Estabilidade no Domínio da Freqüência -...

1Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng

Estabilidade no Domínio da Freqüência

Introdução;Mapeamento de Contornos no Plano s;Critério de Nyquist;Estabilidade Relativa;Critério de Desempenho no Domínio do Tempo Especificado no Domínio da Freqüência;Banda Passante de Sistema;Estabilidade de Sistemas com Atrasos;Controlador PID no Domínio da Freqüência;Estabilidade no Domínio da Freqüência usando MATLAB.


1 2

( )( 1)( 1)

KGH s

s sτ τ=

+ +

Exemplo: Sistema com dois pólos reaisUm sistema de controle monomalha onde:

100( )

( 1)( 1)10

GH ss

s=

+ +

-180-173,7-150,5-129,3-74,7-50,7-41,5-5,70∠ GH(jω) graus

00,12,246,850,270,779,696100|GH(jω)|

∞1002010210,760,10ω

O no. de pólos de GH(s) no semiplano da direita é zero (P=0). Assim para que o sistema seja estável, é necessário que N=Z=0, e o contorno no plano GH(s) não deve envolver o ponto -1. Neste caso, o sistema é sempre estável para qualquer valor de K.


( )( 1)

KGH s

s sτ=

+

0 0 0lim ( ) lim lim j

j

K KGH s e

eφ

φε ε εε ε−

→ → →

= =

( ) ( )s j

GH s GH jω ω=

=

Exemplo: Sistema com um pólo na origemUm sistema de controle monomalha onde:

a) Origem do Plano s: O pequeno desvio em torno do pólo na origem pode ser representado fazendo que s=εejφ e fazendo que φ varie de -900 em ω=0- a +900 em ω=0+. Assim

b) Trecho de ωωωω=0+ a ωωωω=∞∞∞∞: é mapeado pela função GH(s) como o gráfico polar de freqüênciareal porque s=jω.

Quando ω tende a +∞, tem-se 12

lim ( ) lim lim ( / 2)( 1)

K KGH j tg

j jω ω ωω π ωτ

ω ωτ τω−

→∞ →∞ →∞= = − −

+


( )( 1)

KGH s

s sτ=

+

22

lim ( ) lim j

r r

KGH s e

rφ−

→∞ →∞=

( ) ( )s j

GH s GH jω ω=−

= −

c) Trecho de ωωωω=+∞∞∞∞ a ωωωω=-∞∞∞∞: é mapeado no ponto na origem do plano GH(s). O mapeamento é representado por:

d) Trecho de ωωωω=-∞∞∞∞ a ωωωω=0: é mapeado pela função GH(s) como:

Como P=0, para que o sistema seja estável → N=Z=0. Independente do valor do ganho K e da constante de tempo τ, o contorno não envolve o ponto -1. O sistema é sempre estável.


1 2

( )( 1)( 1)

KGH s

s s sτ τ=

+ +

1 11 23

1 2

31 2

lim ( ) lim ( / 2)

lim (3 / 2)

KGH j tg tg

K

ω ω

ω

ω π ωτ ωτω τ τ

πω τ τ

− −

→∞ →∞

→∞

= − − −

= −

Exemplo: Sistema de três pólos.Um sistema monomalha

Para investigar a estabilidade é suficiente traçar o gráfico da parte do contorno ΓGH que representa o diagrama polar de freqüência real GH(jω) no intervalo 0+< ω<+∞, Assim

1 2 1 2

21 2

2 2 2 2 2 21 2

1 11 11/ 24 2 2 2 2

1 2 1 2

(1/ )(1 )( )

( 1)( 1) 1 ( )

( / 2)( ) (1 )

K jKKGH s

j j j

Ktg tg

ω ω τ τω τ ω τ ω ω τ τ ω τ τ

ωτ ωτ πω τ τ ω ω τ τ

− −

− − −= =+ + + + +

= − − − + + −

Quando ω tende a +∞


1 2 1 2

21 2

2 2 2 2 2 2

(1/ )(1 )0

1 ( )

Kv

ω ω τ τω τ τ ω τ τ

− −= =+ + +

O no. de circunscrições quando o ponto -1 estiver no interior do contorno é igual a 2 e o sistema é instável , apresentando duas raízes no semiplanos da direita.

O ponto onde o lugar GH(s) intercepta o eixo real pode ser achado fazendo-se a parte imaginária de GH(jω)=u+jv, Assim,

O valor da parte real, u, de GH(jω) nesta freqüência é

21 2 1 2 1 21 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 21/

( ) ( )

1 ( ) ( ) ( )

K K Ku

ω τ τ

τ τ τ τ τ τ τ τω τ τ ω τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

=

− + − + −= = =+ + + + + + +

Portanto, o sistema será instável quando

1 2 1 2

1 2 1 2

( )1

( )

Kou K

τ τ τ ττ τ τ τ− +≥ − ≤

+


2( )

( 1)

KGH s

s s=

+

2K ≤

Considere-se o caso que τ1=τ2=1, de modo que

1 2

1 2

( )K

τ ττ τ

+≤Fazendo uso da inequação,

Há expectativa de estabilidade quando

Diagrama de Nyquist para 3 valores de K.


2( )

( 1)

KGH s

s sτ=

+

20 0lim ( ) lim

KGH j

ω ωω π

ω→ →

= −

3lim ( ) lim 3 / 2

KGH j

ω ωω π

ω→∞ →+∞

= −

220 0

lim ( ) lim jKGH j e φ

ε εω

ε−

→ →=

Exemplo: Sistema com pólos na origem.Um sistema monomalha

O gráfico polar de freqüência real é obtido

12 4 2 6

( )( 1)

K KGH j tg

j jω π ωτ

ω ωτ ω τ ω−= = − −

+ +

Nota-se que o ângulo de GH(jω) é sempre -1800 ou maior, e o lugar de GH(jω) fica acima do eixo dos u para todos os valores de ω. À medida que ω tende a 0+, tem-se

À medida que ω tende a +∞, tem-se

No pequeno desvio semicircular em torno da origem, tem-se

Em que -π/2<φ<π/2. Como o gráfico envolve o ponto -1 duas vezes, há duas raízes no semiplano s da direita, e o sistema é instável, independente do valor de K.


01 1

0 0 0lim ( ) lim lim 180

j

K KGH j

e φε ε εω φ

ε ε→ → →

= = − −

1

2 4

1

2 4

( ) ( / 2) ( )( 1)

( / 2)

K KGH j tg

j j

Ktg

ω π ωω ω ω ω

π ωω ω

−

−

= = − − −− +

= ++

22

lim ( ) limj

j

r rs re

KGH s e

rφ

φ−

→∞ →∞=

=

2Z N P= + =

Exemplo: Sistema com um pólo no semiplano da direita.

Considerar o sistema de controle e determinar sua estabilidade.

Considerando primeiramente o sistema sem retroação derivativa, de modo que K2=0.

Assim P=1. Para que o sistema seja estável, é necessário que N=-P=-1, uma circunscrição do ponto -1 no sentido anti-horário.

1( )( 1)

KGH s

s s=

−

No desvio semicircular em torno da origem, tem-se

Quando s=jω, tem-se

Para o circulo de raio r→∞, tem-se

É INSTAVEL, pois


Agora, considerar que o sistema inclui uma realimentação derivativa (K2>0).A FT a malha aberta é

1 2(1 )( )

( 1)

K KGH s

s s

+=−

1 2lim ( ) limj

j

r rs re

K KGH s e

rφ

φ−

→∞ →∞=

=

2 2 31 2 1 2 2 1

2 2 4

(1 ) ( ) ( )( )

K K j K K j K KGH j

j

ω ω ω ω ωωω ω ω ω

+ − + + −= =− − +

32 0Kω ω− =

Quando s=ejφ com r tendendo ao infinito, tem-se

O lugar GH(jω) corta o eixo u e é determinado considerando-se a FT de freqüência real

O lugar GH(jω) corta o eixo dos u e um ponto onde o valor da parte imaginaria de GH(jω) é igual a zero. Assim,

Neste ponto, o valor da parte real de GH(jω) na interseção é

22

22

21 2

1 22 41/1/

(1 )K

K

K Ku K Kω

ω

ωω ω=

=

− += = −+


1 1 0Z N P= + = − + =

Exemplo: Sistema com um zero no semiplano s da direitaSeja o sistema

2

( 2)( )

( 1)

K sGH s

s

−=+

2 2

( 2) ( 2)( )

( 1) (1 ) 2

K j K jGH j

j j

ω ωωω ω ω

− −= =+ − +

lim ( ) lim / 2K

GH jω ω

ω πω→∞ →+∞

= −

1Z N P= + =

Portanto, quando –K1K2<-1 ou K1K2>1, o contorno ΓGH envolve o ponto -1 uma vez no sentido anti-horário, assim N=-1. O numero de zeros Z no semiplano s da direita é

O sistema é estável quando K1K2>1 .

Observa-se que o sistema é estável na configuração a malha aberta.

À medida que ω tende a +∞ no eixo +jω, tem-se

O sistema é estável para 0<K<1/2 (intercepta o ponto (-1+j0). Quando K>1/2, N=1, sendo P=0. O sistema é instável


Estabilidade Relativa e Critério de Nyquist

1 2

( )( 1)( 1)

KGH j

j j jω

ω ωτ ωτ=

+ +

1 2

1 2( )

Ku

τ ττ τ−=

+

1 2

1 2

1u ou Kτ ττ τ+= − =

Definiu-se a estabilidade relativa de um sistema como a propriedade medida pelo tempo de assentamento de cada raiz ou par de raízes.Portanto, um sistema com menor tempo de assentamento é considerado relativamente mais estável.O critério de estabilidade de Nyquist é definido em termos do ponto (-1,0) no diagrama polar, ou do ponto 0 dB, -1800 nos diagrama de bode ou nos diagramas de magnitude logarítmica-ângulo de fase.Obviamente, a proximidade do lugar GH(jω) em relação a este ponto é uma medida da estabilidade relativa. O gráfico polar de GH(jω) para vários valores de K

A medida que K aumenta se aproxima de -1, e envolve para K3.Intercepta o eixo u em

O sistema possui raízes no eixo jω quando


1

1 2

1 2

1 1

( ) ( )

K

GH j d

τ τω τ τ

− −= = +

120log 20log dBd

d = −

Esta medida de estabilidade é chamada de MARGEM DE GANHOMARGEM DE GANHO e é definida pelo inverso do ganho | GH(jωωωω)| na freqüência para a qual o ângulo de fase atinge o valor de -180 0 (isto é v=0).Indica o fator pelo qual o ganho do sistema pode ser aumentado, para atingir o limiar de estabilidade.Quando o deslocamento de fase é -1800, tem-se a margem de ganho igual a

A margem de ganho em termos de uma medida logarítmica (decibel) é

Por exemplo, quando τ1=τ2=1, o sistema é estável para K>2. Assim, para K=K2=0,5, a margem de ganho será

1

1 2

1 2

14

( )

K

d

τ ττ τ

− −= = +

20log 4 12 dB=Em medida logarítmica


A margem de ganho é o acréscimo no ganho do sistema, quando a fase for igual a -180, e que resultará em um sistema marginal mente estável, com a

interseção no ponto -1+j0 pelo diagrama de Nyquist.

A margem de fase é quanto de defasagem de GH(jωωωω) com magnitude unitária que resultará em um sistema marginalmente e stável com

interseção do ponto -1+j0 pelo diagrama de Nyquist.

Uma medida alternativa da estabilidade relativa pode ser definida em termos do ângulo de margem de fase entre um sistema especifico e um marginalmente estável.Quando o lugar GH(jω) intercepta (-1,0) há diversas raízes da EC sobre o eixo jω.A MARGEM DE FASEMARGEM DE FASE é definida como o ângulo de fase segundo o qual o lugar GH(jω) deve ser girado de modo que a magnitude unitária |GH(jωωωω)|=1 passe pelo ponto (-1,0) no plano GH(jω).Esta medida de estabilidade relativa é igual ao atraso de fase adicional requerido para que o sistema se torne instável.


( )( 1)(0,2 1)

KGH j

j j jω

ω ω ω=

+ +

A margem de ganho e fase são calculadas no Diagrama de Bode

Para o sistema

Margem de Ganho = 15 dB

Margem de Fase = 180-137=430


1( )( 1)(0,2 1)

KGH j

j j jω

ω ω ω=

+ +

2 2( )

( 1)

KGH j

j jω

ω ω=

+

A resposta de freqüência de um sistema pode ser retratada por um diagrama cujos eixos são magnitude logarítmica e o ângulo de fase (Diagrama de Nichols).

Exemplos comparativos:

MG1= 15 dB, e MF1= 430

MG2= 5,7 dB, e MF2= 200

Quanto o sistema GH2(jω) é menos estável que GH2(jω) ?

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