MATEMÁTICAMATEMÁTICA

POLIEDROSPOLIEDROS

Professor Joel

2

DefiniçãoDefinição

Professor Joel

POLIEDROSPOLIEDROS: Denomina-se poliedro o sólido limitado

por polígonos planos, de modo que:

Dois desses polígonos não estão num mesmo plano;

Cada lado de um polígono é comum a dois e somente

dois polígonos.

VÉRTICE

ARESTAFACE

3

Poliedros...Poliedros...

Professor Joel

10 vértices

15 arestas

7 faces

6 vértices

12 arestas

8 faces

4

Poliedro convexoPoliedro convexo

Um poliedro se diz convexo se, em relação a

qualquer de suas faces, está todo situado num

mesmo semi-espaço determinado pelo plano

que contém esta face. Caso contrário, o

poliedro é dito não-convexo.

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5

Poliedro convexo...Poliedro convexo...

Professor Joel

a

convexo

convexo

Não-convexo

6

NomenclaturaNomenclatura dos poliedros dos poliedros

Professor Joel

De acordo com o número de faces, os poliedros convexos ou não, possuem nomes especiais.

Nº de faces Nome do poliedro

4 Tetraedro

5 Pentaedro

6 Hexaedro

7 Heptaedro

8 Octaedro

7

Nomenclatura dos Nomenclatura dos poliedros...poliedros...

Professor Joel

Nº de faces Nome do poliedro

9 Eneaedro

10 Decaedro

11 Undecaedro

12 Dodecaedro

13 Tridecaedro

14 Tetradecaedro

15 Pentadecaedro

20 Icosaedro

8

PoliedrosPoliedros regularesregulares

Professor Joel

Um poliedro convexo se diz regular quando:

Suas faces são polígonos regulares congruentes entre si;

Seus ângulos poliédricos são congruentes entre si. Os poliedros regulares são chamados de sólidos platônicos, em homenagem ao filósofo grego Platão(427 – 347 a.C.) que os utilizava para explicar cientificamente os fenômenos naturais.

9

Poliedros regulares...Poliedros regulares...

Professor Joel

Existem somente cinco poliedros regulares.

TETRAEDRO

4 faces triangulares equiláteras

4 vértices

6 arestas

10

Poliedros regulares...Poliedros regulares...

Professor Joel

HEXAEDRO(cubo)

6 faces quadradas

8 vértices

12 arestas

11

Poliedros regulares...Poliedros regulares...

Professor Joel

OCTAEDRO

8 faces triangulares equiláteras

6 vértices

12 arestas

12

Poliedros regulares...Poliedros regulares...

Professor Joel

ICOSAEDRO

20 faces triangulares equiláteras

12 vértices

30 arestas

13

Poliedros regulares...Poliedros regulares...

Professor Joel

DODECAEDRO

12 faces pentagonais

20 vértices

30 arestas

14

Relação de EulerRelação de Euler

Professor Joel

Em todo poliedro convexo vale a relação:

HEXAEDRO OU PARALELEPÍPEDO F = 6

V = 8

A = 12

V + F = A + 2

8 + 6 = 12 + 2

V + F = A + 2

ONDE V: Nº de vérticesA: Nº de arestasF: Nº de faces

15

Propriedades...Propriedades...

Professor Joel

Consideremos um poliedro convexo em que n é o número de lados de cada face e p é o número de arestas que concorrem em cada vértice.

2A = nF = pV

2A = nF 2A = pV nF = pV

Ex: CUBO

A= 12, V= 8, F= 6

2 . 12 = 4 . 6 = 3 . 8

Assim, temos:

16

Propriedades...Propriedades...

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SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE UM POLIEDRO CONVEXO

A soma S dos ângulos das faces de um poliedro convexo que possui V vértices é:

S = (V – 2) . 360º

Ex: Uma pirâmide de base quadrada.

V = 5, S = (5 – 2) . 360º , S = 3 . 360º , S = 1080º

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Exercícios...Exercícios...

Professor Joel

1) Um poliedro convexo tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais. Obtenha:a) O número total de vértices, faces e arestas do poliedro.b) A soma dos ângulos internos de todas as faces.Resolução:

a)

F = 3 + 1 + 1 + 2

F = 7

V + F = A + 2V + 7 = 15 + 2V = 17 – 7V = 10

2.A=n.F

2.A = 3.3 + 1.4 + 1.5 + 2.6

2.A = 9 + 4 + 5 + 12

2.A = 30

A = 15

b)S = (10 – 2).360º

S = 8.360º

S = 2880º

18

Exercícios...Exercícios...

Professor Joel

2) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem três faces triangulares, duas faces quadrangulares, uma face pentagonal e duas faces hexagonais.

Resolução:

F = 3 + 2 + 1 + 2

F = 8

V + F = A + 2

V + 8 = 17 + 2

V = 19 – 8

V = 11

2.A = n.F

2.A = 3.3 + 2.4 + 1.5 + 2.6

2.A = 9 + 8 +5 +12

2.A = 34

A = 17

19

Exercícios...Exercícios...

3

2

Professor Joel

3) Em um poliedro convexo o número de vértices corresponde a do número de arestas e o número de faces é 3 unidades a menos do que o de vértices. Descubra quantas são as faces, os vértices e as arestas desse poliedro.

Resolução:

3

2 V = . A

F = V – 3

V = F + 3 3

2 . A = F + 3

V + F = A + 2

3

2

3

2V = . 15

3

2F = . 15 – 3

F = . A – 3

3

2

3

2 .A + .A – 3 = A + 2

2A + 2A -9 = 3A + 6

A = 15

V = 10

F = 10 – 3 F = 7

FIMFIM

Prof. Joel Ferreira

“O temor a Deus é o princípio de toda sabedoria”.

Professor Joel