Universidade Estadual de Montes Claros

Departamento de Ciencias Exatas

Curso de Licenciatura em Matematica

Notas de Aulas de

Calculo

Rosivaldo Antonio Goncalves

Notas de aulas que foram elaboradas para orientar

o estudo de conteudos basicos de Matematica para

o curso de Licenciatura em Matematica.

Montes Claros, - 24 de marco de 2012

Capıtulo 1

Introducao

1.1 Coordenadas Cartesianas

1.1.1 Plano

Os pontos de um plano sao identificados com pares ordenados de numerosnaturais reais;

P = (x, y),

sendo x a abscissa de P e y a ordenada de P .

1.1.2 Espaco

Os pontos do espaco sao identificados com ternos ordenados de numeros reais;

P = (x, y, z),

sendo x a abscissa de P, y a ordenada de P e z a cota de P .

1

1.2 Vetores

1.2.1 Plano

O par ordenado (x, y) e identificado com o vetor−→OP , sendo O a origem do

sistema ortogonal de coordenadas cartesianas e P o ponto de coordenadas (x, y).

1.2.2 Espaco

Os vetores no espaco sao introduzidos como ternos ordenados de numerosreais.

1.2.3 Operacoes

i) (x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x+ x′, y + y′, z + z′)

ii) λ(x, y, z) = (λx, λy, λz);

iii) o oposto do vetor −→v = (x, y, z), e o vetor −−→v = (−1)−→v = (−x,−y,−z);

iv) (x, y, z)− (x′, y′, z′) = (x, y, z) + (−1)(x′, y′, z′) = (x− x′, y − y′, z − z′).

Nota 1.2.1−→0 = (0, 0, 0) e chamado vetor nulo.

1.2.4 Propriedades

Quaisquer que sejam os vetores −→u ,−→v e−→w e os escalares λ e β temos,

i) −→u +−→v = −→v +−→u ;

ii) (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w );

iii) −→u +−→0 = −→u ;

iv) −→u + (−−→u ) =−→0 ;

v) (λ+ β)−→u = λ−→u + β−→u ;

vi) λ(−→u +−→v ) = λ−→u + λ−→v ;

vii) (λβ)−→u = λ(β−→u );

2

viii) 1−→u = −→u .

Demonstracao

i) Sejam −→u = (x, y, z) e −→v = (x′, y′, z′). Entao−→u + −→v = (x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x + x′, y + y′, z + z′) = (x′ + x, y′ +y, z′ + z) = (x′, y′, z′) + (x, y, z) = −→v +−→u .

As demonstracoes dos outros itens ficam como exercıcios.�

1.2.5 Norma

Geometricamente, a norma de um vetor −→v =−→OP e o comprimento do seg-

mento geometrico OP que representa o vetor.

i na reta: ‖ x ‖=√x2 =| x |

ii no plano: −→v = (x, y), ‖ −→v ‖=√x2 + y2

iii espaco: −→v = (x, y, z), ‖ −→v ‖=√x2 + y2 + z2

1.3 Produto Escalar

Definimos a adicao e subtracao de vetores e multiplicacao de um vetor porum escalar. Agora iremos definir uma operacao de multiplicacao de dois vetores,chamada produto escalar.

Definicao 1.3.1 Se −→v1 = (x1, y1, z1) e −→v2 = (x2, y2, z2), entao o produto escalar

de −→v1 e −→v2 e dado por

−→v1 · −→v2 = x1x2 + y1y2 + z1z2

Exemplo(2, 3,−1) · (5, 1, 2) = 10 + 3− 2 = 11

PropriedadesQuaisquer que sejam os vetores −→u ,−→v e−→w e o escalar λ temos,

i) −→u · −→v = −→v · −→u

3

ii) −→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w

iii) (λ−→u ) · −→v = λ(−→u · −→v ) = −→u (λ−→v );

iv) −→u · −→u =‖ −→u ‖ 2

As demonstracoes ficam como exercıcios.

Nota 1.3.2 Sobre as posicoes relativas de duas retas, relembremos que:

1. Consideremos as retas r1 e r2, cujas equacoes parametricas sao

dadas,respectivamente, por (x, y) = t(a1, b1) e (x, y) = t(a2, b2),

2. Sabemos que r1 e r2 sao perpendiculares se, e somente se, b1a1

b2a2

= 1, ou

a1a2 + b1b2 = 0, ou (a1, b1) · (a2, b2) = 0

Assim, temos a seguinte definicao.

Definicao 1.3.3 Dizemos que os vetores −→u e−→v sao ortogonais (ou perpendicu-

lares) se, e somente se,

−→u · −→v = 0.Interpretacao geometrica do produto escalar

i) −→u · −→v =‖ −→u ‖‖ −→v ‖ cosα;

ii) seja −→w o vetor projecao do vetor −→v sobre o vetor −→u , entao

‖ −→w ‖=‖ −→v ‖ cosα.

como,

−→u · −→v =‖ −→u ‖‖ −→v ‖ cosα

=‖ −→u ‖ (‖ −→v ‖ cosα)

=‖ −→u ‖‖ −→w ‖,

temos que o produto escalar de −→u e−→v e o comprimento de −→u multiplicadopelo comprimento da projecao de −→v sobre −→u .

4

1.4 Retas no espaco

Definicao 1.4.1 Dois vetores −→u e −→v sao colineares ou paralelos se existe um

numero r tal que −→u = r−→v .

i) Conhecidos um ponto e um vetor: P − P0 = t(P1 − P0)

P = (1− t)P0 + tP1.

ExemplosDeterminar a equacao da reta que passa pelo ponto P0 = (8, 12, 6), paralela

ao vetor −→v = (11, 8, 10).P − P0 = t−→v

(x, y, z)− (8, 12, 6) = t(11, 8, 10)(x, y, z) = (8, 12, 6) + t(11, 8, 10).

1.5 Planos no espaco

Equacao de um plano por um ponto P0 = (x0, y0, z0), perpendicular a umvetor −→v = (a, b, c).

P − P0 ⊥ −→v ,isto e,

−→v · (P − P0) = 0,ou

a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0,ou

ax+ by + cz + d = 0.

Observacoes

i) Dois planos sao paralelos se, e somente se, seus vetores normais foremparalelos;

ii) Dois planos sao perpendiculares se, e somente se, seus vetores normaisforem perpendiculares;

iii) -plano:ax+ by + cz + d = 0;−→η (a, b, c)

-plano:xy(z = 0);−→η = (0, 0, 1)

(a, b, c) · (0, 0, 1) = 0→ os dois planos sao perpendiculares

Um plano tendo uma equacao sem termo em z e perpendicular ao planoxy e, portanto, paralelo ao eixo Oz.

5

iv) -plano:by + cz + d = 0

Perpendicular ao plano yz e portanto paralelo ao eixo Ox.

v) -plano: ax+ cz + d = 0

Perpendicular ao plano xz e portanto paralelo ao eixo Oy.

Exemplo

Determinar a reta intersecao dos planos de equacoes

x− 2y + z − 1 = 0 e 3x+ y − 2z − 3 = 0.

Resolvendo o sistema de equacoes obtemos x = 1 + 37zey = 5

7z.

Assim, temos as equacoes parametricas,

x = 1 + 37t; y = 5

7t; z = t.

Trata-se da reta que passa pelo ponto P0 = (1, 0, 0) na direcao do vetor~v = (3

7, 5

7, 1).

Faca o mesmo para os planos de equacoes: z = −3x+ 4 e z = −2y + 1.

1.6 Bola aberta

Definicao 1.6.1 Sejam a um ponto no Rn e r > 0 um numero real. O conjunto

B(a; r) = {x ∈ Rn; ‖ x− a ‖< r}

denomina-se bola aberta de centro a e raio r.

-reta

B = {x ∈ R; ‖ x− x0 ‖< r}

-plano

B = {(x, y) ∈ R2; ‖ (x, y)− (x0, y0) ‖< r}

-espaco

B = {(x, y, z) ∈ R3; ‖ (x, y, z)− (x0, y0, z0) ‖< r}

6

1.7 Conjunto aberto

Definicao 1.7.1 Dizemos que (x0, y0) ∈ A e um ponto interior de A se existir

uma bola aberta de centro (x0, y0) contida em A.

ExemploA = {(x, y) ∈ R2;x ≥ 0ey ≥ 0}

i) Todo (x, y) com x > 0 e y > 0 e ponto interior de A;

ii) Todo (x, y) com x = 0 ou y = 0 nao e ponto interior de A.

Definicao 1.7.2 Dizemos que A e um conjunto aberto se todo ponto de A for

ponto interior.

ExemploO conjunto A acima nao e aberto.

1.8 Ponto de acumulacao

Definicao 1.8.1 Seja um subconjunto do R2 e seja (a, b) ∈ R2((a, b) pode per-

tencer ou nao a A). Dizemos que (a, b) e ponto de acumulacao de A se toda bola

de centro (a, b) contiver pelo menos um ponto (x, y) ∈ A com (x, y) 6= (a, b)

Observacao(a, b) e o ponto de acumulacao de A se existirem pontos de A, distintosde

(a, b), tao proximos de (a, b) quanto se queira.Exemplos

(1) A = {(x, y) ∈ R2;x > 0 e y > 0}

(i) Toda (x, y) com x ≥ 0 e y ≥ 0 e o ponto de acumulacao de A;

(ii) (−12, 1) nao e ponto de acumulacao de A.

(2) A = {(1, 2), (−1, 0), (1, 3)} nao admite ponto de acumulacao.

7

Exercıcios

1. Marcar, num sistema de coordenadas, os pontos:

(a) A = (2, 3, 4), B = (3, 2,−4), C = (−2, 1, 3);

(b) D = (−3, 2,−1), E = (−1,−2, 3), F = (−2,−1,−3).

2. Nos itens abaixo, os pontos dados sao vertices opostos de um paralelepipedoretangulo de arestas paralelas aos eixos de coordenadas. Determinadas osoutros seis vertices e fazer graficos em cada caso:

(a) A = (0, 1, 1) e B = (1, 0,−3);

(b) A = (1, 2, 1) e B = (0,−3,−1).

3. Calcular a norma do vetor dado:

(a) −→u = (12);

(b) −→u = (0, 1, 2).

4. Calcular a distancia entre os dois pontos dados:

A = (12,−1, −1

3) e (−1, 1

2, −3

2)

5. Dados A = (−4,−2, 4), B = (2, 7,−1)eC = (5, 4,−3) calcular:

(a) A · (B + C);

(b) (2A+ 3B) · (4C −D);

(c) (A ·B)(C ·D).

6. Determinar o ponto P tal que AP = 3AB, sendo A = (10, 3, 7) e B =(2,−1, 5).

7. Determinar o angulo entre os vetores dados:

(a) −→u = (1, 1, 12) e −→v = (1, 1, 4);

(b) −→u = (−2, 1, 0) e −→v = (0,−3, 2)

8. Determinar as equacoes parametricas da reta pelos pontos dados:

(a) A = (1,−2,−1) e B = (4,−1, 5);

(b) A = (1, 7, 3) e B = (−1, 7, 5).

10. Determinar as equacoes parametricas da reta pela origem, perpendicularao plano de equacao 2x− y + 3z − 6 = 0.

8

11. Determinar o ponto de intersecao do plano de equacao 2x− y− 3z− 4 = 0com a reta pelo ponto (0, 1,−1), na direcao do vetor (1,−2, 1).

12. NOs itens abaixo determinar equacoes parametricas das retas intersecoesdos planos dados:

(a) 2x− y − z − 1 = 0 e x+ y − 2z + 7 = 0;

(b) 2x− y + 5z = 0 e x+ y − 5z = 10;

(c) x = −4 e y = 5;

(d) x+ y = 0 e y + z = 0.

13. Determinar a equacao do plano que passa pelo ponto dado e que seja per-pendicular a direcao do vetor −→η dado:

(a) (1, 1, 1) e −→η = (2, 1, 3);

(b) ((2, 1,−1) e −→η = (−2, 1, 2).

14. Determine a equacao vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que sejaperpendicular ao plano dado:

(a) (0, 1,−1) e x+ 2y − z = 3;

(b) (2, 1,−1) e 2x+ y + 3z = 1.

15. Determine um vetor nao nulo que seja ortogonal aos vetores −→u e −→v dados:

(a) −→u = (1, 2,−1) e −→v = (2, 1, 2);

(b) −→u = (3, 2,−1) e −→v = (−1, 2, 1).

16. Trace um esboco do plano com equacao:

(a) 2x+ 4y + 3z = 8

(b) 3x+ 2y − 6z = 0

17. Encontre a equacao do plano que contem o ponto (4, 0,−2) e e perpendic-ular aos planos x− y + z = 0 e 2x+ y − 4z − 5 = 0

18. Verificar quais dos conjuntos abaixo sao abertos em R2:

(a) {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 < 1};(b) {(x, y) ∈ R2;x+ y ≥ 1}(c) {(x, y) ∈ R2;x+ y > 3 e x2 + y2 < 16}.

9

19. Determine o conjunto dos pontos de acumulacao do conjunto dado:

(a) {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 < 1}(b) {(x, y) ∈ R2;x e y inteiros }.

10

Capıtulo 2

Funcoes de varias variaveis reais

a valores reais

2.1 Funcoes de duas variaveis reais a valores

reais

Uma funcao de duas variaveis reais a valores reais e uma funcaof : A ⊂ R2 → R. O conjunto A e o domınio de f e sera indicado por Df ; oconjunto

Im(f) = {f(x, y) ∈ R; (x, y) ∈ Df}

e a imagem de f.

Exemplos 2.1.1 (1) f(x, y) =√y − x+

√1− y

Df = {(x, y) ∈ R2; y ≥ x e y ≤ 1}

Imf = [0,+∞[

(2) f(x, y) = 5x2y − 3x

Df = R2

Imf = R

11

(3) Seja a funcao w = f(u, v) dada por u2 + v2 + w2 = 1, w ≥ 0

(i) u2 + v2 + w2 = 1⇒ w =√

1− u2 − v2

(ii) f(u, v) =√

1− u2 − v2

(iii) Df = {(u, v) ∈ R2; 1− u2 − v2 ≥ 0}

Imf = [0, 1]

(4) f(x, y) =√y − x2

Df = {(x, y) ∈ R2; y − x2 ≥ 0}

Imf = [0,+∞]

2.2 Grafico

Definicao 2.2.1 Seja f : A ⊂ R2 → R. O conjunto Gf = {(x, y, z) ∈ R3; z =

f(x, y), (x, y) ∈ A} denomina-se grafico de f .

Nota 2.2.2 O grafico de f pode ser pensado como o lugar geometrico descrito

pelo ponto (x, y, f(x, y)) quando (x, y) percorre o domınio de f .

Exemplo 2.2.3 f(x, y) = 2

2.3 Curvas de nıvel

Definicao 2.3.1 Sejam z = f(x, y) uma funcao e c ∈ Imf. O conjunto de todos

os pontos (x, y) ∈ Df tais que f(x, y) = c denomina-se curva de nıvel de f

correspondente ao nıvel z = c.

Nota 2.3.2 (i) f e constante sobre cada curva de nivel;

12

(ii) O grafico de f e um subconjunto do R3; uma curva de nıvel e um subcon-

junto do domınio de f , portanto do R2.

Exemplos 2.3.3 (1) f(x, y) = x2 + y2

(i) curvas de nıvel: x2 + y2 = c → circunferencia de centro na origem e

raio√c

(ii) z = 0→ origem

x = 0→ z = y2

y = 0→ z = x2

(iii) Df = R2

Imf = [0,+∞[

(2) f(x, y) =√

25− x2 − y2

(i) curvas de nıvel:√

25− x2 − y2 = c ⇒ x2 + y2 = 25 − c2, circun-

ferencias de centro na origem e raio√

25− c2

(ii) Df = {(x, y) ∈ R2; 25− x2 − y2 ≥ 0}

Imf = [0, 5]

(3) f(x, y) = 8− x2 − 2y

curvas de nıvel:

8− x2 − 2y = c⇒ x2 + 2y = 8− c⇒ y = −12x2 + 8−c

2

- f(x, y) = x2 + y2

- f(x, y) =√

25− x2 − y2

13

- 8− x2 − 2y

Exercıcio 2.3.4 1. Seja (x, y) = x+yx−y .

(a) Determine o domınio de f .

(b) Calcule f(2, 3) e f(a+ b, a− b).

2. Represente graficamente o domınio da funcao z = f(x, y) dada por:

(a) f(x, y) = x2−3xy+1x2y2+1

;

(b) x+ y − 1 + z2 = 0, z ≥ 0;

(c) z =√y − x2 +

√2x− y;

(d) z =√| x | − | y |;

(e) z =

√x2+y2−25

y;

(f) f(x, y) = x−y√1−x2−y2

;

(g) z2 + 4 = x2 + y2, z ≥ 0.

3. Toda funcao f : R2 → R dada por f(x, y) = ax + by, sendo a e b reais,

demonina-se funcao linear. Seja f : R2 → R uma funcao linear. Sabendo

que f(1, 0) = 2 e f(0, 1) = 3, calcule f(x, y).

4. Uma funcao f : A ⊂ R2 → R denomina-se funcao homogenea de grau n se

f(tx, ty) = tnf(x, y)

para todo t > 0 e para todo (x, y) ∈ A tais que tx, ty ∈ A.

(a) Mostre que f(x, y) = x2 + 3xy e homogenea de grau 2.

14

(b) Suponha que f : R2 → R seja homogenea de grau 2 e f(a, b) = a para

todo (a, b) com a2 + b2 = 1. Calcule f(4√

3, 4) e f(0, 3).

5. Desenhe as curvas de nıvel e esboce o grafico:

(a) f(x, y) = 1− x2 − y2;

(b) f(x, y) = 1 + x2 + y2;

(c) f(x, y) = x2,−1 ≤ x ≤ 0, y ≥ 0;

(d) f(x, y) = 1− x2, x ≥ 0, y ≥ 0 e y ≤ 1;

(e) f(x, y) = x, x ≥ 0;

(f) f(x, y) = x+ 3y;

(g) g(x, y) =√

1− x2 − y2;

(h) z =√x2 + y2;

(i) f(x, y) = 1√1−x2−y2

6. Determine a imagem:

(a) f(x, y) = x− 2y;

(b) z = yx−2

;

(c) z = 4x2 + y2.

15

16

Capıtulo 3

Limite e continuidade

3.1 Limite

Sejam f : A ⊂ R2 → R uma funcao, (x0, y0) um ponto de acumulacao de A eL um numero real. Definimos

lim(x,y)→(xo,y0)

f(x, y) = L

se, somente se,para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo (x, y) ∈ A

0 <‖ (x, y)− (x0, y0) ‖< δ ⇒| f(x, y)− L |< εObservacoes

(i) lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = L significa: dado ε > 0, existe δ > 0 tal que f(x, y)

permanece em (L− ε, L+ ε) quando (x, y), (x, y) 6= (x0, y0), varia na bolaaberta de centro (x0, y0) e raio δ.

(ii) Sempre que falarmos que f tem limite em (x0, y0) fica implıcito que (x0, y0)e ponto de acumulacao de Df .

Exemplos

(1) lim(x,y)→(0,0)

2x+ 3y = 0

Devemos mostrar que dado ε > 0, existe δ > 0 tal que

0 <‖ (x, y)− (0, 0) ‖< δ ⇒| 2x+ 3y − 0 |< ε

(i) | 2x+ 3y |≤| 2x | + | 3y |= 2 | x | +3 | y |

17

(ii) | x |≤√x2 + y2 e | y |≤

√x2 + y2

(iii) De (i) e (ii) temos que | 2x+ 3y |≤ 2√x2 + y2 + 3

√x2 + y2

Assim, dado ε > 0 e tomando δ = ε5,

0 <‖ (x, y)− (0, 0) ‖< δ ⇒√x2 + y2 < ε

5,

ou seja,

0 <‖ (x, y)− (0, 0) ‖< δ ⇒| 2x+ 3y |< 5 ε5

= ε

Logo, lim(x,y)→(xo,y0)

(2x+ 3y) = 0

(2) f(x, y) = x2−y2x2+y2

tem limite (0, 0)?

(i) sobre o eixo x : f(x, 0) = 1

(ii) sobre o eixo y : f(0, y) = −1

Nao existe numero L tal que f(x, y) permaneca proximo de L para (x, y)proximo de (0, 0); este fato indica-nos que f nao deve ter limite em (0, 0).De fato, dado ε = 1

2temos

– se L ≤ 0, | f(x, 0)− L |≥ 12

para todo x 6= 0

– se L > 0, | f(0, y)− L |≥ 12

para todo y 6= 0

Teorema 3.1.1 Se a funcao f tem limites diferentes quando (x, y) tende a

(x0, y0) atraves de dois conjuntos distintos de pontos que tem (x0, y0) como um

ponto de acumulacao, entao lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) nao existe.

Exemplos

(1) f(x, y) = x2−y2x2+y2

(i) S1 conjunto de todos os pontos no eixo x

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = limx→0

x2

x2= 1

(ii) S2 conjuntos de todos os pontos no eixo y

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = limy→0

−y2

y2= −1

Logo lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2nao existe.

18

(2) lim(x,y)→(0,0)

x2y

x4 + y2

(i) S1 conjunto de todos os pontos no eixo x lim(x,y)→(0,0)

0

x4= 0

(ii) S2 conjunto de todos os pontos na reta y = x

lim(x,y)→(0,0)

x3

x4 + x2= lim

(x,y)→(0,0)

x

x2 + 1= 0

(iii) S3 conjunto de todos os pontos na parabola y = x2

lim(x,y)→(0,0)

x4

x4 + x4=

1

2

Assim lim(x,y)→(0,0)

x2y

x4 + y2nao existe.

ObservacaoAs propriedades ja conhecidads de limites continuam validas para fucoes de

varias variaveis.

3.2 Continuidade

Sejam f : A ⊂ R2 → R e (x0, y0) ∈ A um ponto de acumulacao de A.Dizemos que f e contınua no ponto (x0, y0) se, somente se, as tres condicoesseguintes forem satisfeitas,

(i) f(x0, y0) existe;

(ii) lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) existe;

(iii) lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = f(x0, y0)

ObservacaoAs propriedades ja conhecidas de continuidade continuam validas para

funcoes de varias variaveis.Exemplos

(1) f(x, y) = 2 lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = lim(x,y)→(x0,y0)

2 = 2 = f(x0, y0)

(2) Discuta a continuidade de

f(x, y) =

x2 + y2, se x2 + y2 ≥ 1;

0, se x2 + y2 < 1.

19

(i) f esta definida em todos os pontos de R2, assim a condicao (i) everificada em todo ponto (x0, y0)

(ii) Consideremos os pontos (x0, y0) tais que x20 + y2

0 6= 1

∗ x02 + y0

2 > 1,lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = lim

(x,y)→(x0,y0)x2 + y2 = x0

2 + y02 = f(x0, y0)

∗ x02 + y0

2 < 1,lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = lim

(x,y)→(x0,y0)0 = f(x0, y0)

Entao f e contınua em todos os pontos (x0, y0) tais que x02+y0

2 6=1

(iii) Consideremos os pontos (x0, y0) tais que x02 + y0

2 = 1(devemosmostrar que lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) existe e e igual a 1).

∗ Seja S1 o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x2 + y2 ≥ 1lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = lim

(x,y)→(x0,y0)x2 + y2 = x2

0 + y20 = 1

∗ Seja S2 o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x20 + y2

0 < 1lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = lim

(x,y)→(x0,y0)0 = 0

Assim lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) nao existe.

Portanto, f e descontınua em todos os pontos (x0, y0) para osquais x0

2 + y02 = 1

(3) Discuta a continuidade de f(x, y) = y√x2+y2−25

(i) g(x, y) = y e contınua

(ii) h(x, y) =√x2 + y2 − 25 e contınua em todos os pontos de R2 para os

quais x2 + y2 > 25.

Entao, f e contınua em todos os pontos de R2 para os quais x2+y2 > 25

20

Exercıcios

1. Calcule, caso exista:

(a) lim(x,y)→(0,0)

x sin1

x2 + y2;

(b) lim(x,y)→(0,0)

x+ y

x− y;

(c) lim(x,y)→(0,0)

xy2

x2 − y2;

(d) lim(x,y)→(0,0)

x3 + 2x2y − y2 + 2;

(e) lim(x,y)→(0,0)

x√x2 + y2

;

(f) lim(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2.

2. Prove, usando a definicao, que:

(a) lim(x,y)→(x0,y0)

k = k;

(b) lim(x,y)→(x0,y0)

x = x0.

3. Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f(x, y).Justifique aresposta.

(a) f(x, y) = 3x2y2 − 5xy + 6;

(b) f(x, y) =

x−3yx2+y2

, se(x, y) 6= (0, 0);

0, se(x, y) = (0, 0).

(c) f(x, y) = xysqrt16−x2−y2 ;

(d) f(x, y) = xln(x, y; )

(e) f(x, y) =

sin(x+y)

x+y, se(x, y) 6= (0, 0);

1, se(x, y) = (0, 0).

(f) f(x, y) = ln x−yx2+y2;

(g) f(x, y) = x−y√1−x2−y2

.

21

4. f(x, y) =

xy2

x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);

0, se(x, y) = (0, 0).

e contınua em (0, 0)? Justifique.

22

Capıtulo 4

Derivadas parciais

4.1 Derivadas parciais

Tratamos uma funcao de n variaveis como uma funcao de uma variavel, var-iando uma delas e mantendo as outras fixas; isto leva ao conceito de uma derivadaparcial.

Seja z = f(x, y) uma funcao real de duas variaveis reais e seja (x0, y0) ∈ Df .Fixado (y0) podemos considerar a funcao g de uma variavel dada por

g(x) = f(x, y0)

.A derivada da funcao g no ponto x0, caso exista, denomina-se derivada

parcial de f , em relacao a x, no ponto (x0, y0) e indica-se por ∂f∂x

(x0, y0).

Assim,∂f∂x

(x0, y0) = g′(x0) e temos,

∂f

∂x(x0, y0) = g′(x0) = lim

x→x0

g(x)− g(x0)

x− x0

,ou seja,

∂f

∂x(x0, y0) = lim

x→x0

f(x, y0)− f(x0, y0)

x− x0

,

ou ainda,

∂f

∂x(x0, y0) = lim

∆x→0

f(x0 + ∆x, y0)− f(x0, y0)

∆x.

23

De modo analogo define-se derivada parcial de f em relacao a y, no ponto(x0, y0),

∂f

∂y(x0, y0) = lim

y→y0

f(x0, y)− f(x0, y0)

y − y0

,ou

∂f

∂y(x0, y0) = lim

∆y→0

f(x0, y0 + ∆y)− f(x0, y0)

∆y,

Observacoes

(i) ∂f∂x

(x, y) e a derivada, em relacao a x, de f(x, y) mantendo-se y constante;

(ii) ∂f∂y

(x, y) e a derivada, em relacao a y, de f(x, y) mantendo-se x constante.

Exemplos

(1) f(x, y) = 2xy − 4y

∂f

∂x(x, y) = lim

∆x→0

f(x+ ∆x, y)− f(x, y)

∆x

= lim∆x→0

2(x+ ∆x)y − 4y − 2xy + 4y

∆x

= lim∆x→0

2y∆x

∆x= 2y

∂f

∂y(x, y) = lim

∆y→0

f(x, y + ∆y)− (f(x, y))

∆y

= lim∆y→0

2x(y + ∆y)− 4(y + ∆)− 2xy + 4y

∆y

= lim∆y→0

2xy + 2x∆y − 4y − 4∆y − 2xy + 4y

∆y

= lim∆y→0

2x∆y − 4∆y

∆y= 2x− 4

24

- para obter ∂f∂x

(x, y) devemos olhar y como constante e derivar em

relacao a x : ∂f∂x

(x, y) = 2y

- para obter ∂f∂y

(x, y) devemos olhar x como constante e derivar em

relacao a y : ∂f∂y

(x, y) = 2x− 4

(2) f(x, y) =

x3−y2x2+y2

, se(x, y) 6= (0, 0);

0, se(x, y) = (0, 0).

- se (x, y) 6= (0, 0) podemos aplicar a regra do quociente

∂f

∂x(x, y) =

3x2(x2 + y2)− (x3 − y2)2x

(x2 + y2)2

=3x4 + 3x2y2 − 2x4 + 2xy2

(x2 + y2)2

=x4 + 3x2y2 + 2xy2

(x2 + y2)2

∂f

∂y(x, y) =

−2y(x2 + y2)− (x3 − y2)2y

(x2 + y2)2

=−2x2y − 2x3 − 2x3y + 2y3

(x2 + y2)2

=−2x2y − 2x3y

(x2 + y2)2

- Em (0, 0)∂f

∂x(0, 0) = lim

x→0

f(x, 0)− f(0, 0)

x− 0

= limx→0

x

x= 1

∂f

∂y(0, 0) = lim

y→0

f(0, y)− f(0, 0)

y − 0

= limy→0

−1

y,

que nao existe.

25

- Interpretacao geometrica

Suponhamos que z = f(x, y) admite derivadas parciais em (x0, y0) ∈ Df .O grafico da funcao g(x) = f(x, y0), no plano x′y′0z, e a intersecao do planoy = y0 com grafico de f .

Entao,∂f∂x

(0, 0) e o coeficiente angular da reta tangente T a esta intersecaono ponto (x0, y0, f(x0, y0)).

ObservacaoA existencia de derivada parcial num ponto nao implica a continuidade da

funcao neste ponto; por exemplo,

f(x, y) =

xy

x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);

0, se(x, y) = (0, 0).

(i) f admite derivadas parciais em (0, 0):

∂f

∂x(0, 0) = lim

x→0

f(x, 0)− f(0, 0)

x

limx→0

0

x= 0

∂f∂y

(0, 0) = limy→0

f(0, y)− f(0, 0)

x

limy→0

0

y= 0

(ii) f nao e contınua em (0, 0):

– (a)S1 conjunto de todos os pontos no eixo x

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = limx→0

0 = 0

– (b)S2 conjunto de todos os pontos na reta y = x

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = limx→0

x2

2x2=

1

2

Como a existencia de derivadas parciais nao implica em continuidade temosque ela nao e uma boa generalizacao do conceito de diferenciabilidade dado parafuncoes de uma variavel.

Veremos agora qual e a boa generalizacao do conceito de diferenciabilidadepara funcoes de varias variaveis reais.

Exercıcios

26

1. Determine as derivadas parciais:

(a) f(x, y) = 5x4y2 + xy3 + 4;

(b) z = cos(xy);

(c) f(x, y) = e−x2−y2 ;

(d) z = x3+y2

x2+y2;

(e) f(x, y) =

x+y4

x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);

0, se(x, y) = (0, 0).

(f) f(x, y) = (4xy − 3y3)3 + 5x2y;

(g) z = xyexy;

(h) g(x, y) = xy.

2. Dada f(x, y) =

x3+y3

x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);

0, se(x, y) = (0, 0).

encontre:

(a) ∂f∂x

(0, 0)

(b) ∂f∂y

(0, 0)

3. Encontre a declividade da reta tangente a curva de intersecao da superficiez = x2 + y2 com o plano y = 1 no ponto (2, 1, 5).

4. Dizemos que (x0, y0) e um ponto critico de f(x, y) se ∂f∂y

(x0, y0) =0.Determine, caso existam, os pontos crıticos da funcao dada:

(a) f(x, y) = x2 + y2;

(b) f(x, y) = x2 − 2xy + 3y2 + x− y;

(c) f(x, y) = 2x+ y3;

(d) f(x, y) = x3 + y3 − 3x− 3y

(5.) Seja z = f(x, y) dada implicitamente por x2 + y2 + z2 = 1, z > 0. Temos,

∂

∂x(x2 + y2 + z2) =

∂1

∂x

2x+ 2z∂z

∂x= 0

27

∂z

∂x=−2x

2z=−xy

=−x√

1− x2 − y2, x2 + y2 < 1

(a) Calcule ∂z∂y

(b) Seja z = f(x, y) dada implicitamente pela equacao exyz = x2 +y2 +z2.Calcule ∂z

∂xe ∂z

∂y.

28

Capıtulo 5

Funcoes diferenciaveis

5.1 Diferencial f : R→ R

Definicao 5.1.1 Definimos a diferencial de f : R→ R no ponto x0 como sendo

a funcao linear L : R→ R dada por

L(h) = f ′(x0)h.

ObservacaoEm notacao classica:dy = f ′(x0)dxInterpretacao geometrica

• equacao da reta tangente:

Y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)

Y = f(x0) + f ′(x0)h = f(x0) + L(h)

L(h) = Y − f(x0)

,

isto e, a diferencial e a variacao que sofre a reta tangente quando se passado ponto x0 ao ponto x0 + h.

Assim, a diferencial fornece uma boa aproximacao para o acrescimo f(x0 +h)− f(x0) quando h e pequeno.

29

• O acrescimo dy pode ser olhado como um valor aproximado para ∆y =f(x0 + ∆x)− f(x0); o erro ∆y − dy que se comete na aproximacao de ∆ypor dy sera tanto menor quanto menor for ∆x.

ExemploCalcule um valor aproximado para

√1, 01

(i) y =√x, dy = 1

2√xdx

(ii) x = 1, dx = 0, 01

Para x = 1 e dx = 0, 01

dy =1

2· 0, 01 = 0, 05

1 + dy = 1, 005 ∼=√

1, 01

Definicao 5.1.2 Uma funcao f : R→ R e diferenciavel em x0 se, e somente se,

existir um real a tal que

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)− ah|h|

= 0

Observacao

(i) f e diferenciavel ⇔ f e derivavel

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)− ah|h|

= 0

⇔ limh→0

f(x0 + h)− f(x0)− ahh

= 0

⇔ limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h= a = f ′(x0)

(ii) f e diferenciavel⇔ limh→0

f(x0 + h)− f(x0)− ah|h|

= 0h=x−x0︷︸︸︷⇔ existe uma reta

passando por x0 de equacao f(x0) + a(x − x0) tal que a distancia f(x) −f(x0) − a(x − 0), entre a curva e a reta, tende a zero mais depressa queh = (x− x0), ou seja, esta reta e tangente a curva no ponto (x0, f(x0)).

30

5.2 Funcao diferenciavel

Uma funcao f : A ⊂ R2 → R e diferenciavel em (x0, y0) se, e somente se,existirem reais a e b tais que

lim(h,k)→(0,0)

f(x0 + h, y0 + k)− f(x, y)− ah− bk||(h, k)||

- Interpretacao geometricaFacamos,h = x− x0, k = y − y0 e δ =

√(x− x0)2 + (y − y0)2

f e diferenciavel ⇔

lim(h,k)→(0,0)

f(x0 + h, y − y0 + k)− f(x0, y0)− ah− bk||(h, k)||

= 0

⇔ existe um plano passando por (x0, y0, f(x0, y0)) de equacao Z = f(x0, y0)+a(x− x0) + b(y− y0) tal que a distancia f(x, y)−Z, entre a superficie e o plano,ao longo das perpendiculares ao plano Oxy, tende a zero mais depressa que δ,ou seja, este plano e tangente a superficie no ponto (x0, y0, f(x0, y0)).

Observacoes

(i) Se f for diferenciavel em (x0, y0), f admitira derivadas parciais neste ponto.

– Fazendo k = 0,

⇔ limh→0

f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)− ah|h|

= 0

⇔ limh→0

f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)− ahh

= 0

⇔ limh→0

f(x0 + h, y0)

h= a =

∂f

∂x(x0, y0)

– Fazendo h = 0, b = ∂f∂y

(x0, y0)

(ii) A recıproca e falsa.

Exemplos

(1) f(x, y) = x2y∂f∂x

(x, y) = 2xy; ∂f∂y

(x, y) = x2

f(x+ h, y + k) = (x+ h)2(y + k)

= (x2 + 2xh+ h2)(y + k)

31

x2y + x2k + 2xyh+ 2xhk + yh2 + h2k

lim(h,k)→(0,0)

f(x+ h, y + k)− f(x, y)− ah− bk||(h, k)||

lim(h,k)→(0,0)

x2y + x2k + 2xyh+ yh2 + h2k − x2y − 2xyh− x2k√h2 + k2

lim(h,k)→(0,0)

2xhk + yh2 + h2k√h2 + k2

lim(h,k)→(0,0)

[2xhk√

h2 + k2+ yh

h√h2 + k2

+ hkh√

h2 + k2] = 0

Entao f e diferenciavel em todo (x, y) ∈ R2.

(2) f(x, y) =

x3

x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);

0, se(x, y) = (0, 0).

; e diferenciavel em (0, 0)

∂f

∂x(0, 0) = lim

x→0

f(x, 0)− f(0, 0)

x− 0

limx→0

x

x= 1

∂f

∂y(0, 0) = lim

y→0

f(0, y)− f(0, 0)

y − 0

= limy→0

0

y= 0

lim(h,k)→(0,0)

f(0 + h, 0 + k)− f(0, 0)− ∂f∂x

(0, 0)h− ∂f∂y

(0, 0)k√h2 + k2

lim(h,k)→(0,0)

h3

h2+k2− h

√h2 + k2

lim(h,k)→(0,0)

h3 − h(h2 + k2)

(h2 + k2)√h2 + k2

lim(h,k)→(0,0)

−hk2

(h2 + k2)√h2 + k2

– S1 conjuntos de todos os pontos no eixo h:

limh→0

−h3

2h2√

2h2= − 1

2√

2

32

– s2 conjunto de todos os pontos na reta k = h:

limh→0

−h3

2h2√

2h2= lim

h→0

−h2√

2|h|,

que nao existe.

Entao f nao e diferenciavel em (0, 0).

Teorema 5.2.1 Se f for diferenciavel em (x0, y0) entao sera continua em

(x0, y0)

ObservacaoA recıproca e falsa, como mostra o exemplo abaixo.Exemplo

f(x, y) =

x3

x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);

0, se(x, y) = (0, 0).

Mostramos no exemplo (2) acima que esta funcao admite derivadas parciaisem (0, 0) e nao e diferenciavel, mas ela e continua, pois

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = lim(x,y)→(0,0)

xx2

x2 + y2= 0 = f(0, 0)

5.3 Condicao suficiente para diferenciabilidade

Teorema 5.3.1 Se as derivadas parciais de f : A ⊂ R2 → R existem e sao

contınuas num aberto, entao f e diferenciavel nesse aberto.

ExemploSeja f(x, y) = x2y; temos que ∂f

∂x(x, y) = 2xy e ∂f

∂y(x, y) = x2, que sao contı-

nuas em R2; e mostramos na pagina 33 que esta funcao e diferenciavel.

5.4 Plano tangente

Definicao 5.4.1 Seja f diferenciavel no ponto (x0, y0). O plano

33

z = f(x0, y0) +∂f

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0),

denomina-se plano tangente ao grafico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)).

5.5 Reta Normal

O plano tangente e perpendicular a direcao do vetor

−→η = (∂f

∂x(x0, y0),

∂f

∂y(x0, y0), 1)

Reta que passa pelo ponto (x0, y0, f(x0, y0)) e e paralelo ao vetor (∗)denomina-se reta normal ao grafico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)). A equacaode tal reta e,

(x, y, z) = (x0, y0, f(x0, y0)) + λ(∂f

∂x(x0, y0),

∂f

∂y(x0, y0), 1), λ ∈ R

ExemploDada f(x, y) = 3x2y − x, determine as equacoes do plano tangente e da reta

normal no ponto (1, 2, f(1, 2)).

(i) ∂f∂x

(x, y) = 6xy − 1, ∂f∂x

(1, 2) = 11

(ii) ∂f∂y

(x, y) = 3x2, ∂f∂y

(1, 2) = 3

(iii) f(1, 2) = 5

(iv) equacao do plano tangente:

T (x, y) = f(x0, y0) +∂f

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0)

z = 5 + 11(x− 1) + 3(y − 2)

z = 5 + 11x− 11 + 3y − 6

= −12 + 11x+ 3y

11x+ 3y − z − 12 = 0

(v) vetor normal: (11, 3,−1)

(vi) equacao da reta normal:

(x, y, z) = (1, 2, 5) + λ(11, 3,−1), λ ∈ R

34

5.6 Diferencial

Definimos a diferencial de f : R2 → R no ponto (x0, y0) como sendo a trans-formacao linear L : R2 → R dada por,

L(h, k) =∂f

∂x(x0, y0)h+

∂f

∂y(x0, y0)k

ObservacaoEm notacao classica: dz = ∂f

∂x(x, y)dx+ ∂f

∂y(x, y)dy

Interpretacao geometrica-equacao do plano tangente:

T (x, y) = f(x0, y0) +∂f

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0)

fazendo x = x0 + h e y = y0 + k temos

T (x, y) = f(x0, y0) +∂f

∂x(x0, y0)h+

∂f

∂y(x0, y0)k

T (x, y) = f(x0, y0) + L(h, k)

L(h, k) = T (x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0),

isto e, a diferencial e a variacao que sofre o plano tangente quando se passado ponto (x0, y0) ao ponto (x0 + h, y0 + k)

ExemploDada f(x, y) = x2y, calcule um valor aproximado para a variacao ∆z quando

se passa se x = 1 e y = 2 para x = 1, 02 e y = 2, 01.

(i) ∂f∂x

(x, y) = 2xy, ∂f∂x

(x, y) = x2

(ii) dx = 0, 02, dy = 0, 01

dz = 2xydx+ x2dy

dz = 4 · 0, 02 + 1 · 0, 01

dz = 0, 09 ∼= ∆z

(iii) erro cometido: 0, 001204, pois

∆z = f(x+ dx, y + dy)− f(x, y)

= (x+ dx)2(y + dy)− x2y

= (1, 02)2 · 2, 01− 2 = 0, 091204

35

Exercıcios

1. Prove que as funcoes dadas sao diferenciaveis:

(a) f(x, y) = xy

(b) f(x, y) = x+ y

(c) f(x, y) = x2 + y2

(d) f(x, y) = x2y2

2. f e diferenciavel em (0, 0)? Justifique.

(a) f(x, y) =

x2−y2x2+y2

, se(x, y) 6= (0, 0);

0, se(x, y) = (0, 0).

(b) f(x, y) =

x2y

x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);

0, se(x, y) = (0, 0).

(c) f(x, y) =

x4

x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);

0, se(x, y) = (0, 0).

3. Determine o conjunto dos pontos em que a funcao dada e diferenciavel:

(a) f(x, y) =

xy

x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);

0, se(x, y) = (0, 0).

(b) f(x, y) =

x3

x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);

0, se(x, y) = (0, 0).

(c) f(x, y) =

xy3

x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);

0, se(x, y) = (0, 0).

4. Determine as equacoes do plano tangente e da reta normal ao grafico dafuncao dada, no ponto:

(a) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1));

(b) f(x, y) = x2 + y2 em (0, 1, f(0, 1));

36

(c) f(x, y) = 3x3y − xy em (1,−1, f(1,−1));

(d) f(x, y) = xy em (12, 1

2, f(1

2, 1

2))

5. z = 2x + y e a equacao do plano tangente ao grafico de f(x, y) no ponto(1, 1, 3). Calcule ∂f

∂x(1, 1) e ∂f

∂y(1, 1)

6. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + y e tangente aografico de f(x, y) = x2 + y2, no ponto (1, 1, 2)

7. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + 3y e tangente aografico de f(x, y) = x2 + xy, no ponto (−1, 1, 0)

8. Calcule a diferencial:

(a) z = x3y2

(b) z = sin(xy)

9. Seja z = xex2−y2

(a) Calcule a diferencial de z

(b) Calcule um valor aproximado para a variacao ∆z em z, quando sepassa de x = 1 e y = 1 para x = 1, 01 e y = 1, 002

(c) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1, 01 ey = 1, 002.

10. Seja z =√x+ 3√y

(a) Calcule a diferencial de z no ponto (1, 8);

(b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1, 01 ey = 7, 9

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Capıtulo 6

Gradiente

6.1 Vetor gradiente

Definicao 6.1.1 Seja z = f(x, y) uma funcao que admite derivdas parciais em

(x0, y0). O vetor,

∇f(x0, y0) = (∂f

∂x(x0, y0),

∂f

∂y(x0, y0))

,

denomina-se gradiente de f em (x0, y0).

-Interpretacao geometricaSeja f(x, y) = x2 + y2, entao ∇f(x, y) = (2x, 2y).

• ∇f(√

22,√

22

) = (√

2,√

2)

• ∇f(1, 0) = (2, 0)

Assim, temos que o vetor gradiente e um vetor normal a curva de nıvel.

Observacoes

(i) O gradiente nao e perpendicular ao grafico, e nem poderia, pois ∇f ∈ R2;ja vimos que o vetor normal ao grafico e (∂f

∂x(x0, y0),∂f

∂y(x0, y0),−1).

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(ii) Para funcoes de uma variavel real temos,

dy = f ′(x0)dx

para funcoes de duas variaveis reais, temos

dz =∂f

∂x(x0, y0)dx+

∂f

∂y(x0, y0)dy

= (∂f

∂x(x0, y0),

∂f

∂y(x0, y0)) · (dx, dy)

Assim, se f e diferenciavel em (x0, y0) definimos a derivada de f em (x0, y0)por

f ′(x0, y0) = (∂f

∂x(x0, y0),

∂f

∂y(x0, y0)) = ∇f(x0, y0)

Exercıcios

1. Calcule o gradiente de f;

(a) f(x, y) = x2y

(b) f(x, y) = ex2−y2

(c) f(x, y) = xy

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