)0(1
)1(2
)0(3
)0(2
)1(1
=−−−=−−=
−=−−−=−−−=
=−−−=−−=
xxx
xxx
xxx
−=∴
94.0
86.1
96.0)1(X
Cálculo de 1ε :
−=
−
−−−
−
=−
34.0
26.0
26.0
6.094.0
)6.1(86.1
70.096.0)0()1( XX
05.034.0max )0()1(
31>=−⇒
≤≤ ii xxi
Cálculo de )2(X :
( ) 98.0)94.0)86.1.(27(10
127
10
1 )1(3
)1(2
)2(1 =−−−=−−= xxx
( )
( ) 97.0))86.1(3)96.0.(26(10
1326
10
1
98.1)94.096.028(5
128
5
1
)1(2
)1(1
)2(3
)1(3
)1(1
)2(2
=−−−=−−=
−=−−−−=−−−=
xxx
xxx
−=∴
97.0
98.1
98.0)2(X
Cálculo de 2ε
−=
−
−−−
−
=−
03.0
12.0
02.0
94.097.0
)86.1(98.1
96.098.0)1()2( XX
05.012.0max )1()2(
31>=−⇒
≤≤ ii xxi
65
Cálculo de )3(X :
( )
( )
( ) 998.0))98.1(3)98.0.(26(10
1326
10
1
99.1)97.098.08(5
128
5
1
999.0)97.0)98.1.(27(10
127
10
1
)2(2
)2(1
)3(3
)2(3
)2(1
)3(2
)2(3
)2(2
)3(1
=−−−=−−=
−=−−−=−−−=
=−−−=−−=
xxx
xxx
xxx
−=∴
998.0
99.1
999.0)3(X
Cálculo de 3ε :
05.0028.0max
028.0
01.0
019.0
97.0998.0
)98.1(99.1
98.0999.0
)2()3(
)1()3(
31<=−⇒
−=
−
−−−
−
=−
≤≤ ii xx
XX
i
Jacobi.-Gass de iterativo método
pelo obtida 0.05,e com
linear, sistema do solução a é
998.0
99.1
999.0
≤
−=⇒ X
Observação: a solução exata é o vetor:
−=
1
2
1
X
3.3.2.2 MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS-JACOBI - UM CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA O teorema a seguir estabelece uma condição suficiente para a convergência do método iterativo de Gauss-Jacobi. TEOREMA (critério das linhas) Seja o sistema linear bAXSn =: e seja
∑≠=
=n
kkkjk
kjj
aa1
/)(α
Se α α= <
≤ ≤máx
k nk
11 então o método iterativo de Gauss-Jacobi gera uma
seqüência { })(kX convergente para a solução do sistema dado,
independentemente da escolha da aproximação inicial, X( )0 . Exemplo: Estude o sistema do exemplo anterior quanto a convergência. Resolução:
66
Matriz dos coeficientes:
=
1032
151
1210
A
Cálculo de 3,2,1, =kkα :
15.010
3214.0
5
1113.0
10
12321 <=
+=<=
+=<=
+= ααα
1max31
<=∴≤≤ k
kαα { } e.convergent )( seráXseqüência k⇒
Exemplo: Estudar o sistema
−=+
=++
−=++
686
3225
23
:
32
321
321
3
xx
xxx
xxx
S
quanto a convergência. Resolução: Matriz dos coeficientes:
=
860
225
131
A
Cálculo de 3,2,1, =kkα :
141
131 >=
+=α
Permutando-se a primeira equação com a segunda obtém-se o sistema linear equivalente:
−=+
−=++
=++
686
23
3225
:
32
321
321
)1(3
xx
xxx
xxx
S
cuja matriz dos coeficientes é:
=
860
131
225)1(A
Cálculo de 3,2,1, =kkα :
175.08
6017.0
3
1118.0
5
22321 <=
+=<=
+=<=
+= ααα
18.031
<==∴≤≤ k
kmáxαα { } e.convergent )( seráXseqüência k⇒
67
3.3.3 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 3.3.3.1. CARACTERIZAÇÃO Os vetores aproximativos são obtidos através do esquema:
,...2,1,0,...,2,1
1
1 1
)()1(1)1(
==
∑−
=∑
+=−+−=+
kni
i
j
n
ij
kjxija
kjxijaib
iia
kix
Observa-se que, no processo iterativo de Gauss-Seidel, no momento de se calcular )1( +k
ix , são usados os valores de )1(1
)1(1 ,..., +
−+ k
i
k xx , que já
foram calculados, e os valores )()(1 ,..., k
n
k
i xx + restantes.
Exemplo: Resolver o sistema linear:
=++
−=++
=++
61032
85
7210
321
321
321
xxx
xxx
xxx
usando o método iterativo de Gauss-Seidel, com:
05.0
6.0
6.1
7.0)0( ≤
−= εeX
Resolução:
Obtenção da forma iterativa
−−=+⇒−−= )(
3)(
22710
1)1(1)3227(
10
11
kx
kx
kxxxx
−+−−=+⇒−−−= )(
3)1(
185
1)1(2)318(
5
12
kx
kx
kxxxx
.,2,1,0,)1(23)1(
12610
1)1(3)23126(
10
13 ..=
+−+−=+⇒−−= k
kx
kx
kxxxx
Aplicação do método: Cálculo de )1(X :
( )
( )
( ) 9816.0))912.1(396.0.(2610
1))1(
23)1(126(
10
1)1(3
912.16.096.085
1))0(
3)1(
18(5
1)1(2
96.06.0)6.1.(2710
1))0(
3)0(
227(10
1)1(1
=−−−=−−=
−=−−−=−−−=
=−−−=−−=
xxx
xxx
xxx
−=∴
9816.0
912.1
96.0)1(
X
Cálculo de 1ε :
68
05.038.0)0()1(
3138.0
31.0
26.0
6.09816.0
)6.1(912.1
7.096.0)0()1(
>=−≤≤
⇒−=
−
−−−
−
=−
ixixi
máxXX
Cálculo de )2(X :
( )
( )
( ) 0011.1))9932.1(39842.0.(2610
1)
)2(23
)2(126(
10
1)2(3
9932.19816.09842.085
1))1(
3)2(
18(5
1)2(2
9842.09816.0)912.1.(2710
1))1(
3)1(
227(10
1)2(1
=−−−=−−=
−=−−−=−−−=
=−−−=−−=
xxx
xxx
xxx
∴ −=
0011.1
9932.1
9842.0)2(
X
Cálculo de 2ε :
05.008.0)1()2(31
,
02.0
08.0
02.0
9816.00011.1
)912.1(9932.1
96.09842.0)1()2(
>=−≤≤
⇒
−=
−
−−−
−
=−
ixixi
máx
XX
Cálculo de )3(X :
( )
( )
( ) 0003.1))9999.1(39985.0.(2610
1))3(
23)3(126(
10
1)3(3
9999.10011.19985.085
1))2(
3)3(
18(5
1)3(2
9985.00011.1)9932.1.(2710
1))2(
3)2(
227(10
1)3(1
=−−−=−−=
−=−−−=−−−=
=−−−=−−=
xxx
xxx
xxx
Cálculo de 3ε :
=
−
−−−
−
=−
0008.0
0067.0
01.0
0011.10003.1
)9932.1(9999.1
9842.09985.0)2()3(
XX
05.001.023
31max <=−
≤≤⇒
ixixi
⇒ a solução X do sistema linear, com 05.0≤ε , obtida pelo método iterativo de Gauss-Seidel, é dada por:
−==
0003.1
9999.1
9985.0)3(
XX
(Note-se que, de fato, a solução obtida satisfaz o critério 01.0≤ε )
69
3.3.3.2. ESTUDO DA CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL (A) CRITÉRIO DE SASSENFELD O "critério de Sassenfeld" propicia uma condição suficiente para a convergência do método iterativo de Gauss-Seidel. Teorema: Seja bAXnS =: um sistema linear de ordem n com
niaii ,...,2,1,0 =≠ e sejam
∑=
=n
j ja
a 2 111
11β
iniM
nin
ijijaj
i
jija
iiai
β
ββ
≤≤=
=
∑
+=+∑
−
==
1max
,...,3,21
1
1
1
A condição M < 1 é suficiente para que a seqüência { })(kX gerada pelo método de Gauss-Seidel seja convergente independentemente da aproximação inicial X( )0 . Além disto, quanto menor for β mais rápida será a convergência. Exemplo: Estudar o sistema linear seguinte quanto à convergência segundo o "critério de Sassenfeld":
−=+++
=++−−
−=−−+
=+−+
=
0.104438.022.114.0
0.142.0322.011.0
8.743.036.02316.0
4.042.032.0212
4
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
S
Resolução: Cálculo dos 41, ≤≤ kkβ :
44.0)3.06.07.06.0(3
12
7.0)2.02.01(2
11
=++=
=++=
xβ
β
2736.0)358.08.044.02.17.04.0(4
14
358.0)2.044.02.07.01.0(1
13
=++=
=++=
xxx
xx
β
β
17.0
41<==⇒
≤≤ ii
máxM β
⇒ a seqüência { })(kX gerada pelo método iterativo de Gauss-Seidel será convergente. Exemplo: estudar o sistema linear seguinte quanto a convergência segundo critério de Sassenfeld:
=+
=+−
=++
3331
132
933212
3xx
xx
xxx
S
70
Resolução:
12)31(2
11 >=+=β
Permutando-se entre si as equações (1) e (3), obtém-se:
=++
=+−
=+
=
)'3(932
)'2(1
)'1(33
321
32
31
'3
xxx
xx
xx
S
13)30(1
11 >=+=β
Permutando-se entre si a 1a e a 3a colunas de S3' obtém-se:
=++
=−
=+
=
923
1
33
123
23
13
''3
xxx
xx
xx
S
3/23
11
3
13
2
1
3/103
11
1
13/1)10(
3
1
3
21
=
×+×=
=
+×==+=
β
ββ
13
231
<==≤≤ i
imáxM β
⇒ a seqüência { })(kX gerada pelo método iterativo de Gauss-Seidel
para o sistema S3'' será convergente.
(B) CRITÉRIO DAS LINHAS O critério das linhas diz que se 1
1<=
≤≤ knk
máx αα , onde
kka
n
kjj
kjk a /)(1∑
≠=
=α ,
então o método de Gauss-Seidel gera uma seqüência convergente. Exemplo: Estudar o sistema linear:
=++
=−
=+
=
932213
121
3313
3xxx
xx
xx
S
quanto à convergência segundo os critérios de Sassenfeld e das linhas. Resolução: (a) Critérios das linhas:
.satisfeito é não linhas das critério
122
133
11
012
3
1
3
101
o⇒
<=+
=
=+
=
=+
=
α
α
α
71
(b) Critério de Sassenfeld
satisfeito é Sassenfeld de critério
13
2
23
11
3
13
13
1
1
0)3/1(1
13
1
3
10
3
2
1
o⇒
<=×+×
=
<=+×
=
<=+
=
β
β
β
Exercício: Dado o sistema linear:
=
−
−−
−−
−
1
1
1
1
4
3
2
1
4100
1410
0141
0014
4
x
x
x
x
S
Pede-se: (a) Verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito (b) Resolver por Gauss-Seidel, se possível, considerando
TX )0,0,0,0()0( = e uma precisão ε < −10 2 .
Resp.: (a) M = 0.3821 (b) X T= ( . . . . )0 364 0 455 0 455 0 364
Exercício: Usando o "critério de Sassenfeld", verifique para que valores de k se tem a garantia de que o método de Gauss-Seidel vai gerar uma seqüência convergente para a solucão do sistema.
=++
=++
=++
=
337261
23261
13231
3xxx
xxkx
xxkx
S
Exercício: Resolva o sistema abaixo pelo método de Gauss-Seidel. Considere
TX )0,0,0()0( = e uma precisão 310−<ε .
−
=
−−
−
=
3
6
2
412
242
111
3
2
1
3
x
x
x
S
Resp.:
TX )3.0,4.0,9.1(= Algoritmo: Método Iterativo de Gauss-Seidel
72
Início (* Gauss-Seidel *) Solicite o número de equações (N) Leia N (* leitura dos elementos: matriz a e vetor b *)
Para i de 1 até N Faça Solicite b(i) Leia b(i) Para j de 1 até N Faça Solicite a(i,j) Leia a(i,j)
Fim para Fim para Solicite a precisão (E) Leia E (* inicialização *) Para k de 1 até N faça x(k) = 0; M = 1 (* auxiliar: número de iterações *) Enquanto M <> 0 Faça Para k de 1 até N faça Tmp = x(k) S = 0 Para j de 1 até n Faça Se (k <> j) Então S = S + a(k,j)* x(j) Fim Se Fim para (* j *) X(k) = (b(k)-S)/a(k,k) Se |x(k) – tmp| > E
Então M=1 Fim se Fim Para (* k *) Fim enquanto Para k de 1 até N Faça Escreve “x(“,k,”) = “, x(k) Fim para Fim (* Gauss-Seidel *) Agradecimento: Ao Polo Computacional do Campus da UNESP - Guaratinguetá, em particular à equipe de digitação, cujo apoio foi essencial para a produção do presente trabalho. BIBLIOGRAFIA
1. RUGGIERO, M.A.G. & LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico Aspectos Teóricos e Computacionais. São Paulo: MAKRON Books, 1996.
2. DORN, W.S. & MAcCRACKEN, D.D. Cálculo Numérico
com Estudo de Casos em Fortran IV. Campus, 1978
3. BARROSO, L.C. & outros. Cálculo Numérico (com aplicações). Editora Harbra Ltda, 1987