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Rosa Leão – 2017
Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Aula de hoje
Algoritmo para simular uma fila
Medidas de interesse
Média amostral
Teorema do Limite Central
Aula passada
Geração de variáveis aleatórias:
Transformada Inversa
Acceptance-Rejection Method
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Simulação
O que é uma simulação?realização da evolução de um sistema estocástico no tempo
Como caracterizar o sistema em um instante de tempo?
através de seu estado
Como construir um simulador?programa que “acompanha” evolução do estado do sistema no tempo
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Tempo Médio na Fila + Servidor
Como obter tempo médio via simulação?
Tempo médio na fila + servidor:tempo desde o instante de chegada até o instante de saída
Wi : tempo de espera do i-ésimo elemento a
chegar na fila (v.a.)
W =1n∑i=1
nW iEstimativa
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Fila - Parâmetros
O que precisamos saber para simular uma fila?
Processo de chegada
Tempo de serviço
Capacidade da fila
Política de atendimento
aleatório
determinístico
Parâmetros das v.a.
ex. Poisson (taxa)
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Fila - Estado
Qual o estado do sistema?número de elementos na fila
Estado evolui (muda) em instantes discretos no tempo
Em que instantes?
instante de chegada e instante de saída
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Fila - Eventos
Ações que modificam o estado do sistema
Dois eventos: chegada e saídaO que ocorre em cada um destes eventos?
Chegadaanotar o instante de chegada do elemento
incrementar a fila
Saídaanotar instante de saída do elemento
decrementar a fila
Quando atualizar o tempo?
Quando gerar próxima chegada ou saída?
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Simulação – Variáveis
Variáveist: representa o instante de tempo que o simulador se encontra
variáveis de estado: representam o estado do sistema no tempo t
variáveis de interesse: representam valores que permitem o cálculo de medidas de interesse
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Simulação – EventosEventos
ações que modificam o estado do sistema
Ao ocorrer um evento
variáveis são atualizadas (tempo, estado do sistema, medidas de interesse)
Permite seguir o modelo no tempo
t
eventos
variáveis são atualizadas(tempo, estado, etc)
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Lista de EventosLista contendo todos os eventos que irão ocorrer no futuro
tipo de evento, instante de ocorrência do evento
ordenada por ordem de ocorrência
E1
T1
E2
T2
E1
T3
E1
T4
Lista de Eventos
Simulador processa próximo evento da listaremove evento da lista
Quando adicionar eventos na lista?ao processar um evento
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Simulador Genérico
1.Inicializar variáveis
2.Inserir um ou mais eventos na lista de eventos
3.Enquanto não chegar ao fim da simulação
4.Remover próximo evento da lista de eventos
5.Processar evento
Dá início a simulação
Definir estado inicial
Condição para terminar simulação (ex. t > t
max)
Diminui lista de eventos
Atualiza variáveis, gera eventos, gera outras informações
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Simulação da Fila
Estado: N (número de elementos no sistema)
Eventos: EC , E
S (chegada e saída)
Tempo: t
Condição de parada: t > tmax
Estado inicial: fila vazia (N = 0)
Início: chegada no instante 0 (EC, 0)
EC
0Lista de Eventos
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Simulação da Fila
Algumas variáveisN
C : número total de chegadas até o momento
NS : número total de saídas até o momento
N : número de elementos na fila
C(i) : instante de chegada do i-ésimo elemento
S(i) : instante de saída do i-ésimo elemento
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Inicialização1.t = 0
2.N = 0
3.NC = 0
4.NS = 0
5.Adicionar evento (EC, 0)
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Evento de Chegada1.t = t
E // t
E = tempo de ocorrência do evento
2.N = N + 1
3.NC = N
C + 1
4.C(NC) = t
5.Gerar x ~ FX(x) // tempo até próxima chegada
6.Adicionar evento (EC, t+x)
7.Se (N = 1) // fila estava vazia
8. Gerar y ~ FS(y) // tempo de serviço
9. Adicionar evento (ES, t+y)
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Evento de Saída1.t = t
E
2.N = N – 1
3.NS = N
S + 1
4.S(NS) = t
5.Se (N > 0) // fila não está vazia
6. Gerar y ~ FS(y) // tempo de serviço
7. Adicionar evento (ES, t+y)
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Medidas de Interesse
Utilização (fração de tempo servindo)
Tempo médio na fila + servidor
Número médio na fila
Fração de elementos descartados (fila finita)
Fração de tempo que a fila possui mais do que k elementos
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UtilizaçãoN(t)
t
Sistema ocioso
Sistema ocupado
Utilização: fração de tempo que o sistema está ocupado
Medir os tempos ocioso e ocupado
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Tempo médio na fila + servidor
S(i) – C(i) : tempo em fila + servidor do i-ésimo elemento
W =1N S
∑i=1
N S
S i −C i
Uma estimativa do tempo médio na fila + servidor
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Número médio na fila
N(t)
t
Como medir E[N] (até certo T grande)?
E[N] = ∫T
N t d t
T
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Número médio na filaN(t)
t
T : tempo total
E[N] =
∑i= 0
∞
T i=T
Ti : tempo que o sistema passa com i elementos
1/T∑i=0
∞
i T i 1/T∫t= 0
t=TN t dt=
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Fração de elementos descartados
Fdescarte
: Nd /N
C
Nd : número de elementos que chegam e
encontram a fila cheia
NC : número total de chegadas até o momento
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Como estimar medidas de interesse
Medida de interesse X
ex. X = “número de pessoas que chegaram e viram a fila vazia nas primeiras 2 horas”
Resultado da simulação fornece uma amostra de X
O que acontece se executarmos o simulador novamente?
Outro valor de X
se usarmos outra semente
independente do primeiro valor
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Como estimar medidas de interesse
Supor medida de interesse X
X é uma variável aleatória
E[X] não é conhecido
Xi : resultado da i-ésima execução
supor n execuções do simulador
Como estimar E[X]?
calculando a média amostral de X
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Média amostral
Xi : resultado da i-ésima execução
X1, ..., X
n : sequência de v.a. iid
X n=1n ∑i=1
nX i
Média amostral variável aleatória:soma de v.a. é uma outra v.a.
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Qualidade do estimadorX
n : estimador para média real
Para ser sem tendência (unbiased)
É necessário que
Qualidade do estimador depende da variância
E [X n]=
Var [Xn]=Var [1 /n∑i=1
nX i]
Var [Xn]=1/n2∑i=1
nVar [X i]
Var [Xn]=nσ2/n2=σ2/ndiminui com n
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Soma de Variáveis Aleatórias
Seja X1, X
2, ..., X
n uma sequencia de v.a. iid
com valor esperado e variância μ<∞ σ2<∞
Sn=∑i=1
nX iSeja a soma da sequência
Para onde vai esta soma?soma possui valor único (para um dado n)?
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Soma de Variáveis Aleatórias
S n=∑i=1
nX iSeja a soma da sequência
Var [Sn]=Var [n X n]=n2Var [Xn]
Var [Sn]=n2σ2/n=nσ2
E sua distribuição?
o que podemos afirmar?
Sabemos que :
Logo:
E[ Sn]=E [n Xn]=n E [X n]=nμ
P [S nz ]=?
Sn=n Xn
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Teorema do Limite CentralDistribuição da soma de v.a. iid converge para distribuição Normal
Resultado fundamental em probabilidade
Seja X1, X
2, ..., X
n uma sequencia de v.a. iid
com valor esperado e variância
Seja a soma da sequência
quando
Então Normal com mesma média e variância
∞ 2∞
S n=∑i=1
nX i
n ∞P [S n≤z ] N n , n 2
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Distribuição NormalImportante distribuição (conhecida também como distribuição de Gauss)
Dois parâmetros: média e variância
Normal padrão:
∞ 2∞
=0 , 2=1
Exemplos da distribuiçãoNormal (função de densidade) – diferentes parâmetros
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NormalizaçãoSeja X
1, X
2, ..., X
n uma sequencia de v.a. iid com
valor esperado e variância
Seja a nova sequência
Transformar a soma Sn numa v.a. com valor
esperado 0 e variância 1
E[Zn]=E [Sn−nμ
σ √n]=0 Var [Zn]=Var [
Sn−nμ
σ √n]=1
Temos que:
P [Z nz ] z quando n∞
EntãoNormal padrão – N(0, 1)
∞ σ2<∞
Z n=Sn−nμ
σ√n
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Teorema do Limite CentralSeja X
1, X
2, ..., X
n uma sequencia de v.a. iid
com valor esperado e variância ∞ 2∞
limn∞
P[ X n−
/ n z ]= z
convergência em probabilidade
função de distribuição cumulativa da Normal padrão
Z n=Sn−n
nX n−
/ n=
dividindo numerador e denominador por n
X n=1n
S nonde
média amostral
Resultado
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Comparação com Grandes Números
Qual é a diferença?
Lei dos grandes números
média converge para seu valor esperado
Teorema do Limite Central
distribuição converge para Normal
limn ∞
P [ X n−
/n z ]= z
limn ∞
P [∣X n−∣]=1
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Teorema do Limite Central na Prática
Na prática n é finito
TLC vale no limite
Com n grande, mas finito resultado é aproximado
usaremos esta aproximação
quando n é suficientemente grande (ex. n > 30)
P [S n≤z ] N n , n 2