Matemática

GEOMETRIA PLANA

Professor Dudan

Geometria Plana

Ângulo é a região de um plano concebida pelo encontro de duas semirretas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo . A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de medidas, é o grau, representado pelo símbolo °, e seus submúltiplos são o minuto ’ e o segundo ”. Temos que 1º (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’ equivale a 60”(segundos).

Ângulos

Tipos de Ângulo • Ângulos Complementares: dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.

Na ilustração temos que:

α + β = 90°

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• Ângulos Suplementares: dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.

Na ilustração temos que: α + β = 180°

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• Ângulos Replementares: dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.

Na ilustração temos que: α + β = 360º

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• Exemplo: Assinale V para verdadeiro e F para falso nas sentenças abaixo

( ) 80º e 10º são suplementares. ( ) 30º e 70º são complementares. ( ) 120º e 60º são suplementares. ( ) 20º e 160º são complementares. ( ) 140º e 40º são complementares. ( ) 140º e 40º são suplementares.

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Ângulos de um Polígono

A soma dos ângulos internos de qualquer polígono depende do número de lados (n), sendo usada a seguinte expressão para o cálculo:

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Diagonais de um polígono

Diagonal de um polígono é o segmento de reta que liga um vértice ao outro, passando pelo interior da figura. O número de diagonais de um polígono depende do número de lados (n) e pode ser calculado pela expressão:

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Exemplo: Dada a figura abaixo , analise as sentenças I. O triângulo CDE é isósceles. II. O triângulo ABE é equilátero. III. AE é bissetriz do ângulo BÂD. é verdade que (A) somente a I é falsa. (B) somente a II é falsa. (C) somente a III é falsa. (D) são todas falsas. (E) são todas verdadeiras.

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O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, o teorema afirma que: “Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.” Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o formam. Assim podemos equacionar

Teorema de Pitágoras Geometria Plana

Exemplo Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

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Existem alguns tipos especiais de triângulos retângulos cujos lados são proporcionais a:

Triângulos Retângulos PITAGÓRICOS

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Exemplo Roberto irá cercar uma parte de seu terreno para fazer um canil. Como ele tem um alambrado de 10 metros, decidiu aproveitar o canto murado de seu terreno (em ângulo reto) e fechar essa área triangular esticando todo o alambrado, sem sobra. Se ele utilizou 6 metros de um muro, do outro muro ele irá utilizar, em metros. (A) 7. (B) 5. (C) 8. (D) 6. (E) 9.

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Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos. Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da medida de todos os lados. A soma dos ângulos internos é sempre 180°.

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• Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos:

A, B e C são os vértices. Os lados dos triângulos são simbolizados pelas letras a, b e c. Os triângulos ele tem 3 lados, consequentemente, 3 ângulos.

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• Quanto à medida do seu lado Triângulo Equilátero: apresenta os três lados com a mesma medida. Triângulo Isósceles: apresenta dois lados com a mesma medida.

Triângulo Escaleno: apresenta os três lados com medidas diferentes, ou

seja, três lados de tamanhos diferentes.

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• Quanto à medida dos ângulos Triângulo Acutângulo: apresenta os três ângulos internos menores agudos. Triângulo Obtusângulo: apresenta ângulo interno maior que 90º ou obtuso. Triângulo Retângulo: apresenta um ângulo interno reto ou de 90o.

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TRIÂNGULO RETÂNGULO

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A área de um triângulo é a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula: onde h é a altura do triângulo, b a medida da base.

Área de Triângulos

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Exemplo Determinar a área do triângulo a seguir considerando que a sua base mede 23 metros e a altura 12 metros.

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Exemplo A área do triângulo sombreado da figura abaixo é

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TRIGONOMETRIA no

TRIÂNGULO RETÂNGULO

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Composição do Triângulo Retângulo • Catetos: correspondem aos lados que compõem o ângulo reto, formada por dois catetos: adjacente e oposto.

• Hipotenusa: lado oposto ao ângulo reto considerado o maior lado do triângulo retângulo.

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Relações Trigonométricas

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PRINCIPAIS ÂNGULOS

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Casos Especiais

Caso : “Coisa” , “2Coisa” e “Coisa

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Caso : Triangulo Retângulo Isósceles Casos Especiais

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Exemplo Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas.

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Exemplo Encontre os valores de x e y nos triângulos retângulos abaixo.

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Exemplo No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas . (Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42 ; tg 65° = 2,14)

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Exemplo Uma escada de 2m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30° com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de: (A) 0,5 m (B) 1 m (C) 1,5 m (D) 1,7 m (E) 2 m

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QUADRILÁTEROS

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Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Em geral, um quadrilátero será uma figura geométrica limitada por quatro lados, todos diferentes e que formam entre si quatro ângulos internos também diferentes. Em qualquer caso, a soma dos valores dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre 360°.

Quadriláteros

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Algumas Propriedades dos quadriláteros: 1. A soma dos seus ângulos internos é 360°. 2. A soma dos seus ângulos externos é 360°. 3. Todos os quadriláteros apresentam 2 diagonais.

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Exemplo Determine a medida dos ângulos indicados:

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Os quadriláteros classificam-se em paralelogramos e trapézios. Paralelogramos : são quadrilátero de lados opostos paralelos. Exemplos: Retângulo - Paralelogramo em que todos os ângulos são retos. O retângulo cujos lados são congruentes chama-se quadrado. Quadrado- Retângulo cujos lados tem medidas iguais. Losango, paralelogramo.

Classificação Geometria Plana

Exemplo Observe os paralelogramos e, considerando as propriedades estudadas, determine: a) MN e NP b) x e y

Trapézios: são quadrilátero que tem dois e só dois lados opostos paralelos. Exemplos: Trapézio Escaleno: tem todos os lados de medidas distintas. Trapézio Retângulo: tem dois ângulos retos. Trapézio Isósceles: tem os lados não paralelos com a mesma medida.

Principais Quadriláteros Trapézio

Características: Apresenta 2 lados paralelos apenas.

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Paralelogramo

Características: Lados paralelos congruentes, ângulos opostos congruentes.

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Losango

Características: Lados paralelos congruentes, todos os lados de mesma medida, ângulos opostos congruentes, diagonais cortam-se nos seus pontos médios e são perpendiculares entre si.

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Retângulo

Características: Todos os ângulos internos são retos, lados paralelos congruentes, diagonais de mesma medida e que se cortam nos seus pontos médios.

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Quadrado

Características: Todos os ângulos internos são retos, lados paralelos congruentes, todos os lados de mesma medida, diagonais de mesma medida, perpendiculares entre si e que se cortam nos seus pontos médios.

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Exemplo O perímetro e a área da sala representada na figura valem: (A) 20m e 15 m2 (B) 18m e 17 m2 (C) 20 m e 19 m2 (D) 20m e 20 m2

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FIGURAS CIRCULARES

De acordo com a Geometria Euclidiana, circunferência é o espaço geométrico de uma região circular que compreende todos os pontos de um plano, localizados a uma determinada distância, denominada raio, de um ponto chamado centro. Podemos definir o círculo como a região interna da circunferência. A circunferência limita o círculo, observe a ilustração a seguir:

DEFINIÇÃO

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A circunferência e o círculo possuem um elemento denominado diâmetro, que constitui em um segmento que passa pelo centro da figura. Outro segmento importante pertencente às duas figuras é o raio, que corresponde à metade do diâmetro. Observe a figura:

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E O FAMOSO π ? • E o famoso valor Há duas interpretações distintas quanto ao valor do π: Como constante matemática,costumamos definir PI como sendo a

razão entre a circunferência e o diâmetro de um circulo, ou seja vale aproximadamente 3,14.

Agora quando trabalhamos com ângulos, temos a seguinte relação: • π rad = 180°

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1 – CÍRCULO / CIRCUNFERÊNCIA

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Exemplo Calcule o valor da área e do perímetro dos círculos abaixo:

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2 – SETOR CIRCULAR

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3 – COROA CIRCULAR

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Exemplo Determine a área da coroa circular da figura a seguir, considerando o raio da circunferência maior igual a 10 metros e raio da circunferência menor igual a 8 metros.

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Comprimento ou Perímetro

Definição

• O perímetro é a medida do contorno de um objeto bidimensional, ou

seja, a soma de todos os lados de uma figura geométrica.

• Imagine a seguinte situação: Um fazendeiro quer descobrir quantos metros de arame serão gastos para cercar um terreno de pastagem com formato retangular. Como ele deveria proceder para chegar a uma conclusão? De maneira bem intuitiva, concluímos que ele precisa determinar as medidas de cada lado do terreno e então, somá-las, obtendo o quanto seria gasto. A esse procedimento damos o nome de perímetro.

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1 – TRIÂNGULO RETÂNGULO

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2 – TRIÂNGULO EQUILÁTERO

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3 – QUADRADO

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4 - RETÂNGULO

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5 - LOSANGO

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6 - CÍRCULO

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ÀREA

• Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície. Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos.

• Para não haver erro , lembre-se: “Área é o que eu posso pintar”

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Exemplo Geometria Plana

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Exemplo Geometria Plana

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Cuidado!

Primeiro, faremos um exemplo conhecendo as medidas do retângulo, depois faremos a generalização. Considere o retângulo Sua área será de: A1 = 10 x 3 = 30 cm2 Agora, vamos duplicar as medidas dos lados. A área desse novo retângulo será de A2 = 20 x 6 = 120 cm2 Observe que ao dobrar as medidas dos lados do retângulo sua área mais que dobrou, na verdade quadruplicou.

Exemplo No desenho abaixo, uma cruz é formada por cinco quadrados de lado 1 justapostos. A área do quadrado ABCD é: (A) 4. (B) 5. (C) 6. (D) 7. (E) 8.

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Exemplo Seja o octógono EFGHIJKL inscrito num quadrado de 12cm de lado, conforme mostra a figura a seguir. Se cada lado do quadrado está dividido pelos pontos assinalados em segmentos congruentes entre si, então a área do octógono, em centímetros quadrados, é: (A) 98. (B) 102. (C) 108. (D) 112. (E) 120.

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COMO A FAURGS

COBRA ISSO?

A figura a seguir, formada por dois retângulos cujas medidas estão indicadas em metros, representa um terreno.

Se terreno foi avaliado em R$ 2.140.000,00, o valor do metro quadrado é (A) R$ 2.500,00. (B) R$ 5.000,00. (C) R$ 9.500,00. (D) R$ 19.000,00. (E) R$ 38.000,00.

HCPA - 2015

Dois objetos de 15cm e 9cm de altura, respectivamente, estão a uma distância de 8cm, conforme a figura. Qual é a distância entre os pontos mais altos desses objetos?

(A) 0,1cm. (B) 0,1m. (C) 100cm. (D) 10m. (E) 100m.

HCPA - 2010

A figura abaixo representa dois prédios que estão em desnível de nove metros (9 m) e a uma distância de quinze metros (15 m) um do outro, sendo que essas medidas foram realizadas segundo a inclinação da rua na qual eles estão.

Qual a distância entre esses prédios na horizontal absoluta? (A) 6 m. (B) 9 m. (C) 10,5 m. (D) 12 m. (E) 17,49 m.

HCPA - 2015

Em um prédio do Tribunal de Justiça, há um desnível de altura entre a calçada frontal e a sua porta de entrada. Deseja-se substituir a escada de acesso existente por uma rampa. Se a escada possui 40 degraus iguais, cada um com altura de 12,5 cm e comprimento de 30 cm, o comprimento da rampa será de:

(A) 5 m. (B) 8 m. (C) 10 m. (D) 12 m. (E) 13 m.

TJ -2012

Um triângulo isósceles possui lados com as seguintes medidas: o lado A,B mede 16 cm e os lados B,C e A,C medem 10 cm cada um. Qual é a medida da altura

desse triângulo com relação ao lado A,B? (A) 4,5 cm. (B) 5 cm. (C) 6 cm. (D) 8 cm. (E) 9 cm.

HCPA - 2015

Um triângulo isósceles tem 32cm de perímetro e 8cm de altura em relação à base (isto é, com relação ao lado diferente dos demais). A área desse triângulo, em centímetros quadrados, é:

(A) 48. (B) 40. (C) 36. (D) 24. (E) 20.

HCPA - 2010

Um pedreiro deseja colocar lajotas com 20 centímetros de largura e 10 centímetros de comprimento em uma área que mede 2 metros de largura por 3 metros

de comprimento. A quantidade de lajotas que o pedreiro precisará é de (A) 200. (B) 300. (C) 500. (D) 600. (E) 1.200.

HCPA - 2013

Os desenhistas do Tribunal de Justiça estão projetando um jardim com quadrados de 2 m de lado contendo canteiros triangulares com área destinada ao plantio de flores da estação e áreas destinada com pedras d’água. A figura abaixo representa um desses quadrados, onde M e N são os pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente.

Se as flores forem plantadas no triângulo DMN, elas ocuparão uma área de: (A) 1,5 m² (B) 2 m²

(C) 2,5 m² (D) 3,5 m² (E) 4 m²

HCPA - 2010

A base CD do retângulo ABCD é dividida em 4 partes de mesma medida pelos pontos M, N e O. O ponto P está sobre o lado AB. A razão entre a área do retângulo ABCD e a área do triângulo MPO é:

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 (E) 8

TJ - 2012

Um desenhista do Tribunal de Justiça quer traçar um retângulo com perímetro de 28 cm e com a maior área possível. O valor dessa área será de:

(A) 14 cm² (B) 21 cm² (C) 49 cm² (D) 56 cm² (E) 70 cm²

TJ -2012

Qual o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo retângulo cuja hipotenusa mede cinco centímetros (5 cm) e um de seus catetos mede dois

centímetros e cinco milímetros (2,5 cm)? (A) 1,25 cm. (B) 2,5 cm. (C) 5 cm. (D) 10 cm. (E) 15 cm.

HCPA - 2010