Demonstrações

• Lógica Formal (1.1 a 1.4)

‣ Lógica Proposicional

‣ Lógica de Predicados

• Técnicas básicas de demonstração (2.1)

• Demonstrações por Indução Matemática (2.2)

‣ Primeiro Princípio de Indução

‣ Segundo Princípio de Indução

Lógica Formal

• Proposições e Tautologias

• Lógica Proposicional

• Quantificadores e Predicados

• Lógica de Predicados

Lógica é a “ciência do raciocínio”.

Aristóteles(384 a.C.–322 a.C.)

Leibniz(1646–1716)

George Boole(1815–1864)

Augustus De Morgan(1806–1871)

Objetivos

• Proporcionar universalidade na representação do “raciocínio”.

‣ Evitar ambigüidades

• Garantir consistência

A Lógica formal ignora o conteúdo de um argumento e se preocupa com a

validade da argumentação.

A Lógica formal fornece as estruturas básicas para descrever o método de pensar organizado e cuidadoso que

caracteriza qualquer atividade racional.

Conceitos Primitivos

• Sentença

• Valores Lógicos

‣ Falso (F ou 0)

‣ Verdadeiro (V ou 1)

Proposições

• Uma proposição é uma sentença que é falsa ou verdadeira.

• Em lógica, utilizamos proposições para representar afirmações que fazemos em linguagem natural (fatos e informações)

‣ Usaremos letras maiúsculas para representar proposições.

Exemplo 1

• Quais das seguintes sentenças são proposições?

‣ A = “Dez é menor do que sete”;

‣ B = “Como você está?”;

‣ C = “Ela é muito talentosa”;

‣ D = “Existe vida em outros planetas do universo”.

Exemplo 1

• Quais das seguintes sentenças são proposições?

‣ A = “Dez é menor do que sete”;

‣ B = “Como você está?”;

‣ C = “Ela é muito talentosa”;

‣ D = “Existe vida em outros planetas do universo”.

Conectivos Lógicos

• Podemos usar conectivos lógicos para combinar proposições em expressões.

‣ Conjunção

‣ Disjunção

‣ Condicional

‣ Equivalência

‣ Negação

Conjunção

• A expressão A ∧ B é chamada conjunção

• O símbolo ∧ é o conectivo lógico de conjunção (“e”).

• A e B são os fatores (ou elementos) da expressão.

• Qual é o valor lógico da expressão A ∧ B?

A B A ∧ B

V V V

V F F

F V F

F F F

Tabela-Verdade da conjunção

Disjunção

• Denotada pelo símbolo ∨ (“ou”)

A B A ∨ B

V V V

V F V

F V V

F F F

Condicional• O conectivo → representa uma expressão

condicional

• A → B significa “se A, então B”

A B A → B

V V V

V F F

F V V

F F V

Condicional

• Uma expressão condicional é também denominada “implicação”

‣ A → B também significa “A implica B”

• Suponha que A → B seja verdadeira, então:

‣ A ser verdadeira implica que B seja verdadeira

‣ B é uma condição necessária para A.

Exemplo 2

• Expressão condicional (implicação)

‣ A = “Há fumaça”

‣ B = “Há fogo”

‣ A → B (“se há fumaça, então há fogo”)

Equivalência

• O símbolo ↔ é o conectivo de equivalência

• A ↔ B = (A → B) ∧ (B → A)

A B A ↔ B

V V V

V F F

F V F

F F V

Negação

• A negação é um conectivo lógico unário, simbolizada por ′ (“não”)

A A′

V F

F V

Exemplo 3

• Negação de uma expressão

‣ A = “Pedro é alto”

‣ B = “Pedro é magro”

‣ (A ∧ B)′ = ???

Exemplo 3

• Negação de uma expressão

‣ A = “Pedro é alto”

‣ B = “Pedro é magro”

‣ (A ∧ B)′ = “Pedro é baixo ou gordo”

FBF

• Uma combinação válida de proposições e conetivos lógicos é denominada uma fórmula bem formulada (FBF)

‣ (A → B) ∧ (B → C) é uma FBF

‣ A)) → ∧C não é uma FBF

• O valor lógico de uma FBF depende dos valores lógicos associados às proposições que fazem parte da fórmula.

• Podemos identificar o valor lógico para uma FBF construindo sua tabela-verdade.

Ordem de Precedência

1. ′2. ∧, ∨

3. →4. ↔

Em uma FBF, o último conectivo a ser aplicado é denominado o conectivo principal.

Exemplos:A ∨ (B′) = A ∨ B′ (A ∨ B) → C = A ∨ B → C

Exemplo 4

• Construa a tabela-verdade para a seguinte fórmula:

‣ A ∨ B′ → ( A ∨ B)′

Exemplo 4

• Construa a tabela-verdade para a seguinte fórmula:

‣ A ∨ B′ → ( A ∨ B)′

A B B′ A ∨ B′ ( A ∨ B) ( A ∨ B)′ A ∨ B′ → ( A ∨ B)′V V F V V F F

V F V V V F F

F V F F V F V

F F V V F V V

Tautologia

• Uma tautologia é uma FBF “intrinsecamente verdadeira” pela sua própria estrutura.

‣ Ela assume o valor verdadeiro (V) independentemente do valor associado às proposições da fórmula.

• Exemplos:

‣ A ∨ A′

‣ (A → B) ↔ (B′ → A′)

Contradição

• Uma contradição é uma FBF cujo valor lógico é sempre falso

• Exemplos

‣ A ∧ A′

‣ (A ∨ A′) → (B ∧ B′)

FBFs Equivalentes

• Sejam P e Q duas FBFs

• Se P ↔ Q é uma tautologia, então dizemos

que P e Q são FBFs equivalentes.

‣ P ⇔ Q

Equivalências Tautológicas

• A ∨ B ⇔ B ∨ A (comutatividade)

• (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C) (associatividade)

• A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (distributividade)

• A ∨ F ⇔ A (elemento neutro)

• A ∧ V ⇔ A (elemento neutro)

Leis de Morgan

(A ∨ B)′ ⇔ A′ ∧ B′

(A ∧ B)′ ⇔ A′ ∨ B′

Exercício 1

• Utilize a notação simbólica da lógica formal para representar as seguintes expressões.

1. Tanto ir dormir como ir nadar é uma condição suficiente para a troca de roupa; além disso, mudar a roupa não significa que se vai nadar.

2. Vai chover ou nevar, mas não ambos.

3. Se Jane vencer ou perder, ela vai ficar cansada.

4. Ou Jane irá vencer ou, se perder, ela ficará cansada.

Exercício 2

• Construa a tabela-verdade para a seguinte fórmula:

‣ (A ∨ A′) → (B ∧ B′)

Exercício 3

• Prove que é verdadeira a seguinte Lei de Morgan (A ∨ B)′ ⇔ A′ ∧ B′

Exercício 4

• Suponha que você está viajando em um país onde todo habitante é completamente honesto ou completamente mentiroso. Você encontra dois habitantes daquele país: Parcival e Levelim. Parcival diz: “pelo menos um de nós é mentiroso”.

‣ Parcival é honesto ou mentiroso?

‣ E Levelim?

Lógica Formal

• Proposições e Tautologias

• Lógica Proposicional

• Quantificadores e Predicados

• Lógica de Predicados

Lógica Proposicional

• Um sistema formal de regras de dedução

‣ Como chegar a conclusões a partir de proposições dadas?

• Objetivo: provar a validade de um argumento

Argumentos

• Uma argumento é uma FBF proposicional na seguinte forma:

‣ P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q

‣ P1, P2, … ,Pn são denominadas hipóteses;

‣ Q é a conclusão do argumento.

Q pode ser deduzido de P1, P2, … ,Pn ?

Q é uma conclusão lógica de P1, P2, … ,Pn ?

• Q é uma conclusão lógica de P1, P2, … , Pn sempre que a verdade das proposições P1, P2, … , Pn implica na verdade de Q.

‣ Quando P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q é verdadeiro

Argumentos Válidos

• Uma FBF proposicional na forma P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q é um argumento válido quando for uma tautologia

• Um argumento válido é “intrinsecamente verdadeiro”.

Como podemos verificar se um argumento é válido?

Regras de Dedução

• A lógica formal define regras que nos permitem deduzir uma conclusão a partir de hipóteses.

‣ Podem ser usadas para demonstrar a validade de um argumento

‣ As regras de dedução modificam as FBFs, mas preservam o seu valor lógico

Demonstrações

• Uma demonstração é uma seqüência de FBFs na qual cada fórmula é:

‣ uma hipótese ou

‣ o resultado de se aplicar uma regra de dedução às fórmulas anteriores.

Para demonstrar a validade de um argumento P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q

podemos derivar a conclusão Qaplicando as regras de dedução nas hipóteses

(ou fórmulas decorrentes)

P1

P2

…Pn

FBF1

…FBFn

Q

As Regras de Dedução

• Existem dois tipos de regras de dedução na Lógica Proposicional:

‣ Equivalências (reescrever fórmulas anteriores)

‣ Inferências (deduzir novas fórmulas a partir das anteriores)

Regras de Equivalência

• R ⇔ S significa que R ↔ S é uma tautologia.

• Neste caso, R pode ser substituída por S em uma fórmula, sem mudança do valor lógico da forma.

As Regras de EquivalênciaEquivalência Nome da regra

P ∨ QP ∧ Q

Q ∨ PQ ∧ P

Comutatividade

(P ∨ Q) ∨ R(P ∧ Q) ∧ R

P ∨ (Q ∨ R)P ∧ (Q ∧ R)

Associatividade

(P ∨ Q)′(P ∧ Q)′

P′ ∧ Q′P′ ∨ Q′ Leis de Morgan

P → Q P′ ∨ Q Condicional

P (P′)′ Dupla negação

P ↔ Q (P → Q) ∧ (Q → P) Equivalência

Regras de Inferência

• Permitem deduzir uma nova fórmula, a partir das fórmulas que fazem parte da seqüência da demonstração.

‣ Também preservam os valores lógicos

‣ Não são “aplicáveis em ambas as direções” como as regras de equivalência

As Regras de Inferência

De Podemos concluir Nome

P , P → Q Q Modus Ponens

P → Q , Q′ P′ Modus Tollens

P , Q P ∧ Q Conjunção

P ∧ Q P , Q Simplificação

P P ∨ Q Adição

Exemplo

• Demonstre que o argumento a seguir é válido:

‣ A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

1. A hip

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

1. A hip

2. (B → C) hip

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

1. A hip

2. (B → C) hip

3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

1. A hip

2. (B → C) hip

3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip

4. B hip

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

1. A hip

2. (B → C) hip

3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip

4. B hip

5. C 2, 4 mp

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

1. A hip

2. (B → C) hip

3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip

4. B hip

5. C 2, 4 mp

6. A ∧ B 1, 4 conjuncao

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

1. A hip

2. (B → C) hip

3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip

4. B hip

5. C 2, 4 mp

6. A ∧ B 1, 4 conjuncao

7. D ∨ C′ 3, 6 mp

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

1. A hip

2. (B → C) hip

3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip

4. B hip

5. C 2, 4 mp

6. A ∧ B 1, 4 conjuncao

7. D ∨ C′ 3, 6 mp

8. C′ ∨ D com

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

1. A hip

2. (B → C) hip

3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip

4. B hip

5. C 2, 4 mp

6. A ∧ B 1, 4 conjuncao

7. D ∨ C′ 3, 6 mp

8. C′ ∨ D com

9. C → D cond

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

1. A hip

2. (B → C) hip

3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip

4. B hip

5. C 2, 4 mp

6. A ∧ B 1, 4 conjuncao

7. D ∨ C′ 3, 6 mp

8. C′ ∨ D com

9. C → D cond 10. ∴D 5, 9 mp

Exercício

• Demonstre que

‣ [(A ∨ B′) → C] ∧ (C→D) ∧ A → D

Método Dedutivo

P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → ( R → S )

↕

P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn ∧ R → S

Silogismo Hipotético

(P → Q) ∧ (Q → R) → (P → R)

Como podemos representar a sentença a seguir com a simbologia da Lógica Proposicional?

“Para todo X, X é maior que 0.

Predicados

• Um predicado descreve uma propriedade particular P de uma variável x

‣ Notação P(x)

• O valor lógico de P(x) depende do valor e do domínio de x

• Exemplo:

‣ P(x) é a propriedade de x ser par, dado que o conjunto universo é o conjunto dos inteiros.

Quantificadores

Nome Símbolo Exemplo

Quantificador Universal

∀(∀x) P(x)

“Para todo x, P(x) é verdadeiro”

Quantificador Existencial

∃∃(x) P(x)

“Existe algum x, tal que P(x) é verdadeiro”

Escopo

• “Símbolos de agrupamento”, como parênteses ou colchetes, identificam o escopo de um quantificador.

‣ Escopo é a “parte” da fórmula à qual o quantificador se aplica

• Uma variável livre é uma variável que não faz parte de um quantificador.

Exemplo de Predicado

• Domínio: é o conjunto dos números inteiros

• P(x): “x é par”

‣ P(1) é falso

‣ P(4) é verdadeiro

‣ (∀x)P(x) é falso

‣ (∃x)P(x) é verdadeiro

Exemplo

• Determine o valor lógico da fórmula predicada a seguir:

• (∃x) ( P(x) ∧ (∀y)[(Q(x,y)→R(y)] )

‣ P(x): “x > 0”

‣ Q(x,y): “x > y”

‣ R(y): “y ≤ 0”

‣ O domínio é o conjunto dos números inteiros

Exemplo

• Determine o valor lógico da fórmula predicada a seguir:

• (∃x) ( P(x) ∧ (∀y)[(Q(x,y)→R(y)] )

‣ P(x): “x > 0”

‣ Q(x,y): “x > y”

‣ R(y): “y ≤ 0”

‣ O domínio é o conjunto dos números inteiros

Verdadeiro

Exemplo

• Determine o valor lógico da fórmula predicada a seguir:

• (∀x)(∃y) ( P(x,y) )

‣ P(x,y): “x+y=0”

‣ O domínio é o conjunto dos números inteiros

Exemplo

• Determine o valor lógico da fórmula predicada a seguir:

• (∀x)(∃y) ( P(x,y) )

‣ P(x,y): “x+y=0”

‣ O domínio é o conjunto dos números inteiros

Verdadeiro

Exemplo

• Escreva a sentença “Todo papagaio é feio” como uma fórmula predicada.

‣ P(x) : “x é um papagaio”

‣ F(x) : “x é feio”

‣ (∀x) [ P(x) → F(x)]

• “Existe um papagaio feio”

‣ (∃x) [P(x) ∧ F(x)]

Exercício• Usando os símbolos predicados E(x): “x é um

estudante”, I(x): “x é inteligente” e M(x): “x gosta de música”, escreve fórmulas que descrevam as sentenças abaixo. O domínio é o conjunto das pessoas.

‣ Todos os estudantes são inteligentes.

‣ Alguns estudantes inteligentes gostam de música.

‣ Existem estudantes que não gostam de música.

‣ Apenas estudantes inteligentes gostam de música.

Validade

• O valor lógico de uma fórmula predicada depende da interpretação (propriedade+domínio).

• Uma fórmula predicada é válida se ela é verdadeira para qualquer interpretação.

• A validade de uma fórmula predicada deve ser deduzida de sua forma

‣ a validade independe de qualquer interpretação

Para mostrar que uma fórmula predicada não é válida, basta apresentar uma interpretação para

a qual a fórmula é falsa.

Exemplo:

(∃x)P(x) → (∀x)P(x)

Se o domínio de x é o conjunto dos números inteiros e P(x) significa que “x é par”, então é

verdade que existe um número inteiro par, mas é falso que todos os números inteiso são pares.

Lógica de Predicados

• Um sistema lógico formal que nos permite demonstrar a validade de argumentos com fórmulas predicadas.

‣ conjunto de regras de dedução para construir uma seqüência de demonstração que, a partir das hipóteses, chega à conclusão.

‣ este conjunto inclui as regras de equivalência e inferência da lógica proposicional.

De Podemos deduzir Nome

(∀x)P(x) P(t), t é uma variável ou constante.

Particularização Universal - pu

(∃x)P(x) P(c), c é uma constante. Particularização Existencial - pe

P(x) (∀x)P(x) Generalização Universal - gu

P(x) ou P(c), x é uma variável e c é uma constante.

(∃x)P(x) Generalização Existencial - ge

Exercício

• Considere o domínio dos números inteiros

• P(x): “x é ímpar”

• Q(x): “x é par”

• A fórmula a seguir é válida?

‣ (∀x) [ P(x) ∨ Q(x)] → (∀x)P(x) ∨ (∀x)Q(x)

Exercícios

• Demonstre os argumentos a seguir:

‣ “Todos os humanos são mortais. Sócrates é humano. Portanto, Sócrates é mortal.”

‣ (∀x)[P(x)→Q(x)] ∧ (∀x)P(x) → (∀x)Q(x)

‣ (∀x)[P(x) ∧ Q(x)] → (∀x)P(x) ∧ (∀x)Q(x)

Desafio

• Mostre que o seguinte argumento é válido: “Todo computador tem uma porta serial. Alguns computadores têm uma porta paralela. Portanto, alguns computadores têm uma porta serial e uma porta paralela”.

É a forma do argumento que interessa,não o conteúdo.