Post on 13-Sep-2019
Faculdade de Engenharia
FRVV – máximos e mínimos condicionados
22, xyyxz
Faculdade de Engenharia
AM2
Máximos e mínimos de FRVV
localização dos extremantes:• interior de D• fronteira de D
(extremantes livres)
(extremantes condicionados)
extremantes no interior de D:• identificação
• pontos críticos• não existe
0ff
• classificação n=2• Hessiano positivo máximo ou mínimo local• Hessiano negativo ponto de sela• Hessiano nulo necessário estudar a função
• classificação usando matriz Hessiana• valores próprios com o mesmo sinal máximo ou mínimo local• valores próprios com sinal diferente ponto de sela• pelo menos um valor próprio nulo necessário estudar função
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FRVV (n=2) – Máximos e mínimos condicionados
Encontrar extremantes de com , onde
PROBLEMA:
yxf , yx,
kkyxgyx ,,:, 2
Exemplo:Determine o máximo e o mínimo de sujeito a yxyxf , 122 yx
x
y
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Máximos e mínimos condicionados – exemplo
Exemplo:Determine o máximo e o mínimo de sujeito a yxyxf , 122 yx
1. resolução “gráfica”
x
y
1c
0c
1c
(curvas de nível c de f a vermelho)
pontos de máximo e de mínimo correspondem à intersecção de com as curvas de nível que intersectam e estão associadas aos valores mais e menos elevados de c
2c
2c
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Máximos e mínimos condicionados – exemplo
Exemplo:Determine o máximo e o mínimo de sujeito a yxyxf , 122 yx
1. “resolução gráfica”
x
y
(curvas de nível de f a vermelho)
2max f
2min f
1c
0c
1c
2c
2c
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Máximos e mínimos condicionados – exemplo
Exemplo:Determine o máximo e o mínimo de sujeito a yxyxf , 122 yx
2. resolução por “substituição” separar em união de pontos e conjuntos abertos, substituir condições associadas na FRVV, calcular extremantes das funções resultantes, entre estes escolher valores mínimo e máximo
x
y
2
1
1P2P
2121 PP
11,1:, 221 xxyyx
11,1:, 222 xxyyx
0,11 P
0,12 P
11 Pf
12 Pf
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Máximos e mínimos condicionados – exemplo
Exemplo:Determine o máximo e o mínimo de sujeito a yxyxf , 122 yx
2. resolução por “substituição” 1
x
y
2
1
1P2P
2121 PP
11,1 2 xxyem :
xhxxf 121, 11,1 2 xxx
FRVR definida em conjunto aberto e diferenciável nesse conjunto
extremantes de identificados através de xh1 0'1 xh
22
x22
y2)22,
22(max,1 fh
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em :
AM2
Máximos e mínimos condicionados – exemplo
Exemplo:Determine o máximo e o mínimo de sujeito a yxyxf , 122 yx
2. resolução por “substituição” 2
x
y
2
1
1P2P
2121 PP
11,1 2 xxy
xhxxf 221, 11,1 2 xxx
FRVR definida em conjunto aberto e diferenciável nesse conjunto
extremantes de identificados através de xh2 0'2 xh
22
x22
y2)22,
22(min,2 fh
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comparando os possíveis candidatos a extremantes:
AM2
Máximos e mínimos condicionados – exemplo
Exemplo:Determine o máximo e o mínimo de sujeito a yxyxf , 122 yx
2. resolução por “substituição”
x
y
2
1
1P2P
2121 PP
10,1 f
10,1 f
2)22,
22( f
2)22,
22( f
2max f
2min f
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Máximos e mínimos condicionados – exemplo
Exemplo:Determine o máximo e o mínimo de sujeito a yxyxf , 122 yx
3. teorema dos multiplicadores de Lagrange
x
y
na “resolução gráfica” deste exemplo chegou-se a uma solução onde as curvas de nível de f são tangentes à curva
1c
0c
1c
2c
2c
f curvas de nível de fg
g(x,y)
extremantes quando gf //
,gf
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Máximos e mínimos condicionados – teorema dos multiplicadores de Lagrange (n=2)
Problema:
3. teorema dos multiplicadores de Lagrange
Seja
kyxgyxgyxf
,,,
Encontrar extremantes de com , onde yxf , yx,
kkyxgyx ,,:, 2
Então, se é extremante, tem-se 00 , yx
é ponto singular
ou
,,, 00 yx é solução do sistema
0000 ,0, yxyxg
procurar extremantes entre
00 , yx
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Máximos e mínimos condicionados – exemplo
Exemplo:Determine o máximo e o mínimo de sujeito a yxyxf , 122 yx
3. teorema dos multiplicadores de Lagrange
yxg 2,2
g(x,y)
1,1f
0,0,0 yxg mas 0,0 neste caso não há pontos singulares
12121
,,,
22 yxyx
kyxgyxgyxf
122 yx
yx
22
21
22
x
yx
222,
22
f
2max f
222,
22
f
2min f
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