ESTATÍSTICAProfessor Elizeu

Ao pesquisarmos uma dada população estatística, freqüentemente, não é possível fazermos um levantamento de todos os elementos que o compõem.

Nesse caso, procuramos obter dados diferentes de uma parte da população estatística, que

denominaremos Amostra.

Distribuição de FreqüênciaFez-se uma pesquisa com 25 jovens de um bairro baiano, a respeito do time de futebol para o qual torciam. O resultado obtido aparece na lista seguinte:

Ipitanga Camaçari Ipitanga Vitória Ipitanga

Bahia Vitória Bahia Bahia Camaçari

Vitória Ipitanga Bahia Camaçari Bahia

Catuense Bahia Camaçari Vitória Bahia

Bahia Vitória Vitória Ipitanga Camaçari

Construindo uma tabela...

Time FreqüênciaIpitanga 5

Bahia 8

Vitória 6

Juazeiro 1

Camaçari 4

Catuense 1

Total ƒ = 25

As freqüências são os nos de elementos da população ou amostra pesquisada que correspondem à faixa do fenômeno estudado.

Continuando . . .Chamamos de freqüência relativa (ƒr), a razão entre a freqüência correspondente (ƒ) e o nº total de pesquisados (ƒ), ou seja:

ƒr =ƒ

ƒÉ comum a apresentação da freqüência relativa em porcentagem:

ƒp = (100 . ƒ1) %

Continuando . . .

Na situação que estamos examinando, a porcentagem de torcedores do Ipitanga é:

ƒp = (100 . 0,2) = 20%

Construindo uma nova tabela

TimeFreqüênc

ia (ƒ)Freqüência

(ƒr)Porcentage

mIpitanga 5 5/25 = 0,20 20%

Bahia 8 8/25 = 0,32 32%

Vitória 6 6/25 = 0,24 24%

Juazeiro 1 1/25 = 0,04 4%

Camaçari 4 4/25 = 0,16 16%

Catuense 1 1/25 = 0,04 4%

Total ƒ = 25 1 100%

Construindo uma nova tabela

Obs.: São sempre válidos os seguintes resultados:

ƒ

Total ƒ = 25 1 100%

Somatório da

Freqüência

ƒr ƒSomatório

da Freqüência

Relativa

Somatório da Freqüência Relativa em

Porcentagem

Gráfico de Barras ou de ColunasNo gráfico de barras, colocamos as freqüências num eixo horizontal usando retângulos de mesma largura, cujos comprimentos são proporcionais às freqüências.

Gráfico de Barras

5

8

6

1

4

1

0 2 4 6 8 10

Palmeiras

Santos

São Paulo

Tim

es

Freqüência

CatuenseCamaçari

JuazeiroVitória

BahiaIpitanga

Gráfico de Barras ou de ColunasGráfico de Colunas

5

8

6

1

4

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Palmeiras Corinthhians Santos Juventude São Paulo Portuguesa

Times

Freq

üênc

ia

Ipitanga Bahia Vitória Juazeiro Camaçari Catuense

Gráfico de Setores

Nos gráficos de setores, desenhamos um círculo e o dividimos em setores que tenham áreas proporcionais às porcentagens (ou freqüências).

Gráfico de Setores

Palmeiras

20%

Corinthhians

32%Santos

24%

J uventude

4%

São Paulo

16%

Portuguesa

4%

Bahia: 32% de 360° é 115,2°

Vitória: 24% de 360° é 86,4°

Camaçari: 16% de 360° é 57,6°

Ipitanga: 20% de 360° é 72,0°

Juazeiro: 4% de 360° é 14,4°

Catuense: 4% de 360° é

14,4°

Média

Chamamos de média (M) de uma distribuição a média aritmética dos valores dados.

Exemplo:Numa pesquisa foram obtidos os resultados que constam na lista abaixo:

1 2 3 4 5 6 7 8

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8M =8

= 4,5

Consideremos uma pesquisa na qual foram obtidos os resultados que constam na lista abaixo:

1 1 1 2 2 3 3 4 5 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9

Mediana

Chamamos de mediana (Md) de uma distribuição o valor que ocupa o posição central quando todos os valores são colocados em ordem.Exemplo:

21 observações

10 observações de um lado

10 observações do outro ladoMd

Obs.: Se o nº dos valores da lista for par, a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais quando todos eles são colocados em ordem.

Exemplo:Consideraremos uma pesquisa na qual foram obtidos os resultados que constam na seguinte lista:

1 2 3 4 5 6 7 8

Mediana

4 observações do outro lado

4 observações de um lado

Temos:4+5Md = 2 = 4,5

Moda“O mais freqüente”

Exemplo 1:

1 2 3 3 3 4 5 6 Moda = 3

Exemplo 2:

1 2 2 2 3 3 4 4 4 Moda = 2 e 4

Exemplo 3:

1 2 3 4 Moda = Não existe (estado amodal)

Mediana

Nº de Pontos

Freqüência

0 7

2 10

4 12

6 11

8 7

10 2

Total 49

Exemplo: Determine a mediana da distribuição da freqüência dada pela tabela abaixo:

Solução:Neste caso, em que há 49 valores, a posição central é a 25ª, observando as freqüências, percebemos que:

7 + 10 < 25 e 7 + 10 + 12 > 25; logo, temos: Md = 4.

DesvioConsideraremos a distribuição cujos resultados constam na lista seguinte:

4 6 7 8 10

Sabemos que a média desta distribuição é:

4 + 6 + 7 + 8 + 10M =

5= 7

Chamamos de desvio de cada valor a diferença entre esse valor e a média da distribuição. Assim:

•o desvio do valor 4 é 4 - 7 = - 3;•o desvio do valor 6 é 6 – 7 = - 1;•o desvio do valor 7 é 7 – 7 = 0;•o desvio do valor 8 é 8 – 7 = 1;•o desvio do valor 10 é 10 – 7 = 3.

Desvio Médio

Chamamos de desvio médio (DM) de uma distribuição a média aritmética dos módulos dos desvios. No exemplo analisado, o desvio médio:

DM = | -3 | + | -1 | + | 0 | + | 1 | + | 3 |

5=1,6

Generalizando, tendo-se uma distribuição cujos resultados constam na lista abaixo:

x1 x2 xn

E cuja média é M, define-se como desvio médio dessa distribuição a expressão:

DM = | x1 – M| + | x2 – M| + . . . + |xn – M|

n

VariânciaChamamos de variância (V) de uma distribuição a média aritmética dos quadrados dos desvios. No exemplo em questão, a variância é:

V =(-3)2 + (-1)2 + (0)2 + 12 + 32

5= 4

Generalizando, tendo-se uma distribuição cujos resultados constam na lista seguinte:

x1 x2 xn

e cuja média é M, define-se com variância dessa distribuição a expressão:

V = (x1 – M)2 + (x2 – M)2 + . . . + (xn – M)2

n

Desvio - Padrão

Chamamos de desvio-padrão (DP) de uma distribuição a raiz quadrada da variância:

DP = Vv

No nosso exemplo, o desvio-padrão é:

DP = Vv = V4 = 2

Questão UFBA - 2006 As tabelas a seguir apresentam as distribuições de freqüência do

número de crianças por domicílio, nos dois prédios de um condomínio, cada prédio com 20 apartamentos.

Prédio A

Número de crianças

0 1 2 3 4 5

Freqüência 3 8 5 4 0 0

Prédio B

Número de crianças

0 1 2 3 4 5

Freqüência 4 6 5 3 0 2

Com base nesses dados, é correto afirmar:(01) A média do número de crianças, no prédio B, é igual a 1,75.

Resolução

20

)2x5()0x4()3x3()5x2()6x1()4x0(M

20

10091060M

75,1ou

20

35M

(02) Sendo a média do número de crianças, no prédio A, igual a 1,5, o desvio-padrão dessa distribuição é igual a .

20

19

Questão UFBA - 2006

Resolução

20

004).25,2(5).25,0(8).25,0(3).25,2(Va

20

925,1275,6Va

20

19Va

20

19vaDP

20

0.)5,15(0.)5,14(4.)5,13(5.)5,12(8.)5,11(3.)5,10(Va

222222

(04) As mediana das distribuições de freqüência, nos prédios A e B, são iguais a 1 e 1,5, respectivamente.

Questão UFBA - 2006

Resolução

medianaA = 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3

MA = 1

1 + 1 = 1 2

medianaB = 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 5 5

MB = 1,5

1 + 2 = 1,5

2

(08) Apenas uma das distribuições de freqüência é simétrica.

Questão UFBA - 2006

Resolução

Não existe simetria

(16) Em mais da metade dos apartamentos do condomínio, o número de crianças é menor que 2.

Questão UFBA - 2006

Resolução

8 + 3 = 11

Como são 40 apartamentos, 21 é mais da metade

+

4 + 6 = 10

21 apto

(32) Escolhendo-se ao acaso um apartamento do condomínio, a probabilidade de residirem mais que duas crianças nesse apartamento é maior que .

Questão UFBA - 2006

4

1

Resolução

P = n(A) = 4+ 3 +2 n(v) 40

9 40

= = 0,225 0,225 > 0,25 ( f )

(64) A distribuição de freqüência acumulada do número de crianças por domicílio, no prédio B, pode ser representada pelo gráfico a seguir.

Questão UFBA - 2006

Resolução 20

16

12

8

4

0 1 2 3 4 5

Freqüência

acumulada

no de crianças