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Universidade Federal de Minas GeraisInstituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática

Caracterização dos Números que se Comportam como Primos em Alguns

Subconjuntos dos Inteiros Gaussianos (Z[i])

Aldo Correia SaldanhaAgosto – 2011

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1 - Histórico e Objetivo

O presente trabalho tem início em fins de agosto de 2009, em um exercício proposto em sala de aula na disciplina Álgebra I dessa Pós- Graduação.O exercício proposto era determinar quais são os números que se comportam como números primos no conjunto dos números pares.O problema foi resolvido e generalizado para qualquer conjunto de múltiplos de números primos no conjunto dos números Naturais.

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Manuscrito com parte do enunciado da solução do problema inicial.

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Manuscrito com parte da demonstração do problema inicial.

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Um número p se comporta como primo em k.N quando o número de divisores de p em k.N, com quociente em k.N, é igual ao número de divisores de um número primo em N, ou seja, dois divisores.

k Primos em k.N Divisores do menor primo em k.N

2 8, 12, 20, ... 2, 4

3 18, 27, 45, ... 3, 6

5 50, 75, 125, ... 5, 10

7 98, 147, 245, .. 7, 14

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Enunciado do primeiro teorema da monografia

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Enunciado do principal teorema da monografia

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O conjunto onde trabalharemos, conhecido como Conjunto dos Inteiros Gaussianos, tem esse nome porque foi feita uma homenagem a um grande matemático de nome Johann Friederich Gauss. Johann Friederich Gauss ( 1777 – 1855 ) nasceu em Burnswick, Alemanha e foi um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Sua preferência, no universo da matemática, está sintetizada na seguinte frase:

A MATEMÁTICA É A RAINHA DAS CIÊNCIAS E A ARITMÉTICA É A RAINHA DA MATEMÁTCA.

2 – Conjunto dos Inteiros Gaussianos

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Anel dos Inteiros Gaussianos

• O conjunto dos Inteiros Gaussianos possui uma estrutura algébrica conhecida como Anel .

• A teoria dos Anéis é um dos principais assuntos do vasto campo da Álgebra Abstrata.

• Gauss contribuiu para o desenvolvimento da teoria estudando os inteiros algébricos.

• A teoria dos Anéis foi muito desenvolvida no final do século XIX e início do século XX.

• A noção abstrata de Anel foi introduzida na segunda década do século 20.

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Definição de AnelSejam A um conjunto e ( + ) e ( . ) duas operações em A, chamadas de adição e multiplicação. A terna ( A , + , . ) será chamada de Anel se as operações gozarem das seguintes propriedades:

ADIÇÃO• A1 – A Adição é Associativa

Quaisquer que sejam a, b, c є A, tem-se a + ( b + c ) = a + ( b + c )

• A2 – A Adição é Comutativa

Quaisquer que sejam a, b є A, tem-se a + b = b + a

• A3 – Existência do Elemento Neutro para a Adição

Existe z є A tal que z + x = x , para todo x є A

• A4 – Existência do Elemento Simétrico para a Adição

Para todo a є A, existe a’ є A tal que a + a’ = z

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MULTIPLICAÇÃO• A1 – A Multiplicação é Associativa

Quaisquer que sejam a, b, c є A, tem-se ( a . b ) . c = a . ( b . c )

• A2 – A Multiplicação é Comutativa

Quaisquer que sejam a, b є A, tem-se a . b = b . a

• A3 – Existência do Elemento Neutro para a Multiplicação

Existe e є A, e ≠ 0 tal que e . x = x , para todo x є A

DISTRIBUTIVIDADE

• AM – A Multiplicação é distributiva com relação à Adição

Quaisquer que sejam a, b, c є A, tem-se

a . ( b + c ) = a . b + a . c

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Definição de IDEAL

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Definição de Elemento PRIMO

Um elemento p não nulo e não invertível de um Anel A é dito primo, se toda vez que p divide o produto de dois elementos de A, p divide um dos fatores.

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Definição das Operações de Adição e Multiplicação no Conjunto dos Inteiros Gaussianos ( Z[i] )

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Além de Anel, Z[ i ] é um Domínio de Fatoração Única ( DFU ).

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Função Norma

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Caracterização dos Elementos Invertíveis em Z[ i ]

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3 – Números Primos em Z[ i ]

Considerações Preliminares

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Caracterização dos Números Primos em p.Z[ i ]

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