MÁXIMOS E MÍNIMOS Encontrar os valores máximos e mínimos

de funções de várias variáveis e saberonde eles ocorrem é uma aplicaçãoimportante de calculo diferencial e integralde várias variáveis. Por exemplo, qual é amaior temperatura de uma chapa de metalaquecida e onde ela está localizada?Onde uma dada superfície atinge seuponto mais alto sobre uma dada região noplano xy?

Uma importante aplicação do estudo dederivadas parciais, é a da otimização defunções. Otimizar uma função, significaencontrar seu desempenho máximo ou mínimo.

Como para as funções de uma variável, quandoas derivadas primeiras forem nulas, teremospontos extremos que podem ser máximos oumínimos.

MÁXIMOS E MÍNIMOS

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Assim, como para as funções de umavariável, os extremos (máximos emínimos) ocorrem numa(s) destassituações (pontos críticos):

Primeiras derivadas parciais nulas; Primeiras derivadas parciais não definidas

Máximo, mínimo ou ponto de sela?

A verificação se um ponto crítico é máximoou mínimo (ou não) envolve ou estudo dovalor da função e dos sinais das primeirasderivadas nas proximidades do pontocrítico ou dos sinais das segundasderivadas no ponto.

0x

0y

z

x

y

0x

0y

Se uma superfície possui um ponto de máximo ou mínimo relativo, então o plano que passa pelo ponto é paralelo ao xy e apresenta derivadas na direção x e na direção y nulas, ou seja:

0, e 0, 0000

yx

yfyx

xf

Máximo local (não existe um valor de f maior próximo)Mínimo local (não existe um valor de f menor próximo)Um máximo local é um pico da montanha e um mínimo local é um vale

Nas funções de duas variáveis, não temos pontosde inflexão, como em funções de uma variável.Podemos ter um ponto de sela, quando numadireção a função atinge um máximo num ponto eem outra direção, um mínimo no mesmo ponto.

O nome se dá pela semelhança com uma sela decavalo: máximo na direção das pernas do cavaleiro(transversal ao cavalo) e mínimo na direçãolongitudinal (dorso) do cavalo.

O teorema diz que, se o discriminante épositivo em um ponto (a,b), então asuperfície se curva da mesma maneiraem todas as direçoes: para baixo se fxx<0,dando origem a um máximo local, e paracima se fxx>0 dando origem a um mínimolocal. Por outro lado, se o discriminante énegativo em (a,b), então a superfície securva para cima em algumas direções epara baixo em outras direções, assimtemos um ponto de sela.

Quando temos um caso de uma função de duasvariáveis, podemos determinar as mesmascaracterísticas observando o sinal do primeiroelemento da matriz Hessiana e seu determinante.Se o determinante é negativo, o ponto em questãoé um ponto de sela; se o determinante é positivo,precisamos checar o sinal do primeiro elemento:sendo positivo, o ponto é de mínimo; casocontrário, é de máximo. Se o determinante for zero,não obtemos informação alguma sobre o ponto.

Não é difícil chegar a essa conclusão partindo daanálise dos autovetores, usando alguns conceitos deálgebra linear; para simplificar, podemos lembrarque, caso os autovetores tenham valores diferentes,a multiplicação de ambos para o cálculo dodeterminante resultará em valor negativo; docontrário, o determinante é positivo – nesse caso,ou ambos os termos são negativos (ponto demínimo) ou positivos (ponto de máximo), o que nosforça checar o sinal do primeiro elemento. Emboraisso seja obtido diretamente em uma matrizortogonal (onde o termo misto é nulo), não é difícilmostrar que é válido para outras.

O método dos multiplicadores deLagrange pode ser utilizado para auxiliar adeterminar máximos e mínimos defunções f de várias variáveis sobdeterminadas condições, o quecorresponde a analisar os pontos críticosde f com domínio restrito.

Multiplicadores de Lagrange

Multiplicador de Lagrange:O valor máximo M de uma função f(x, y), sobre umacurva g(x, y) = k, ocorre quando as curvas f(x, y) = M eg(x, y) = k se tangenciam. Portanto, para procurarmosos pontos críticos candidatos a ponto de máximodevemos resolver a equação f = λ g, uma vez que ovetor gradiente em um ponto é perpendicular a umacurva de nível passando por esse ponto. Assim, nesseponto, os vetores f e g devem ser paralelos.O parâmetro λ é denominado “multiplicador deLagrange”. O mesmo raciocínio se aplica para o estudodo valor mínimo de uma função f(x, y) sobre uma curvae g(x, y) = k.