Post on 31-Jan-2018
Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de TecnologiaCentro de Tecnologia
Curso de Engenharia CivilCurso de Engenharia Civil
Disciplina: Disciplina: Mecânica dos Sólidos 1 Mecânica dos Sólidos 1 CódigoCódigo ECIV018ECIV018Código: Código: ECIV018ECIV018Professor: Professor: Eduardo Nobre LagesEduardo Nobre Lages
Forças Distribuídas: Momentos Forças Distribuídas: Momentos de Inérciade Inérciade Inérciade Inércia
Maceió/ALMaceió/AL
MotivaçãoMotivaçãoM
MotivaçãoMotivação
Flexão em vigasFlexão em vigasFlexão em vigasFlexão em vigas
dA
y M
dA y kdF =y
xy
∫= dFR ∫=A
kydA ∫=A
ydAk
xkQ= Ayk= 0= 0y =
∫= ydFM ∫=A
2dAky ∫=A
2dAy k
MotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivação
Flexão em vigasFlexão em vigasFlexão em vigasFlexão em vigas
1 2
ConsumindoConsumindo--se um se um mesmomesmo volume de material, é volume de material, é possívelpossível modificarmodificar a a rigidezrigidez à à flexãoflexão da da estruturaestrutura..
MotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivação
Pressão sobre comportasPressão sobre comportasx
Pressão sobre comportasPressão sobre comportas
∫= dFR ∫ γ= ydA ∫γ= ydA
dAdF γ
A A
xQγ= Ay γ=
dAydF γ=
y
dA
∫= ydFM ∫ γ=A
2dAy ∫γ=A
2dAy A A
Momento de Inércia ou Momento de Inércia ou Momento de 2ª OrdemMomento de 2ª Ordem
y
Momento de 2 OrdemMomento de 2 Ordemy
y dAMomento de inércia ou de 2a
ordem em relação ao eixo xy
∫=A
2x dAyI
xx
A
Momento de inércia ou de 2ax
∫= 2y dAxI
ordem em relação ao eixo y
∫A
y
Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
∫= dAyI 2 ∫= dAxI 2∫= dAyIx ∫= dAxIy
Em princípio, para quantificação dos momentos p p , p q çde 2ª ordem (ou momentos de inércia), esses são calculados a partir de integrais duplas no d míni p s nt ti d iã st d d domínio representativo da região estudada, onde se deve escrever o elemento infinitesimal de área dA de acordo com a r r mconveniência das coordenadas
de descrição da região dtratada.
Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração DuplaInércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
( ){ }dyc e bxa|yx, D ≤≤≤≤=
d∫= dAyI 2
xy dA=dxdy ∫ ∫=
d
c
b
a
2dxdyyd
dxdy
c
[ ]∫=d
ba
2 dyxy ( )∫ −=d
2dyyab
b
c
ax
c c
( )d3yab ⎥⎤
⎢⎡
−=ba ( )c3 ⎥⎦
⎢⎣
( )( )cdab 33 −−( )( )3
cdab =
Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
( ){ }dyc e bxa|yx, D ≤≤≤≤=
Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
d∫= dAxI 2
yy dA=dxdy ∫ ∫=
d
c
b
a
2dxdyxd
dxdy
c
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
d b3
dy3x
∫−
=d 33
dy3
ab
b
c
ax
⎦⎣c a3 c 3d33
yab⎥⎤
⎢⎡ −
=ba
c
y3 ⎥
⎦⎢⎣
( )( )cdab 33( )( )3
cdab −−=
Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= x
aby0 e ax0|yx, D
Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
b ∫ dAyI 2
y
∫ ∫a x
ab
2dydxy
⎭⎩ a
dA=dxdyb ∫= dAyIx ∫ ∫=
0 0
dydxy
⎤⎡a xb3 a 3d
ax ∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
a
0
xa
0
3
dx3y
∫=a
0
33
3
dxxa3bdx
dy
aa4
3
3
4x
3ab
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
12ab
3
=043a ⎦⎣ 12
Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= x
aby0 e ax0|yx, D
Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
b ∫ dAxI 2
y
∫ ∫a x
ab
2dydxx
⎭⎩ a
dA=dxdyb ∫= dAxIy ∫ ∫=
0 0
dydxx
[ ]a b a bd
ax
[ ]∫=0
xa0
2 dxyx ∫=0
3dxxab
dxdy
aa4
4x
ab
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4ba
3
=04a ⎦⎣ 4
Momentos de Inércia de Momentos de Inércia de Figuras Geométricas ComunsFiguras Geométricas ComunsFiguras Geométricas ComunsFiguras Geométricas Comuns
Momentos de Inércia de Momentos de Inércia de Figuras Geométricas ComunsFiguras Geométricas ComunsFiguras Geométricas ComunsFiguras Geométricas Comuns
Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
∫= dAyI 2 ∫= eldI
Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
∫= dAyIx
∫= dAxI 2y
∫ xdI
∫= elydI
A idéia desta sistemática é considerar que a região de interesse é formada pela composição de infinitas fatias infinitesimais cujas formas correspondem a regiões cujo momento de inércia já é conhecido inércia já é conhecido.
Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
y
Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
y
∫= dAyI 2x ∫= el
xdI(x,y(x))
∫=b
a
3
dx3
y(x)
a bdx ∫= dAxI 2y ∫= el
ydIx
∫y
∫=b
2y(x)dxx
∫ y
dx3
)x(ydI3
elx =
dx)x(yxdI 2el = adx)x(yxdIy =
Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo::ppDetermine por integração os momentos de inércia da superfície
3ahk =
de inércia da superfície mostrada em relação aos eixos coordenados em termos de a e h.
a a
h3kx)x(y =
h
Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):I ∫ ∫
a h2d d
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãopp ( ç )( ç )
Por integração dupla=xI
⎤⎡a h3
∫ ∫0 x
ah
2
33
dydxy
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
a
0 xah
3
dx3y
33
⎞⎛a 33
a
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
a
0
99
33
dxx3ah
3h
a⎤⎡
hdxdxdydy
a
0
10
9
33
10x
3ahx
3h
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
3
33 x
ah)x(y =
10ah3
3
=( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= hyx
ah e ax0|yx, D 3
3
Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
∫ ∫a h
2dydxxExemploExemplo (continuação):(continuação): =I
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
∫ ∫0 x
ah 33
dydxxpp ( ç )( ç )Por integração dupla (cont.)
=yI
[ ]∫=a
0
hx
ah2 dxyx 33a
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
a
0
53
2 dxxahhx
hdxdxdydy
a
0
6
3
3
6x
ah
3hx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
33 x
ah)x(y =
6ha
3
=( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= hyx
ah e ax0|yx, D 3
3
Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãopp ( ç )( ç )
Por integração de fatias ∫= xx dII
⎤⎡a 33
a ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
a
0
33
dx3
)x(y3h
⎤⎡a 933 hh
h∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
a
09
933
dxa3xh
3h
a⎤⎡
33 x
ah)x(y =
a
09
1033
a30xh
3xh
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
3
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= hyx
ah e ax0|yx, D 3
3 10ah3
3
=
Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãopp ( ç )( ç )
Por integração de fatias ∫= yy dIIa
a [ ]∫ −=a
0
2 dx)x(yhx
⎞⎛a h
h∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
0
33
2 dxxahhx
a63 hh ⎤⎡3
3 xah)x(y =
03
63
a6hx
3hx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
h3
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= hyx
ah e ax0|yx, D 3
3 6ha
3
=
Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):∫
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãopp ( ç )( ç )
Por integração de fatias ∫= xx dII
∫=h
2 dy)y(xya
∫=0
dy)y(xy
∫h 3
7
dy
hh3
1
hya)y(x ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
∫=0 3
1 dyh
ya
h3
10y3 ⎤⎡
33 x
ah)x(y =
⎠⎝
03
1
3
h
y103a
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
3( )
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≤≤≤≤=
31
hyax0 e hy0|yx, D
3ah103 =
Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):∫
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãopp ( ç )( ç )
Por integração de fatias ∫= yy dII
∫=h 3
dy)y(x
a∫=0
dy3
∫h 3
dyya
hh3
1
hya)y(x ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
∫=0
dyh3y
h23ya⎥⎤
⎢⎡
33 x
ah)x(y =
⎠⎝
0h6y⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
ha3
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≤≤≤≤=
31
hyax0 e hy0|yx, D 6
ha =
Momento Polar de InérciaMomento Polar de Inércia
y
Momento Polar de InérciaMomento Polar de Inércia
∫= 20 dArJ
y
y dA Ay dA
r
xx0
Presente no estudo de Presente no estudo de barras sob torçãobarras sob torção
x
Momento Polar de Inércia Momento Polar de Inércia e os Momentos de Inérciae os Momentos de Inércia
y
e os Momentos de Inérciae os Momentos de Inérciay
y dA
222 xyr +=
y dA
r ( )∫ += 220 dAxyJ
xx0
( )∫A
0 y
∫∫ += 220 dAxdAyJx ∫∫ +
AA0 dAxdAyJ
0 IIJ += yx0 IIJ +
Raios de GiraçãoRaios de Giraçãoy
Raios de GiraçãoRaios de Giração
∫ 2dAI
y dA
∫=A
2x dAyI
y dA
r∫=A
2y dAxI
xx0 ∫=A
20 dArJ
x
Cada Cada raio de giraçãoraio de giração representa a distância ao representa a distância ao eixo ou ponto correspondente na qual se pode eixo ou ponto correspondente na qual se pode
A
eixo ou ponto correspondente na qual se pode eixo ou ponto correspondente na qual se pode concentrar toda a área da superfície estudada de concentrar toda a área da superfície estudada de modo que se tenha o mesmo momento de inércia.modo que se tenha o mesmo momento de inércia.
Raios de Giração Raios de Giração kkxxRaios de Giração Raios de Giração kkxxy
∫ 2
y dA∫=A
2x dAyI
x0
r
Axx0 Ay
=xI Ak2x
xkx
x0 AIk x
x =
Raios de Giração Raios de Giração kkyyRaios de Giração Raios de Giração kkyyy
∫ 2
y dA∫=A
2y dAxI
x0
r
Axx0 Ay
=yI Ak2y
yk
x0 AI
k yy =
Raios de Giração kRaios de Giração k00Raios de Giração kRaios de Giração k00y
∫ 2
y dA∫=A
20 dArJ
x0
r
Axx0
y=0J Ak2
0
0kx0
AJk 0
0 =
Teorema dos Eixos ParalelosTeorema dos Eixos ParalelosTeorema dos Eixos ParalelosTeorema dos Eixos Paralelos
∫ 2dAIdA
∫ 2dAYCCC C
y ∫A
2dAy=CCI
=I
CEdyY +=
∫A
dAYCCY
dCE
=EEI
( )∫ += 2CEEE dAdyI
E E
( )∫ ++= 2CECE
2 dAdyd2y∫A
( )∫A
∫∫∫ ++=A
2CE
ACE
A
2 dAdydAd2dAy
AdII 2CECCEE +=
AAA
AdQd2I 2CECCCECC ++=
0
Momentos de Inércia de Momentos de Inércia de Superfícies CompostasSuperfícies CompostasSuperfícies CompostasSuperfícies Compostas
Quando se estiver interessado nos momentos de i é i d iõ ã id tifi d inércia de regiões que são identificadas como
composições de regiões elementares, aplicam-se essas composições nas avaliações das integrais p g
referentes às propriedades desejadas.
∫+
=21 AA
2x dAyI
Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de Inércia
ExemploExemplo::ppDetermine os momentos de inércia da superfície mostrada em relação aos eixos centroidais paralelo e perpendicular ao lado ABao lado AB.
Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaExemploExemplo (continuação):(continuação):
Determinação do centróide
d C Eixo de Eixo de simetriasimetria
( ) 90455279075135135904575135d ⋅⎟⎞
⎜⎛ +⎟
⎞⎜⎛ ⋅
= -( )
25,27
375135
2275135d ⋅⎟
⎠⎜⎝
+−⋅⋅=⎟⎠
⎜⎝
−⋅
mm 70d =
Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaExemploExemplo (continuação):(continuação):
Determinação dos momentos de inércia
70 mmy
xC
= - -= -
1 2 3
Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaExemploExemplo (continuação):(continuação):
Determinação dos momentos de inércia Ix
=xI 75135 3⋅ 5,2290 3⋅−
125,2290 3⋅
−
4x mm 4575234,4I =
x 12 12 12
Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaExemploExemplo (continuação):(continuação):
Determinação dos momentos de inércia Iy
⎤⎡ ⎞⎛ 13513575 23
=yI ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
⋅ 135752
135701213575 3
⎪⎬⎫⎪
⎨⎧
⎥⎤
⎢⎡ ⋅
⎥⎤
⎢⎡
⎟⎞
⎜⎛ +−+
⋅−
905,225,279070905,22223
4y mm 14212968,8I =
⎪⎭⎬
⎪⎩⎨ ⎥⎦⎢⎣⎥
⎦⎢⎣
⎟⎠
⎜⎝
++2
5,273
7036
2
Produto de InérciaProduto de Inérciay
Produto de InérciaProduto de Inércia
y dA ∫=A
xy xydAI
MFlexão retaFlexão reta
xxM
Flexão oblíquaFlexão oblíqua
Quando pelo menos um dos eixos cartesianos é de simetria, o produto de inércia é nulo.
Determinação do Produto de Determinação do Produto de Inércia por IntegraçãoInércia por IntegraçãoInércia por IntegraçãoInércia por Integração
∫= xydAI ∫= xydAIxy
Em princípio, para quantificação do produto de p p , p q ç pinércia, esse é calculado a partir de integral dupla no domínio representativo da região st d d nd s d s l m nt estudada, onde se deve escrever o elemento
infinitesimal de área dA de acordo com a conveniência das coordenadas
de descrição da região tratada.
Determinação do Produto de Determinação do Produto de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração DuplaInércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
( ){ }dyc e bxa|yx, D ≤≤≤≤=
d∫= xydAIxy
y dA=dxdy ∫ ∫=d
c
b
a
xydxdyd
dxdy
c a
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
d b2
dyy2x
∫−
=d 22
ydy2
ab
b
c
ax
∫⎦⎣c a2 ∫
c 2
( ) d222 yab⎥⎤
⎢⎡ −
=
Neste caso, igual ao produto da área do
ba
c4 ⎥⎦
⎢⎣
=
( )( )cdab 2222produto da área do retângulo pelas coordenadas do
centróide do mesmo.
( )( )4
cdab −−=
Determinação do Produto de Determinação do Produto de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= x
aby0 e ax0|yx, D
Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
b ∫= xydAIxy
y
∫ ∫=a x
ab
xydydx
⎭⎩ a
dA=dxdyb ∫y ∫ ∫
0 0
∫⎤⎡a x
ab
2xy∫a
32bd
ax
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
0 0
dx2
xy∫=0
32 dxx
a2b
a2 ⎤⎡ 22
dxdy
a a
0
42
2
x8ab
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
8ba
22
=
Em geral, não é igual ao produto da área pelas coordenadas do centróide da mesma.
Determinação do Produto de Determinação do Produto de Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
∫ xydAI ∫ eldI
Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
∫= xydAIxy ∫= xydI
A idéia desta sistemática é considerar que a região de interesse é formada pela composição de infinitas fatias infinitesimais cujas formas correspondem a regiões cujo produto de inércia já é conhecido inércia já é conhecido.
Determinação do Produto de Determinação do Produto de Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
y
Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
y
∫= xydAIxy ∫= elxydI
(x,y(x))
∫=b
a
2
dx2
y(x)x
a bdxx
dx2
)x(yxdI2
elxy =
Determinação do Produto Determinação do Produto de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo::ppDetermine por integração o produto de inércia da superfície
3ahk =
inércia da superfície mostrada em relação aos eixos coordenados em termos de a e h.
a a
h3kx)x(y =
h
Determinação do Produto Determinação do Produto de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):I ∫ ∫
a h
d d
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãopp ( ç )( ç )
Por integração dupla=xyI
⎤⎡a h2
∫ ∫0 x
ah 33
xydydx
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
a
0 xah
2
dx2yx
33
⎞⎛a 722
a
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
a
06
722
dx2a
xh2xh
a⎤⎡
hdxdxdydy
a
06
8222
16axh
4xh
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
22
33 x
ah)x(y =
16ha3
22
=( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= hyx
ah e ax0|yx, D 3
3
Determinação do Produto Determinação do Produto de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãopp ( ç )( ç )
Por integração de fatias ∫= xyxy dIIa
a [ ]∫ −=a
0
22 dx2x)x(yh
⎤⎡a 722 hh
h∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
a
06
722
dxa2xh
2xh
a8222 ⎤⎡3
3 xah)x(y =
a
06
8222
a16xh
4xh
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
22
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= hyx
ah e ax0|yx, D 3
3 16ha3
22
=
Determinação do Produto Determinação do Produto de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):∫
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãopp ( ç )( ç )
Por integração de fatias ∫= xyxy dII
∫=h 2
dyy)y(x
a∫=0
dy2
∫h 3
52
dya
hh3
1
hya)y(x ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
∫=0 3
2 dyh2
y
h3
82ya3 ⎤⎡3
3 xah)x(y =
⎠⎝
03
2
3
h16
ya3⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
22
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≤≤≤≤=
31
hyax0 e hy0|yx, D 16
ha3 22
=
Teorema dos Eixos Paralelos Teorema dos Eixos Paralelos para o Produto de Inérciapara o Produto de Inércia
∫ ′′ dAyx=′′yxI
para o Produto de Inérciapara o Produto de Inérciay'y
dA
∫ xydAx'
y'
∫A
yyx
=xyIxx'
xxx′+′=
∫A
xy
CCy
x
( )( )∫ +′+′=xy dAyyxxI
yyy +′=x
( )∫ +′+′+′′= dAyxyxyxyx( )( )∫A
xy yy ( )∫A
yyyy
∫∫∫∫ +′+′+′′=AAAA
dAyxdAyxdAxydAyx
AyxII yxxy += ′′
AAAA
AyxQxQyI xyyx +++= ′′′′
0 0
Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais
y
dAy
dA
∫
∫A
2dAy=xI
∫
∫ ′A
2dAy=′xI
∫ xydA ∫ ′′ dAyx=′′I=I
∫A
2dAx=yI ∫ ′A
2dAx=′yI
θ+θ−=′θ+θ=′ cosysinxy e sinycosxx
∫A
xydA ∫A
dAyx′′yxIxyIxx
θ
θ−θ+θ=′ 2sinIsinIcosII xy2
y2
xx
θ+θ+θ=′ 2sinIcosIsinII xy2
y2
xy yyy
θ+θ−
=′′ 2cosI2sin2
III xy
yxyx
Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais
θ−θ+θ=′ 2sinIsinIcosII xy2
y2
xx
θ+θ+θ=′ 2sinIcosIsinII xy2
y2
xy yyy
θ+θ−
=′′ 2cosI2sin2
III xy
yxyx0
A soma dos momentos de inércia independe do ângulo de giro do sistema de referência, ou seja,
IIII +=+ J=yxyx IIII +=+ ′′
Isso é fato pois a soma dos momentos de inércia leva ao momento polar de inércia, que depende apenas do ponto referenteà origem do sistema de referência que não foi modificado
0J=
à origem do sistema de referência, que não foi modificado.Vamos fazer uso dessa identidade para estabelecer Iy’sem fazer uso da expressão que depende do ângulo θ.
Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais
θ−θ+θ=′ 2sinIsinIcosII xy2
y2
xx
IIθ+θ
−=′′ 2cosI2sin
2II
I xyyx
yx
As equações de Ix’ e Ix’y’ definem parametricamente uma circunferência para parametricamente uma circunferência para um sistema de coordenadas retangulares com Ix’ de abscissa e Ix’y’ de ordenada, para um
l d d d valor dado de θ.
Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais
I ( )yxI ′′
xyIθ2
( )yxx I,I ′′′
θ−θ+θ=′ 2sinIsinIcosII xy2
y2
xx xI ′I
yIR
θ2
Iθ+θ
−=′′ 2cosI2sin
2II
I xyyx
yx
xI
xyI−
medI
JII + 2II ⎞⎛ −2J
2II
I 0yxmed =
+= 2
xyyx I
2II
R +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=e
Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais
yxI ′′ ( )yxx I,I ′′′
I
xyI
Rθ2
2J
2II
I 0yxmed =
+=
xI ′
xI
yI
medI
22
2xy
2yx I
2II
R +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
AB
xyI−xy2 ⎟
⎠⎜⎝
Os pontos A e B são os que apresentam, respectivamente, o maior e o menor valor do momento de inércia, também denominados momentos principais
d i é i d d de inércia, dados por
RII RII medminmedmax −=+= e
Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais
yxI ′′ ( )yxx I,I ′′′
I
xyI
Rθ2
2J
2II
I 0yxmed =
+=
xI ′
xI
yI
medI
22
2xy
2yx I
2II
R +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
AB
xyI−xy2 ⎟
⎠⎜⎝
Ainda em relação aos pontos A e B, o produto de inércia é nulo, o que permite determinar as orientações dos eixos principais de inércia
02cosI2sin2
II 0I mxym
yxyx =θ+θ
−∴=′′
yx
xym II
I22tan
−−=θ
Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia Principais
ExemploExemplo::
Inércia PrincipaisInércia Principais
mmpp
Para a cantoneira em L mostrada, determine a
i ã d i
12,5
m
orientação dos eixos centroidais e principais de inércia, bem como os respectivos valores do momento de inércia.
125
mm
1
75 mm12,5 mm
Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia Principais
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
Inércia PrincipaisInércia Principaispp ( ç )( ç )
12,5
mm
y mm75,18x =( ) 69,3417963,9765x25,7815,1562 +=+
mm 1 mm 75,43y =
( ) 81,488225,97656y25,7815,1562 +=+
125
m
12,5 mmx
2 4x mm 95,3692626I =
34,110880561,2583821Ix +=
4074259468264485I +75 mmx
4y mm 08,1007080I =
40,74259468,264485Iy +=
8873242194366210I4
yx mm 81,1098632I −=
88,73242194,366210I yx −−=
Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia Principais
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
Inércia PrincipaisInércia Principaispp ( ç )( ç )
2,5
mm
y
4x mm 95,3692626I =
4081007080I
m12y 4
y mm08,1007080I =4
yx mm 81,1098632I −=y
4522349853I
125
mm
12 5
xC (18,75;43,75)mm
4med mm52,2349853I =
4mm 12,1734945R =4mm634084798I =
75 mm12,5 mmx
max mm63,4084798I =4
min mm 40,614908I =o6,19=θmax 6,19θ
omin 6,109=θ
Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia Principais
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
Inércia PrincipaisInércia Principaispp ( ç )( ç )
4x mm 95,3692626I =
4081007080I2,5
mm
y 4y mm08,1007080I =
4yx mm 81,1098632I −=
4634084798Im12y
y
4max mm63,4084798I =
4min mm 40,614908I =
o619θ
125
mm
12 5
xC (18,75;43,75)mm
19,6º
omax 6,19=θ
omin 6,109=θ75 mm
12,5 mmx