UM ESTUDO SOBRE MÁXIMOS E MÍNIMOS APLICADOS A …

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA ETECNOLOGIA GOIANO-CAMPUS URUTAÍ

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

JAQUELINE CARVALHO MACHADO

UM ESTUDO SOBRE MÁXIMOS EMÍNIMOS APLICADOS A

PROBLEMAS DE PRODUÇÃOAGRÍCOLA E OTIMIZAÇÃO DE

ÁREAS

Urutaí2019

JAQUELINE CARVALHO MACHADO

UM ESTUDO SOBRE MÁXIMOS EMÍNIMOS APLICADOS A

PROBLEMAS DE PRODUÇÃOAGRÍCOLA E OTIMIZAÇÃO DE

ÁREAS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso deLicenciatura em Matemática do Instituto Federal de Edu-cação Ciência e Tecnologia Goiano-Campus Urutaí, comorequisito parcial para obtenção do título de Licenciado emMatemática.Orientador: Prof. Dr. Dassael Fabricio dos Reis Santos

Co-Orientador: Prof. Dr. Marcelo Bezerra Barboza

Urutaí2019

Sistema desenvolvido pelo ICMC/USPDados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Sistema Integrado de Bibliotecas - Instituto Federal Goiano

Responsável: Johnathan Pereira Alves Diniz - Bibliotecário-Documentalista CRB-1 n°2376

M149eMachado, Jaqueline Carvalho Um Estudo Sobre Máximos e Mínimos Aplicados aProblemas de Produção Agrícola e Otimização de Áreas /Jaqueline Carvalho Machado;orientador DassaelFabrício dos Reis Santos; co-orientador MarceloBezerra Barboza. -- Urutaí, 2019. 64 p.

Monografia ( em Licenciatura em Matemática) --Instituto Federal Goiano, Campus Urutaí, 2019.

1. Cálculo. 2. Máximos. 3. Mínimos. 4. Problemas.5. Otimização. I. Santos, Dassael Fabrício dos Reis,orient. II. Barboza, Marcelo Bezerra, co-orient.III. Título.

Dedico este trabalho aos meus pais

Valdeth e Celso, pelo exemplo de coragem e

simplicidade e pela força e apoio que

me proporcionaram durante esta caminhada.

Agradecimentos

Primeiramente agradeço a Deus pelo dom da vida e por estar sempre guiando os

meus passos.

Aos meus pais e aos meus avós por todo o amor que me deram, além da

educação, ensinamentos, aconselhamentos e apoio.

Agradeço também ao meu orientador Dr. Dassael Fabrício dos Reis Santos e ao

meu co-orientador Marcelo Bezerra Barboza por me apoiarem com seus conhecimentos e

técnicas, pela disponibilidade dispensada, pela confiança em mim depositada, a dedicação

e paciência que demonstraram e também pelas sugestões que foram preciosas para a

concretização deste trabalho.

Aos demais professores do curso que com vossos conhecimentos, contribuíram

para o sucesso deste trabalho.

Aos meus amigos, por confiarem em mim e estarem do meu lado em todos os

momentos da vida.

Por fim, a todos aqueles que me ajudaram nessa trajetória, deixo o meu muito

obrigada!

Mas graças a Deus, que sempre nos

conduz vitoriosamente em Cristo e por

nosso intermédio exala em todo lugar

a fragrância do seu conhecimento.

2 Co 2:14

RESUMO

Neste trabalho, serão apresentados resultados e técnicas de solubilidade de problemas re-

lacionados ao campo de estudos das Ciências Agrárias por meio de aplicações do Cálculo

Diferencial e Integral. Mais precisamente, serão abordados, modelados e resolvidos aqui,

problemas de produção agrícola e de otimização de áreas e regiões cujas soluções podem

ser obtidas por meio das técnicas e aplicações do conceito de derivada. Para isto, serão uti-

lizadas como ferramentas principais para o desenvolvimento deste trabalho: resultados de

maximização e minimização de funções, teoremas de classificação de pontos críticos, as

regras de derivação, técnicas de modelagem por meio de observação de padrões e análise

de dados, dentre outros resultados do Cálculo.

Palavras–chave: Cálculo; Máximos; Mínimos; Problemas; Otimização.

ABSTRACT

In this work, we will present results and techniques of solubility of problems related to the

field of study of the Agrarian Sciences through applications of Differential and Integral

Calculus. More precisely, we will be addressed, modeled and solved here, problems of

agricultural production and optimization of areas and regions whose solutions can be

obtained through of techniques and applications of the derivative concept. For this, will

be used as main tools for the development of this work: maximization and minimization

results of functions, theorems of classification of critical points, derivation rules, modeling

techniques through observation of patterns and data analysis, among others results of the

Calculus.

Keywords: Calculus; Maximum; Minimum; Problems; Optimization.

Lista de Figuras

1.1 Representação do Gráfico da Função f . 29

3.1 Trajeto Casa-Rio-Horta 55

3.2 Restrições de Fósforo e Nitrogênio 58

3.3 Restrições de Potássio e Não-negatividade 58

3.4 Conjunto viável do problema (3-58) 59

Lista de Tabelas

2.1 Concentração de Aℓ por acúmulo de Fósforo (P) 40

3.1 Produção y = f (t) em função da idade t da planta. 46

3.2 Variação da Produção y = f (t) em função da idade t da planta. 47

3.3 Produção y = f (t) de colmos de cana-de-açucar em função da quanti-

dade t de nitrogênio adicionada. 50

3.4 Variação da produção em kg/ha em função da adição de Nitrogênio em

kg/ha 51

3.5 Quantidade de Compostos para Adubação do Solo 57

3.6 Valor da Função f (x,y) nos Vértices da Região Viável 61

Sumário

Lista de Figuras 8

Lista de Tabelas 9

INTRODUÇÃO 11

1 CONCEITOS BÁSICOS DO CÁLCULO: LIMITE, CONTINUIDADE E A DERI-VADA DE UMA FUNÇÃO 141.1 Limite e Continuidade de uma Função 141.2 Derivadas 23

2 PONTOS CRÍTICOS: MÁXIMOS, MÍNIMOS E TEOREMAS PARA OBTENÇÃOE CLASSIFICAÇÃO DE PONTOS ÓTIMOS 322.1 Pontos Críticos de uma Função 322.2 Testes para obtenção de pontos críticos 352.3 Polinômios de Taylor 38

3 APLICAÇÕES DO CÁLCULO: PROBLEMAS DE PRODUÇÃO AGRÍCOLA EOTIMIZAÇÃO DE ÁREAS 423.1 Problemas de Otimização da Área 423.2 Problemas de Maximização da Produção Agrícola 453.3 Problema de Otimização da Receita 533.4 Problema de Otimização do Trajeto para Irrigação 543.5 Problema de Minimização do Custo para Adubação 56

CONCLUSÃO 62

Referências Bibliográficas 63

INTRODUÇÃO

O Cálculo Diferencial e Integral é uma das ferramentas matemáticas com maior

aplicabilidade nas demais áreas das ciências. Historicamente, o Cálculo surgiu, de forma

independente, por volta do século XVI nos trabalhos de Newton e Leibniz e, ao longo

do tempo, se tornou ferramenta fundamental para o desenvolvimento da Matemática.

Em termos gerais, o principal fundamento do Cálculo é o estudo sobre os conceitos e

propriedades dos limites, derivadas e integrais de funções de uma ou de várias variáveis.

Em Matemática, pode-se encontrar aplicações de derivadas e integrais, por exemplo, no

cálculo de áreas de regiões limitadas e no cálculo do volume de sólidos geométricos

limitados por funções. Além disso, pode-se utilizar resultados do estudo das derivadas

para resolver problemas de maximização e minimização de quantidades e em estudos

avançados de Matemática.

Para Stewart (2014, p. 9), "O objeto fundamental do Cálculo são as funções.

[...] uma função pode ser representada de diferentes maneiras: por uma equação, por uma

tabela, por um gráfico ou por palavras".

Nas Ciências Agrárias, que é parte do objeto de estudo deste trabalho, os

conceitos e propriedades do estudo das derivadas e integrais constituem importantes

ferramentas para modelagem de diversos problemas desta área como, por exemplo, em

problemas de maximização de áreas para criação de animais e para produção de plantio

ou, ainda, em problemas cuja finalidade é determinar o melhor período de colheita de

certo produto para que se tenha produção máxima. Problemas desta natureza constituem

aplicações importantes dos conceitos estudados no Cálculo para as Ciências Agrárias e

são denominados "Problemas de Otimização".

O principal fundamento da Otimização é encontrar uma solução que seja a mais

eficiente possível, dadas certas condições conhecidas à priori. Problemas de maximização

(como os exemplos citados acima) e problemas de minimização (como, por exemplo,

minimizar o custo de uma produção para obtenção de maior lucro) são exemplos de

problemas que propõe-se discutir e modelar neste trabalho. Em geral, o processo de

modelagem de problemas como estes em termos matemáticos não é simples, e o modelo

pode depender de uma ou de várias variáveis.

Assim, a estratégia a ser seguida é transformar certa situação em um fenômeno

Introdução 12

matemático que pode ser estudado em termos de uma função para a qual pode-se

determinar os valores de máximo e mínimo que esta função atinge em um certo conjunto

conhecido. Problemas deste tipo podem ser encontrados na Física, Química, Biologia,

Agronomia e até mesmo como aplicações em estudos relacionados com a Medicina

Veterinária.

Segundo Stewart (2014, p. 294) "Na solução destes problemas práticos, o maior

desafio está frequentemente em converter o problema em um problema de otimização

matemática, determinando a função que deve ser maximizada ou minimizada".

Neste sentido, o objetivo principal deste trabalho é apresentar modelos e soluções

de problemas de otimização que surgem como aplicação do conceito de derivada no

campo de estudos das Ciências Agrárias e Agronômicas criando, assim, ferramentas

alternativas que possam ajudar os profissionais desta área na resolução de problemas com

intuito de obter os melhores resultados possíveis. Para isto, utilizaremos como ferramentas

principais, as técnicas de modelagem matemática e resultados do estudo das derivadas,

tais como, teoremas para obtenção e classificação de pontos críticos.

Alguns problemas que buscaremos resolver, por meio do Cálculo Diferencial e

Integral, são:

1. Problema de Maximização de Área: O quanto de cerca deve ser gasto para

formação de um piquete em um terreno que será utilizado para criação de rebanho

ou produção de plantio sabendo que um dos lados do terreno já é limitado por um

cercado?

2. Problema de Maximização de Produção: Qual é a idade de uma planta, que

produz certo tipo de grão, em que deverá ser realizada a colheita para que a

produção seja máxima, conhecendo a produção da planta em intervalos de tempos

constantes?

3. Problema de Maximização de Produtividade: Qual a quantidade de árvores

frutíferas um agricultor deve adicionar a sua plantação para que a produtividade

de sua plantação seja máxima, conhecida a produtividade média por árvore que ele

já possui plantada?

4. Problema de Minimização do Custo de Adubação: Qual a quantidade de adubo

orgânico e adubo químico a ser combinado para adubação do solo de certa região

que minimizam o custo de adubação desta região conhecendo as necessidades

mínimas requeridas de cada adubo pelo solo e o custo de cada adubo?

O primeiro passo para solucionar estes problemas é escrever precisamente quala função que deverá ser analisada. Esta função poderá ser escrita em função deuma ou mais variáveis. Quando a função é de mais de uma variável devemosprocurar expressar uma das variáveis em função da outra. (FLEMMING &GONÇALVES, 2006, p. 218)

Introdução 13

Além disso, este trabalho tem por intuito mostrar que Agronomia, Engenharia

Agrícola, Agronegócios e Matemática são áreas que estão intimamente ligadas por meio

de muitas aplicações, e que o Cálculo Diferencial e Integral não é somente uma disciplina

estudada por acaso nos cursos de graduação destas áreas, mas sim uma disciplina que

oferece ferramentas suficientes para resolver situações que podem ocorrer no seu campo

de trabalho e pesquisa.

A metodologia utilizada para o desenvolvimento deste trabalho baseou-se no

estudo, análise e síntese da bibliografia listada e por uma análise de dados coletados

nos trabalhos referenciados ao longo dos capítulos, com objetivo de modelar situações-

problemas que contribuissem com o desenvolvimento do trabalho e possibilitasse a

conclusão da pesquisa. Para atingir este objetivo, estudou-se primeiramente a teoria

básica do Cálculo Diferencial e Integral, tais como, limites, derivadas, integrais e suas

aplicações, visto que estes conceitos são necessários para o avanço da pesquisa. Em

seguida, estudamos técnicas de solubilidade de problemas de maximização e minimização

aplicados às mais diversas áreas com intuito de aprimorar o conhecimento já adquirido

e, com isto, modelar e resolver os problemas de otimização que foram propostos neste

trabalho.

Neste sentido este trabalho será dividido em três capítulos, como descrito a

seguir:

No primeiro capítulo, serão abordados, de forma introdutória, os principais

conceitos do Cálculo Diferencial e Integral que servirão de base para o desenvolvimento

deste trabalho, tais como, o estudo de limites e continuidade e os conceitos e propriedades

do estudo das derivadas.

O segundo capítulo trata dos resultados principais sobre aplicações de derivadas.

Dentre os conceitos que aborda-se neste capítulo estão: máximos, mínimos e pontos

críticos de uma função e os testes de classificação de pontos críticos de uma função em

máximos e mínimos locais. Neste sentido, serão utilizados os testes da primeira derivada

e da segunda derivada e o Teorema de Weierstrass para cumprir os objetivos do capítulo

e com isso prosseguir com o avanço do trabalho.

Por fim, o terceiro capítulo tem por objetivo aplicar os conteúdos estudados nos

capítulos anteriores para solucionar problemas de otimização relacionados ao campo de

estudos das Ciências Agrárias. Neste sentido, os principais problemas abordados aqui

estão relacionados a otimização de produção agrícola e de áreas.

CAPÍTULO 1CONCEITOS BÁSICOS DO CÁLCULO:

LIMITE, CONTINUIDADE E A DERIVADA

DE UMA FUNÇÃO

Neste Capítulo, serão apresentados os conceitos fundamentais do Cálculo Dife-

rencial e Integral que servirão para dar base a construção de estudos posteriores. Mais

precisamente, serão apresentados aqui, definições e propriedades referentes ao estudo dos

limites e derivadas de funções contínuas.

1.1 Limite e Continuidade de uma Função

Nesta seção serão apresentados os conceitos e propriedades fundamentais do

estudo dos limites e das funções contínuas. De um modo geral, serão introduzidas,

primeiramente, as definições de limite e continuidade de funções reais bem como suas

propriedades e, a seguir, por meio de um estudo formal baseado na análise matemática,

busca-se estudar os principais resultados destes tópicos que servirão de base para o

desenvolvimento deste trabalho.

Definição 1.1 Sejam I ⊂ R um intervalo aberto, a um ponto de acumulação1 de I e

f : I −→ R uma função definida em I, exceto possivelmente no ponto a. Dizemos que

o limite de f (x) quando x aproxima-se de a é L ∈ R, e escrevemos,

limx−→a

f (x) = L, (1-1)

se para todo ε > 0 suficientemente pequeno, existe um δ > 0, tal que, para todo x ∈ I,

0 <| x−a |< δ implica que | f (x)−L |< ε.

1Diz-se que a ∈R é um ponto de acumulação de I se a é limite de uma sequência de pontos no intervaloI.

1.1 Limite e Continuidade de uma Função 15

Em palavras, a definição acima afirma que o gráfico de f está suficientemente

próximo da reta y = L a medida que x se aproxima de a.

Segundo Neri (2006, p. 75), "A ideia intuitiva correta é dizer que f (x) é tão

próximo de L quanto quisermos, bastando para isto tomar x suficientemente próximo de

a".

Já Lima (2006, p. 61) esclarece que na definição de limite é essencial que a seja

um ponto de acumulação do conjunto I mas é irrelevante que a pertença ou não a I, isto

é, que f esteja ou não definida no ponto a.

O exemplo a seguir mostra como aplicar a definição 1.1 para o cálculo do limite.

Se f (x) = kx+b, onde k,b ∈ R, tem-se

limx−→a

(kx+b) = ka+b. (1-2)

De fato, utilizando a definição de limite, deve-se mostrar que para todo ε > 0

suficientemente pequeno, existe um δ > 0, tal que,

| (kx+b)− (ka+b) |< ε sempre que 0 <| x−a |< δ. (1-3)

Com efeito, tomando δ = ε|k| , para 0 <| x−a |< δ, segue que:

| (kx+b)− (ka+b) |=| k(x−a) |=| k || x−a |<| k | δ =| k | ε

| k | = ε, (1-4)

e isto verifica a igualdade (1-2).

O teorema que será apresentado a seguir garante a unicidade do limite de uma

função. Em todos os resultados que serão enunciados neste capítulo, considera-se a partir

de agora I um subconjunto de R e a ∈ I um ponto de acumulação.

Teorema 1.2 (Unicidade do Limite) Seja f : I −→ R uma função, tal que,

limx→a

f (x) = L1 e limx→a

f (x) = L2.

Então L1 = L2.

Demonstração: Utilizando a definição de limite, para todo ε> 0 suficientemente pequeno

dado, existem δ1 > 0 e δ2 > 0, tais que,

0 <| x−a |< δ1 implica que | f (x)−L1 |<ε

2(1-5)

0 <| x−a |< δ2 implica que | f (x)−L2 |<ε

2. (1-6)


Defina δ = min{δ1,δ2}. Assim, 0 <| x−a |< δ implica que

| L1 −L2 |=| L1 − f (x)+ f (x)−L2 |≤| f (x)−L1 |+ | f (x)−L2 |<ε

2+

ε

2= ε. (1-7)

Como ε é arbitrário, tem-se | L1 −L2 |= 0 e, portanto, L1 = L2.

�

Neste ponto, dado que se conhece os conceitos algébricos e geométricos do

limite de uma função, nada mais natural do que se perguntar como operar limites. Os

procedimentos para operar limites de funções são dados pelo teorema a seguir.

Teorema 1.3 (Operações com Limites) Sejam f : I −→ R e g : I −→ R funções, a ∈ I,

c ∈ R e n ∈ N, tais que, existem os limites,

limx−→a

f (x) e limx−→a

g(x). (1-8)

Então:

(i) limx−→a

( f (x)±g(x)) = limx−→a

f (x)± limx−→a

g(x);

(ii) limx−→a

c f (x) = c limx−→a

f (x);

(iii) limx−→a

[ f (x) ·g(x)] = limx−→a

f (x) · limx−→a

g(x);

(iv) limx−→a

f (x)

g(x)=

limx−→a

f (x)

limx−→a

g(x), desde que lim

x−→ag(x) 6= 0;

(v) limx−→a

[ f (x)]n = [ limx−→a

f (x)]n.

A prova deste resultado segue diretamente pelo uso da definição de limite (veja

Definição 1.1). Para o leitor interessado em conhecer a demonstração do resultado anterior

sugere-se consultar Flemming e Gonçalves ([4], 2006), Guidorizzi ([7], 2012) ou qualquer

livro de Análise Real ou de Cálculo Diferencial e Integral.

O Teorema a seguir fornece informações sobre o limite de uma função limitada

por duas outras funções cujos limites são iguais. Este resultado é conhecido na literatura

como Teorema do Confronto ou do Sanduíche. A demonstração que será apresentada para

este resultado segue as ideias de Lima ([10], 2006).

Teorema 1.4 (Confronto) Sejam f : I −→ R, g : I −→ R e h : I −→ R funções, a ∈ I e

L ∈ R, tais que, f (x)≤ h(x)≤ g(x), para todo x ∈ I \{a}. Se

limx−→a

f (x) = L e limx−→a

g(x) = L, (1-9)

então, limx−→a

h(x) = L.


Demonstração: Seja ε > 0 suficientemente pequeno. Utilizando a definição de limite em

(1-9) segue que existem δ1 > 0 e δ2 > 0, tais que,

0 <| x−a |< δ1 implica que | f (x)−L |< ε (1-10)

0 <| x−a |< δ2 implica que | g(x)−L |< ε. (1-11)

Tomando δ = min{δ1,δ2} e utilizando as propriedades das inequações modula-

res, tem-se,

0 < |x−a|< δ implica que L− ε < f (x)< L+ ε e L− ε < g(x)< L+ ε. (1-12)

Utilizando as hipóteses do Teorema, para todo x ∈ I ∩ (a− δ,a+ δ), conclui-se

que,

−ε < f (x)−L ≤ h(x)−L ≤ g(x)−L < ε, (1-13)

e, consequentemente, | h(x)−L |< ε. Portanto limx−→a

h(x) = L.

�

Ao observar a função h(x) = x2 sin(1

x

)

, por exemplo, nota-se que limx−→0

sin(1

x

)

não existe e, por isto, as propriedades de limites relacionadas no Teorema 1.3 não podem

ser utilizadas. Com isto, calcular o limite de h(x) quando x está em uma vizinhança

suficientemente pequena da origem pode tornar-se muito complicado. Porém, é fácil

resolver este problema utilizando como técnica o Teorema do Confronto. Com efeito,

lembre que h(x) é uma função limitada por 1, isto é,

−1 ≤ sin(1

x

)

≤ 1. (1-14)

Multiplicando os lados desta desigualdade por x2, obtém-se,

−x2 ≤ x2 sin(1

x

)

≤ x2. (1-15)

Definindo f (x) =−x2 e g(x) = x2, tem-se f (x)≤ h(x)≤ g(x) e

limx−→0

f (x) = 0 = limx−→0

g(x) (1-16)

e, pelo Teorema do Confronto, limx−→0

x2 sin(1

x

)

= 0.

Note que, no estudo dos limites, o interesse maior estava voltado para o estudo

do comportamento da função f nas proximidades do ponto a, mas sem preocupar no caso


em que f assume este valor, isto é, f (a). Na verdade, de um modo geral, para que o limite

da função f exista, quando x está em uma vizinhança do ponto a não há necessidade, se

quer, que f esteja definida em a. Por exemplo, se

f (x) =x2 −1x−1

, (1-17)

nota-se que f não está definida no ponto a = 1, mas

limx−→1

x2 −1x−1

= 2. (1-18)

Porém, em inúmeros casos, f (x) estará suficientemente próximo de f (a), a me-

dida que x se aproximar de a. A esta classe de funções denominamos funções contínuas.

Por conveniência, ao longo do trabalho, C(I) denotará o conjunto das funções contínuas

em I, isto é,

C(I) = { f : I −→ R; I ⊆ R e f é contínua}.

Com isto, a notação f ∈ C(I) significa que f é uma função contínua em I. O

estudo a seguir trata sobre os resultados e propriedades das funções contínuas. Primei-

ramente, será definido o conceito de continuidade e, em seguida, serão apresentados al-

guns resultados fundamentais do estudo das funções contínuas. Dentre estes resultados,

destaca-se o Teorema do Valor Intermediário. A definição a seguir se baseia nas ideias de

Lima ([10], 2006).

Definição 1.5 Uma função f : I −→R é dita contínua no ponto a ∈ I se, para todo ε > 0

suficientemente pequeno, existe um δ > 0, tal que, para todo x ∈ I, tem-se que | x−a |< δ

implica que | f (x)− f (a) |< ε. No caso especial em que a é um ponto de acumulação de

I, então f é contínua no ponto a se as seguintes condições são satisfeitas:

(i) f está definida no ponto a;

(ii) existe o limite limx−→a

f (x);

(iii) limx−→a

f (x) = f (a).

Inúmeros exemplos de funções contínuas podem ser encontrados em estudos de

Matemática. Dentre tais exemplos, pode-se citar:

(i) As funções polinomiais da forma p(x) = anxn + · · ·+a1x+a0, que são contínuas para

quaisquer a0,a1, · · · ,an ∈ R, n ∈ N e todo x ∈ R.

(ii) As funções racionais da forma f (x) =p(x)

q(x), com q(x) 6= 0, que são contínuas em todos

os pontos de seu domínio.

(iii) As funções trigonométricas f (x) = sin(x) e g(x) = cos(x), que são contínuas para

todo x ∈ R.


(iv) A função exponencial f (x) = ex e a função logarítmica g(x) = log(x), que são

contínuas para todo x ∈ R.

Porém, os casos mais interessantes estão no estudo das funções que não são

contínuas. Funções que não são contínuas são denominadas descontínuas. A função

f (x) =x2 −1x−1

, por exemplo, não é contínua no ponto a = 1, pois f não está definida

neste ponto. Já a função

g(x) =x2 −1x−1

, se x 6= 1 ; g(1) = 1 (1-19)

está definida em a = 1, mas não é contínua neste ponto, pois,

limx−→1

g(x) = limx−→1

x2 −1x−1

= limx−→1

(x−1)(x+1)x−1

= limx−→1

(x+1) = 2 > 1 = g(1). (1-20)

Também, a função

f (x) =x

|x| , se x 6= 0; f (0) = 0 (1-21)

não é contínua no ponto a = 0, uma vez que,

limx−→0−

f (x)< 0 < limx−→0+

f (x) (1-22)

e, consequentemente, não existe o limite limx−→0

f (x).

De um modo geral, funções contínuas podem ser obtidas por operações de outras

funções contínuas. Assim, se f : I −→R e g : I −→R são funções contínuas em um ponto

a ∈ I, então f +g, f −g, f ·g ef

gsão funções contínuas no ponto a, desde que, no último

caso, tenha-se g(a) 6= 0. Além disso, se f é contínua em a e g é contínua em f (a), então

a função composta g◦ f é contínua no ponto a e vale

limx−→a

(g◦ f )(x) = g(

limx−→a

f (x))

. (1-23)

Com efeito, a prova da equação (1-23) segue das definições de limite e continui-

dade. Com isto, pela continuidade de f e g tem-se, por (1-23), que

limx−→a

(g◦ f )(x) = limx−→a

g( f (x)) = g(

limx−→a

f (x))

= g( f (a)) = (g◦ f )(a), (1-24)

e, consequentente, g◦ f é contínua em a.


O resultado que será apresentado a seguir é visto como um dos mais importantes

teoremas do Cálculo Diferencial e Integral e tem aplicações na teoria dos pontos fixos2

e na busca por soluções de equações do tipo f (x) = y, onde f é uma função contínua no

intervalo I = [a,b] e y é um número real. Em suma, este teorema garante que se f é uma

função contínua no intervalo I = [a,b], então f intersecta qualquer reta horizontal entre

as retas f (a) e f (b). Este resultado é conhecido como Teorema do Valor Intermediário e

será enunciado a seguir:

Teorema 1.6 (Teorema do Valor Intermediário) Seja f : [a,b]−→ R uma função con-

tínua e k um número, tal que, f (a) ≤ k ≤ f (b). Então existe pelo menos um número

c ∈ [a,b] tal que f (c) = k.

A prova que será apresentada a seguir se baseia nas ideias de Lima (2006).

Outras demonstrações diferentes destas (utilizando o Método da Bisseção e o Teorema dos

Intervalos Encaixantes, por exemplo) podem ser encontradas na bibliografia matemática.

Neste trabalho optou-se pelas ideias de Lima (2006) por sua compacidade e relevância

teórica.

Demonstração do Teorema do Valor Intermediário: Sejam

A = {x ∈ [a,b]; f (x)≤ k} e B = {x ∈ [a,b]; f (x)≥ k}.

Note que, A 6= /0 pois a ∈ A, B 6= /0 pois b ∈ B, A∪B = [a,b] e que A e B são fechados3

donde A∩B = A∩B = A∩B. Afirma-se que A∩B = {x ∈ [a,b]; f (x) = k} 6= /0. Com

efeito, se A∩B = /0 então A∪B é uma cisão não-trivial, pois A 6= /0 e B 6= /0, o que é

impossível pois todo intervalo da reta só tem a cisão trivial4. Assim, A∩B 6= /0 e, portanto,

f (c) = k para qualquer c ∈ A∩B.

�

Se pensarmos em uma função contínua como aquela cujo gráfico não temnem saltos nem quebras, então é fácil acreditar que o Teorema do ValorIntermediário é verdadeiro. Em termos geométricos, ele afirma que, se for dadauma reta horizontal qualquer y = N entre y = f (a) e y = f (b), [...], então ográfico de f não poderá saltar a reta. Ele precisará intersectar y = N em algumponto. (STEWART, 2014, p. 115-116)

O caso particular em que k = 0, conhecido como Teorema de Bolzano, é utilizado

com frequência no estudo de existência de soluções de equações do tipo f (x) = 0, onde f

é uma função contínua. O Teorema é o seguinte:

2Um ponto x ∈ X , tal que f (x) = x chama-se um ponto fixo da função f : X −→ R.3Teorema [Lima, 2006, Teorema 1, Corolário 2, p. 74] - Sejam f ,g : I −→ R contínuas e Z = {x ∈

X ; f (x)≤ g(x)}. Existe F ⊂R fechado, tal que, Z = X ∩F . Em particular, se I é fechado então Z é fechado.4Teorema [Lima, 2006, Teorema 5, p. 51] - Um intervalo da reta só admite a cisão trivial.


Teorema 1.7 (Bolzano) Seja f : [a,b] −→ R uma função contínua, tal que, f (a) < 0 <

f (b). Então, existe um número x ∈ (a,b), tal que, f (x) = 0.

A prova deste resultado surge como aplicação direta do Teorema do Valor

Intermediário. Para uma discussão mais profunda sobre o tema, sugere-se ao leitor

consultar Flemming e Gonçalves ([4], 2006), Lima ([10], 2006), Neri ([12], 2006) e

Stewart ([16], 2014).

Como afirmado anteriormente, o Teorema do Valor Intermediário, na forma do

Teorema de Bolzano, é utilizado com frequência para encontrar soluções de equações do

tipo f (x) = 0. As aplicações a seguir ilustram esta situação. Mais precisamente, serão

mostradas algumas aplicações do Teorema do Valor Intermediário à teoria de existência

de soluções de equações polinomiais e a teoria do ponto fixo.

Aplicação 1 (Solução de Equações Polinomiais): Seja

f (x) = anxn + · · ·+a2x2 +a1x+a0 (1-25)

uma função polinomial de grau n ímpar, onde ai ∈R e an 6= 0. Então, f admite pelo menos

uma raiz real. De fato, note que,

f (x) = anxn

(

1+an−1

anx−1 + · · ·+ a2

anx2−n +

a1

anx1−n +

a0

anx−n

)

. (1-26)

Assim,

limx−→−∞

f (x) = limx−→−∞

anxn =−∞ < 0 e limx−→+∞

f (x) = limx−→+∞

anxn =+∞ > 0, (1-27)

e, consequentemente, existem a < 0 < b, tal que, f (a) < 0 < f (b). Além disso, f é

contínua, pois f é polinomial. Pelo Teorema de Bolzano, existe c ∈ R, tal que, f (x) = 0,

isto é, c é uma raiz real do polinômio f .

Em particular, para busca por soluções da equação 4x3 − 6x2 + 3x = 2, defina

f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x− 2 e note que f é uma função polinomial de grau ímpar igual

a 3. Logo, pelo Teorema de Bolzano, f admite uma raiz real. A ideia é estimar o

menor intervalo de extremos inteiros que contenha tal raiz. Note, por simples cálculos

matemáticos, que f (−2) = −64 < 0 < 170 = f (4). Como f é contínua, seu gráfico

é uma curva suave que intersecta o eixo-x em algum ponto de [−2,4], que é raiz de

f , ou seja, existe x ∈ (−2,4), tal que, f (x) = 0. Observe que o Teorema de Bolzano

não permite encontrar a raiz em si, mas somente obter um intervalo que contenha esta

raiz. Mas, por meio de algum método iterativo, pode-se obter um intervalo mais fino

que contenha a raiz de f . Com efeito, seja x0 = 1 o ponto médio de [−2,4]. Logo,


f (1) =−1 < 0 < 170 = f (4). Novamente, pelo Teorema de Bolzano, existe x ∈ (1,4), tal

que f (x) = 0.

Tal intervalo pode ser refinado por uma nova aplicação do Teorema de Bolzano.

Com efeito, seja x0 = 52 o ponto médio de [1,4]. Como busca-se por um intervalo de

extremos inteiros, seja x = 2 o primeiro número inteiro menor que x0 neste intervalo.

Com isto, f (1) = −1 < 0 < 12 = f (2). Pelo Teorema de Bolzano, existe x ∈ (1,2), tal

que, f (x) = 0. Assim, [1,2] é o menor intervalo de fronteira inteira contendo uma solução

de f (x) = 0. Veja que este intervalo pode ser refinado por aplicações repetidas deste

procedimento, obtendo uma melhor aproximação da raiz de f , se considerar números

reais como pontos da fronteira. De fato, note que f (1,2) =−0,128< 0< 0,548= f (1,3)

e, consequentemente, uma raiz deve estar no intervalo [1,2;1,3]. Novamente, nota-se que

f (1,22) = −0,007008 < 0 < 0,056068 = f (1,23). Assim, uma raiz está no intervalo

[1,22;1,23].

Por outro lado, nem todo polinômio f (x) de grau par tem raíz real como, por

exemplo, no caso do polinômio f (x) = x2 +1.

Aplicação 2 (Existência de Ponto Fixo): Em Matemática, muitos problemas advindos

do estudo de Física e Engenharias podem ser modelados em termos de equações cuja

solução é um ponto fixo de certa função a ser considerada. Aplicações do Teorema

do Valor Intermediário na Teoria dos Pontos Fixos são estudadas com frequência em

Matemática, devido a grande importância deste resultado para a teoria. Lima (2006) e Neri

(2006), por exemplo, utilizam o Teorema do Valor Intermediário para encontrar pontos

fixos de funções contínuas que satisfazem certa condição de crescimento. Baseados nestes

trabalhos, mostraremos, como aplicação do Teorema do Valor Intermediário, a existência

de pontos fixos de funções contínuas com certo comportamento em intervalos da forma

[a,b]. Tal aplicação é um resultado singular em Equações Diferenciais denominado

Teorema do Ponto Fixo de Brouwer.

Teorema 1.8 (Ponto Fixo de Brouwer) Seja f : [a,b] −→ R uma função contínua com

f (a)≥ a e f (b)≤ b. Então, existe pelo menos um número real c∈ (a,b), tal que, f (c) = c.

Demonstração: A prova será baseada nas ideias de Lima (2006) e Neri (2006). Defina

uma função g : [a,b] −→ R por g(x) = x − f (x), para todo x ∈ [a,b]. Note que g é

contínua, pois é a diferença entre o polinômio do primeiro grau x e a função contínua

f ou, equivalentemente,

limx−→x0

g(x) = limx−→x0

(x− f (x)) = x0 − f (x0) = g(x0), x0 ∈ [a,b]. (1-28)

1.2 Derivadas 23

Além disso, g(a) = a− f (a) ≤ 0 ≤ b− f (b) = g(b). Pelo Teorema do Valor

Intermediário, existe pelo menos um número real x ∈ (a,b), tal que, g(x) = 0. Pela

definição de g, vale que, f (x) = x. Isto prova o Teorema.

�

Um fato interessante a ser observado é que o Teorema do Valor Intermediário

e o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer são equivalentes. Para conhecer uma prova da

equivalência destes teoremas veja Pereira, Ferreira e Martins ([13], 2018).

Na próxima seção, serão estabelecidos alguns resultados sobre derivadas que

serão utilizados com frequência ao longo dos capítulos.

1.2 Derivadas

Nesta seção, serão considerados os principais resultados referentes ao estudo das

derivadas que servirão de base para o desenvolvimento deste trabalho. Para isto, sejam

f : A ⊂ R −→ R e a ∈ A um ponto de acumulação de A. Primeiramente, será definido o

conceito de derivada da função f no ponto a.

Definição 1.9 A derivada de f no ponto a é definida pelo limite

f ′(a) = limx−→a

f (x)− f (a)

x−a, (1-29)

quando este limite existe. Equivalentemente, se ∆x = x− a, então a derivada de f no

ponto a é definida por

f ′(a) = lim∆x−→0

f (a+∆x)− f (a)

∆x. (1-30)

Mais precisamente, em termos da definição de limite, a equação (1-29) significa que para

todo ε > 0 dado, existe um δ > 0, tal que, para todo x ∈ A, tem-se que,

0 <| x−a |< δ implica que

∣

∣

∣

f (x)− f (a)

x−a− f ′(a)

∣

∣

∣< ε. (1-31)

Além disso, diz-se que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os

pontos de seu domínio.

Segundo Flemming e Gonçalves (2006, p. 121) "[...] este limite nos dá a incli-

nação da reta tangente à curva y = f (x) no ponto (a, f (a)). Portanto, geometricamente, a

derivada da função y = f (x) no ponto a representa a inclinação da curva neste ponto".

Para a função f (x) = 4x2 −6x+2, por exemplo, tem-se que f ′(x) = 8x−6.

1.2 Derivadas 24

Com efeito, utilizando a definição de derivada dada anteriormente, segue

f ′(x) = lim∆x−→0

f (x+∆x)− f (x)

∆x

= lim∆x−→0

4(x+∆x)2 −6(x+∆x)+2− (4x2 −6x+2)∆x

= lim∆x−→0

∆x(8x+4∆x−6)∆x

= lim∆x−→0

(8x+4∆x−6)

= 8x−6 (1-32)

Mais geralmente, verifica-se facilmente que a derivada da função f (x) = xn, para

n ∈ N é f ′(x) = nxn−1. De fato, utilizando a definição de derivada e a decomposição

polinomial por meio do Binômio de Newton, tem-se:

f ′(x) = lim∆x→0

f (x+∆x)− f (x)

∆x

= lim∆x→0

(x+∆x)n − xn

∆x

= lim∆x→0

∆x((x+∆x)n−1 +(x+∆x)n−2x+ · · ·+(x+∆x)xn−2 + xn−1)

∆x

= lim∆x→0

(x+∆x)n−1 +(x+∆x)n−2x+ · · ·+(x+∆x)xn−2 + xn−1

= nxn−1. (1-33)

Esta igualdade será essencial para cálculos futuros envolvendo derivadas de

funções polinomiais. Analogamente, verifica-se que:

(i) Se f (x) =1xn

então f (x) = x−n e, assim, f ′(x) =−nx−n−1 =− n

xn+1 , n ∈ N.

(ii) Se f (x) = n√

xm então f (x) = xmn e, assim, f ′(x) =

m

nx

mn −1 =

m

nx−n+m

n , n,m ∈Z, n 6= 0.

A derivada surgiu no século XVII, em conexão com o problema de traçar a retatangente a uma curva. Mas há uma outra motivação da derivada, não menosimportante que a da reta tangente: trata-se da ideia da taxa de variação, comono caso da velocidade de um móvel, da taxa de decaimento de um materialradioativo, da taxa de crescimento de uma cultura de bactérias etc. (ÁVILA &ARAÚJO, 2013, p. 59)

A partir de agora, será estabelecida a seguinte notação para o conjunto das

funções deriváveis:

H(A,R) = { f : A ⊂ R−→ R; f é derivável em a, a ∈ A}.

1.2 Derivadas 25

Observe que alguns cálculos podem se tornar um pouco complicados de se resol-

ver utilizando a definição de limite. Isto depende que tipo de função se está interessado em

obter a derivada. Para contornar estas dificuldades, utiliza-se algumas regras de derivação

que podem ser demonstradas por meio da definição de limite de função. A seguir, serão

apresentadas tais regras de derivação que são classificadas como operações de derivadas.

Teorema 1.10 (Operações com Derivadas) Seja f ,g ∈H(A,R). Então:

(1) (Derivada da soma): Se h(a) = f (a)±g(a), então h′(a) = f ′(a)±g′(a).

(2) (Derivada do produto): Se h(a) = f (a)g(a), então h′(a) = f (a)g′(a)+ f ′(a)g(a).

(3) (Derivada do quociente): Se h(a) =f (a)

g(a), onde g(a) 6= 0, então

h′(x) =g(a) f ′(a)− f (a)g′(a)

[g(a)]2. (1-34)

(4) (Derivada do Produto por Escalar): Se h(a) = α f (a), para α ∈ R, então h′(a) =

α f ′(a).

A prova do teorema acima segue diretamente da aplicação da definição de

derivada. Mas, por uma questão de comodidade, esta demonstração não será apresentada

neste trabalho. A nível de informação, e ao leitor interessado em conhecer a prova deste

resultado, sugere-se consultar Lima ([10], 2006).

Essas regras de derivação nos permitem calcular com relativa facilidade asderivadas de polinômios, funções racionais, funções algébricas, funções ex-ponenciais e logarítmicas, além de funções trigonométricas e trigonométricasinversas. (STEWART, 2014, p. 157)

Se h(x) = (3x4 − 5x2)(2x3 − 10), por exemplo, então, utilizando a propriedade

da derivada do produto,

h′(x) = (3x4 −5x2)6x2 +(12x3 −10x)(2x3 −10) = 42x6 −50x4 −120x3 +100x.

Semelhantemente, se h(x) = 3x5−42x3−6x+4

, então, utilizando a propriedade da deri-

vada do quociente,

h′(x) =(2x3 −6x+4)15x4 − (3x5 −4)(6x2 −6)

(2x3 −6x+4)2 =12x7 −72x5 +60x4 +24x2 −24

(2x3 −6x+4)2 .

Sabe-se, que dentre as funções mais importantes do estudo da Matemática estão

as funções trigonométricas. Tais funções se aplicam em diversas situações cotidianas. Por

isto, é útil conhecer as derivadas das funções trigonométricas elementares conhecidas na

Matemática. Assim:

1.2 Derivadas 26

Teorema 1.11 (Derivadas das Funções Trigonométricas) As seguintes derivadas são

verdadeiras:

(i) Se f (x) = sin(x), então f ′(x) = cos(x).

(ii) Se f (x) = cos(x), então f ′(x) =−sin(x).

(iii) Se f (x) = tan(x), então f ′(x) = sec2(x).

(iv) Se f (x) = cot(x), então f ′(x) =−csc2(x).

(v) Se f (x) = sec(x), então f ′(x) = sec(x) · tan(x).

(vi) Se f (x) = csc(x), então f ′(x) =−csc(x) · cot(x).

Demonstração: A prova dos itens acima segue diretamente da definição de derivada e

das relações entre funções trigonométricas. Será provado aqui somente o item (i) e os

demais itens se provam de forma análoga. Com efeito, pela definição de derivada, se

f (x) = sin(x), então:

f ′(x) = lim∆x−→0

sin(x+∆x)− sin(x)∆x

= lim∆x−→0

sin(x)cos(∆x)+ sin(∆x)cos(x)− sin(x)∆x

= lim∆x−→0

sin(x)(cos(∆x)−1)+ sin(∆x)cos(x)∆x

= lim∆x−→0

(

sin(x)cos(∆x)−1

∆x+ cosx

sin(∆x)

∆x

)

= cos(x), (1-35)

onde nas igualdades acima utilizou-se os seguintes limites fundamentais como ferramen-

tas:

limx−→0

sin(x)x

= 1 e limx−→0

cos(x)−1x

= 0. (1-36)

�

O resultado que será apresentado a seguir, é uma das principais ferramentas

do estudo das derivadas. Em termos gerais, este teorema mostra como derivar uma

composição de funções deriváveis.

Teorema 1.12 (Regra da Cadeia) Sejam f ∈ H(A,R) e g ∈ H(B,R), tal que, f (A) ⊂ B

com b = f (a). Então a função composta g◦ f : A −→ R é derivável em a e tem derivada

dada por:

(g◦ f )′(a) = g′( f (a)) f ′(a). (1-37)

Para prova deste resultado sugere-se ao leitor consultar Lima (2006, p. 92).

Utilizando a Regra da Cadeia, pode-se mostrar que a função y(x) = cos(sin(ln(√

ex2+1)))

1.2 Derivadas 27

é derivável, com derivada igual a

y′(x) =−xsin(sin(ln(√

ex2+1)))cos(ln(√

ex2+1)). (1-38)

De fato, sendo

w(x) = x2 +1, v(x) = ex, u(x) =√

x, h(x) = ln(x), g(x) = sin(x) e f (x) = cos(x),

então, é fácil ver que y(x) = ( f ◦ g ◦ h ◦ u ◦ v ◦w)(x). Assim, aplicando a regra da cadeia

sucessivamente, segue que,

y′(x) = f ′(g◦h◦u◦ v◦w(x))(g◦h◦u◦ v◦w)′(x)

= f ′(g◦h◦u◦ v◦w(x))g′(h◦u◦ v◦w(x))(h◦u◦ v◦w)′(x)

= f ′(g◦h◦u◦ v◦w(x))g′(h◦u◦ v◦w(x))h′(u◦ v◦w(x))(u◦ v◦w)′(x)

= f ′(g◦h◦u◦ v◦w(x))g′(h◦u◦ v◦w(x))h′(u◦ v◦w(x))u′(v◦w(x))(v◦w)′(x)

= f ′(g◦h◦u◦ v◦w(x))g′(h◦u◦ v◦w(x))h′(u◦ v◦w(x))u′(v◦w(x))v′(w(x))w′(x).

Consequentemente, sabendo que

w′(x) = 2x, v′(x) = ex, u′(x) = 2−1x−12 , h′(x) = x−1, g′(x) = cos(x) e f ′(x) =−sin(x),

tem-se

y′(x) = −sin(sin(ln(√

ex2+1)))cos((ln(√

ex2+1))1√

ex2+1

1

2√

ex2+1ex2+12x

= −xsin(sin(ln(√

ex2+1)))cos(ln(√

ex2+1)), (1-39)

como já havia sido afirmado.

Analogamente, é fácil encontrar a derivada da função y = (3x2 + 1)3(x− x2)2

utilizando a regra da cadeia. Note, neste caso, que y(x) pode ser escrita como o produto

de duas funções f (x) = (3x2+1)3 e g(x) = (x−x2)2. Assim, pela propriedade da derivada

de um produto, y′(x) = f (x)g′(x)+ f ′(x)g(x). Mas, encontrando f ′(x) e g′(x) pela regra

da cadeia, tem-se

f ′(x) = 3(3x2 +1)26x e g′(x) = 2(x− x2)(1−2x). (1-40)

Logo,

y′(x) = (3x2 +1)32(x− x2)(1−2x)+3(3x2 +1)26x(x− x2)2 (1-41)

1.2 Derivadas 28

e, portanto,

y′(x) = 2(3x2 +1)3(x− x2)(1−2x)+18x(3x2 +1)2(x− x2)2. (1-42)

O resultado que a derivada da função composta f ◦g é o produto das derivadasde f e g. Esse fato é um dos mais importantes regras de derivação e é chamadoRegra da Cadeia. Ela parece plausível se interpretarmos as derivadas comotaxas de variação. Considere du/dx como a taxa de variação de u com relaçãoa x, dy/du como a taxa de variação de y com relação a u e dy/dx como a taxade variação de y com relação a x. Se u variar duas vezes mais rápido que x, e ytrês vezes mais rápido que u, então parece plausível que y varie seis vezes maisrápido que x. (STEWART, 2014, p. 179)

O Teorema que será tratado a seguir é um dos resultados centrais do Cálculo

Diferencial e Integral e tem implicações diretas em estudos avançados de Matemática.

Tal resultado é conhecido como Teorema do Valor Médio e será enunciado a seguir.

Teorema 1.13 (Teorema do Valor Médio) Seja f : [a,b]−→R uma função contínua no

intervalo fechado [a,b] e derivável no intervalo aberto (a,b). Então, existe um número

real c ∈ (a,b), tal que,

f (b)− f (a) = f ′(c)(b−a) (1-43)

O Teorema do Valor Médio foi formulado pela primeira vez por Joseph-LouisLagrange (1736-1813), nascido na Itália, com pai francês e mãe italiana. Elefoi uma criança prodígio e se tornou professor em Turim na idade de 19anos. Lagrange fez grandes contribuições à teoria dos números, à teoria dasfunções, à teoria das equações e às mecânicas analítica e celeste. Em particular,aplicou o cálculo na análise da estabilidade do sistema solar. A convite deFrederico, o Grande, ele sucedeu Euler na Academia de Berlim e após a mortede Frederico, Lagrange aceitou o convite do rei Luís XVI para viver em Paris,onde lhe foi dado um apartamento no Louvre. Lá, tornou-se professor da ÉcolePolytechnique. A despeito das armadilhas da fama e da luxúria, ele era umhomem bondoso e quieto, que vivia somente para a ciência. (STEWART, 2014,p. 259)

Para a prova do Teorema do Valor Médio será utilizado como ferramenta princi-

pal o Teorema de Rolle. Em termos gerais, este teorema garante, sob certas condições, a

existência de um ponto c, tal que, a reta tangente a f neste ponto é paralela ao eixo das

abscissas.

Teorema 1.14 (Teorema de Rolle) Seja f : [a,b] −→ R uma função contínua no inter-

valo fechado [a,b] e derivável no intervalo aberto (a,b), tal que, f (a) = f (b). Então,

existe um número c em (a,b) tal que f ′(c) = 0.

Para uma demonstração formal deste resultado, sugere-se ao leitor que consulte

Flemming e Gonçalves ([4], 2006), Lima ([10], 2006) e suas referências. A prova do

Teorema do Valor Médio que será feita a seguir baseia-se em Stewart ([16], 2014, p. 258).

1.2 Derivadas 29

Geometricamente, o teorema do valor médio estabelece que, se a funçãoy = f (x) é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), então existe pelo menosum ponto c entre a e b onde a tangente à curva é paralela à corda que une ospontos P(a, f (a)) e Q(b, f (b)). (FLEMMING e GONÇALVES, 2006, p. 198)

Demonstração do Teorema do Valor Médio: Sejam h(x) = ( f − y)(x), A = (a, f (a)) e

B = (b, f (b)). O Teorema de Rolle será aplicado na função h e na função cujo gráfico é a

reta secante rAB que liga os pontos A e B (veja figura 1.1). Veja que a equação da reta rAB

pode ser escrita como y = y0 +mAB(x− x0), onde

mAB =f (b)− f (a)

b−a. (1-44)

Assim,

y = f (a)+f (b)− f (a)

b−a(x−a). (1-45)

Com isto,

h(x) = f (x)− y = f (x)− f (a)− f (b)− f (a)

b−a(x−a). (1-46)

Observe que h é contínua em [a,b], pois é soma de f com um polinômio do

primeiro grau, ambos contínuos. A figura 1.1 a seguir regresenta geometricamente a

situação descrita anteriormente.

Figura 1.1: Representação do Gráfico da Função f .

Fonte: Adaptado de Stewart ([16], 2014, p. 258).

Além disso, h é derivável em (a,b), pois tanto f quanto o polinômio do primeiro

grau são deriváveis. De fato, podemos calcular diretamente h′ da equação anterior:

h′(x) = f ′(x)− f (b)− f (a)

b−a(1-47)

1.2 Derivadas 30

Também, h(a) = h(b) = 0, pois,

h(a) = f (a)− f (a)−mAB(a−a) = 0 e h(b) = f (b)− f (a)− f (b)− f (a)

b−a(b−a) = 0.

Consequentemente, pelo Teorema de Rolle, existe c ∈ (a,b), tal que, h′(c) = 0.

Assim,

0 = h′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a)

b−a. (1-48)

Portanto, f (b)− f (a) = f ′(c)(b−a), provando com isto o Teorema.

�

Uma consequência importante do Teorema do Valor Médio é a classificação

das funções com derivada nula. Tal resultado será tratado aqui como uma aplicação do

Teorema do Valor Médio.

Aplicação 1 (Funções com Derivada Nula): Se f ′(x) = 0, para todo x ∈ (a,b), então f

é constante em (a,b).

Com efeito, sejam x1,x2 ∈ (a,b), tal que, x1 < x2. Como f é derivável em (a,b),

f é, em particular, derivável em (x1,x2) e contínua em [x1,x2]. Pelo Teorema do Valor

Médio, existe c ∈ (x1,x2), tal que,

f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1) (1-49)

Uma vez que f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a,b), tem-se que f ′(c) = 0. Assim, por

(1-49), f (x2)− f (x1) = 0 e, com isso, f (x2) = f (x1). Assim, f tem o mesmo valor em

quaisquer dois números x1 e x2 em (a,b). Isso significa que f é constante no intervalo

(a,b).

Segue como uma consequência do resultado acima que se duas funções tem

mesma derivada em um ponto, então a diferença entre elas é uma constante, isto é,

"se f e g são funções deriváveis, tais que, f ′(x) = g′(x), então existe c ∈ R, tal que,

f (x) = g(x)+ c."

Com efeito, se f ′(x) = g′(x), então f ′(x)− g′(x) = 0, ou seja, ( f − g)′(x) = 0.

Consequentemente, pela aplicação 1, existe uma constante c ∈ R, tal que, ( f −g)(x) = c.

Portante, f (x) = g(x)+ c. Este resultado é importante no estudo do Cálculo Integral pois

permite mostrar existência de inúmeras primitivas de uma função f no estudo de integrais.

1.2 Derivadas 31

Aplicação 2 (Velocidade Média): O Teorema do Valor Médio pode ser utilizado em

estudos da Física relacionados à Velocidade Média. Por exemplo, um móvel que transita

por uma rodovia, cujo limite de velocidade é de 70km/h, passa por um ponto A com

velocidade 50km/h. Três minutos mais tarde, o móvel passa por um ponto B, a cinco

quilômetros da primeira posição, com velocidade 55km/h. O Teorema do Valor Médio

pode ser utilizado para mostrar que, em algum momento do percurso, o motorista

ultrapassou o limite de velocidade naquela estrada. Com efeito, primeiro consideramos

o tempo decorrido t em horas após o carro ter passado pelo ponto A na estrada e f a

função que descreve seu deslocamento. Uma vez que três minutos corresponde a 120 de

uma hora, a velocidade média do carro entre os pontos A e B da rodovia foi

V m =f (B)− f (A)

B−A=

f(

120

)

− f (0)

120 −0

=55−50

120

= 5

(

201

)

= 100 Km/h. (1-50)

Para Pinto e Ercole (2009, p.197-198), "[...] Isso quer dizer que, em algum

momento do percurso, o carro atingiu a velocidade de 100 Km/h (garantido pelo Teorema

do Valor Médio), ultrapassando, assim, o limite de velocidade na estrada. Veja que de nada

adianta a estratégia de reduzir a velocidade em pontos onde a velocidade seria registrada,

se radares fossem colocados em dois marcos e o tempo de deslocamento entre eles fosse

medido!".

CAPÍTULO 2PONTOS CRÍTICOS: MÁXIMOS, MÍNIMOS

E TEOREMAS PARA OBTENÇÃO E

CLASSIFICAÇÃO DE PONTOS ÓTIMOS

O Cálculo Diferencial e Integral é uma das ferramentas matemáticas com maior

aplicabilidade nas mais diversas áreas das ciências. Aplicações dos conceitos de derivada

e integral constituem importantes ferramentas para modelagem de diversos problemas de

maximização ou minimização de certa grandeza. Tais problemas são conhecidos como

problemas de otimização e constituem uma parte importante no estudo da Matemática.

Neste capítulo serão apresentados conceitos e propriedades referentes ao estudo dos

pontos críticos de uma função e os testes de classificação de pontos críticos em pontos

de máximo ou mínimo.

2.1 Pontos Críticos de uma Função

Nesta seção, serão desenvolvidos os conceitos teóricos e os principais resultados

relacionados a máximos e mínimos de funções, com objetivo de aplicá-los para resolver

certos problemas de otimização.

Segundo Xavier (2017, p. 14) "Problemas de otimização consistem na modela-

gem de um fenômeno em estudo, onde uma grandeza é dada por uma função contendo

uma ou mais variáveis, cujo intuito é determinar o valor máximo ou mínimo de tal fun-

ção".

Para iniciar este estudo, primeiramente, serão definidos os conceitos de máximos

e mínimos globais e locais de uma função definida em um subconjunto A. Para isto,

ao longo deste capítulo, A denotará um subconjunto de R e f : A −→ R é uma função

derivável em A. Assim como no capítulo 1, as observações importantes serão apresentadas

como notas de rodapé ou por meio de referências.

As definições que serão dadas à seguir se baseiam em Stewart ([16], 2014).

2.1 Pontos Críticos de uma Função 33

Definição 2.1 Sejam f : A −→ R uma função e c ∈ A. Diz-se que:

(i) A função f tem máximo global1 em c se f (c) ≥ f (x) para todo x ∈ A. Neste caso, o

número f (c) é chamado valor máximo de f em A.

(ii) A função f tem um mínimo global em c se f (c)≤ f (x) para todo x ∈ A. Neste caso, o

número f (c) é denominado valor mínimo de f em A.

Definição 2.2 Sejam f : A −→ R uma função e c ∈ A. Diz-se que:

(i) A função f tem máximo local2 em c se existe um intervalo I ⊂ R, com c ∈ I, tal que

f (c)≥ f (x), para todo x ∈ I ∩A.

(ii) A função f tem mínimo local em c se existe um intervalo I ⊂ R, com c ∈ I, tal que

f (c)≤ f (x), para todo x ∈ I ∩A.

Um boa maneira de se determinar os pontos de máximo e de mínimo deuma função f é estudá-la com relação a crescimento e decrescimento. Sejama < c < d; se f for crescente em (a,c] e descrescente em [c,b), então c seráum ponto de máximo local de f ; se f for decrescente em (a,c] e crescente em[c,b), então c será um ponto de mínimo local de f . (GUIDORIZZI, 2012, p.273)

Os valores máximo e mínimo de f são, também, chamados valores extremos

de f e os pontos de máximo e mínimo de f são denominados pontos extremantes de

f . Claramente, as funções f (x) = −x2 e f (x) = x2 admitem pontos de máximo global e

mínimo global, respectivamente, no ponto c = 0. Já a função f (x) = x3, definida para x

real, não admite ponto de máximo e nem ponto de mínimo em c = 0, pois existem pontos

x > c, tais que f (x)> f (c) e pontos x < c, tais que, f (x)< f (c). O resultado apresentado

à seguir é uma forte ferramenta para garantir existência de máximo ou mínimo global de

f em conjuntos compactos3. Tal resultado é conhecido como "Teorema de Weierstrass".

Teorema 2.3 (Weierstrass) Se f : A −→ R é uma função contínua e A ⊂ R é um

subconjunto compacto, então existem a,b ∈ A, tais que,

f (a) = minx∈A

f (x) e f (b) = maxx∈A

f (x). (2-1)

As funções trigonométricas f (x) = sin(x) e g(x) = cos(x) definidas para todo

x ∈ [0,2π], por exemplo, assumem valores de máximo e mínimo, respectivamente, nos

pontos 1 e −1. Mais precisamente, como f e g são funções contínuas e [0,2π] é um

conjunto compacto, então pelo Teorema de Weierstrass f e g assumem valores de máximo

e mínimo neste conjunto, ou seja,

f(π

2

)

= maxx∈[0,2π]

f (x) = 1, f(3π

2

)

= minx∈[0,2π]

f (x) =−1 (2-2)

1Pontos de máximo (ou mínimo) globais de f são também denominados máximo (ou mnimo) absolutos.2Pontos de máximo (ou mínimo) locais de f são também denominados máximo (ou mnimo) relativos.3Um subconjunto A ⊂ R é compacto se A é fechado e limitado.

2.1 Pontos Críticos de uma Função 34

e

g(0) = g(2π) = maxx∈[0,2π]

g(x) = 1, g(π) = minx∈[0,2π]

g(x) =−1. (2-3)

A prova do Teorema de Weierstrass segue da compacidade do conjunto f (A).

Com efeito, como f é contínua e A compacto, segue que f (A) é compacto4. Conse-

quentemente, f (A) admite menor e maior elemento, isto é, existem a,b ∈ A, tais que,

f (a) = minx∈A

f (x) e f (b) = maxx∈A

f (x), ou seja, f (a) e f (b) são valores de máximo e mí-

nimo de f .

O Teorema de Weierstrass nos conta que, se f for contínua em [a,b], entãoexistirão x1 e x2 em [a,b] tais que f (x1) é o valor de mínimo de f em [a,b] ef (x2) é o valor de máximo de f em [a,b]. Ou de outra forma: f assumirá em[a,b] valor de máximo e valor de mínimo. (GUIDORIZZI, 2012, p. 122)

Vale observar que se f é uma função derivável no ponto c e c é um ponto de

máximo ou mínimo local de f , então f ′(c) = 0. Isto motiva a seguinte definição:

Definição 2.4 (Ponto Crítico) Sejam f : A ⊂ R−→ R uma função derivável e c ∈ A. Se

f ′(c) = 0 ou f ′(c) não existe, então c é denominado ponto crítico de f .

O resultado que será apresentado a seguir mostra que pontos de máximos ou

mínimos locais de f são, na verdade, pontos críticos desta função.

Teorema 2.5 Se f : A ⊂ R −→ R tem um máximo ou mínimo local em c, então c é um

ponto crítico de f , isto é, f ′(c) = 0.

De fato, suponha, sem perda de generalidade, que c é um ponto de mínimo local

de f . Então, existe um intervalo I, contendo c, tal que, f (x)− f (c)≥ 0, para todo x∈ I∩A.

Assim,

f ′−(c) = limx−→c−

f (x)− f (c)

x− c≤ 0 e f ′+(c) = lim

x−→c+

f (x)− f (c)

x− c≥ 0. (2-4)

Logo, 0 ≤ f ′+(c) = f ′(c) = f ′−(c) ≤ 05 e, portanto, f ′(c) = 0. É importante

ressaltar que a recíproca do resultado acima não é verdadeira, isto é, nem todo ponto

crítico é um ponto de máximo ou de mínimo local de f . Com efeito, se f (x) = x3, então f

tem derivada dada por f ′(x) = 3x2. Resolvendo a equação f ′(x) = 0, tem-se que x = 0 é o

único ponto crítico desta função. Mas, x = 0 não é ponto de máximo local e nem mínimo

local da função f pois f (−1)< f (0)< f (1).

4Teorema [Lima, 2006, Teorema 7, p. 81] - A imagem f (A) de um conjunto compacto A ⊂ R écompacto para f : A −→ R contínua.

5 f ′−(c) e f ′+(c) são, respectivamente, as derivadas laterais a esquerda e a direita de f no ponto c.

2.2 Testes para obtenção de pontos críticos 35

Segundo Flemming e Gonçalves (2006, p. 195), o teorema acima pode ser

interpretado geometricamente da seguinte forma: Se f assume um valor extremo relativo

em c e sua derivada f ′(c) existe, então o gráfico da função y = f (x) apresenta uma reta

tangente horizontal no ponto x = c.

Observação: Stewart ([16], 2014, p. 252) sugere o procedimento a seguir para determi-

nação de pontos de máximo e mínimo de uma função f : se A for um intervalo fechado da

forma [a,b] e f : [a,b] −→ R for uma função derivável, então para encontrar os valores

máximo e mínimo absolutos de f em [a,b] basta seguir os seguintes passos:

1. Determinar os pontos críticos de f em (a,b);

2. Encontrar os valores de f nos pontos críticos encontrados no passo anterior;

3. Encontrar os valores de f na fronteira do intervalo.

4. O maior e o menor valor entre todos os valores encontrados serão, respectivamente, o

valor máximo e o valor mínimo absoluto de f em [a,b].

Considere, por exemplo, a função polinomial f :[

− 12 ,4

]

−→ R dada por

f (x) = x3 −3x2 +1. Observe que f é derivável em[

− 12 ,4

]

, com derivada dada por

f ′(x) = 3x2 −6x = 3x(x−2). (2-5)

Resolvendo a equação f ′(x) = 0 para encontrar pontos críticos de f , obtém-se

x = 0 e x = 2. E estes são os únicos pontos críticos de f em(

− 12 ,4

)

. Consequentemente,

f (0) = 1 e f (2) =−3 são os valores críticos de f nestes pontos. Por outro lado, os valores

de f na fronteira do intervalo são f(

− 12

)

= 18 e f (4) = 17. Comparando esses quatro

números, tem-se que o ponto de máximo absoluto de f é x = 4 e o ponto de mínimo

absoluto de f é x = 2. Veja que, neste exemplo, o máximo absoluto ocorre na fronteira do

intervalo, enquanto o mínimo absoluto ocorre no interior deste intervalo.

2.2 Testes para obtenção de pontos críticos

Nesta seção, serão apresentados os principais resultados de classificação de pon-

tos críticos em pontos de máximo local ou mínimo local de uma função f . Primeiramente,

serão definidos os conceitos de crescimento e decrescimento de uma função.

Definição 2.6 Seja f : A ⊂ R−→ R uma função. Diz-se que:

(i) f é crescente se f (x)< f (y) sempre que x < y, para todo x,y ∈ A.

(ii) f é decrescente se f (x)> f (y) sempre que x < y, para todo x,y ∈ A.


O resultado que será apresentado a seguir utiliza informações sobre a derivada

de f para classificá-la quanto ao crescimento ou descrescimento. Para isto, considera-se

A como um intervalo da forma [a,b], a,b ∈ R.

Teorema 2.7 Seja f : [a,b]−→ R uma função derivável.

(i) Se f ′(x)> 0 em [a,b], então f é crescente neste intervalo.

(ii) Se f ′(x)< 0 em [a,b], então f é descrente neste intervalo.

Por uma questão de simplicidade, e para não fugir aos objetivos aqui propostos,

não será demonstrado, neste trabalho, o resultado acima. Mas para o leitor interessado

em conhecer a prova, sugere-se consultar Flemming e Gonçalves ([4], 2006), Stewart

([16], 2014) e suas referências bibliográficas. O teorema a seguir é o primeiro resultado

de classificação que será apresentado neste trabalho. Em geral, este resultado trata sobre

classificação dos pontos críticos de uma função f por meio de informações sobre a

derivada de primeira ordem desta função.

Teorema 2.8 (Teste da Primeira Derivada) Sejam f : A ⊂R−→R uma função derivá-

vel e c ∈ A, tal que, f ′(c) = 0.

(i) Se f ′(x)> 0 para x < c e f ′(x)< 0 para x > c, então f tem um máximo local em c.

(ii) Se f ′(x)< 0 para x < c e f ′(x)> 0 para x > c, então f tem um mínimo local em c.

Demonstração: Como f ′(x)> 0 para x < c e f ′(x)< 0 para x > c, pelo Teorema 2.7, f é

crescente para todo x < c e decrescente para todo x > c. Portanto, f (x)< f (c), para todo

x em uma vizinhança do ponto c e, consequentemente, c é um ponto de máximo local da

função f . Analogamente, como f ′(x)< 0 para x < c e f ′(x)> 0 para x > c, pelo Teorema

2.7, f é decrescente para todo x < c e crescente para todo x > c. Portanto, f (x) > f (c),

para todo x em uma vizinhança do ponto c e, consequentemente, c é um ponto de mínimo

local da função f .

�

O teorema acima será utilizado para classificar os pontos críticos da função

f (x) = 3x4 −4x3 −12x2 +5. Primeiro, note que f tem derivada dada por

f ′(x) = 12x3 −12x2 −24x = 12x(x2 − x−2) = 12x(x−2)(x+1). (2-6)

Resolvendo a equação f ′(x) = 0, obtém-se que −1,0,2 são os únicos pontos

críticos de f . Definindo H = (−∞,−1), I = [−1,0), J = [0,2) e K = [2,+∞) tem-se que

R= H ∪ I ∪ J∪K e

(i) f ′(x) =

{

12x(x−2)(x+1)< 0, ∀x ∈ H

12x(x−2)(x+1)> 0, ∀x ∈ I \{−1}.


(ii) f ′(x) =

{

12x(x−2)(x+1)> 0, ∀x ∈ I \{−1}12x(x−2)(x+1)< 0, ∀x ∈ J \{0}.

(iii) f ′(x) =

{

12x(x−2)(x+1)< 0, ∀x ∈ J \{0}12x(x−2)(x+1)> 0, ∀x ∈ K \{2}.

Consequentemente, pelo Teste da Primeira Derivada, por (i) e (iii), os pontos

x =−1 e x = 2 são pontos de mínimo locais de f e, por (ii), o ponto x = 0 é um ponto de

máximo local da função f .

O Teorema a seguir nos fornece uma forte ferramenta para classificar os pontos

críticos de uma função f em pontos de máximo ou mínimo local. Por sua eficácia, nos

problemas abordados neste trabalho, será utilizado este resultado como uma das principais

ferramentas.

Teorema 2.9 (Teste da Segunda Derivada) Seja f : I ⊂R−→R uma função com deri-

vada de segunda ordem, denotada por f ′′, contínua em um intervalo aberto I contendo

um ponto c.

(i) Se f ′(c) = 0 e f ′′(c)> 06, então f tem um ponto de mínimo local em c.

(ii) Se f ′(c) = 0 e f ′′(c)< 07, então f tem um ponto de máximo local em c.

Para uma prova do resultado acima sugere-se ao leitor consultar Ávila ([2],

2003), Flemming e Gonçalves ([4], 2006), Guidorizzi ([7], 2012), Stewart ([16], 2014),

Sviercoski ([18], 1999) e suas referências.

Em muitos problemas práticos de otimização, o intervalo com o qual estamostrabalhando conterá somente um ponto crítico de primeira ordem da função.Quando isto acontece, você pode usar o teste da segunda derivada [...] paraidentificar o seu extremo absoluto, mesmo que este teste seja um teste paraextremos locais. A razão é que, neste caso especial, o máximo ou mínimo localé necessariamente também um máximo ou mínimo absoluto. (HOFFMANN &BRADLEY, 1999, p. 158, grifo do autor)

A definição a seguir caracteriza os pontos críticos de f que satisfazem a condição

f ′′(x) = 0. Tais pontos não podem ser máximos ou mínimos de f pois, se fossem,

contrariariam o Teste da Segunda Derivada. Geometricamente, nestes pontos, ocorrem

alterações na concavidade da curva descrita pelo gráfico da função f , ou seja, nestes

pontos, o gráfico de f muda a concavidade de "voltada para cima" para "voltada para

baixo" ou de "voltada para baixo" para "voltada para cima".

Definição 2.10 Sejam f : A ⊂ R −→ R uma função com derivada de segunda ordem f ′′

contínua e c ∈ A. Diz-se que c é um ponto de inflexão de f se satisfaz f ′′(c) = 0.

6Se f ”(x)> 0 para todo x ∈ I, então o gráfico de f é côncavo para cima em I, isto é, o gráfico de f estáacima de todas as suas tangentes no intervalo I.

7Se f ”(x)< 0 para todo x ∈ I, então o gráfico de f é côncavo para baixo em I, isto é, o gráfico de f estáabaixo de todas as suas tangentes no intervalo I.

2.3 Polinômios de Taylor 38

O Teste da Segunda Derivada é inconclusivo quando f ′′(c) = 0. Em outraspalavras, esse ponto pode ser um máximo, um mínimo ou nenhum dos dois.Esse teste também falha quando f ′′(c) não existe. Em tais casos, o Teste daPrimeira Derivada deve ser usado. De fato, mesmo quando ambos os testessão aplicáveis, o Teste da Primeira da Derivada é frequentemente mais fácil deaplicar. (STEWART, 2014, p. 267)

O ponto c = π2 , por exemplo, é um ponto de máximo local de f (x) = sin(x) pois

f ′(π

2

)

= cos(π

2

)

= 0 e f ′′(π

2

)

=−sin(π

2

)

=−1 < 0. (2-7)

Os pontos x = 0 e x = 3, por exemplo, são, respectivamente, ponto de inflexão

e ponto de mínimo da função f (x) = x4 − 4x3. Com efeito, note que f tem derivadas de

primeira e segunda ordem dadas por

f ′(x) = 4x3 −12x2 = 4x2(x−3) e f ′′(x) = 12x2 −24x = 12x(x−2). (2-8)

Resolvendo a equação f ′(x) = 0 para encontrar os pontos críticos de f , obtém-se

que x = 0 e x = 3 são os únicos pontos críticos desta função. Agora, note que f ′′(0) = 0 e

f ′′(3) = 36. Uma vez que f ′(3) = 0 e f ′′(3)> 0, pelo Teste da Segunda Derivada, o ponto

x = 3 é um ponto de mínimo local de f , com valor de mínimo correspondente dado por

f (3) = −27. Por outro lado, como f ′′(0) = 0, o Teste da Segunda Derivada não fornece

nenhuma informação sobre o ponto crítico x = 0. Mas, resolvendo a equação f ′′(x) = 0,

tem-se que x = 0 ou x = 2 e, considerando os intervalos I = (−∞,0) e J = (0,2), observa-

se que f ′′(x) > 0 para todo x ∈ I e f ′′(x) < 0 para todo x ∈ J. Consequentemente, em

x = 0, a concavidade da curva y = f (x) muda de côncava para cima para côncava para

baixo e, por isto, (0,0) é um ponto de inflexão da função f . Além disso, com argumentos

semelhantes, nota-se que, em x = 2, a concavidade da curva y = f (x) muda de côncava

para baixo para côncava para cima, implicando que (2,−16) também é um ponto de

inflexão desta função.

2.3 Polinômios de Taylor

Nesta seção será feita uma abordagem sobre aproximação de polinômios por

séries de Taylor. Ressalta-se aqui que o objetivo desta seção não é tratar sobre séries de

Taylor, mas sim, fazer uma breve introdução ao estudo dos Polinômios de Taylor. Para

um estudo mais profundo sobre séries de potências e polinômios de Taylor, sugere-se ao

leitor consultar Lima ([10], 2006), Stewart ([16], 2014) e suas referências bibliográficas.

Primeiramente, será definido o que se entende por Polinômio de Taylor. A definição que

será dada a seguir se baseia em Lima ([10], 2006, p. 102).


Definição 2.11 (Polinômio de Taylor) Sejam I ⊂ R um intervalo, f : I −→ R uma fun-

ção n vezes derivável em I e a ∈ I. O Polinômio de Taylor de grau n de f no ponto a é o

polinômio Pn : R−→ R dado por

Pn(x) = a0 +a1(x−a)+a2(x−a)2 + · · ·+an(x−a)n, (2-9)

tal que,

Pn(a) = f (a), P′n(a) = f ′(a), P′′

n (a) = f ′′(a), · · · , P(n)n (a) = f (n)(a). (2-10)

Assim,

Pn(x) =n

∑i=0

f (i)(a)

i!(x−a)i = f (a)+ f ′(a)(x−a)+

f ′′(a)2!

(x−a)2 + · · ·+ f (n)(a)

n!(x−a)n.

Fazendo h = x−a, o Polinômio de Taylor da definição acima pode ser reescrito

como

Pn(h) = f (a)+ f ′(a)h+f ′′(a)

2!h2 + · · ·+ f (n)(a)

n!hn. (2-11)

O resultado que será apresentado a seguir mostra, sob certas condições, que uma

função f pode ser aproximada por seu Polinômio de Taylor de cujo grau coincide com a

maior ordem de derivação da função f .

Teorema 2.12 (Fórmula de Taylor Infinitesimal) Sejam I ⊂R, f : I −→R uma função

n vezes derivável, a ∈ I e Pn : R−→ R o Polinômio de Taylor de grau n de f no ponto a.

Se f (x) = Pn(x)+R(x), então

limx−→a

R(x)

(x−a)n= 0, (2-12)

onde R(x) é o resto da Série de Taylor de f no ponto a.

A prova do Teorema acima segue por argumentos de análise e, para não prolongar

ou tirar o foco do trabalho, esta prova não será apresentada aqui. Para o leitor interessado

em conhecer esta demonstração, sugere-se consultar Lima ([10], 2006, p. 103). Como

consequência do resultado acima tem-se que

f (x) = limn−→∞

Pn(x). (2-13)

Segundo Lima (2006, p. 104) a Fórmula de Taylor Infinitesiamal é assim cha-

mada porque só afirma algo quando h −→ 0. Mais ainda, o polinômio de Taylor de ordem

n de f no ponto a é o único polinômio de grau menor ou igual que n que aproxima f em

uma vizinhança do ponto a, tal que, f (x) = Pn(x)+R(x) com (2-12) satisfeita.


Se f (x) = ex, por exemplo, então

ex =∞

∑n=0

xn

n!(2-14)

é a série de Taylor de f em torno do ponto a = 0. Consequentemente,

Pn(x) = 1+ x+x2

2+ · · ·+ xn

n!(2-15)

é o Polinômio de Taylor de grau n de ex no ponto a = 0 e, com isto, ex ≈ Pn(x).

[...] qualquer função, desde que tenha derivadas de todas as ordens, pode sertratada localmente, isto é, na vizinhança de um ponto, como um polinômiodo grau n. Se a equação da função não é conhecida, as derivadas de todas asordens podem ser aproximadas, usando-se diferenças finitas e aplicando paraum intervalo a fórmula de Taylor. (SVIERCOSKI, 1999, p. 139)

Para os problemas que serão abordados neste trabalho, na citação acima,

entende-se por diferença finita uma aproximação para as derivadas de f dadas pelo quo-

ciente

d jxym =

∆ jy

∆x j=

d j−1ym −d j−1ym−1

xm − xm−1, 1 ≤ j ≤ n, j+1 ≤ m ≤ n, (2-16)

onde x1,x2,y1,y2 são dados do problema com y1 = f (x1) e y2 = f (x2). Com isto,

f (x)≈ f (a)+dxy(x−a)+d2

x y

2!(x−a)2 + · · ·+ dn

x y

n!(x−a)n.

Para justificar a equação acima, será adaptado a seguir uma situação para

aproximação de uma função por seu Polinômio de Taylor sugerido por Sviercoski ([18],

1999, p. 134). A tabela a seguir mostra a concentração de alumínio (Aℓ) y = f (x) em uma

espécie de arroz em função do acúmulo x de fósforo (P) no solo em mg/kg.

Tabela 2.1: Concentração de Aℓ por acúmulo de Fósforo (P)

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

xn 10 20 30 40 50 60 70 80 90

yn 8,9521 4,6891 1,7261 0,0631 -0,299 0,6371 2,8741 6,4111 11,248

dxyn -0,4263 -0,2963 -0,1663 -0,0363 0,0937 0,2237 0,3537 0,4837

d2x yn 0,013 0,013 0,013 0,013 0,013 0,013 0,013

Fonte: Tabela criada por Machado, J. C. em 04/07/2019. Dados Adaptados de Sviercoski (1999, p. 134)

Os dados da quarta e da quinta linhas da tabela acima são, respectivamente, as


aproximações da primeira e da segunda derivada de f calculadas pelas igualdades

dxyn =yn − yn−1

xn − xn−1(n ≥ 2) e d2

x yn =dxyn −dxyn−1

xn − xn−1(n ≥ 3). (2-17)

Considerando que a segunda variação é constante, pode-se aproximar f por uma

função quadrática da forma p(x) = ax2 + bx+ c, onde a =d2

x y

2 . Assim, escolhendo uma

linha qualquer na tabela acima (linha 4), obtem-se que f (x) = 0,0065x2 + bx+ c. Resta

encontrar os valores de b e c. Para isto, escolhendo a linha 1, tem-se que,

f (10) = 0,0065(10)2 +10b+ c = 0,65+10b+ c, (2-18)

f (40) = 0,0065(40)2 +40b+ c = 10,4+50b+ c. (2-19)

Como f (10) = 8,9521 e f (40) = 0,0631, tem-se que,

10b+ c = 8,3021 e 40b+ c =−103369. (2-20)

Resolvendo o sistema linear formado por estas duas equações, encontra-se as

soluções b =−0,6213 e c = 14,5151. Assim, f (x) = 0,0065x2 −0,6213x+14,5151 é a

função polinomial que descreve a concentração de alumínio em função da concentração

de fósforo no solo em mg/kg.

A técnica que foi apresentada anteriormente será essencial para resolver alguns

problemas de otimização de produção de certo tipo de grão. No capítulo a seguir serão

apresentados alguns problemas de produção agrícola e otimização de áreas que podem ser

resolvidos por meio dos conceitos de derivadas que aqui foram tratados.

CAPÍTULO 3APLICAÇÕES DO CÁLCULO: PROBLEMAS

DE PRODUÇÃO AGRÍCOLA E

OTIMIZAÇÃO DE ÁREAS

Neste Capítulo, serão apresentados alguns problemas de otimização que podem

ser modelados e resolvidos por meio dos fundamentos do Cálculo Diferencial e Integral.

Segundo Arenales et al (2007, p. 4), "[...] o modelo matemático é uma represen-

tação simplificada do problema real. Ele deve ser suficientemente detalhado para captar

os elementos essenciais do problema [...]".

Mais precisamente, por meio de técnicas de maximização e minimização de

funções e aproximação de funções por polinômios de Taylor, objetiva-se, neste capítulo,

encontrar soluções ótimas de problemas relacionados a pesquisa em produção agrícola e

a preparação de áreas de criação de animais e plantio.

3.1 Problemas de Otimização da Área

Um dos problemas clássicos que surgem como aplicação das derivadas é o de

maximizar a área de uma região retangular, sendo conhecida alguma informação sobre

um de seus lados. O problema apresentado a seguir é uma adaptação de um problema

sugerido por Stewart ([16], 2014).

Problema 1: Pesquisadores e especialistas criadores de bovinos consideram que o

sistema de pastejo rotacionado é um bom procedimento para minimização de custo na

forragem de pastos, ou seja, é uma alternativa considerável e racional para aproveita-

mento de regiões de pastagens. O sistema de pastejo rotacionado consiste na divisão do

pasto em dois ou mais piquetes com objetivo de alternar a utilização de regiões menores

do pasto, isto é, enquanto uma parte do pasto é utilizada para criação dos bovinos, a

outra parte passa por um período de descanso para reestabelecimento da forragem,

proporcionando, assim, um melhor aproveitamento do pasto ou da região de criação

3.1 Problemas de Otimização da Área 43

dos animais. Pensando nisto, um criador de gado tem em sua propriedade uma região

retangular que utiliza para criação de seus animais. Ele dispõe de 1200 m de cerca e

deseja limitar uma região retangular para criação de um novo piquete aproveitando um

dos lados de um piquete já existente para limitar a região nova a ser cercada. Quais as

dimensões do novo piquete para que a região cercada tenha a maior área possível?

Solução: Para solução deste problema, primeiramente, serão encontrados pontos críticos

de uma função a ser definida e, em seguida, utiliza-se o Teste da Segunda Derivada para

classificar tal ponto crítico. Sejam x e y as dimensões da região retangular a ser cercada

e A(x,y) = xy a função área desta região. A ideia central para este tipo de problema é a

busca por soluções globais do seguinte problema de otimização:

{

max A(x,y),

sujeito a condição 2x+ y = 1200.(3-1)

Sabendo que 2x+ y = 1200, tem-se y = 1200− 2x. Assim, o problema de duas

variáveis (3-1) é transformado em um problema de uma variável, cuja área é dada pelo

polinômio do segundo grau

A(x) = x(1200−2x) = 1200x−2x2, 0 ≤ x ≤ 600. (3-2)

Calculando as derivadas de primeira e de segunda ordem da função A, tem-se,

respectivamente,

A′(x) = 1200−4x e A′′(x) =−4. (3-3)

Resolvendo a equação A′(x) = 0 para obtenção dos pontos críticos de A, segue

1200−4x = 0 e, consequentemente, x = 300. Substituindo este valor em y = 1200−2x,

encontra-se y = 600.

Agora, basta verificar que o valor de x encontrado é, de fato, ponto de máximo

global de A. Para isso, é suficiente notar que A′′(300) = −4 < 0. Assim, pelo Teste da

Segunda Derivada, x = 300 é o ponto de máximo global de A.

Portanto, as medidas da região cuja área é a maior possível são 300 m e 600 m

com área respectiva de 180.000 m2.

O problema que será apresentado a seguir modela uma situação de minimização

do custo de cerca para limitação de piquetes para criação de animais. Problemas desta

forma surgem com frequência em regiões onde há o sistema de pastejo rotacionado.

3.1 Problemas de Otimização da Área 44

Problema 2: Um fazendeiro deseja cercar dois pastos retangulares, de dimensões x e

y, com um lado comum cuja dimensão é x. Quais as dimensões dos pastos para que o

comprimento de cerca utilizado para limitar as regiões seja mínimo, sabendo que cada

pasto deve ter área igual a 400 m2.

Solução: Sabendo que os pastos a serem cercados tem, necessariamente, dimensões x e y,

que a área de cada pasto é A = 400 e que o lado comum tem dimensão x, tem-se, portanto,

que a área de cada pasto satisfaz a igualdade xy = A = 400. Agora, seja P(x,y) a função

"soma dos perímetros das duas regiões retangulares". Assim, P(x,y) = 3x+ 4y. Logo, a

ideia central para obtenção da solução é a busca por mínimos globais do problema:

{

min P(x,y),

sujeito a condição xy = 400.(3-4)

Como, y =400

x, substituindo este valor em P(x,y), tem-se,

P(x) = P

(

x,400

x

)

= 3x+4

(

400x

)

= 3x+1600

x, x > 0. (3-5)

Calculando as derivadas de primeira e segunda ordem da função P tem-se,

respectivamente, que

P′(x) = 3− 1.600x2 e P′′(x) =

3200x3 . (3-6)

Agora, resolvendo a equação P′(x) = 0 para encontrar os pontos críticos da

função P, segue que,

3− 1.600x2 = 0 (3-7)

e, com isto,

x1 =40

√3

3e x2 =−40

√3

3(3-8)

são os dois únicos pontos críticos da função P. Considera-se, neste caso, apenas o valor

positivo, pois as soluções do problema são os comprimentos dos lados dos retângulos.

Assim, basta verificar que o ponto x = x1 é ponto de mínimo da função P. Utilizando a

derivada segunda de P dada em (3-6), segue que,

P′′(x) = P′′(

40√

33

)

=3200

(40√

33 )3

=3200

192000√

327

=86400

192000√

3=

864√

35760

. (3-9)

3.2 Problemas de Maximização da Produção Agrícola 45

Consequentemente, P′′(x)> 0. Pelo Teste da Segunda Derivada x =40

√3

3é o

ponto de mínimo da função P(x). Assim,

y =400

x=

40040

√3

3

= 400( 3

40√

3

)

=30

√3

3= 10

√3. (3-10)

Portanto, as dimensões de cada pasto que minimizam o comprimento de cerca

são os pontos x =40

√3

3m e y = 10

√3 m.

3.2 Problemas de Maximização da Produção Agrícola

Nesta seção, serão resolvidos três problemas que surgem da necessidade de

maximizar a produção de certo tipo de plantio. Mais precisamente, por meio do conceito

de derivada e dos testes de classificação de pontos críticos, serão modelados e resolvidos

aqui, um problema para maximização da produção de laranjas tendo como informação à

priori a produção média por árvore plantada, um problema de maximização da produção

de milho conhecidas informações de produtividade relacionadas com a idade da planta

e um problema de produção de cana-de-açucar conhecida a produção da planta dada a

adição de nitrogênio no solo. Os problemas serão apresentados a seguir:

Problema 3: Um agricultor do Estado de Goiás, especialista em produção de laranjas,

deseja aumentar a produção para obtenção de um lucro maior na venda do fruto. Obser-

vando os fatores climáticos e de qualidade do solo, que são características da região e

influenciam na produtividade da planta, ele estima que, se 60 árvores de laranja forem

plantadas, a produtividade média por árvore será de 400 laranjas. Mas, a produtividade

média decrescerá de 4 laranjas por árvore para cada árvore adicional plantada na

mesma área. Quantas árvores o agricultor deve adicionar a plantação para maximizar

sua produtividade total?

Solução: Observe que este se trata de um problema de maximização. Por isto, a estratégia

a se aplicar, neste caso, é encontrar a função que modela a situação descrita acima e

encontrar o ponto de máximo desta função. Para isto, seja x a quantidade de laranjeiras

a serem adicionadas a plantação para otimizar a produção total. Como, para cada árvore

adicionada, a produção por árvore decai em 4 laranjas, a função f (x) que modela este

problema é dada por

f (x) = (60+ x)(400−4x) =−4x2 +160x+24000, 0 ≤ x ≤ 100. (3-11)


Para este problema, busca-se, primeiro, por pontos críticos da função f . Calcu-

lando a primeira e a segunda derivada de f , com objetivo de obter e classificar os pontos

críticos, tem-se

f ′(x) =−8x+160 e f ′′(x) =−8 (3-12)

Para encontrar os pontos críticos da função f (x) deve-se resolver a equação

diferencial f ′(x) = 0. Assim, −8x+ 160 = 0 e, consequentemente, x = 20. Agora, basta

mostrar que este ponto é realmente o valor de x que maximiza a função f (x). Para isto,

veja que f ′′(20) =−8. Como f ′′(20)< 0, pelo Teste da Segunda Derivada, x = 20 é um

ponto de máximo para a função f (x). Assim, o agricultor deve adicionar mais 20 árvores

a plantação para maximizar a produção, totalizando 80 árvores. Note que, neste caso, a

produtividade total do agricultor será:

f (20) =−4(20)2 +160(20)+24000 =−1600+3200+24000 = 25600. (3-13)

O modelo que será apresentado a seguir se trata de um problema de maximização

da produção de grão de milho em termos da idade da planta. Mais precisamente, neste

problema, deseja-se saber qual é a idade da planta em que a produção é a maior possível,

conhecendo a produtividade da planta em intervalos de tempo análogos.

Problema 4: Um agricultor do sudoeste goiano, especialista em plantio de grãos,

arrendou uma propriedade com a finalidade de plantar milho. No ano de 2019, o produtor

iniciou o plantio de uma variedade A de milho almejando obter uma produtividade

máxima. Nesse contexto, para obter um melhor acompanhamento da produção e garantir

um bom rendimento é necessário avaliar a produção em função da idade da planta, visto

que no período reprodutivo diversos fatores como clima, solo, tecnologias e fotoperíodo

podem inferir na produção. Para isto, foram coletados dados da produção y da variedade

A de milho, em quilogramas por hectare (kg/ha), em função da idade t da planta, dada

em dias. Os dados apresentados a seguir são adaptados de Sviercoski ([18], 1999, p. 49)

e representam a produção de milho da variedade A em função da idade da planta,

Tabela 3.1: Produção y = f (t) em função da idade t da planta.

t 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

y 52 3352 7952 13352 19052 24552 29352 32952 33142 32842 29842

Fonte: Tabela criada por Machado, J. C. em 30/05/2019

Qual é a idade t (em dias) da planta, 20≤ t ≤ 120, em que deverá ser realizada a colheita

para que a produção seja máxima e qual o valor dessa produção?


Solução: Para resolver o problema, primeiramente, serão encontradas as variações (ou

diferenças finitas) de y até o ponto em que obtém-se uma variação constante, com objetivo

de encontrar o grau do polinômio de Taylor que aproxima a função f . Na tabela a seguir

são mostradas as variações de primeira, segunda e terceira ordem da função f obtidas por

meio do método das diferenças finitas já apresentado na seção 2.3 no Capítulo 2.

Tabela 3.2: Variação da Produção y = f (t) em função da idade t

da planta.

n tn yn dtyn d2t yn d3

t yn

1 20 52

2 30 3352 330

3 40 7952 460 13

4 50 13352 540 8 -0,5

5 60 19052 570 3 -0,5

6 70 24552 550 -2 -0,5

7 80 29352 480 -7 -0,5

8 90 32952 360 -12 -0,5

9 100 34852 190 -17 -0,5

10 110 34552 -30 -22 -0,5

11 120 31552 -300 -27 -0,5


Na tabela acima tem-se que: n é a ordem dos dados, tn é a idade da planta em

dias, yn = f (tn) é a produção de milho em quilogramas por hectare, dtyn, d2t yn e d3

t yn

denotam as variações de primeira, segunda e terceira ordem dos dados, respectivamente.

A seguir será mostrado como calcular as variações de acordo com os dados da tabela

3.1. Utilizaremos como exemplo os dados das colunas 4 e 5 para o cálculo da primeira,

segunda e terceira variação da função f e as variações das demais colunas são calculadas

de maneira análoga. Note que, a variação de primeira ordem da linha 4 da tabela 3.2 é

dada por

dty4 =y4 − y3

t4 − t3=

13352−795250−40

= 540. (3-14)

Já a variação de segunda ordem da linha 4 da tabela 3.2 é dada por

d2t y4 =

dty4 −dty3

t4 − t3=

540−46050−40

= 8. (3-15)


Também, a variação de terceira ordem da linha 4 da tabela 3.2 é dada por

d3t y4 =

d2t y4 −d2

t y3

t4 − t3=

8−1350−40

=−0,5. (3-16)

Mais geralmente, d3t y j =−0,5, para todo 40 ≤ t ≤ 120, isto é, a terceira variação

é uma constante não-nula e igual a −0,5. Assim, a função f que modela o problema é

definida por um Polinômio de Taylor de grau 3 da forma f (t) = at3 + bt2 + ct + d, com

a,b,c,d ∈ R.

Segundo Sviercoski (1999, p. 47) "[...] Os dados de uma tabela constituem uma

função cúbica se os valores da terceira variação d3t y forem uma constante não-nula. Neste

caso, a =d3

t y

6".

Assim, a função que modela a produção de milho em função da idade da planta

é dada por

f (t) =−0,56

t3 +bt2 + ct +d, b,c,d ∈ R. (3-17)

Para encontrar os valores dos parâmetros b, c e d, basta escolher três pontos

na tabela 3.1 e resolver um sistema linear de três equações por três incógnitas. Assim,

tomando os pontos das colunas 1, 2 e 3, tem-se

f (20) = 52, f (30) = 3352, f (40) = 7952. (3-18)

Consequentemente, basta resolver o sistema linear formado por estas equações,

ou seja,

f (20) =−0,56 ·203 +b ·202 + c ·20+d = 52

f (30) =−0,56 ·303 +b ·302 + c ·30+d = 3352,

f (40) =−0,56 ·403 +b ·402 + c ·40+d = 7952

(3-19)

isto é,

400b+20c+d = 52+ 20003

900b+30c+d = 3352+2250.

1600b+40c+d = 7952+ 160003

(3-20)

Assim,

400b+20c+d = 21563

900b+30c+d = 5602,

1600b+40c+d = 398563

(3-21)


e, consequentemente,

1200b+60c+3d = 2156

900b+30c+d = 5602.

4800b+120c+3d = 39856

(3-22)

Com isto, escalonando o sistema linear acima, obtém-se o seguinte sistema na

forma escalonada

1200b+60c+3d = 2156

−15c− 54d = 3985.

d =−648

(3-23)

Como d =−648, utilizando a segunda equação do sistema acima tem-se

−15c = 3985+54

d = 3985− 54·648 = 3175 (3-24)

e, disto, c =−6353

. E, utilizando a primeira equação do sistema acima, segue que

1200b = 2156−60c−3d = 2156−60(

− 6353

)

−3(−648) = 16800, (3-25)

donde b = 14. Assim, b = 14, c =−6353 e d =−648 é a única solução do sistema (3-19).

Consequentemente, por (3-17), a função que modela a produção de milho em função da

idade da planta é dada por

f (t) =−0,56

t3 +14t2 − 6353

t −648 =− 112

t3 +14t2 − 6353

t −648, t ∈ R. (3-26)

Agora, para encontrar a idade da planta em que a produção é a maior possível,

basta mostrar que a função f definida acima tem um máximo global. Assim, calculando

as derivadas de primeira e segunda ordem de f , obtém-se que

f ′(t) =−14

t2 +28t − 6353

e f ′′(t) =−12

t +28. (3-27)

Resolvendo a equação f ′(t) = 0 para encontrar os pontos críticos de f , tem-se

−14

t2 +28t − 6353

= 0, (3-28)

ou, equivalentemente, após simples cálculos, −3t2 +336t −2540 = 0.

Sendo α =−3, β = 336, γ =−2540 e utilizando a Fórmula de Bháskara, segue


que,

t =−β±

√

β2 −4αγ

2α=

−28±√

3362 −4(−3)(−2540)2(−3)

, (3-29)

donde t1 ∼= 8,17 e t2 ∼= 103,83. Observe que t = 8,17 não pertence ao intervalo aberto

(20,120) e, portanto, não tem efeito para o problema que está sendo resolvido. O valor de

t2 será aproximado para o inteiro mais próximo, isto é, t2 = 104. Assim, t = 104 é o único

ponto crítico de f no intervalo (20,120). Logo, resta verificar se este valor é um ponto de

máximo para a função f . Para isto, basta observar o sinal de f ′′(104). Assim, substituindo

t = 104 em f ′′(t), vem que

f ′′(104) =−12(104)+28 =−24. (3-30)

Note que f ′′(104)< 0. Pelo Teste da Segunda Derivada, a função f (t) tem valor

máximo local no ponto t = 104. Consequentemente, a produção de grão de milho será

maior possível no 104o dia, sendo a produção neste dia dada por

f (104) =− 112

(104)3 +14(104)2 − 6353

104−648 ∼= 35024. (3-31)

Portanto, a colheita deve ser realizada quando a planta tiver a idade de 104 dias

para que a produção seja máxima. A colheita no 104o dia deverá render 35024 kg de

milho por hectare.

O problema que será apresentado a seguir modela a reação da produção de

colmos de cana-de-açúcar em quilogramas por hectare (kg/ha) mediante a adição de

nitrogênio (kg/ha).

Problema 5: Um produtor de Cana-de-Açúcar do interior de Goiás observa o compor-

tamento da produção y de colmos da planta em função da adição de nitrogênio x em

certo intervalo de tempo. Os dados coletados pelo produtor são apresentados na tabela

a seguir:

Tabela 3.3: Produção y = f (t) de colmos de cana-de-açucar em

função da quantidade t de nitrogênio adicionada.

t 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

y 380,43 397,5 412,01 423,96 433,35 440,18 444,45 446,16 445,31 441,9

Fonte: Tabela criada por Machado, J. C. em 12/08/2019 e dados adaptados de Sviercoski (1999, p. 48).

Determine a dose de nitrogênio a ser adicionada para maximizar a produção de colmos


de Cana-de-Açúcar.

Solução: Como no Problema 4, para resolver este problema, primeiramente, deve-se

encontrar as variações de y, por meio do método das diferenças finitas, até que obtenha-

se uma variação constante, com objetivo de encontrar o grau do Polinômio de Taylor

que melhor aproxima a função f que modela o problema. Na tabela a seguir serão

apresentadas as variações da produção y em função da adição da quantidade x de

nitrogênio. Os dados a seguir são adaptados de Sviercoski ([18], 1999, p. 49). Como

no problema anterior, serão indicadas por dxyn, d2x yn e d3

x yn a primeira, segunda e terceira

variação dos dados calculadas, em cada coluna n, por

d jxyn =

dj−1x yn −d

j−1x yn−1

xn − xn−1, j = 1 ou j = 2. (3-32)

Tabela 3.4: Variação da produção em kg/ha em função da adição

de Nitrogênio em kg/ha

n xn yn = f (xn) dxyn d2x yn

1 10 380,43

2 20 397,5 1,707

3 30 412,01 1,451 -0,0256

4 40 423,96 1,195 -0,0256

5 50 433,35 0,939 -0,0256

6 60 440,18 0,683 -0,0256

7 70 444,45 0,427 -0,0256

8 80 446,16 0,171 -0,0256

9 90 445,31 -0,085 -0,0256

10 100 441,9 -0,341 -0,0256


Para a linha 5, por exemplo, tem-se que,

dxy5 =y5 − y4

x5 − x4=

433,35−423,9650−40

= 0,939 (3-33)

d2x y5 =

dxy5 −dxy4

x5 − x4=

0,939−0,19550−40

=−0,0256. (3-34)

Mais geralmente, d2x y j é uma constante não nula igual a −0,0256, para todo

x ∈ [30,100]. Assim, a função que modela o problema é um polinômio quadrático da

forma f (x) = ax2 +bx+ c, para a,b,c ∈ R e a 6= 0.


Segundo Sviercoski (1999, p. 44) "[...] Os dados de uma tabela, constituem uma

função quadrática se os valores da segunda variação, d2x y, forem uma constante não nula.

Neste caso, a =d2

x y

2".

Assim, a função que modela a produção de colmos de cana-de-açúcar em função

da adição de nitrogênio é dada por

f (x) =−0,02562

x2 +bx+ c =−0,0128x2 +bx+ c, x ∈ [10,100]. (3-35)

Para encontrar os valores de b e c, escolha 2 linhas quaisquer da tabela 3.4.

Assim, tomando os pontos das linhas 4 e 5,

para xn = 40, tem-se yn = f (40) = 423,96 (3-36)

para xn = 50, tem-se yn = f (50) = 433,35. (3-37)

Assim, basta resolver o sistema linear formado por estas duas equações, ou seja,

{

423,96 = f (40) =−0,0128(40)2 +40b+ c

433,35 = f (30) =−0,0128(50)2 +50b+ c.(3-38)

Com isto,

{

40b+ c = 444,44

50b+ c = 465,35.(3-39)

Resolvendo o sistema anterior por escalonamento, encontramos que b = 2,091 e

c = 360,8. Logo, a função modeladora do problema é dada por

f (x) =−0,0128x2 +2,091x+360,8. (3-40)

Para encontrar a produção máxima de colmos de cana-de-açúcar em função da

adição de nitrogênio basta mostrar que f adimite máximo global. Calculando a primeira

e a segunda derivada de f , tem-se que,

f ′(x) =−0,0256x+2,091 e f ′′(x) =−0,0256. (3-41)

Resolvendo a equação f ′(x) = 0 para obter os pontos críticos de f , obtém-se que,

−0,0256x+2,091 = 0, (3-42)

donde x ∼= 81,68 é o único ponto crítico de f em [10,100]. Resta mostrar que x é ponto de

máximo de f neste intervalo. Para isto, basta analisar o sinal de f ′′(81,68). Observe que

3.3 Problema de Otimização da Receita 53

f ′′(x) =−0,0256 < 0, para todo x ∈ [10,100]. Com isto, pelo Teste da Segunda Derivada,

f (x) possui valor de máximo local em x = 81,68 em (10,100). Assim, a produção será

máxima dada adição de 81,68kg/ha de nitrogênio e, para esta quantidade de nitrogênio,

a produção máxima será dada por f (81,68)∼= 446,196 kg/ha.

3.3 Problema de Otimização da Receita

Uma das mais importantes aplicações do conceito de derivada em agronegócios

são os problemas de maximização de lucro ou minimização de custo para venda ou

produção de certo produto. Nesta seção, será apresentado um problema de maximização

de receita na venda de sacas de certo plantio. O problema a seguir é uma adaptação de

um resultado proposto por Hoffmann e Bradley ([8], 1999).

Problema 6: Produtores da região centro-oeste do Brasil, especialistas em produção de

batatas, estimam que no primeiro dia do mês de julho a saca da batata pode ser vendida

à R$ 2,00. Após esta data, o preço de venda por saca de batata cai a uma taxa de 2

centavos por dia. Sabendo disto, no primeiro dia do mês de julho, um fazendeiro tem

80 sacas de batatas no campo e estima que a plantação está aumentando à taxa de 1

saca por dia. Quando o fazendeiro deve realizar a colheita da produção de batatas para

maximizar sua receita?

Solução: Com objetivo de simplificar os cálculos, denote por x o dia em que o fazendeiro

deve colher sua produção para otimizar sua receita e y a quantidade de sacas colhidas da

plantação no dia x. Assim, a função receita que modela o problema proposto acima, no

dia x, é dada por

f (x,y) = 2(80)+ x−0,02xy. (3-43)

Como a taxa de aumento da plantação é de uma saca por dia, tem-se x = y e,

consequentemente,

f (x) = 160+ x−0,02x2 =− 150

x2 + x+160. (3-44)

Derivando a função f (x) até a segunda ordem para obtenção e classificação dos

pontos críticos, obtém-se que

f ′(x) =− 125

x+1 e f ′′(x) =− 125

. (3-45)

3.4 Problema de Otimização do Trajeto para Irrigação 54

Resolvendo a equação f ′(x) = 0 para obtenção dos pontos críticos, tem-se que

− 125

x+1 = 0, (3-46)

donde x = 25. Assim, x = 25 é um candidato a solução do problema. Para mostrar que

este valor é, de fato, uma solução do problema em questão, basta mostrar que x = 25 é o

ponto que maximiza a função f (x). Para isto, note que

f ′′(25) =− 125

< 0. (3-47)

Logo, pelo Teste da Segunda Derivada, x = 25 é ponto de máximo da função f .

Portanto, o fazendeiro deve colher sua produção de batatas no dia 26 de julho, ou seja, 25

dias após o primeiro dia de julho, para obter a receita máxima na venda das sacas.

3.4 Problema de Otimização do Trajeto para Irrigação

Nesta seção, será apresentado um problema de minimização de trajeto para

irrigação de plantio. Mais precisamente, propõe-se, neste problema, minimizar o trajeto

casa-rio-horta dadas certas informações sobre a posição do rio em relação a casa e a horta

de certo agricultor. Este problema pode também ser adaptado para construção de um

canal de irrigação de comprimento e custo mínimo para o agricultor. O problema a ser

modelado está enunciado a seguir.

Problema 7: Um agricultor está em sua casa C situada a 2 metros da margem retilínea

de um rio. Ele quer encher o seu regador de água em um ponto M na margem deste rio e,

depois, se dirigir para sua horta H, situada a 4 metros da margem do mesmo rio (veja a

figura 3.1). A distância entre os pés A e B das perpendiculares traçadas de C e H sobre a

margem do rio é igual a 10 metros. Qual deve ser a posição do ponto de coleta de água

M, para que o trajeto casa-rio-horta seja o menor possível?

Solução: Observe que este se trata de um problema de minimização de distâncias. Seja

dCM a distância do ponto C ao ponto M e dMH a distância do ponto M ao ponto H.

Assim, como deseja-se minimizar o caminho CM+MH, o objetivo do problema se reduz

a resolver o seguinte problema de minimização

min f (x) = dCM +dMH . (3-48)

A figura 3.1 dada a seguir descreve o trajeto a ser seguido pelo agricultor.

3.4 Problema de Otimização do Trajeto para Irrigação 55

Figura 3.1: Trajeto Casa-Rio-Horta

Fonte: Figura criada por Machado, J. C. em 04/10/2019.

Da equação (3-48), observando a figura 3.1 e utilizando o Teorema de Pitágoras

nos triângulos retângulos ∆MAC e ∆MBH , tem-se que a função que modela a situação

descrita no problema acima é dada por

f (x) =√

x2 +4+√

(10− x)2 +16, x > 0. (3-49)

onde x é a distância horizontal do ponto A ao ponto M. Observe que a função f é derivável

e tem derivadas de primeira e segunda ordem dadas, respectivamente, por

f ′(x) =x√

x2 +4− 10− x

√

(10− x)2 +16(3-50)

e

f ′′(x) =1√

x2 +4− x2

√

(x2 +4)3+

1√

(10− x)2 +16+

(10− x)2√

[(10− x)2 +16]3. (3-51)

Ao leitor interessado em verificar as igualdades acima, basta aplicar a Regra da

Cadeia em (3-49) para obtenção de (3-50) e aplicar uma combinação da Regra da Cadeia

com a Regra do Quociente em (3-50) para obtenção de (3-51). Resolvendo a equação

f ′(x) = 0 para encontrar os pontos críticos de f , obtém-se que

x√x2 +4

− 10− x√

(10− x)2 +16= 0, (3-52)

donde,

x√x2 +4

=10− x

√

(10− x)2 +16. (3-53)

3.5 Problema de Minimização do Custo para Adubação 56

Elevando ambos os lados da equação acima ao quadrado, segue que

x2

x2 +4=

(10− x)2

(10− x)2 +16, (3-54)

e, disto, resulta a igualdade

x2(10− x)2 +16x2 = (10− x)2x2 +4(10− x)2. (3-55)

Assim, segue que 12x2 + 80x − 400 = 0. Dividindo esta equação por 4 para

simplificação, obtém-se a seguinte equação equivalente 3x2 + 20x− 100 = 0. Aplicando

a fórmula de Bháskara,

x =−b±

√b2 −4ac

2a=

−20±√

202 −4 ·3 · (−100)2 ·3 =

−20±√

16006

=−20±40

6.

Consequentemente, encontra-se duas raízes dadas por x1 = 103 e x2 = −10.

Como este se trata de um problema de obtenção de medida, neste caso uma distância,

desconsidera-se o valor negativo e, assim, x = 103 é um candidato a solução do problema

(3-48). Resta verificar que este ponto é, de fato, um ponto de mínimo da função f . Para

isto, basta mostrar que f ′′(103 ) > 0. Com efeito, substituindo x = 10

3 em f ′′(x) dada em

(3-51), tem-se,

f ′′(10

3

)

=1

√

1369

−(100

9 )√

(1369 )3

+1

√

5449

+(400

9 )√

(5449 )3

∼= 0,292. (3-56)

Como f ′′(

103

)

> 0, pelo Teste da Segunda Derivada, o ponto x = 103 é ponto de

mínimo da função f e, consequentemente, uma solução do problema (3-51). Portanto, a

posição do ponto M que minimiza o caminho casa-rio-horta tem que ser aproximadamente

a 3,33 metros do ponto A e o caminho mínimo a ser percorrido no trajeto, neste caso, é

aproximadamente igual a f (3,33)∼= 11,66 m.

3.5 Problema de Minimização do Custo para Adubação

Nesta seção, será apresentado um problema de minimização do custo para adu-

bação de certa região conhecendo as necessidades mínimas de adubo orgânico e adubo

químico requeridas para adubação do solo desta região. Para solução deste problema

será utilizado um argumento de programação linear denominado Método Simplex, cuja

técnica fundamental se baseia no Teorema dos Multiplicadores de Lagrange. Para não

prolongar o assunto ou fugir do foco do trabalho, optou-se por não apresentar aqui os


fundamentos teóricos da programação linear e do Método Simplex, mas somente utili-

zar os conceitos e resultados já conhecidos do Cálculo Diferencial e Integral. Por isto,

para o leitor interessado em conhecer e aprofundar estudos sobre as técnicas que foram

utilizadas aqui, sugere-se consultar Arenales ([1], 2007), Stewart ([16], 2014) e suas

referências. O problema apresentado a seguir é uma adaptação proposta por Sviercoski

([18], 1999) cujos dados foram coletados de France e Thornley ([6], 1984).

Problema 8: Um fazendeiro especialista em produção de grãos deseja adubar uma área

de 20 hectares para plantio de soja por meio de uma mistura de Adubo Orgânico e Adubo

Mineral. A tabela a seguir mostra as especificações dos adubos a serem utilizados pelo

fazendeiro e as quantidades mínimas necessárias da mistura para adubação da região,

seguindo critérios da Agência EMBRAPA de Informação Tecnológica.

Tabela 3.5: Quantidade de Compostos para Adubação do Solo

Composto Adubo Orgânico Adubo Mineral Nec. Mín. do Solo (kg/20ha)

Fósforo (kg/t) 1,5 100 500

Nitrogênio (kg/t) 6 250 1500

Potássio (kg/t) 4 100 700


Sabendo que o custo do adudo orgânico e do adubo mineral são de R$ 5,00 e R$ 130,00,

respectivamente, por tonelada, qual é a quantidade a ser utilizada de cada adubo para

que a adubação da região pretendida pelo fazendeiro tenha custo mínimo?

Solução: Primeiro, observe que este se trata de um problema de minimização com

restrições. Mais precisamente, neste problema, deseja-se saber qual é a quantidade de

cada adubo a ser comprada pelo fazendeiro conhecendo a quantidade mínima de cada

composto necessária para adubação da região. Sejam x e y as quantidades de adubo

orgânico e químico, respectivamente, a ser comprada pelo fazendeiro. Assim, a função

custo a ser minimizada é uma função de duas variáveis dada por

f (x,y) = 5x+130y, (3-57)

sujeita as necessidades mínimas do solo dadas na tabela 3.5. Mais precisamente, deseja-se


resolver o seguinte problema:

min f (x,y)

sujeito a

1,5x+100y ≥ 500,

6x+250y ≥ 1500,

4x+100y ≥ 700,

x,y ≥ 0.

(3-58)

Na figura 3.2, dada a seguir, estão representadas as regiões do plano que deter-

minam as restrições de fósforo e potássio dadas no problema (3-58).

Figura 3.2: Restrições de Fósforo e Nitrogênio


Já na figura 3.3, dada a seguir, estão representadas as regiões do plano que

determinam as restrições de nitrogênio e não-negatividade dadas no problema (3-58).

Figura 3.3: Restrições de Potássio e Não-negatividade


O gráfico a seguir representa geometricamente o conjunto viável, isto é, o

conjunto formado pela intersecção de todas as restrições dadas no problema (3-58).


Figura 3.4: Conjunto viável do problema (3-58)


Para Silva (2016, p. 24), ”[...] é preciso encontrar as coordenadas dos vértices da

região poligonal, que são obtidas transformando as inequações em equações e em seguida,

calculando-se a interseção entre as equações para obter os vértices de interesse”.

Note que a fronteira do conjunto viável é uma região poligonal cujo os vértices

V1, V2, V3 e V4 são dados pelas interseções das retas 1,5x+100y = 500, 6x+250y = 1500,

4x+ 100y = 700, x = 0 e y = 0. Observando a figura acima tem-se, imediatamente, que

V1 = (0; 7) e V4 = (333,3; 0). Para obtenção dos pontos V2 e V3, basta resolver os

sistemas:{

4x+100y = 700

6x+250y = 1500e

{

6x+250y = 1500

1,5x+100y = 500.(3-59)

Resolvendo o primeiro sistema obtém-se o vértice V2 = (62,5; 4,5). De fato,

isolando a variável y na primeira equação deste sistema, tem-se

y =700−4x

100=

175− x

25. (3-60)

Substituindo este valor na segunda equação do mesmo sistema, segue que,

1500 = 6x+250(175− x

25

)

= 6x+1750−10x = 1750−4x. (3-61)

Resolvendo a equação resultante acima obtém-se x = 62,5. Substituindo este

resultado na equação (3-60), encontra-se que

y =175−62,5

25=

112,525

= 4,5. (3-62)

Isto resolve o primeiro sistema para obtenção do vértice V2. Já pela resolução do

segundo sistema tem-se V3 = (111,1; 3,3). Com efeito, procedendo de forma análoga a


resolução do sistema anterior, tem-se que,

y =1500−6x

250=

750−3x

125(3-63)

e, consequentemente,

500 = 1,5x+100(750−3x

125

)

= 600−0,9x. (3-64)

Resolvendo a equação acima obtém-se x = 111,11. Substituindo este resultado

na equação (3-63), encontra-se que

y =750−3 ·111,11

125=

416,67125

= 3,33. (3-65)

Isto resolve o segundo sistema para obtenção do vértice V3.

Segundo Arenales et al (2007, p. 69) "na resolução gráfica de um problema

de otimização linear, podemos garantir que, para encontrar uma solução ótima, basta

procurar entre os vértices da região viável".

Com isto, como o conjunto viável do problema em questão não é vazio, tem-se

que o ponto de mínimo da função f (x,y) = 5x+ 130y é atingido em um dos vértices da

fronteira do conjunto viável. Além disso, note que o vetor gradiente de f é dado por

∇ f (x,y) = fx ·~i+ fy ·~j = 5 · (1,0)+130 · (0,1) = (5,130). (3-66)

Também, ∇ f (x,y) dá a direção e o sentido em que a função está crescendo.

Silva (2016, p. 25) afirma que o método do gráfico consiste em desenhar curvas

de níveis de f para alguns valores de f (x,y) e determinar o valor de f para o qual a

curva de nível intersecta o conjunto viável no vértice do polígono da fronteira. No caso

do problema trabalhado aqui, as curvas de nível são retas paralelas ao vetor ∇ f (x,y).

Agora, considere um deslocamento horizontal sobre o vetor ∇ f (x,y) a partir da

origem (isto é equivalente a traçar retas paralelas ao vetor gradiente que intersectam o

conjunto viável nos pontos da fronteira). O primeiro vértice pertencente à região viável

tocado por este deslocamento será o ponto de mínimo. Neste caso, V2 = (62,5; 4,5)

é ponto de mínimo da função f neste conjunto. Portanto, a combinação de adubo que

minimiza o custo é de 62,5t do adubo orgânico e 4,5t do adubo químico e, assim, o

custo mínimo f (62,5; 4,5) = 897,50 reais/20ha. A tabela 3.6 a seguir mostra o valor da

função f em cada um dos vértices. Nela pode-se ver que o ponto V2 gera o menor custo,

confirmando a análise do problema.


Tabela 3.6: Valor da Função f (x,y) nos Vértices da Região Viável

Vértice f (x,y) = 5x+130y

(0,7) 910,00

(62,5, 4,5) 897,50

(111,1, 3,3) 984,5

(333,3, 0) 1666,50

Fonte:Tabela criada por Machado, J. C. em 10/09/2019

CONCLUSÃO

Quando desenvolve-se um trabalho de conclusão de curso, deve-se buscar um

tema que inspire a estudar, a buscar conhecimento e que leve a obter resultados de valor

científico. Neste trabalho não foi diferente, pois, pode-se pesquisar e estudar mais sobre

um tema de grande relevância, que é o Cálculo Diferencial.

Durante o desenvolvimento e elaboração deste trabalho de curso, foi feita uma

revisão bibliográfica dos conceitos e propriedades dos limites e derivadas de funções reais

e, em seguida, foram propostos alguns problemas de otimização aplicados às diversas

áreas das conhecimento, com foco em aplicações no campo de pesquisa das Ciências

Agrárias.

Ao finalizarmos, notamos que as técnicas estudadas no Cálculo Diferencial são

ferramentas eficazes para solução de problemas que surgem em diversas áreas como, por

exemplo, nas Ciências Agrárias, a qual abordamos ao longo deste trabalho. Consequente-

mente, concluímos que a modelagem de problemas que envolvem conceitos de otimização

e a solução destes problemas por meio de aplicações do conceito de derivada podem ser

um fator importante e um diferencial para resolver, de modo rápido, situações que surgem

de modo rotineiro nos mais diversos campos de pesquisa e produção.

Enfim, este trabalho servirá como um material de estudos com algumas aplica-

ções de Cálculo Diferencial para auxiliar tanto os alunos da graduação em Matemática

quanto das Ciências Agrárias.

Por conseguinte, a pesquisa realizada ampliou os conhecimentos em relação ao

Cálculo Diferencial e contribuiu de maneira significativa para a formação acadêmica e

para o desenvolvimento do conhecimento.

Referências Bibliográficas

[1] ARENALES, M.; ARMENTANO, V. M. R. Y. H. Pesquisa Operacional. Editora

Campus, Rio de Janeiro, 2007.

[2] ÁVILA, G. Cálculo das funções de uma variável. v.1. Grupo Gen-Editora LTC, Rio

de Janeiro, 2003.

[3] ÁVILA, G.; DE ARAÚJO, L. C. L. Cálculo: ilustrado, prático e descomplicado.

Grupo Gen-Editora LTC, Rio de Janeiro, 2013.

[4] FLEMMING, D.; GONÇALVES, M. Cálculo A: Funções, limite, derivação, integra-

ção. Editora Pearson, São Paulo, 2006.

[5] FLEMMING D.; GONÇALVES, M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais

múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. Editora Pearson, São Paulo, 2006.

[6] FRANCE, J; THORNLEY, J. H. M. Mathematical models in agriculture. 1984.

[7] GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo Volume 1. Grupo Gen-Editora LTC, São

Paulo, 2012.

[8] HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: Um Curso Moderno E Suas Aplica-

ções. Grupo Gen-Editora LTC, Rio de Janeiro, 1999.

[9] KARAS, ELIZABETH W; RIBEIRO, A. A. Otimização Contínua. Cengage Learning,

Rio de Janeiro, 2014.

[10] LIMA, E. L. Análise Real Volume 1: funções de uma variável. IMPA, Rio de

Janeiro, 2006.

[11] LIMA, E. L. Curso de Análise V. 1. IMPA, Rio de Janeiro, 2006.

[12] NERI, C. Curso de Análise Real. UFRJ, Rio de Janeiro, 2006.

[13] PEREIRA, RENAN O.; FERREIRA, W. M. M. E. M. A equivalência entre o teorema

do ponto fixo de brouwer e o teorema do valor intermediário. 2018.

Referências Bibliográficas 64

[14] PINTO, MÁRCIA M. F.; ERCOLE, G. Introdução ao Cálculo Diferencial. Editora

UFMG, Belo Horizonte, 2009.

[15] SILVA, A. B. D. O Método Simplex e o Método Gráfico na Resolução de

Problemas de Otimização. Dissertação de Mestrado, UFG, Jataí-GO, 2016.

[16] STEWART, J. Cálculo Volume 1. Cengage Learning, São Paulo, 2014.

[17] STEWART, J. Cálculo Volume 2. Cengage Learning, São Paulo, 2014.

[18] SVIERCOSKI, R. S. Matemática aplicada às ciências agrárias: análise de dados

e modelos. Editora UFV, Viçosa-MG, 1999.

[19] XAVIER, C. M. Problemas de variação aplicados a agropecuária. Universidade

Federal de Goiás, Jataí-GO, 2017.

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