1Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng

Modelos Matematicos de Sistemas

Introdução;Equações Diferenciais de Sistemas Físicos;Aproximações Lineares de Sistemas Físicos;Transformada de Laplace;Função de Transferência de Sistemas Lineares;Modelos em Diagrama de Blocos;Modelos em Diagramas de Fluxo de Sinais;Analise Computacional de Sistemas de Controle;Exemplo de Projetos.

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Equações Diferenciais de Sistemas Físicos

( ) ( ) 0a sT t T t− =

( ) ( ) ( )s aw t w t w t= −

As Equações Diferenciais que descrevem o desempenho de um sistema dinâmico de um sistema físico são obtidas u tilizando-se as Leis físicas do processo.

(a) Sistema de Torção Massa-Mola (b) Elemento Mola

Variável-Através

Variável-Sobre

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Resumo das Variáveis Através e Sobre para Sistemas Físi cos

Diferença de Temperatura T21

Energia Térmica HFluxo Térmico qTérmico

Momento de Pressão (21

Diferença de Pressão P21

Volume VVazão Volumétrica Q

Fluido

Diferença de deslocamento angular 221

Diferença de velocidade angular T21

Momento cinético hTorque TMecânico em Rotação

Diferença de deslocamento y21

Diferença de velocidade v21

Quantidade de Movimento P

Força FMecânico em Translação

Enlace de Fluxo 821

Diferença de Tensão v21

Carga qCorrente iElétrico

Variável Através Integrada

Variável de Elemento Sobre

Variável Através Integrada

Variável deElemento Através

Sistema

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Sistema Massa-Mola-Amortecedor

2

2

( ) ( )( ) ( )

d y t dy tM b ky t r t

dt dt+ + =

(b) Diagrama Corpo Livre

(a) Sistema Massa-Mola-Amortecedor

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Circuito RLC

0

( ) ( ) 1( ) ( )

tv t dv tC v t dt r t

R dT L+ + =∫

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Solução da Equação Diferencial

Métodos Clássicos:1. Fatores de Integração2. Método dos coeficientes a determinar3. Transformada de Laplace

11 1 1( ) ( )ty t K e sen tβ θ−α= +

22 2 2( ) ( )tv t K e sen tβ θ−α= +

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Aproximações Lineares de Sistemas Físicos

� Os modelos mais precisos de sistemas físicos são não-lineares.

� A Transformada de Laplace não pode ser utilizada na solução de equações diferenciais não-lineares.

Técnica de Linearização de sistemas não-lineares

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Modelo Oscilador Tipo Pendulo

L →→→→ comprimento do pêndulo;M →→→→ massa do pêndulo;f →→→→ força que atua no pêndulo;g →→→→ gravidade.

L

g

d t

dtt.

( )sen ( )

2

2

θθ= −

A equação diferencial que descreve o movimento do p êndulo

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Série de Taylor

f fdf

d

d f

d( ) ( ) .( ) .

( )

!......

( ) ( )θ θ

θθ θ

θθ θ

θ θ θ θ= + − +

−+

= =00

0

2

20

02

2

Se a variação “q - θ0” é pequena, os termos de maior grau podem ser desprezados na série de Taylor. Isto resulta em:

f(θ) = sen θ , e:

Como, o pêndulo mostrado, opera na região em que , pode-se linearizar a função em torno do ponto .

L

g

d t

dtt.

( )( )

2

2

θθ= −

f fdf

d( ) ( ) . ( )

( )θ θ

θθ θ

θ θ≅ + −

=00

0

{ } ( )sen sen cos .θ θ θ θ θ= + −0 0 0

( )sen .θ θ≅ + − ∴0 1 00 senθ θ≅

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Transformada de Laplace

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FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

Onde: n≥mx(t) ⇒ entrada (função excitação) e y(t) ⇒ saída (função resposta)

A FT de um LTI é definida como sendo a relação entre as Transformadas de Laplace da saída e da entrada, com todas as condições iniciais nulas.

LTI – Linear Time Invariant - Sistema Linear Invariante no Tempo

1 1

0 1 1 0 1 11 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... . ( ) ... . ( )

n n m m

n n m mn n m m

d y t d y t dy t d x t d x t dx ta a a a y t b b b b x t

dt dt dt dt dt dt

− −

− −− −+ + + = + + +

( ) ( )a a S a a Y s b b b b X sn nn n

m mm m0 1

11 0 1

11.S .... .S ( ) .S .S .... .S ( )+ + + + = + + + +−

−−

−

Aplicando-se a transformação de laplace, temos:

10 1 1

10 1 1

. . .... .( )( )

( ) . . .... .

m mm m

n nn n

b S b S b S bY sG s

X s a S a S a S a

−−

−−

+ + + += =+ + + +

Função de Transferência

Sistema de ordem n

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COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

A FT de um sistema é uma propriedade que independende d a natureza e da magnitude da entrada;

Possibilitar um sistema dinâmico ser representado por expressões algébricas da variável complexa “S”;

A FT não fornece informações a respeito da estrutura f ísica do sistema. A FT de sistemas fisicamente diferentes pod em ser idênticas;

Se a FT de um sistema é conhecida, a resposta do mesm o pode ser analisada para diferentes formas de excitação (ent rada), com a finalidade de compreender a natureza e o comportament o do sistema;

Se a FT pode ser obtida experimentalmente pela introdu ção de sinais de entrada conhecidos e estudando-se as respo stas obtidas.

A FT fornece uma descrição completa das característi cas dinâmicas do sistema.