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Faculdade de Engenharia – Optimização
Prof, Doutor Engº Jorge Nhambiu
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Aula 11. Aula Prática (PL)
• O método Simplex,
• Método das Duas Fases
• Método do Big M
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Problema 11.1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
4
. .
2 5
2 4
3
0, 0
Minimizar z x x
s a
x x
x x
x x
com
x x
Resolver pelo método das Duas fazes e pelo Big M
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Problema 11.1 Reduzir à forma padrão
1 2
1 2 3
1 2 5
1 2 4 6
1 2 3 4 5 6
z 4
. .
2 5
2 4
3
0, 0, 0, 0, 0, 0
Minimizar x x
s a
x x x
x x x
x x x x
com
x x x x x x
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Problema 11.1 Construir o Problema Auxiliar
5 6
1 2 3
1 2 5
1 2 4 6
1 2 3 4 5 6
z
. .
2 5
2 4
3
0, 0, 0, 0, 0, 0
Minimizar x x
s a
x x x
x x x
x x x x
com
x x x x x x
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1ª Tabela Simplex (1ª fase)
Cj 0 0 0 0 1 1
CB xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 b
0 x3 1 2 1 0 0 0 5 5
1 x5 2 1 0 0 1 0 4 2
1 x6 1 -1 0 -1 0 1 3 3
zj 3 0 0 -1 1 1 7
zj- cj 3 0 0 -1 0 0
A SBA X0= (0,0,5,0,4, 3 )
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2ª Tabela Simplex (1ª fase) Fim
Cj 0 0 0 0 1 1
CB xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 b
0 x3 0 1,5 1 0 -0,5 0 3
0 x1 1 0,5 0 0 0,5 0 2
1 x6 0 -1,5 0 -1 -0,5 1 1
zj 0 -1,5 0 -1 -0,5 1 1
zj- cj 0 -1,5 0 -1 -1,5 0
A SBA X1= (2,0,3,0,0, 1 )
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1ª Tabela Simplex
Cj 1 4 0 0 M M
CB xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 b
0 x3 1 2 1 0 0 0 5 5
M x5 2 1 0 0 1 0 4 2
M x6 1 -1 0 -1 0 1 3 3
zj 3M 0 0 -1M 1M 1M 7M
zj- cj 3M-1 -4 0 -1M 0 0
A SBA X0= (0,0,5,0,4, 3 )
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2ª Tabela Simplex
Cj 1 4 0 0 M M
CB xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 b
0 x3 0 3/2 1 0 -1/2 0 3
1 x1 1 1/2 0 0 1/2 0 2
M x6 0 -1/2 0 -1 -1/2 1 1
zj 1 -(M-1)/2 0 -1M -(M-1)/2 1M M+2
zj- cj 0 -(M+7)/2 0 -1M -(3M-1)/2 0
A SBA X1= (2,0,3,0,0, 1 )
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Problema 11.2
1 2
1 2
1 2
1 2
3 2
. .
0
2
0, 0
Maximizar z x x
s a
x x
x x
com
x x
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Problema 11.2 Reduzir à Forma Padrão
1 2
1 2 3
1 2 4 5
1 2 3 4 5
3 2
. .
0
2
0, 0, 0, 0, 0
Maximizar z x x
s a
x x x
x x x x
com
x x x x x
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Problema 11.2 Construir o Problema Auxiliar
5
1 2 3
1 2 4 5
1 2 3 4 5
. .
0
2
0, 0, 0, 0, 0
Minimizar z x
s a
x x x
x x x x
com
x x x x x
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1ª Tabela Simplex (1ª fase)
A SBA X0= (0,0,0,0,0, 2 )
Cj 0 0 0 0 1
xB x1 x2 x3 x4 x5 b
0 x3 -1 1 1 0 0 0
1 x5 1 1 0 -1 1 2 2
zj 1 1 0 -1 1 2
zj-cj 1 1 0 -1 0
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2ª Tabela Simplex (1ª fase) Fim
A SBA X1= (2,0,2,0,0, 0 )
Cj 0 0 0 0 1
xB x1 x2 x3 x4 x5 b
0 x3 0 2 1 -1 1 2
0 x1 1 1 0 -1 1 2
zj 0 0 0 0 0 0
zj-cj 0 0 0 0 -1
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1ª Tabela Simplex (2ª fase) Fim
A SBA X2= (2,0,2,0,0, 0 )
Cj 3 -2 0 0 0
xB x1 x2 x3 x4 x5 b
0 x3 0 2 1 -1 1 2
3 x1 1 1 0 -1 1 2
zj 3 3 0 -3 3 6
cj-zj 0 -5 0 3 -3
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Problema 11.3
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
z 4
. .
2 5
2 4
2 4
1
0, 0
Maximizar x x
s a
x x
x x
x x
x x
com
x x
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Problema 11.3 Reduzir à Forma Padrão
1 2
1 2 3
1 2 4
1 2 5 7
1 2 6 8
1 2 3 4 5 6 7 8
4
. .
2 5
2 4
2 4
1
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
Maximizar Z x x
s a
x x x
x x x
x x x x
x x x x
com
x x x x x x x x
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Problema 11.3 Construir o Problema Auxiliar
7 8
1 2 3
1 2 4
1 2 5 7
1 2 6 8
1 2 3 4 5 6 7 8
z
. .
2 5
2 4
2 4
1
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
Minimizar x x
s a
x x x
x x x
x x x x
x x x x
com
x x x x x x x x
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1ª Tabela Simplex
A SBA X0= (0,0,5, 4,0,0, 4,1 ); Z = 5
Cj 0 0 0 0 0 0 1 1
xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b
0 x3 1 2 1 0 0 0 0 0 5
0 x4 2 1 0 1 0 0 0 0 4
1 x7 2 1 0 0 -1 0 1 0 4
1 x8 1 -1 0 0 0 -1 0 1 1
zj 3 0 0 0 -1 -1 1 1 5
zj-cj 3 0 0 0 -1 -1 0 0
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2ª Tabela Simplex
A SBA X1= (1,0,4,0,0,0,2,0 ) Z = 2
Cj 0 0 0 0 0 0 1 1
xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b
0 x3 0 3 1 0 0 1 0 -1 4 1,33
0 x4 0 3 0 1 0 2 0 -2 2 0,67
1 x7 0 3 0 0 -1 2 1 -2 2 0,67
0 x1 1 -1 0 0 0 -1 0 1 1 -1,00
zj 0 3 0 0 -1 2 1 -2 2
zj-cj 0 3 0 0 -1 2 0 -3
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3ª Tabela Simplex (Fim da 1ª Fase)
A SBA X2= (1.67,0,67,2, 0.0,0,0,0 ); Z = 0
Cj 0 0 0 0 0 0 1 1
xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b
0 x3 0 0 1 0 1 -1 -1 1 2
0 x4 0 0 0 1 1 0 -1 0 0
0 x2 0 1 0 0 -0,33 0,67 0,33 -0,67 0,67
0 x1 1 0 0 0 -0,33 -0,33 0,33 0,33 1,67
zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0
zj-cj 0 0 0 0 0 0 -1 -1
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1ª Tabela Simplex (Fim da 2ª fase)
A SBA X3= (1.6,0.6,2,0,0,0,0, 0); é óptima Z = 4,3
cj 1 4 0 0 0 0 0 0
xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b
0 x3 0,00 0,00 1,00 -1,00 0,00 -1,00 0,00 1,00 2,00
0 x4 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 -1,00 0,00 0,00
4 x2 0,00 1,00 0,00 0,33 0,00 0,67 0,00 -0,67 0,67
1 x1 1,00 0,00 0,00 0,33 0,00 -0,33 0,00 0,33 1,67
zj 1,00 4,00 0,00 1,67 0,00 2,33 0,00 -2,33 4,33
cj-zj 0,00 0,00 0,00 -1,67 0,00 -2,33 0,00 2,33
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Trabalho para Casa Nº 4
Uma fábrica produz chapas de alumínio em rolos e para tal recebe rolos de 2
metros de largura e 70 metros de comprimento. As encomendas para o
próximo mês são pelo menos:
70 rolos de 70 centímetros de largura;
100 rolos de 60 centímetros de largura;
120 rolos de 50 centímetros de largura.
Admitindo que todos os rolos são fornecidos com 70 metros de
comprimento, pretende-se programar o corte de rolos de modo a satisfazer
totalmente a procura e minimizar o desperdício da chapa de alumínio.
Entregar até 10 minutos do início da aula de 30 de Agosto de 2012.
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