Mecânica dos Sólidos 1

Professor Maurício P. Ferreira

Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc.

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Faculdade de Engenharia Civil

1. Momento de Inércia

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• Considere uma viga de seção transversal uniforme submetida a

momentos em suas extremidades ;

• Tal viga é dita sob flexão pura e a força em cada elemento dA varia

linearmente com a distância y entre o elemento e a linha neutra.

max

maxx

M yM y

I Iσ σ

⋅⋅=− ∴ =

Linha Neutra

ymax

1. Momento de Inércia

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1. Momento de Inércia

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1. Momento de Inércia

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1. Momento de Inércia

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2. Momento de Inércia por Integração

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2 2 2

0 0 0

3 30

3 3 3

h h h

x

x x

I y dA y b dy b y dy

h b hI b I

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

⋅= ⋅ + ∴ =

∫ ∫ ∫

2 2 2

0 0 0

3 30

3 3 3

b b b

y

y y

I x dA x h dx h x dx

b h bI h I

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

⋅= ⋅ + ∴ =

∫ ∫ ∫

2. Momento de Inércia por Integração

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2 2 2

2 2 2

'

2 2 2

3 3 3

' '3 2 2 12

h h h

x

h h h

x x

I y dA y b dy b y dy

b h h b hI I

− − −

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅ + − ∴ =

∫ ∫ ∫

2 2 2

2 2 2

'

2 2 2

3 3 3

' '3 2 2 12

b b b

y

b b b

y y

I x dA x h dx h x dx

h b b h bI I

− − −

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅ + − ∴ =

∫ ∫ ∫

3. Momento de Inércia Figuras Planas

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3. Momento de Inércia Figuras Planas

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3. Momento de Inércia Figuras Planas

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3. Momento de Inércia Figuras Planas

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3. Momento de Inércia Figuras Planas

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3. Momento de Inércia Figuras Planas

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3. Momento de Inércia Figuras Planas

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3. Momento de Inércia Figuras Planas

4. Significado Físico

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• Mede a dificuldade de girar um corpo em torno de um eixo.

max

T T c

J J

ρτ τ

⋅ ⋅= ∴ =max

maxx

M yM y

I Iσ σ

⋅⋅=− ∴ =

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4. Significado Físico

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A1 = 12

A2 = 6

A3 = 8

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5. Momento Polar de Inércia

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6. Raio de GiraçãoO raio de giração é uma propriedade que representa a distância ao eixo ou

ponto de giro para o qual é possível concentrar toda a área da superfície

estudada de modo que se tenha omesmo momento de inércia.

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6. Raio de Giração

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7. Teorema dos Eixos Paralelos

• Exemplo 01: Determine o momento de inércia da viga I abaixo.

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40 mm

180 mm

40 mm

260 mm

110 mm

• Exemplo 01: (Método 1)

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40 mm

180 mm

40 mm

260 mm

110 mm

1

2

3

( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 1 2 2 2 3 3 3

3 3

2 2

3

2

8 4

110 40 40 180110 40 110 40 180 0

12 12

110 40110 40 110

12

1, 271 10 mm

x x x x x x x

x

x

I I A d I A d I A d

I

I

= + ⋅ + + ⋅ + + ⋅

⋅ ⋅= + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ +

⋅+ ⋅ ⋅

= ⋅

( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 1 2 2 2 3 3 3

3 3

2 2

3

2

6 4

40 110 180 40110 40 0 40 180 0

12 12

40 110110 40 0

12

9,833 10 mm

y y y y y y y

y

y

I I A d I A d I A d

I

I

= + ⋅ + + ⋅ + + ⋅

⋅ ⋅= + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ +

⋅+ ⋅ ⋅

= ⋅

• Exemplo 01: (Método 2)

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40 mm

180 mm

40 mm

260 mm

110 mm

2 3

( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 1 2 2 2 3 3 3

3 3

2 2

3

2

8 4

110 260 35 180110 260 0 35 180 0

12 12

35 18035 180 0

12

1, 271 10 mm

x x x x x x x

x

x

I I A d I A d I A d

I

I

= + ⋅ + + ⋅ + + ⋅

⋅ ⋅= + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −

⋅+ ⋅ ⋅

= ⋅

1

( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 1 2 2 2 3 3 3

3 3

2 2

3

2

6 4

260 110 180 35110 260 0 35 180 37, 5

12 12

180 3535 180 37, 5

12

9,833 10 mm

y y y y y y y

y

y

I I A d I A d I A d

I

I

= + ⋅ + + ⋅ + + ⋅

⋅ ⋅= + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −

⋅+ ⋅ ⋅

= ⋅