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Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Aerodinâmica I
2º Semestre 2014/15 1º Exame, 9 de Junho de 2015 Nome : Hora : 11:30 Número: Duração : 3 horas 1ª Parte : Sem consulta 2ª Parte : Consulta limitada a livros de texto e folhas da disciplina
1ª Parte
Em cada alínea, assinale com verdadeiro (V) ou falso (F) cada um dos quadrados, sabendo que podem existir todas as combinações possíveis de verdadeiro e falso. A cotação das respostas é a seguinte: Quadrado correctamente preenchido 0,25 valores. Quadrado em branco 0 Quadrado incorrectamente preenchido -0,15 valores.
1. Num perfil sustentador a pequenos ângulos de ataque
V e em fluido perfeito, o ângulo de sustentação nula depende da curvatura do perfil.
F o bordo de ataque é sempre um ponto de estagnação.
V a variação do coeficiente de sustentação com o ângulo de ataque é linear e o declive da recta depende da espessura do perfil.
V e em escoamento subsónico (número de Mach menor do que o Mach crítico), o coeficiente de sustentação a um determinado ângulo de ataque depende do número de Mach.
2. O potencial complexo ( ) 4zzW = com iiz x y re θ= + = define o escoamento bi-
dimensional, incompressível e irrotacional em torno de um diedro de ângulo αααα.
F 8
πα = .
V A função de corrente ( )θψ 4sen4r= .
V As linhas de pressão constante (isobáricas) são circunferências ( constanter = ).
V A componente vertical da velocidade, V , ao longo do eixo imaginário positivo é igual a34yV = .
3. A figura em baixo ilustra o escoamento em torno de três corpos distintos.
V O corpo que exibe um coeficiente de resistência menos dependReynolds é o C.
F O coeficiente de resistência do corpo (tensão de corte na parede)
F O coeficiente de sustentação médio dos três escoamentos é nulo.
V Para o escoamento representado na figura regime laminar.
4. A figura em baixo apresenta o escoamento estacionário, irrotacional, bidimensional e incompressível obtido a partir da sobreposição de um escoamento uniforme de velocidade U e uma linha de singularidades de intensidade
F I=Uh/2.
V A linha de singularidades é uma linha de fontes
V 0=+ BA ψψ .
V A distância da linha de singularidades ao ponto de estagnação é menor do que
A figura em baixo ilustra o escoamento em torno de três corpos distintos.
O corpo que exibe um coeficiente de resistência menos dependente do número de
O coeficiente de resistência do corpo A é essencialmente devido à resistência dede).
O coeficiente de sustentação médio dos três escoamentos é nulo.
Para o escoamento representado na figura B a separação da camada limite ocorre em
A figura em baixo apresenta o escoamento estacionário, irrotacional, bidimensional e incompressível obtido a partir da sobreposição de um escoamento uniforme de
e uma linha de singularidades de intensidade I.
gularidades é uma linha de fontes.
distância da linha de singularidades ao ponto de estagnação é menor do que
A figura em baixo ilustra o escoamento em torno de três corpos distintos.
ente do número de
é essencialmente devido à resistência de atrito
da limite ocorre em
A figura em baixo apresenta o escoamento estacionário, irrotacional, bidimensional e incompressível obtido a partir da sobreposição de um escoamento uniforme de
distância da linha de singularidades ao ponto de estagnação é menor do que h.
5. A figura em baixo ilustra dois escoamentoincompressíveis.
V O escoamento do plano escoamento no plano ζζζζ.
F Os dois escoamentos têm a mesma circulação e
V O coeficiente de pressão máxmáximo no plano ζζζζ.
V O coeficiente de pressão mínimo de coeficiente de pressão mínimo do plano
6. A figura em baixo apresenta a distribuição de circulação ângulo de ataque efectivo envergadura (raíz da asa em y=0) de uma asa finita com um alongamento ângulo de ataque de 0º, cuja secção é um perfil simétrico.
F A linha B corresponde ao ângulo de ataque induzido.
V A asa tem afilamento.
F A asa tem torção negativa.
F A linha C corresponde ao coeficiente de sustentação.
y/cr
α
0 1-0.5
0
0.5
1
1.5
2
A
B
A figura em baixo ilustra dois escoamentos estacionários, irrotacionais, bidimensionais e
O escoamento do plano z é obtido aplicando a transformação de Joukowski a
têm a mesma circulação e coeficientes de sustentação idên
O coeficiente de pressão máximo no plano z é menor do que o coeficiente de pressão
coeficiente de pressão mínimo no plano z encontra-se no ponto transformado do ponto de coeficiente de pressão mínimo do plano ζζζζ.
figura em baixo apresenta a distribuição de circulação Γ, coeficiente de sustentação Cângulo de ataque efectivo αe e ângulo de ataque induzido αi ao longo da semienvergadura (raíz da asa em y=0) de uma asa finita com um alongamento
, cuja secção é um perfil simétrico.
corresponde ao ângulo de ataque induzido.
corresponde ao coeficiente de sustentação.
2y/c
r
-Γ/(
U∞c r)
0 1 20
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
C
D
s estacionários, irrotacionais, bidimensionais e
de Joukowski ao
cientes de sustentação idênticos.
que o coeficiente de pressão
se no ponto transformado do ponto
, coeficiente de sustentação Cl, ao longo da semi-
envergadura (raíz da asa em y=0) de uma asa finita com um alongamento Λ=8,57 a um
Cl
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
7. Em escoamento permanente, incompressível e irrotacional de um fluido perfeito
F a função de corrente obedece à equação de Laplace para escoamento bi ou tridimensional.
F a velocidade radial induzida por uma fonte pontual é inversamente proporcional à
distância à fonte d, d
Vr
1∝ .
V não há condições de fronteira para a componente tangencial da velocidade numa superfície sólida.
F só se pode aplicar a equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente.
8. A figura em baixo apresenta as distribuições de pressão medidas no multimanómetro do Laboratório para ângulos de ataque de -5º graus e 2º graus. As 36 tomadas de pressão medem a pressão total e estática do escoamento à entrada do túnel e 34 pressões estáticas ao longo da secção central da asa incluindo o bordo de ataque e o bordo de fuga.
Ângulo A Ângulo B
V O ângulo de ataque A corresponde a -5º graus.
F O primeiro tubo do multimanómetro (tubo mais à esquerda nas imagens) mede a pressão estática de referência à entrada do túnel.
F Os tubos ímpares (5 a 35) medem a pressão estática no intradorso e os tubos pares (4 a 34) medem a pressão estática no extradorso.
F A pressão estática no bordo de fuga (último tubo) é menor do que a pressão total do escoamento de aproximação porque o bordo de fuga não é um ponto de estagnação.
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Aerodinâmica I
2º Semestre 2014/15 1º Exame, 9 de Junho de 2015 Nome : Hora : 11:30 Número: Duração : 3 horas 1ª Parte : Sem consulta 2ª Parte : Consulta limitada a livros de texto e folhas da disciplina
2ª Parte
1. O circuito de arrefecimento de uma fábrica retira um caudal M da margem de um rio com velocidade média U utilizando duas tomadas (A e B) colocadas na margem a uma distância d, tal como ilustra a figura em baixo.
Admita que a água é um fluido perfeito e que o escoamento é permanente, bi-dimensional, incompressível e irrotacional. Despreze o efeito da outra margem do rio (que não está representada na figura). a) Indicando claramente o sistema de eixos que utilizou, escreva o potencial complexo
que representa o escoamento para as seguintes situações: i) Admissão em A e descarga em B. ii) Descarga em A e admissão em B.
O caudal emitido/absorvido pela fonte/poço tem de ser igual a 2M porque apenas metade do caudal é emitido/absorvido para πθ ≤≤0 . Para o sistema de eixos representado em cima temos
i) ( ) ( ) ( )22 lnln dzM
dzM
UzzW −++−=ππ
com πθ ≤≤0 ou 0≥y .
ii) ( ) ( ) ( )22 lnln dzM
dzM
UzzW −−++=ππ
com πθ ≤≤0 ou 0≥y .
b) Qual das soluções anteriores (i ou ii) se deve utilizar para garantir que não há
recirculação de água no circuito de arrefecimento? Justifique a resposta. A existência de recirculação de água no circuito de arrefecimento depende do comportamento das linhas de corrente divisórias. A condição que garante que o caudal emitido pela fonte não é absorvido pelo poço é a existência de um ponto de
estagnação na parede entre A e B, i.e. .022 =∧≤≤− ydxd
Os pontos de estagnação são determinados pela equação 0=dz
dW o que conduz às
seguintes soluções:
i) 2
2
21
Ud
Mdz
π−±= .
ii) 2
2
21
Ud
Mdz
π+±= .
A solução ii) nunca exibe pontos de estagnação entre a fonte e o poço. A linha de corrente divisória inclui a fonte e o poço (os pontos de estagnação estão à esquerda da fonte e à direita do poço) o que quer dizer que todo o caudal emitido pela fonte é absorvido pelo poço.
X X+M -M
A mesma conclusão podia ter sido obtida graficamente analisando as velocidades induzidas por cada um dos três escoamentos elementares que compoem a solução deste escoamento.
É óbvio que não se pode obter pontos de estagnação entre a fonte e o poço. A igualdade de intensidade da fonte e do poço garante que os pontos de estagnação estão à mesma distância da fonte e do poço.
A solução i) conduz a dois pontos de estagnação entre o poço e a fonte para valores
de Ud
Mque garantam raízes reais para os pontos de estagnação. Graficamente, pode-se
ver que só podem existir pontos de estagnação no eixo real entre o poço e a fonte.
Por exemplo, para um valor de 8
π=
Ud
M temos
c) Para uma distância entre tomadas de 50m e uma velocidade média do rio de 0,5m/s, determine o caudal máximo de água Mmax para que não haja recirculação de água no circuito de arrefecimento.
X X-M +M
A situação limite para evitar recirculação de água no circuito de arrefecimento
corresponde a um raíz dupla da equação 2
2
21
Ud
Mdz
π−±= em 0=z . O que
equivale a 6,194
02
12
==⇔=− UdMUd
M π
πm2/s. As linhas de corrente
correspondentes estão ilustradas na figura em baixo.
d) Utilizando como condições de referência (p∞ e U∞=U) a pressão e velocidade no rio a grandes distâncias das tomadas de água, determine a localização dos pontos na margem do rio em que o coeficiente de pressão é igual a zero, Cp=0.
Para as condições de referência dadas ∞=⇒= UUC p
�
0 que em termos de potencial
complexo se escreve UU ±=⇔=dz
dW
dz
dW. Na margem do rio xz = e a
velocidade só tem componente real cujo valor absoluto é igual ao módulo da velocidade.
A montante do poço e a juzante da fonte o módulo da velocidade tem de ser maior do que U e tende para U quando ∞→x . Entre o poço e a fonte a velocidade só se pode satisfazer a condição pretendida se dzdW / for igual a U- , o que equivale a
X X-M +M
2222
111
Ud
M
d
zU
dzdz
MU
ππ−±=⇔−=
+−
−+ .
Para as condições da alínea c) obtem-se 2707,0 dz ±= .
2. Considere o escoamento estacionário, bi-dimensional, potencial e incompressível em
torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e está centrado no ponto
( )020;0 ,i do referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo
α, (|α|<π/6), com o eixo real ξ e tem uma velocidade com um módulo igual a U∞. No centro do cilindro existe um vórtice com a intensidade necessária para que o ponto de
intersecção do cilindro com o eixo real positivo, ξ=b, seja um ponto de estagnação.
a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento em função do ângulo de
ataque α indicando claramente o sistema de eixos que utilizou.
Para um centro do cilindro dado por 0200 ,o i+=ζ define-se um sistema de coordenadas
auxiliar *** ηξζ i+= dado por ( ) αζζζ i−−= eo
* ou αζζζ ieo
*+= . A circulação Γ
necessária para garantir que o ponto de coordenadas b=ζ é um ponto de estagnação é
igual a ( )βαπ +−=Γ ∞senU4 com ( ) º146,102,002,0 === radarcsenβ . O potencial
complexo é dado por ( ) ( )**
** ln2
1ζ
πζζζ
Γ−
+= ∞ iUW .
b) Determine a gama de ângulos de ataque para a qual o produto das coordenadas reais de todos os pontos de coeficiente de pressão máximo e mínimo é menor do que 0,05.
( )( ) ( )( ) 05,0max
max
min
min<
×
∏∏n
jj
C
n
ii
C ppξξ . nmin é o número de pontos onde o coeficiente de
pressão é mínimo e nmax é o número de pontos onde o coeficiente de pressão é máximo. Para um ângulo de ataque genérico α, existem dois pontos de estagnação em que o coeficiente de pressão é máximo (e igual a 1). A coordenada real destes dois pontos determina-se facilmente a partir da figura em baixo.
( )( )( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
+−=
=⇔
++=
=
βαξ
βξ
βαπξ
ξ
2cos
cos
2cos2
1
2
1
max
max
max
max
p
p
p
p
C
C
C
C b
O(s) ponto(s) de coeficiente de pressão mínimo encontram-se na intersecção do eixo perpendicular ao escoamento de aproximação (η*) com a circunferência tal como ilustrado na figura em baixo.
( )( ) ( )
( )( ) ( )ααπ
ξβα
ααπ
ξβα
sen2
3cos
sen2
cos
min
min
=
+=⇒−≤
−=
+=⇒−≥
p
p
C
C
Para satisfazer a condição pedida temos:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 05,02coscossen05,0
05,02coscossen05,0
21
21
maxmaxmin
maxmaxmin
<+−⇒<⇒−<
<+⇒<⇒−>
βαβαξξξβα
βαβαξξξβα
ppp
ppp
CCC
CCC
As duas inequações não lineares resolvem-se facilmente com um método de iteração de ponto fixo escrevendo:
( ) ( )
( ) ( )º88,2
2coscos
05,0arcsen
º89,22coscos
05,0arcsen
−=⇒
+
−=⇒−≤
=⇒
+=⇒−>
αβαβ
αβα
αβαβ
αβα
o que equivale a uma gama de ângulos de ataque igual a º89,2º88.2 <<− α para
satisfazer a condição ( )( ) ( )( ) 05,0max
max
min
min<
×
∏∏n
jj
C
n
ii
C ppξξ .
Considere a transformação conforme de Joukowski que
transforma o cilindro num perfil sustentador.
c) Represente qualitativamente o escoamento no plano transformado identificando claramente a forma do perfil para o ângulo de ataque α em que o centro de pressão se encontra a meio da corda, 5,0/ =cxcp (com 0/ =cx no bordo de ataque).
Um perfil de Joukowski tem coeficiente de momento de picada em torno do centro do perfil igual a zero para ângulo de ataque igual a 0º. Como o centro de pressão é por definição o ponto em relação ao qual o momento é nulo, o ângulo de ataque é º0=α . Como o cilindro está centrado no eixo imaginário positivo o perfil não tem espessura
0/ =cd e tem curvatura positiva com uma flecha máxima de ( ) .01,0tan2/1/ == βcf
2
com ib
z z x yζζ
= + = +
d) Para o perfil obtido no plano transformado, determine a localização do centro aerodinâmico e o coeficiente de momento em torno do centro aerodinâmico. A localização do centro aerodinâmico para um referencial com a origem no centro do
perfil é dada por
α
α
d
dCd
dC
c
x
l
m
ca
c
= . Para um perfil de Joukowski sem espessura
.4
1
22 −=
−=
π
π
c
xca
Sabendo a localização do centro aerodinâmico pode-se calcular facilmente o coeficiente de momento em torno do centro aerodinâmico utilizando o esquema em cima correspondente a º0=α . .031,0225,0 =×= πβ
camC
3. Uma aeronave que pesa 5078N tem uma asa sem torção com uma área S=8m2. A secção
da asa é um perfil com um ângulo de sustentação nula igual a -2º graus (β=2º graus) em que o efeito da viscosidade no coeficiente de sustentação anula o aumento de sustentação devido à espessura do perfil. A pequenos ângulos de ataque e para números de Reynolds entre 106 e 4×106 o coeficiente de resistência do perfil é igual a Cd=0,006. A voar a 162km/h a altitude constante numa zona com vento frontal a 36km/h e fazendo um ângulo de 5º graus com a direcção horizontal (componente horizontal do vento na
direcção contrária à força de propulsão e componente vertical do vento na direcção contrária ao peso) a força de propulsão é igual a 77,2N. Admita em primeira aproximação que a força de resistência da aeronave se deve apenas à asa. ( 3
ar
2
ar kg/m/s,m 2,11051,1 5 =×= − ρν )
a) Determine o coeficiente de sustentação da asa, CL.
b) Determine o coeficiente de resistência da asa, CD.
Escolhendo um sistema de eixos solidário com a aeronave, a velocidade do escoamento de aproximação U∞ faz um ângulo ε com a direcção horizontal (x) como se ilustra na figura em baixo. A figura apresenta também o equilíbrio entre o peso, a força de propulsão e a força aerodinâmica composta pelas forças de sustentação e resistência.
m/skm/h
m/skm/h
87,014,3)º5sen(
96,549,197)º5cos(
===
==+=
∞
∞
ventoy
ventoaerox
UU
UUU
º909,0arctg
96,549,19722
=
=
==+=
∞
∞
∞∞∞
x
y
yx
U
U
UUU
ε
m/skm/h
O equilíbrio de forças nas direcções x e y conduzem a
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
=+
=−
⇔
=+
=−
∞
∞
WCCSU
TCCSU
WDL
TLD
DL
LD
εερ
εερ
εε
εε
sencos2
1
sencos2
1
sencos
sencos
2
2
em que as únicas incógnitas são CD e CL. A solução é CD=0,0109 e CL=0,35.
c) Estime o valor mínimo do alongamento da asa, Λ.
O coeficiente de resistência da asa pode ser obtido pela soma dos coeficientes de resistência de perfil e de resistência induzida (pela esteira)
iperfil DDD CCC += . Utilizando
a teoria da linha sustentadora podemos determinar iDC em função do alongamento da
asa, Λ , ( )δπ
+Λ
= 12L
D
CC
l. Como o coeficiente de resistência da secção da asa é constante
temos 006,0== dD CCperfil
, pelo que ( )( )δπ
+−
=Λ 12
perfilDD
L
CC
C. O menor valor do
alongamento obtem-se para uma asa com distribuição de circulação elíptica ( 0=δ ) e é igual a 896,7 ≅=Λ .
d) Estime a velocidade de cruzeiro da aeronave numa zona sem vento fazendo as
aproximações que achar necessárias e admitindo que a configuração da asa não se altera.
Admitindo que a distribuição de circulação é elíptica, podemos estimar o ângulo de ataque a que está a funcionar a asa nas condições das alínea anteriores.
º989,10347,035,0180
2
8
1
2
11
==⇒=
+
+
= radαπ
α
ππ
LC
Numa zona sem vento o ângulo de ataque é menor devido à ausência de ε, pelo que
rad019,0º08,1)),),) ==−= εαα cbad o que implica 27,0=LC . A partir do equilíbrio entre
o peso e a força de sustentação obtemos
.2256,622
2
1 2 km/hm/s ==⇔=⇔= ∞∞∞ USC
WUSCUW
L
L ρρ