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1. O prisma é um sólido geométrico que faz parte dos estudos de geometria espacial.

É caracterizado por ser um poliedro convexo com duas bases (polígonos iguais) congruentes e paralelas, além das faces planas laterais (paralelogramos). O P.R.R.- Paralelepípedo Reto Retângulo – é um prisma. Em uma piscina retangular com 10 m de comprimento e 5 m de largura, para elevar o nível de água em 10 cm são necessários:

(A) 500 litros de água (B) 5000 litros de água RESP. B (C) 10000 litros de água (D) 1000 litros de água (E) 50000 litros de água

2. Um casal realiza sua mudança de domicílio e necessita colocar numa caixa de papelão um objeto cúbico, de 80 cm de aresta, que não pode ser desmontado. Eles têm à disposição cinco caixas, com diferentes dimensões, conforme descrito:

• Caixa 1: 86 cm x 86 cm x 86 cm • Caixa 2: 75 cm x 82 cm x 90 cm • Caixa 3: 85 cm x 82 cm x 90 cm RESP. C • Caixa 4: 82 cm x 95 cm x 82 cm • Caixa 5: 80 cm x 95 cm x 85 cm

O casal precisa escolher uma caixa na qual o objeto caiba, de modo que sobre o menor espaço livre em seu

interior. A caixa escolhida pelo casal deve ser a de número

(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. (E) 5.

3. O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Esse número é encontrado fazendo-se determinadas operações com os elementos que compõe a matriz. O determinante de ordem 2 é obtido através do cálculo: diagonal principal (dp) – diagonal secundária (ds).

DISCIPLINA MATEMÁTICA

PERÍODO RECUPERAÇÃO

ANUAL ANO / SÉRIE / TURMA

2ª SÉRIE PROFESSOR

JOÃO DANTAS

Valor: 3,0

NOTA

Roteiro de Estudos CURSO ENSINO MÉDIO

DATA:____/____/2019

NOME: ____________________________________________________________________________ Nº _____

Objetos de conhecimento

Matrizes. Determinantes e Geometria Espacial: Prismas Geometria Métrica Espacial – Pirâmides. Análise Combinatória: PFC, PERMUTAÇÃO E COMBINAÇÃO PROBABILIDADES – CONES E ESFERAS Geometria Métrica Espacial – Cilindros

NOME: __________________________________________________________ Nº _______ Pág. 2/14

O determinante de ordem 3 é obtido através da REGRA DE SARRUS, que consiste em repetir as duas primeiras linhas logo abaixo da 3ª linha e proceder a diferença entre a diagonal principal (somatório das três diagonais principal e a diagonal secundária (somatório das três diagonais secundária). Indicamos o determinante de uma matriz A por det A. Através dessas informações e conhecimentos de resolução de equações, dê a solução da equação �𝑥𝑥² 𝑥𝑥

2 1� = −1

(A) −1 (B) ±1 (C) 2 (D) −2 (E) 1 RESP. E

4. O prisma é um sólido geométrico que faz parte dos estudos de geometria espacial.

É caracterizado por ser um poliedro convexo com duas bases (polígonos iguais) congruentes e paralelas, além das faces planas laterais (paralelogramos). Das características e dos elementos de um prisma podemos afirmar que I. O prisma é uma figura da geometria plana II. Todo paralelepípedo é um prisma reto III. As arestas laterais de um prisma são congruentes IV. As duas bases de um prisma são polígonos semelhantes V. As faces laterais de um prisma são paralelogramos

É correto apenas o que se afirma em (A) I e II. (B) I, II e III. (C) III. (D) III, IV e V. RESP. D (E) I.

5. Calcule o volume do prisma oblíquo indicado abaixo, sabendo que a base é um hexágono regular de aresta

2 m e que a aresta lateral mede 6 m e faz um ângulo de 60º com o plano de base.

RESP. 54 cm³

NOME: __________________________________________________________ Nº _______ Pág. 3/14 6. O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Esse número é encontrado fazendo-se

determinadas operações com os elementos que compõe a matriz.

Seja 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖�2𝑥𝑥2a matriz quadrada de ordem 2 assim definida: 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 = �2𝑖𝑖 + 𝑗𝑗, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑖𝑖 = 𝑗𝑗2𝑖𝑖 − 𝑗𝑗, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗 .

Calcule o determinante da matriz A. RESP. 18

7. Uma formiga (ignore seu tamanho) encontra-se no vértice A do paralelepípedo reto retângulo ilustrado abaixo.

Qual a menor distância que ela precisa percorrer para chegar ao vértice B (caminhando sobre a superfície do paralelepípedo)?

RESP. 15 u.c.

8. Seja a matriz quadrada 𝐴𝐴 = �𝑥𝑥 + 1 3 𝑥𝑥

3 𝑥𝑥 1𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 − 1

�.

Utilizando a Regra de Sarrus, resolva a equação det𝐴𝐴 = 0. RESP. 7/3 9. O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Esse número é encontrado fazendo-se

determinadas operações com os elementos que compõe a matriz. O determinante de ordem 2 é obtido através do cálculo: diagonal principal (dp) – diagonal secundária (ds).

Dê acordo com os textos resolva, em ℜ , a equação. �𝑥𝑥 41 5� = �0 −1

6 2 � RESP. 2

A matriz inversa ou matriz invertível é um tipo de matriz quadrada, ou seja, que possui o mesmo número de linhas (m) e colunas (n). Ela ocorre quando o produto de duas matrizes resulta numa matriz identidade de mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas). Assim, para encontrar a inversa de uma matriz, utiliza-se a multiplicação. A . B = B . A = In (quando a matriz B é inversa da matriz A. Assim, de acordo com as informações e cálculo algébrico, calcule o determinante da matriz C. A matriz 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 + 𝐴𝐴−1, onde 𝐴𝐴 = �−9 4

2 −1� RESP. 100

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Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias. Nesses grupos é possível realizar a análise das possibilidades e combinações.

Ferramentas para cálculos: (com auxílio do “triângulo de Pascal”) PFC (princípio multiplicativo)

Permutação: 𝑷𝑷𝒏𝒏 = 𝒏𝒏! Combinação (agrupamentos): 𝑪𝑪𝒏𝒏,𝒑𝒑 = �

𝒏𝒏𝒑𝒑� = 𝒏𝒏!

𝒑𝒑!(𝒏𝒏−𝒑𝒑)!

TRIÂNGULO DE PASCAL

NOME: __________________________________________________________ Nº _______ Pág. 5/14 11. ANÁLISE COMBINATÓRIA - PFC

Uma rede de supermercados fornece a seus clientes um cartão de crédito cuja identificação é formada por 3 letras distintas (dentre 26), seguidas de 4 algarismos distintos. Uma determinada cidade receberá os cartões que têm L como terceira letra, o último algarismo é zero e o penúltimo é 1. A quantidade total de cartões distintos oferecidos por tal rede de supermercados para essa cidade é:

(A) 33 600 RESP. A (B) 37 800 (C) 43 200 (D) 58 500 (E) 67 600

12. ANÁLISE COMBINATÓRIA – PERMUTAÇÃO.

O anagrama é um jogo de palavras que utiliza a transposição ou rearranjo de letras de uma palavra ou frase, com o intuito de formar outras palavras com ou sem sentido.

A palavra LUMEN possui cinco letras. Calcule o número de anagramas, dessa palavra, que começam pela letra M. (A) 6 (B) 12 (C) 24 RESP. C (D) 36 (E) 120

13. PIRÂMIDES – TETRAEDRO

A soma das medidas de todas as arestas de um tetraedro regular é 72 cm. Calcule a medida h da altura desse tetraedro.

(A) 4 𝑐𝑐𝑐𝑐 (B) 3√2 𝑐𝑐𝑐𝑐 (C) 2√3 𝑐𝑐𝑐𝑐 (D) 6√4 𝑐𝑐𝑐𝑐 (E) 4√6 𝑐𝑐𝑐𝑐 RESP. E

NOME: __________________________________________________________ Nº _______ Pág. 6/14 13. PIRÂMIDE QUADRANGULAR

Uma pirâmide regular de base quadrada é tal que o apótema da base tem 7 cm. Calcule o volume dessa pirâmide dado que o apótema da pirâmide mede 25 cm.

(A) 586 cm³ (B) 768 cm³ (C) 864 cm³ (D) 1472 cm³ (E) 1568 cm³ RESP.E

14. Um grupo consta de 14 pessoas, das quais 6 meninos. De quantas formas podemos formar comissões de 8

pessoas de modo que pelo menos um membro da comissão seja menino? RESP. 3002 15. Chamam-se palíndromos os números que não se alteram quando é invertida a ordem de seus algarismos

(por exemplo: 383, 4224, 74847). Qual o número total de palíndromos formados por cinco algarismos? RESP. 900

16. Sabemos que para calcular a área lateral de uma pirâmide devemos, inicialmente, calcular a área de uma

face lateral e multiplicar, esse valor, pelo total de faces do sólido. Portanto, partindo desse conhecimento, calcule a área lateral de uma pirâmide regular quadrangular de altura 4 cm e área da base 64 cm². RESP. 𝟔𝟔𝟔𝟔√𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄²

NOME: __________________________________________________________ Nº _______ Pág. 7/14 17. Numa pirâmide regular hexagonal, o apótema da base tem 6√3 𝑐𝑐𝑐𝑐 e o apótema da pirâmide possui 2√91 𝑐𝑐𝑐𝑐.

Analisar no formulário das pirâmides como encontrar a aresta da base dado o apótema da base e, então, calcule o volume dessa pirâmide. RESP. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐√𝟑𝟑 𝒄𝒄𝒄𝒄³

18. Numa classe de aula existem 10 alunas, as quais uma se chama Maria, e 6 alunos, sendo João o nome de

um deles. Formaram-se comissões com 4 alunas e 3 alunos. Quantas são as comissões das qual Maria participa e João, não? Resp. 1200

19. Dá-se o nome de pirâmide triangular regular ao sólido que possui, como base, um triângulo equilátero e faces laterais formadas por triângulos isósceles. Em uma pirâmide regular triangular, cada aresta lateral mede 13 cm, e cada aresta da base mede 10 cm.

a) Calcule a medida do apótema da pirâmide, indicada por m. RESP. 12 cm

b) Calcule a medida do apótema da base, indicado por r. RESP. 𝟏𝟏√𝟑𝟑𝟑𝟑𝒄𝒄𝒄𝒄

20. Texto 1 - Probabilidade – ou possibilidade - é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de

um experimento aleatório. A essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1. Resultados mais próximos de 1 têm mais chances de ocorrer. Além disso, a probabilidade também pode ser apresentada na forma percentual.

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A charge do Calvin (tira diária – veiculada entre 1985 até 1995 - criada pelo cartunista americano Bill Watterson) relata uma situação real das possibilidades (probabilidades).

Texto 3. A tabela estatística abaixo relaciona a cor de olhos de determinado grupo pesquisado com sua frequência

De acordo com os textos 1 e 2 a probabilidade de uma pessoa, no texto 3, ter olhos azuis será (A) 100%. (B) 5%. (C) 50%. (D) 35%. (E) 10%. RESP. E

21. Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá

instalar a luminária ilustrada na figura

Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26 m², considerando π (pi) = 3,14, a altura h será igual a

(A) 3 m. (B) 4 m. (C) 5 m. (D) 9 m. (E) 16 m. RESP. B

NOME: __________________________________________________________ Nº _______ Pág. 9/14 22. Um frasco de perfume de forma esférica, com raio de 4 cm, contém perfume em 1/4 de seu volume

total. Se uma pessoa utilizar, todos os dias, 2 ml, do perfume, das alternativas abaixo, a que indicará o maior período de tempo de duração do perfume será: (considere π = 3)

(A) 16 dias (B) 32 dias RESP. B (V TOTAL = 64 ml ... REGRA DE TRÊS = 1 DIA = 2ML ... X DIAS = 64 ML) (C) 26 dias (D) 54 dias (E) 43 dias

RESP. E

24. Diz-se que uma esfera estará inscrita num cubo quando a medida da aresta do cubo for igual ao diâmetro dessa esfera. Uma esfera está inscrita em um cubo cujo volume é 125 cm³. Calcule a área da superfície esférica. Dado: Volume do Cubo = a³. RESP. 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐 cm²

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25. Dois dados são jogados simultaneamente. Todas as possibilidades formadas estão registradas no quadro

abaixo. Calcule a probabilidade de que a soma dos números mostrados nas faces de cima seja 8 ou iguais.

RESP. 5/18 = 27,77% 26. Uma indústria produz casquinhas para sorvete confeccionadas com biju, na forma de cone circular reto.

Externamente, cada cone tem 6 cm de diâmetro da base e 12 cm de altura, e internamente tem 5,4 cm de diâmetro da base e 11 cm de altura. Calcule o volume de biju, em centímetro cúbico, que compõe cada casquinha. RESP. 𝟗𝟗,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 cm³

27. O raio da base de um cone é 6 cm. A secção transversal feita por um plano paralelo distante 2 cm do vértice

tem 3 cm de raio. Calcule o volume do cone. RESP. 𝟔𝟔𝟒𝟒𝟐𝟐 cm³

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28. Paulinha foi a uma loja comprar um vestido. Havia diferentes opções de cores e tamanhos, conforme a

tabela a seguir.

Tamanho Pequeno Médio Grande Total

Verde 4 6 3 13 Vermelho 6 5 3 14

Azul 3 6 4 13 Preto 6 8 12 26

Branco 6 8 8 22 Estampado 8 6 8 22

Total 33 39 38 110

Sabendo que Paulinha usa tamanho médio, qual a probabilidade de ela ter escolhido um vestido estampado? RESP. 6/39 = 2/13 = 15,38%

29. Um jovem possui dois despertadores. Um deles funciona em 80% das vezes em que é colocado para

despertar e o outro em 70% das vezes. Tendo um compromisso para daqui a alguns dias e preocupado com a hora, o jovem pretende colocar os dois relógios para despertar. a) Qual a probabilidade de que os dois relógios venham a despertar na hora programada? RESP. 56% b) Qual a probabilidade de que nenhum dos dois relógios venham a despertar na hora programada? RESP.

6%

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FORMULÁRIO: 𝑺𝑺𝑳𝑳 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑺𝑺𝑻𝑻 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐(𝟐𝟐 + 𝟐𝟐) 𝑽𝑽 = 𝟐𝟐𝟐𝟐²𝟐𝟐

30. Uma fita retangular de 2 cm de largura foi colocada em torno de uma pequena lata cilíndrica de 12 cm de altura e 192π cm³ de volume, dando uma volta completa em torno da lata, como ilustra o modelo abaixo. Calcule a área da região da superfície da lata ocupada pela fita, em cm². RESP. C

31. Em muitas regiões do estado do Amazonas, o volume de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordo com uma prática dessas regiões:

I. Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante.

II. O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu comprimento é medido com

fita métrica.

III. O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele mesmo e depois multiplicado pelo

comprimento do tronco. Esse é o volume estimado de madeira.

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Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito. A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente às perdas de madeira no processo de corte para comercialização.

Pode-se afirmar que essas perdas são de ordem de: RESP. B

a) 30% b) 22% c) 15% d) 12% e) 5%

32. Um reservatório de água tem a forma de um cilindro reto. Quando são colocados 350 litros de água no reservatório, o nível de água sobe 8 cm. Qual a capacidade do reservatório, se sua altura é de 1,20 m?

RESP. D a) 5000 litros. b) 5100 litros. c) 5150 litros. d) 5250 litros. e) 5300 litros.

33. Uma comunidade consome 30 000 litros de água por dia. Para isso, conta com um reservatório de forma cilíndrica cujo raio é 10 m e a altura 10 m. Por quanto tempo, aproximadamente, o reservatório poderá abastecer essa comunidade? RESP. 105 DIAS

34. Uma lata de certo produto tem a forma cilíndrica, com as medidas indicadas na figura. Nessas

condições:

Qual a quantidade mínima de papel, em cm², necessária para cobrir a superfície lateral dessa lata? RESP. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄²

35. Calcule a área total e o volume do sólido gerado pela rotação completa do retângulo em torno do eixo e. RESP. 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 𝒆𝒆 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄³

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36. Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r, raio da base r e espessura desprezível. Calcule a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas. Resp. 1/2

37. Observe o dado ilustrado abaixo, formado a partir de um cubo, e com suas seis faces numeradas de 1 a 6.

(A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 12 Resp. D

38. Uma esfera de diâmetro 6 cm está inscrita em um cone circular reto de altura 8 cm. Calcular o volume do cone. Resp. 96π cm³

39. Como mostra a figura, o cilindro reto está circunscrito na esfera de raio R = 4 cm. Sabe-se que o diâmetro da base e a altura do cilindro possuem a mesma medida. O volume do cilindro é:

Resp. e a) 18𝜋𝜋√2 𝑐𝑐𝑐𝑐³ b) 24𝜋𝜋√2 𝑐𝑐𝑐𝑐³ c) 32𝜋𝜋√2 𝑐𝑐𝑐𝑐³ d) 36𝜋𝜋√2 𝑐𝑐𝑐𝑐³ e) 128𝜋𝜋 𝑐𝑐𝑐𝑐³