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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Universidade Federal do ABC
Aula 5 O Método dos Volumes Finitos
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Método dos volumes finitos (MVF)
Origens: mecânica estrutural, cálculo das variações para condições de contorno elípticas.
Problemas de Condições de Contorno
Problemas de Minimização
⊕ o funcional contém derivadas de ordem inferior ⊕ soluções a partir de uma ampla classe de funções são admissíveis ⊕ condições de contorno para domínios complexos podem ser facilmente manipulados ⊖ às vezes não há funcional associado às condições de contorno originais
Técnicas modernas: formulação via resíduos ponderados (forma fraca da EDP)
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Teoria 1: minimização de problemas 1D
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Condição necessária em um dos extremos
arbitrária
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Lemma de Du Bois Reymond
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Restrições impostas à solução w = u do problema de minimização
Euler-Lagrange
condição de contorno essencial
condição de fronteira natural
Equação de Poisson: a solução
minimiza o functional
em (0, 1)
cond. contorno Dirichlet
cond. contorno Neumann
Exemplo: eq. Poisson 1D
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Exemplo: eq. Poisson 2D
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Exemplo: eq. Poisson 2D
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O Método de Rayleigh-Ritz
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Exemplo: eq. Poisson 1D
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Exemplo: má escolha das funções de base Considere a base polinomial
•A é conhecida como a matriz de Hilbert que é definida-positiva. Mas, é completa e não é
bem organizada, de modo a que a solução é computacionalmente cara e corrompida por erros
de arredondamento.
• Para A ser esparsa, as funções de base devem ter um suporte compacto.
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Fundamento do Método dos Elementos Finitos
O Método dos Elementos Finitos é uma abordagem
sistemática para a geração de trechos de funções
polinomiais de base com propriedades favoráveis.
O domínio computacional W é subdividido em um
número de subdomínios K, chamados de
elementos:
A triangulação Th é admissível se a intersecção de quaisquer dois elementos for um
conjunto vazio ou um vértice/aresta/face da grade comum.
O subespaço de elementos finitos Vh é composto por trechos de funções polinomiais,
tipicamente da forma
Qualquer função v Vh é unicamente determinada por um número finito de graus
de liberdade (valores ou derivadas em certos pontos chamados de nós).
Cada função de base ji representa exatamente um grau de liberdade e tem uma
estrutura compacta: as matrizes resultantes são esparsas.
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Aproximação via elementos finitos
Um elemento finito é representado por uma tripla (K, P, S), onde
K é um subconjunto fechado de W
P é o espaço polinomial para as funções de forma
S é o conjunto de graus de liberdade locais
Funções de base possuem a propriedade
Solução aproximada: os valores nodais u1,. . . , uN pode ser calculada pelo método de Ritz
desde que exista um problema de minimização equivalente.
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Exemplo: eq. Poisson 1D
Encontrar os valores nodais u1,. . . , uN que minimizam o funcional
Funções base locais para
Solução aproximada para x ei
contínua e linear por partes
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Exemplo: eq. Poisson 1D
O método de Ritz produz um sistema linear da forma Au = F, onde
Estas integrais podem ser avaliada exatamente ou numericamente (usando uma
regra de quadratura)
Stiffness matrix e load vector para uma grade uniforme
Este é o mesmo sistema linear como o obtido para o método de diferença finita!
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Existência de um problema de minimização
As condições suficientes para que uma EDP eliptica
seja ma equação de Euler-Lagrange de um problema variacional são:
• O operador L deve ser linear.
• O operador L deve ser auto-adjunto (simétrico)
para todos os u,v admissíveis.
• O operador L deve ser definido positivo
Neste caso, a única solução u minimiza o funcional
ao longo do conjunto de funções admissíveis.
Condições de contorno não-homogêneas modificam este conjunto, podendo dar
origem a outros termos do funcional a ser minimizado.
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Exemplo: eq. Poisson 1D
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Método dos Mínimos Quadrados
corresponde a uma derivada do EDP inicial.
• requer condições de contorno adicionais e suavidade adicional.
• faz sentido reescrever uma EDP de alta ordem como um sistema de primeira ordem
Vantagem: as matrizes de uma discretização pelo método dos mínimos quadrados são
simétricos
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Formulação via resíduos ponderados
Ideia: tornar o resíduo ortogonal a um espaço de funções de teste.
Seja a solução de
O resíduo é zero se a sua projeção sobre cada função de teste for igual a zero.
Funções de teste
Formulação fraca: encontrar u V0 tal que
onde é uma forma bilinear e
Integração por partes:
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Discretização de elementos finitos
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Exemplo: eq. Poisson 1D
Problema de valor de contorno Formulação fraca
Integração por partes Solução aproximada
Problema contínuo
Problema discreto (método de Galerkin)
Este é um sistema (esparso) linear da forma Au = F, onde
Os métodos de Galerkin e Ritz são equivalentes se existe o problema de minimização
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Exemplo: eq. Poisson 2D
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Exemplo: eq. Poisson 2D