Profa. Salete Souza de OliveiraHome: http://www.professores.uff.br/salete

Bibliografia Principal

R. C. HIBBELER – Estática – Mecânica para Engenharia

Capítulo X – Parte IMomentos de Inércia

Universidade Federal Fluminense - UFFEscola de Engenharia de Volta Redonda – EEIMVR

Departamento de Ciências Exatas

Momentos de Inércia de Áreas

IntroduçãoCentróide – Considera-se o primeiro momento da área em relação a um eixo

Momento de Inércia – Integral do Segundo Momento de Inércia

� xdA

� dAx2

�=�==

==�=

dAzMdAkzdFzdM

kzdAdAdFz22 κ

σκσ

Momentos de Inércia

��

��

=�=

=�=

Ay

Ay

Ax

Ax

dAxIdAxdI

dAyIdAydI

22

22

Momento Polar de Inércia

yxA

o IIdArJ +== �2

Teorema dos Eixos Paralelos para Uma Área

( ) ���� ++=�+=A

yA

yA

xA

yx dAddAyddAyIdAdyI 2'2'2' 2

A primeira integral representa o momento de inércia da área em relação ao eixo que passa pelo centróide.

'

_

xI

A segunda integral é zero, uma vez que x’passa através do centróide C da área, isto é,

0,0'_

=== �� ydAydAy

2_

' yxx AdII += 2_

' xyy AdII +=2

_

AdJJ co +=

Raio de Giração de Uma Área

AJ

kA

Ik

AI

k oo

yy

xx ===

Momentos de Inércia de uma Área por IntegraçãoCaso de contornos de áreas planas expressos por funções matemáticas

Exercícios1- Determine o momento de inércia para a área retangular mostrada na Figura em relação (a) ao eixo x’ que passa pelo centróide, (b) ao eixo xb que passa pela base do retângulo e (c) ao pólo ou eixo z’perpendicular ao plano x’-y’ e que passa pelo centróide C.

2- Determine o momento de inércia da área sombreada mostrada na Figura em torno do eixo x.

3- Determine o momento de inércia em relação ao eixo x da área circular mostrada na Figura.

Resolver os exercícios do Hibbeller 10.2,10.9,10.24

Momentos de Inércia de Áreas Compostas

Uma área composta é constituída por uma série de outras áreas ou formas geométricas mais simples, como semicírculos, retângulos e triângulos. Desde que o momento de inércia de cada uma dessas partes seja conhecido, ou possa ser determinado em relação a um eixo comum.

Exercício – Calcule o momento de inércia da área composta mostrada na Figura em relação ao eixo x

2- Determine os momentos de Inércia da área da seção reta da viga mostrada na Figura. Em relação aos eixos x e y que passam pelo seu centróide.

Resolver os exercícios 10.45, 10.49 e 10.51 do Hibbeller

Produto de Inércia de Uma Área �=A

xy xydAI

Se o elemento de área escolhido tem uma dimensão infinitesimal em duas direções, como mostra a figura, uma integração dupla deve ser efetuada para calcular a integral acima. Na maioria dos casos, é mais simples escolher um elemento de área com uma dimensão infinitesimalou largura em apenas uma direção; nesses casos énecessária apenas uma simples integração.

Teorema dos Eixos ParalelosConsidere a área sombreada mostrada na Figura, onde x’ e y’representam um par de eixos passando pelo centróide da área, enquanto x, y representam o par de eixos paralelos correspondente. Como o produto de inércia de dA em relação aos eixos x,y édIxy=(x’+dx) (y’+dy)dA, então para toda área

( )( ) dAydddAxddAyddAyxdAdydxIA

yxA

yA

xAA

yxxy ����� +++=++= '''''''

yxxyxy dAdII +=_

Exercício – Determine o produto de Inércia do triângulo mostrado na Figura abaixo

Momento de Inércia de uma área em relação a eixos inclinados

θθθθ

xsenyv

ysenxu

−=+=

coscos

Os momentos e o produto de inércia em relação aos eixos u e vsão

( )( )( )( )dAxsenyysenxuvdAdI

dAysenxdAudI

dAxsenydAvdI

uv

v

u

θθθθθθ

θθ

−+==+==

−==

coscos

cos

cos22

22

Expandindo cada expressão e integrando, levando em conta que

��� === xydAIdAxIdAyI xyyx ,, 22

( )

2 2

2 2

2 2

cos 2 cos

s cos 2 cos

cos cos cos

u x y xy

v x y xy

uv x y xy

I I I sen I sen

I I en I I sen

I I sen I sen I sen

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

= + −

= + +

= − + −

cos 2 22 2

cos 2 22 2

2 cos 22

x y x yu xy

x y x yv xy

x yuv xy

I I I II I sen

I I I II I sen

I II sen I

θ θ

θ θ

θ θ

+ −= + −

+ −= − +

−= +

O momento Polar de Inércia em relação ao eixo z que passa pelo ponto O é independente da orientação dos eixos u,v, isto é

o u v x yJ I I I I= + = +

Momentos Principais de Inércia

O Ângulo �= �p define a orientação dos eixos principais para a área.

( )

2 2 2 cos 2 02

22

x yuxy

xyp

x y

I IdIsen I

d

Itg

I I

θ θθ

θ

−� �= − − =� �

� �

−=

−

Raízes

2

21

2

21

22

cos 22 2

x yp xy xy

x y x yp xy

I Isen I I

I I I II

θ

θ

−� �= − +� �

� �

− −� � � �= +� � � �� � � �

2

22

2

22

22

cos 22 2

x yp xy xy

x y x yp xy

I Isen I I

I I I II

θ

θ

−� �= +� �

� �

− −� � � �= − +� � � �

� � � �

2

maxmin 2 2

x y x yxy

I I I II I

+ −� �= ± +� �

� �

Exercício –Determine os momentos principais de inércia da área da seção transversal da viga mostrada na Figura em relação a um dos eixos que passa pelo centróide.

Círculo de Mohr para Momentos de Inércia

( )

2 2

2 2

2 2 2

2

2

2 2

2

x y x yu uv xy

u uv

x yxy

I I I II I I

I a I R

I IR I

+ −� � � �− + = +� � � �

� � � �

− + =

−� �= +� �

� �

Ex- Utilizando o círculo de Mohr determine os momentos principais de inércia para a área da seção transversal da viga na Figura em relação a um eixo que passa pelo centróide.

Resolver os exercícios do Hibbeller 10.54, 10.59,10.69,10.80