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Prof.: Joni Fusinato joni.fusinato@ifsc.edu.br jfusinato@gmail.com

Medidas de Dispersão

Dispersão Estatística

21.22

• As medidas de posição (média, mediana, moda) descrevemcaracterísticas dos valores numéricos de um conjunto deobservações em torno de um “ponto de equilíbrio” dos dados.

• Nenhuma delas informa sobre o grau de variação ou dispersãodos valores observados em relação a média.

• Em um grupo de dados os valores numéricos não sãonecessariamente semelhantes e apresentam desvios em relaçãoa tendência central, usualmente, a média aritmética.

• As medidas de dispersão quantificam a variação dos dados emrelação a média e qual o seu grau de representatividade.

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Exemplo: Duas linhas de produção fabricam as mesmas peças cujocomprimento deve ser de 75 cm. Fazendo medições periódicasverifica-se que as linhas estão produzindo peças com medidaspróximas desse valor. As peças produzidas por ambas as linhas estãoadequadas?

• Está evidente que as peças produzidas pela 1ª linha de produção sãomelhores que a 2ª linha pois a dispersão das medidas em torno damédia é menor.

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5

Amplitude (R - range)

• Diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados.

• Ignora como os dados estão distribuídos.

• Amplitude = Xi máximo – Xi mínimo

• Exemplo: Consideremos o conjunto de dados ordenado:

60, 65, 67, 68, 69 70, 72, 77Como o valor máximo do conjunto é 77 e o valor mínimo é 60,temos que a amplitude é:

R = 77 - 60 = 17

Desvio médio simples Mede o afastamento dos dados em relação à média.

Representa a média das distâncias entre cada elemento da amostra e seu valor médio.

Calculo o desvio médio (Dm):

21.23

• Medida de dispersão estatística que indica "o quão longe" emgeral os valores se encontram do valor esperado (média).

• Símbolos:• σ – variância populacional• s – variância amostral

Variância

Variância populacional: usada quando for possível observar todos os dados que compõem o universo que desejamos analisar.

Variância da Amostra: aplica-se a uma série que se trata de uma amostra de um conjunto muito maior. Portanto a variância da amostra refere-se a parcela de dados retirados de um grande universo da qual desejamos obter informações e/ou conhecimento.

Média aritmética dos quadrados dos desvios.

Populacional Amostral

Variância

Variância (Var, σ2, s2)

• Vantagens• Maior sensibilidade ao grau de desvio na distribuição.• Importante na inferência estatística.• Trabalha com valores absolutos.

• Desvantagens:• Uso restrito na estatística descritiva pois não é expressa

nas mesmas unidades dos dados originais.• Apresenta unidade de medida igual ao quadrado da

unidade de medida dos dados originais.

Desvio padrão (dp, σ, s)

21.25

Desvio padrão populacional (representado pela letra grega σ) é uma medida de dispersão em torno da média populacional de uma variável aleatória.

Desvio padrão amostral (representado pela letra s) indica uma medida de dispersão dos dados em torno da média amostral.

Um baixo desvio padrão indica que os pontos dos dados tendem a estar próximos da média ou do valor esperado.

Um alto desvio padrão indica que os pontos dos dados estão espalhados por uma ampla gama de valores.

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Usado em diferentes áreas como: Biologia, Saúde, Finanças, Físicae pesquisas em geral.

Em geral, apenas os efeitos de dois desvios padrão distantes doesperado são considerados estatisticamente significativos.

Bolsa de Valores - Análise gráfica: Desvio Padrão

O desvio padrão é uma medida de volatilidade, e geralmente está na composição de outros indicadores (como as Bandas de Bollinger).

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Cálculo do Desvio Padrão

Populacional Amostral

Desempenho escolar entre dois estudantes

Alexandre CamilaPortuguêsMatemáticaFísicaQuímicaBiologia

7,010,0

6,0

4,0

7,5

6,07,0

8,0

7,0 7,0Média

8,0 6,5

Observe as notas escolares do Alexandre e da Camila. Qual dosdois obteve notas mais estáveis em relação à média?

Cálculo da variância das notas do Alexandre

Alexandre Nota Nota - Média QuadradoPortuguês

MatemáticaFísica

QuímicaBiologia

7,010,0

6,0

4,0

03

-1

-37,0

Soma = 0Média

0

8,0 1

9

11

94

VariânciaMédia dos quadrados

Camila Nota Nota - Média QuadradoPortuguês

MatemáticaFísica

QuímicaBiologia

7,56,07,0

8,0

0,5-10

17,0

Soma = 0

Média

0,25

6,5 -0,5

1

0,250

10,5

VariânciaMédia dos quadrados

Cálculo da variância das notas da Camila

Cálculo do Desvio Padrão das notas do Alexandre e da Camila

Exemplo: Uma indústria produz 5.000 esferas de aço por minuto. Foramcoletadas 100 esferas para verificação. Determinar a média e o desviopadrão da distribuição dos diâmetros das esferas coletadas.

21.28

(em mm) Quantidade (fi)

1,1 12

1,2 27

1,3 35

1,4 20

1,5 6

Total 100

Variância e desvio padrão para dados agrupados

Quando os valores estão agrupadossem intervalos de classe, utiliza-separa a variância a média aritméticaponderada dos quadrados dosdesvios.

Var

Cálculo da média aritmética ponderada da distribuição:

Para determinar o desvio padrão, vamos construir uma tabela, a seguir:

21.28

(em mm) Esferas (fi) (xi – x) (xi – x)2 fi ∙ (xi – x)2

1,1 12 –0,181 0,032761 0,3931321,2 27 –0,081 0,006561 0,1771471,3 35 0,019 0,000361 0,0126351,4 20 0,119 0,014161 0,2832201,5 6 0,219 0,047961 0,287766

∑f i = 100 ∑[f i ∙ (xi – x)2 ]= 1,1539

Cálculo da variância:

Cálculo do desvio padrão:

O diâmetro médio das esferas é 1,281 mm e o desvio padrão é de ± 0,107 mm. ( = 1,282 0,107) mm.

21.28

Fabricação de Granalha: https://www.youtube.com/watch?v=wSe05KLxK8U

Variância e desvio padrão para dados agrupados

Exemplo: A tabela relaciona o tempo de auditoria para verificar 50balanços contábeis. Calcule o tempo médio para se realizar essa atividadee o Desvio Padrão.

Tempo (min) Balanços (fi)

10 ├ 20 3

20├ 30 5

30├ 40 10

40├ 50 12

50├ 60 20.

21.30

Exercício resolvido

Variância e desvio padrão para dados agrupados

Quando os valores estão agrupados emintervalos de classe, para se obter avariância e o desvio padrão, calcula-seos pontos médios de cada intervalo e,em seguida, fazemos:

Xi = Ponto Médio da classe

Var

Determina-se o ponto médio de cada intervalo e calcula-se a média.

Tempo de auditoria

Número de balanços (fi)

PMi (PMi – x) (PMi – x)2 fi ∙ (PMi – x)2

10 ├ 20 3 15 –28,2 795,24 2.385,72

20├ 30 5 25 –18,2 331,24 1.656,2

30├ 40 10 35 –8,2 67,24 672,4

40├ 50 12 45 1,8 3,24 38,88

50├ 60 20 55 11,8 139,24 2.784,8

∑f i = 50 ∑[f i ∙ (PMi – x)2 ] = 7.538

Com os dados da tabela encontra-se a variância e o desvio padrão.

Em média o tempo para análise de cada balanço é de43,2 12,3 min.

Var 150,76 12,3

1) O número de acidentes em um trecho de uma rodovia foi computadomês a mês durante o 1o semestre de 2017. Veja os dados obtidos: 20; 14;15; 20; 27 e 30. Calcule a média de acidentes a cada mês e seurespectivo desvio padrão.

21.29

Ocorreram em média 21 5,8 acidentess 34 5,83

Atividades

2) Uma empresa de turismo registrou o número de viagensintermunicipais mensais realizadas por clientes de um programade fidelidade:

Viagens Mensais Número de Clientes

10 12015 40020 150

a) Calcule o desvio padrão;b) Que informação temos quanto ao número de viagens realizadas pelos clientes dessa empresa?

a) = 3,17 ≃ 3 viagens

b) Os clientes do programa de fidelidade entrevistados realizam em média 15 ± 3 viagens intermunicipais mensalmente.

3) Calcule a média, a variância e o desvio padrão de cada sequência dada.

a) 7, 5 , 6, 6, 4, 6, 8, 6, 9 e 3.

b) 7, 5, 11, 8, 3, 6, 2, 1, 9 e 8

c) 64, 49, 54, 64, 97, 66, 76, 44, 71 e 89

d) 70,72, 71, 55, 60, 62, 46, 77, 86 e 71.

Quais das amostras apresentam maior estabilidade?

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Coeficiente de Variação (CV) ou desvio-padrão relativo

• Mede a dispersão em termos relativos a seu valor médio.• Quanto menor for o valor do coeficiente de variação, maishomogêneos serão os dados, ou seja, menor será a dispersão emtorno da média. De uma forma geral, se o CV:

For menor ou igual a 15% → baixa dispersão: dados homogêneosFor entre 15 e 30% → média dispersãoFor maior que 30% → alta dispersão: dados heterogêneos.

• Usado em campos como engenharia e física quando se fazemestudos de garantia de qualidade e avaliações de repetitividade ereprodutibilidade.

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Coeficiente de Variação (CV) ou desvio-padrão relativo

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Exemplo: Desempenho Escolar

Conclusão: em relação a média, as notas do Alexandre são,aproximadamente, três vezes mais dispersas que as notas daCamila.

Alexandre CamilaMédia 7,0 7,0

Desvio Padrão 2 0,71C.V 28,57% 10,14%

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https://www.youtube.com/watch?v=_RDtRmb8G4Y

Como calcular média e desvio padrão com a calculadora Casio FX-82MS