DerivadaAutores:

Silvia Maria Medeiros CaporaleJoão Paulo Rezende

Karine Angélica de DeusColaboradores:

José Antônio Araújo AndradeMarielle Aparecida Silva

Derivada: conceitos básicos

Taxa de Variação

A velocidade média, por exemplo, é a taxa de

variação do espaço em relação ao tempo. Ou

seja, é o espaço percorrido em cada unidade de tempo.

Taxa de variação é a comparação entre duas grandezas variáveis e dependentes.

t (s) 0 1 2 3 4 5 6 ...s (m) 0 4 8 12 16 20 24 ...

A cada 1 segundo de movimento o espaço varia de 4 metros. Veja:

A tabela a seguir representa o espaço percorrido, em metros (m), por um móvel a cada unidade de tempo

em segundos (s).

Exemplo 1

t s(t)

t s(t)

0 0

t s(t)

0 0

1 4

t s(t)

0 0

1 4

t s(t)

0 0

1 4

t s(t)

0 0

1 4

2 8

t s(t)

0 0

1 4

2 8

t s(t)

0 0

1 4

2 8

t s(t)

0 0

1 4

2 8

3 12

t s(t)

0 0

1 4

2 8

3 12

t s(t)

0 0

1 4

2 8

3 12

t s(t)

0 0

1 4

2 8

3 12

4 16

t s(t)

0 0

1 4

2 8

3 12

4 16

t s(t)

0 0

1 4

2 8

3 12

4 16

t s(t)

0 0

1 4

2 8

3 12

4 16

5 20

t s(t)

0 0

1 4

2 8

3 12

4 16

5 20

t s(t)

0 0

1 4

2 8

3 12

4 16

5 20

t s(t)

0 0

1 4

2 8

3 12

4 16

5 20

6 24

t s(t)

0 0

1 4

2 8

3 12

4 16

5 20

6 24

t s(t)

0 0

1 4

2 8

3 12

4 16

5 20

6 24

t s(t)

0 0

1 4

2 8

3 12

4 16

5 20

6 24

4 é o coeficiente angular da reta

No nosso exemplo, a taxa de variação ou coeficiente angular da

reta é constante.

Mas e quando não lidamos com uma reta?

Imagine o movimento de um objeto solto a uma altura de 50 metros em queda livre. Com o auxílio da física, podemos descrever seu movimento através da função:

t 0 1 2 3 3,2

s (t) 50 45,1 30,4 5,9 0

Observe que nossa taxa de variação corresponde a inclinação da reta definida pelos pontos:

Como ,

então os pontos serão:

Ponto em que a reta corta o eixo y

Inclinação da reta.

podemos determinar areta que passa por eles:

A partir dos pontos

Observe que nossa taxa de variação corresponde a inclinação da reta definida pelos pontos:

Como ,

então os pontos serão:

A partir dos pontos

Ponto em que a reta corta o eixo y

Inclinação da reta.

podemos determinar areta que passa por eles:

Veja que quando observamos intervalos distintos, temos taxas de variação distintas.

Se aceitarmos , qual problema teríamos?

Assim, podemos dizer que quando lidamos com um ponto na vizinhança do ponto 3, temos que a

reta secante ao gráfico se aproxima da reta tangente ao ponto (3, S(3)).

Reta secanteReta tangente

Quando aproximamos o ponto variável ao ponto fixo , diminuímos nosso intervalo ,

fazendo-o se aproximar de zero.

Logo, quando se aproxima de zero temos uma boa aproximação da taxa de variação do espaço

em relação ao tempo no ponto 3.

Essas considerações podem ser sistematizadas através da noção de Limite.

Esse valor é a velocidade instantânea em t = 3s.

Consideramos um ponto específico (3, S(3)), mas podemos generalizar nossas considerações para

um ponto qualquer (t, S(t)).

Dessa forma, em t=3s temos que o valor da velocidade instantânea será:

Assim, temos uma equação que nos fornece a taxa de variação da função S de uma variável t,

definida por para qualquer t real.

Estamos diante da noção de DERIVADA de uma função real de uma variável.

Notação:

A derivada é denotada por

ou

Definição de Derivada

A derivada de uma função (f) é a função (f’) desde que o limite abaixo exista.

Observações:

Podemos utilizar outras notações para representar a derivada de uma função real de uma variável como

por exemplo:

ou

e

e

Como saber se uma função é derivável

(ou diferenciável)?

Uma função é derivável em um intervalo aberto se existe para

qualquer valor de nesse intervalo.

Uma função é derivável em um intervalo fechado se a função é

diferenciável em um intervalo aberto e existe os limites:

ou

e

Exemplos:

Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no intervalo :

e

Como a derivada não depende de x então ela existe

para todo ou

seja, é derivável em

se

Uma função é dita derivável em um ponto x = c, se existe derivada no ponto x = c.

Observações:

Seja as funções abaixo, verifique se são deriváveis no ponto x=0:

Exemplos:

Logo, f(x) é derivável em x=0.

Logo, g(x) não é derivável em x=0.

Uma função que é derivável para todos os valores x de seu domínio é denominada função

derivável ou diferenciável.

Observações:

Toda função derivável é contínua mas nem toda função

contínua é derivável.

Observações:

é uma função contínua, no

entanto, não é derivável no ponto

não é contínua, porém é derivável para todo valor de do seu domínio.

é contínua e derivável em todo valor de x do seu

domínio.

Exemplo:

O lucro de um buffet é dado em função do valor cobrado por pessoa. A função que descreve essa

situação é dada pela lei de formação:

Dessa forma, encontre o valor ideal a ser cobrado para que o buffet tenha lucro máximo.

O valor ideal éR$ 17,50