Post on 30-Mar-2021
MA211 - Calculo II
Segundo semestre de 2020
Turmas D/E
Ricardo M. Martins
rmiranda@unicamp.br
http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda
Aula 4: Planos tangentes + aproximacoes lineares.
Derivadas de ordem superior
Se as derivadas parciais fx(x , y) e fy (x , y) sao funcoes, elas podem
ser derivadas. Aqui temos um problema.
A funcao fx(x , y) pode ser derivada tanto em x como em y .
Assim, teremos dois tipos de derivadas de segunda ordem:
(fx)x(x , y) = fxx(x , y) e (fx)y (x , y) = fxy (x , y).
O mesmo vale para a derivada fy : temos mais duas derivadas:
(fy )x(x , y) = fyx(x , y) e (fy )y (x , y) = fyy (x , y).
Derivadas de ordem superior
Exemplo
Se f (x , y) = exy entao temos:
# fx(x , y) =
# fy (x , y) =
# fxy (x , y) =
# fyx(x , y) =
Note que fxy = fyx neste caso. Sera que e sempre assim? Claro
que nao.
Derivadas de ordem superior
ExercıcioMostre que se
f (x , y) =
xy(x2 − y2)
x2 + y2, (x , y) 6= (0, 0),
0 , (x , y) = (0, 0)
entao f e contınua, as derivadas parciais de primeira ordem sao
contınuas, mas fxy (0, 0) 6= fyx(0, 0) (em particular, fxy e fyx nao
sao contınuas na origem).
Dica: coordenadas polares.
Derivadas de ordem superior
ExercıcioMostre que se
f (x , y) =
x2y2
x2 + y2, (x , y) 6= (0, 0),
0 , (x , y) = (0, 0)
entao as segundas derivadas nao sao contınuas na origem.
Derivadas de ordem superior
Teorema de Clairaut-Schwartz
Seja f (x , y) uma funcao definida numa regiao aberta U com
(a, b) ∈ U. Se fxy e fyx sao contınuas em U, entao fxy = fyx .
Ou seja, se f e de classe C 2 entao as derivadas parciais de segunda
ordem sao iguais.
MUITO IMPORTANTE: fxy = fyx SOMENTE CASO ESTAS
FUNCOES SEJAM CONTINUAS. NAO E A FUNCAO f QUE
PRECISA SER CONTINUA, SAO AS DERIVADAS DE SEGUNDA
ORDEM.
Em resumo: nao se preocupe com polinomios, mas tome cuidado
com funcoes dadas por partes.
Planos tangentes
Seja S o grafico de z = f (x , y). Suponha ainda que f seja uma
funcao boa (de classe C 1).
Seja p = (a, b, f (a, b)) um ponto em S .
c1 intersecao entre S e o plano x = a
r1 reta tangente a c1 em p
c2 intersecao entre S e o plano y = b
r2 reta tangente a c2 em p
O plano tangente a S no ponto P e definido como sendo o plano
que contem as retas r1 e r2.
Planos tangentes
Seja S o grafico de z = f (x , y). Suponha ainda que f seja uma
funcao boa (de classe C 1).
Seja p = (a, b, f (a, b)) um ponto em S .
c1 intersecao entre S e o plano x = a
r1 reta tangente a c1 em p
c2 intersecao entre S e o plano y = b
r2 reta tangente a c2 em p
O plano tangente a S no ponto P e definido como sendo o plano
que contem as retas r1 e r2.
Planos tangentes: a figura
Planos tangentes: a equacao
A equacao de um plano tem a forma
Ax + By + Cz = D.
Sabemos que este plano passa pelo ponto p = (a, b, f (a, b)), logo
este ponto satisfaz a equacao do plano:
Aa + Bb + Cf (a, b) = D.
Isolando D, a equacao do plano fica
Ax + By + Cz = Aa + Bb + Cf (a, b)
e daı
A(x − a) + B(y − b) + C (z − f (a, b)) = 0.
Planos tangentes: a equacao
A(x − a) + B(y − b) + C (z − f (a, b)) = 0
Por um momento, suponha que C 6= 0 e vamos dividir a equacao
toda por C :
A
C(x − a) +
B
C(y − b) + z − f (a, b) = 0.
Seja α = −A/C e β = −B/C . Entao a equacao anterior por ser
reescrita como
α(x − a) + β(y − b) = z − f (a, b).
Planos tangentes: a equacao
α(x − a) + β(y − b) = z − f (a, b).
Sabemos duas retas que estao contidas neste plano: a reta r1, que
tambem esta contida no plano x = a, e a reta c2, que tambem
esta contida no plano y = b.
Se x = a a equacao acima fica β(y − b) = z − f (a, b). Porem, no
plano x = a, esta e a reta tangente ao grafico da curva c1, e o
coeficiente angular β e dada por fy (a, b).
Se y = b a equacao acima fica α(x − a) = z − f (a, b). Porem, no
plano y = b, esta e a reta tangente ao grafico da curva c2, e o
coeficiente angular β e dada por fx(a, b).
Planos tangentes: a equacao
Substituindo na equacao, obtemos a equacao do plano tangente ao
grafico de z = f (x , y) no ponto P = (a, b, f (a, b)):
fx(a, b) · (x − a) + fy (a, b) · (y − b)− 1 · z = −f (a, b).
# Nos casos em que z = f (x , y), a hipotese de que C 6= 0
sempre podera ser usada. Nos casos x = g(x , z) ou
y = h(x , z), ela podera ser falsa, tomem cuidado.
# Perceba que o vetor normal do plano tangente no ponto
(a, b, f (a, b)) e
−→n = (fx(a, b), fy (a, b),−1).
Isto e de grande utilidade!
Planos tangentes: exemplos!
Exemplo
Determine o plano tangente ao grafico de z = x2 − y2 no ponto
P = (1, 1, 0).
Note que fx(x , y) = 2x e fy (x , y) = −2y . O vetor normal no
ponto (1, 1, 0) e dado por:
−→n = (fx(1, 1), fy (1, 1),−1) = (2,−2,−1).
Agora fica facil obter a equacao do plano:⟨n, (x , y , z)
⟩= 〈n, p〉,
neste caso, 2x − 2y − z = 0.
Planos tangentes: exemplos!
Exemplo
Determine o plano tangente ao grafico de z = x2 − y2 no ponto
P = (1, 1, 0).
Note que fx(x , y) = 2x e fy (x , y) = −2y . O vetor normal no
ponto (1, 1, 0) e dado por:
−→n = (fx(1, 1), fy (1, 1),−1) = (2,−2,−1).
Agora fica facil obter a equacao do plano:⟨n, (x , y , z)
⟩= 〈n, p〉,
neste caso, 2x − 2y − z = 0.
Planos tangentes: exemplos!
Exercıcio
De exemplo de uma funcao z = f (x , y) que no ponto P = (1, 1, 1)
tenha plano tangente x + y + z = 3.
Exercıcio
Seja f (x , y) = x2+2y2. Escolha um ponto Q = (a, b, c) qualquer
em R3. Diga se existe um plano tangente ao grafico de z = f (x , y)
que passa por Q. Caso exista, quantos existem?
Aproximacoes lineares
Fısicos adoram considerar sen(θ) = θ “para pequenos valores de
θ”. Eles tem um pouco de razao (a menos do sinal de =, que
deveria ser ≈).
De onde vem isto? Vem do fato de que a reta tangente ao grafico
de y = sen(x) na origem e dada por y = x . Desta forma, para
valores de x bem proximos de zero, podemos usar a reta y = x
para calcular valores da funcao y = sen(x).
Aproximacoes lineares
Isto se chama aproximacao linear de f .
Ela e boa por ser simples: troca uma funcao maluca por uma
funcao linear.
Ela e ruim por ser simples: poderıamos usar uma interpolacao
polinomial (ou por splines) ao inves de uma reta. Impacto na
complexidade.
Veremos agora que este truque tambem pode ser feito em
dimensoes maiores.
Aproximacoes lineares
Se z = f (x , y) e uma funcao, definimos por
L(x , y) = f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b)
a aproximacao linear de f em (a, b) (ou linearizacao de f em
(a, b)).
Note que z = L(x , y) e a equacao do plano tangente!
Aproximacoes lineares
A aproximacao linear funciona bem num caso especıfico: quando f
e suas derivadas parciais sao contınuas. Neste caso, a variacao de
z = f (x , y) e, de certa forma, controlada.
Suponha que x varia de a para a + ∆x e que y varia de b para
b + ∆y . Entao a variacao de z sera de
∆z = f (a + ∆x , b + ∆y)− f (a, b).
Aproximacoes lineares
Se z = f (x , y) entao dizemos que f e diferenciavel em (a, b) se ∆z
puder ser expresso na forma
∆z = fx(a, b)∆x + fy (a, b)∆y + ε1∆x + ε2∆y ,
com ε1, ε2 → 0 quando (∆x ,∆y)→ (0, 0).
Ou seja: uma funcao e diferenciavel quando a aproximacao linear
representa “bem” f (x , y) quando (x , y) esta perto de (a, b).
Noutras palavras, quando o plano tangente e uma boa
aproximacao para o grafico da funcao perto de (a, b).
Aproximacoes lineares
Teorema
Se fx , fy existem perto de (a, b) e forem contınuas em (a, b) entao
f e diferenciavel em (a, b).
Aproximacoes lineares: exemplo
Exercıcio
Determine uma aproximacao linear de√x2 + y2 em (3, 4) e cal-
cule uma aproximacao para o numero√
(3, 02)2 + (3, 97)2.
ExercıcioJustifique as aproximacoes lineares na origem:
#2x + 3
4y + 1≈ 3 + 2x − 12y
#√
y + cos2(x) ≈ 1 + y/2
Aproximacoes lineares: exemplo
Exercıcio
Determine uma aproximacao linear de√x2 + y2 em (3, 4) e cal-
cule uma aproximacao para o numero√
(3, 02)2 + (3, 97)2.
ExercıcioJustifique as aproximacoes lineares na origem:
#2x + 3
4y + 1≈ 3 + 2x − 12y
#√
y + cos2(x) ≈ 1 + y/2
Aproximacoes lineares: diferencial total
A diferencial total de z = f (x , y) e definida como
dz = df = fx(x , y) dx + fy (x , y) dy =∂z
∂xdx +
∂z
∂ydy .
Vimos que se z = f (x , y) e C 1 entao
f (x , y) ≈ f (a, b) + dz .
Enquanto ∆z mede a variacao real de f (x , y), dz mede a variacao
considerando o plano tangente. Quanto mais regular a funcao e,
melhor e esta aproximacao. Daı voce decide: quer precisao ou quer
velocidade de convergencia?
Kahoot!
Kahoot!
Questao
Para mostrar que o limite de z = f (x , y) com (x , y) → (0, 0)
existe, basta verificar o limite nas retas x = 0 e y = 0.
4 falso
� verdadeiro
Kahoot!
Questao
Quando as derivadas parciais mistas fxy e fyx sao iguais?
4 quando a funcao f e contınua
� quando as derivadas parciais de segunda ordem sao contınuas
◦ quando as derivadas parciais de primeira ordem sao iguais
� elas nunca sao iguais
Kahoot!
Questao
Se uma funcao z = f (x , y) tem derivadas parciais em (a, b) entao
ela e contınua em (a, b).
4 falso
� verdadeiro
Kahoot!
Questao
Sob quais hipoteses o grafico de z = f (x , y) admite um plano
tangente no ponto (a, b, f (a, b))?
4 se f e contınua
� se as derivadas parciais sao iguais
◦ se f tem derivadas parciais
� se f tem derivadas parciais contınuas
Kahoot!
Questao
Se
f (x , y) =x2 − y2
x2 + y2
para (x , y) 6= (0, 0) e f (0, 0) = 0 entao f tem plano tangente na
origem.
4 falso
� verdadeiro
Proxima aula: Regra da cadeia.
Se cuidem: usem mascaras, limpem as maos com alcool em gel.
Fique em casa.