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Operações Numéricas e Estimação
6673
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1. Padrões e relações numéricas
Número
É um objeto da matemática usado para descrever quantidades, efetuar medidas ou realizar ordenações.
Provavelmente foi um dos primeiros conceitos matemáticos utilizados pelo homem no processo de contagem.Os primeiros vestígios de contagem datam da idade da pedra.
Os homens não adquiriram primeiro os números naturais para depois contarem, pelo contrário,
os números naturais é que se foram formando lentamente pela prática diária de contagem.
É habitual contar-se pelos dedos pequenas quantidades de objetos, este facto teve grande influência no
aparecimento dos números. A base do nosso sistema de numeração é 10 que é exatamente os número de
dedos de duas mãos.O nome dígito que designa os números, vem do latim digitus que significa dedo.
Ao homem primitivo, não ocorre considerar o zero como um número, por isso não faz parte dos
números naturais.
A criação de um símbolo (0) para representar o nada, constitui um dos atos mais audazes do pensamento.
O maior ou menor conhecimento dos números, está ligado com as condições da vida económica de cada povo.
À medida que as sociedades de tornavam cada vez mais complexas (por exemplo o aparecimento do regime de
propriedade) levou os matemáticos a descobrir outros tipos de números para cálculo de áreas, comprimentos, etc.
ACerqueira
3
Várias civilizações criaram os seus próprios sistemas de numeração:
▪ Os Romanos usavam um sistema decimal, semelhante ao nosso mas com números diferentes
▪ Os Maias usavam um sistema vigesimal, que tem por base o número 20.
Por exemplo na língua francesa 80 diz-se quatre-vingts (quatro vintes)
▪ Os Egípcios usavam um sistema decimal, semelhante ao romano mas também com símbolos diferentes
▪ Os Babilónios usavam um sistema sexagesimal, que tem por base o número 60.
Este sistema é usado
• Nas medidas do tempo
➢ 1 hora são 60 minutos
➢ 1 minuto são 60 segundos
• Nas medidas dos ângulos
➢ 1 grau = 60 minutos (1˚= 60’)
➢ 1 minuto = 60 segundos (1’ = 60’’)
4
Números inteiros relativos
Números naturais representados por IN, é o conjunto numérico mais popular. Usado em contagem ou
ordenação, é um conjunto infinito e formado pelos números inteiros positivos.
IN = {1, 2, 3, 4, 5, ….} Representação em extensão
Números naturais
À medida que a sociedade se torna mais complexa, aparecem outras necessidades tais como:
• Representar uma dívida,• Representar nada matematicamente
Juntando zero, os números naturais e os números inteiros negativos surge o conjunto
dos números inteiros relativos que se representa por𝕫.
𝕫 = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} IN
Assim sendo IN ⊂ 𝕫 IN está contido em 𝕫 )
⊂ está contido⊃ contém
Representação naforma de conjunto
𝕫
IN
5
Também podemos representar os números inteiros relativos através da reta numérica
▪ Marcamos primeiro o zero no centro da reta
▪ À direita marcamos o número 1 que representa a unidade e todos os números naturais
▪ À esquerda os inteiros negativos
Para todo o número positivo existe um negativo que é o seu oposto.
Esta reta denomina-se reta das abcissas, sendo zero a origem das abcissas.
Ao número associado a um ponto desta reta, dá-se o nome de abcissa do ponto
Subconjuntos de 𝕫
Exercícios 1.1
6
Exemplo: Quanto falamos de saldo bancário, podemos ter saldo positivo (200€) ou então dívida ao banco que se representa por saldo negativo (−200€)
Como podemos ver, estão ambos à mesma distância da origem.
A essa distância à origem dá-se o nome de valor absoluto e representa-se por |a|.
| −200| = |200| = 200
Quando dois números diferentes têm o mesmo valor absoluto, dizemos que são números simétricos.
Assim sendo, 200 e −200 são simétricos.
Valor absoluto
▪ Quanto mais se afasta para a esquerda, menor é o número
▪ Reciprocamente, quanto mais se afasta para a direita maior é o número
− 10 < − 5< − 1 < 0 < 1< 4 < 6
10 > 5 > 1 > 0 > − 1 > − 3 > − 8
Comparações
Exercícios 1.2
7
Adicionar 2 valores positivos
2 + 3 = +5 = 5 − 2 + (− 4) = − 6 −4 + 5 = +1 = 1
3 + (− 5) = 3 − 5 = −2
− 2 + (− 4) = − 2 − 4 = −6
• Somam-se os valores absolutos
• Mantemos o sinal existente (+)
Adicionar 2 valores negativos
• Somam-se os valores
absolutos• Mantemos o sinal existente (−)
Adicionar um positivo e outro
negativo
• Subtraem-se os valores
absolutos
• Ficamos com o sinal do maior
em valor absoluto
Operações
▪ Adição 𝒂 + 𝒃
Diretas Inversas
Adição Subtração
Multiplicação Divisão
Potenciação Radiciação e Logaritmação
3 + (− 5) = −2
8
Propriedades
Comutativa
a+b = b+a
Associativa
(a + b) + c = a + (b +c)
(2 + 3) + 6 = 2 + (3 + 6) (2 + 3) + (− 6 ) = 2 + (3 +(− 6) )
Elemento neutro a + 0 = a
Simétricoa +(− a) = 0
2 + 0 = 0 + 2 = 2
4 +( − 4) = 4 − 4 = 0
2+3 = 3+2
5 + (−4) = −4 + 5 = 1
9
Exercícios 1.3
A forma mais fácil e rápida de fazer adições é somar por partes (unidades / dezenas / centenas / etc)
DICA
Exemplo 1: 1235 + 2423
1235 = 1000 + 200 + 30 + 5
2423 = 2000 + 400 + 20 + 3
1235 + 2423 = 3658
Outra forma é a adição vertical
com transporte
3000 + + +600 50 8 = 3658
Exemplo 2: 1435 + 2728
10
▪ Subtração 𝒂 − 𝒃
• Primeiro eliminamos o parênteses, trocando o sinal do valor que está dentro do parênteses.
− 5 − (+ 3) = − 5 − 3
Sinais diferentes
• Subtraem-se os valores
• Dá-se o sinal do maior em valor absoluto
Sinais iguais
• Adicionam-se os valores
• Mantemos o sinal existente
− 5 + 6 = 1
2 − (+ 3) = 2 − 3
2 − 3 = − 1 − 5 − 3 = − 8
− 5 − (− 6) = − 5 + 6
• Depois efetuamos os cálculos, seguindo as mesmas regras da soma
2 − (− 5) = 2 + 5
2 + 5 = 7
Elemento neutro a − 0 = a
Propriedades
Outras
a + (b − c) = (a + b) − c
a − (b + c)= (a − b) − c
a − (b − c)= (a − b) + c
(a + c) − (b + c) = a + c − b – c = a − b
(a − c) − (b − c) = a − c − b + c = a − b
11
Como no caso da soma, também se pode fazer subtração por partes (unidades / dezenas / centenas / etc)
e no final somar os resultados
DICA
Exemplo 1: 3235 − 2423
3235 = 3000 + 200 + 30 + 5
2423 = 2000 + 400 + 20 + 3
3000 − 2000 = 1000
200 − 400 = − 200
30 − 20 = 10
5 − 3 = 2
3235 − 2423 = 812
800
Exercícios 1.4
Outra forma é a subtração vertical
com transporte
12
▪ Multiplicação (𝒂 × 𝒃 ou 𝒂. 𝒃)
Multiplicação em 𝕫 não é mais do que uma extensão da multiplicação em IN.
Como vamos ter valores positivos e negativos, devemos ter atenção aos sinais
▪ Produto de 2 valores com o mesmo sinal
o resultado é positivo
▪ Produto de 2 valores com sinais diferentes
o resultado é negativo
−5 × −2 = +10
5 × 2 = +10
5 × −2 = −10
− 5 × 2 = −10
Propriedades
Elemento neutro 1𝑎 × 1 = a
Elemento absorvente 0𝑎 × 0 = 0 × 𝑎 = 0
Comutativa
𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎
Associativa 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 = (𝑎 × 𝑏) × 𝑐
Distributiva
𝑎 × 𝑏 + 𝑐 = (𝑎 × 𝑏) + (𝑎 × 𝑐)
Outra 𝑺𝒆 𝑐 ≠ 0 𝐞 𝑎 × 𝑐 = 𝑏 × 𝑐 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝑎 = 𝑏
𝑎 × 𝑏 − 𝑐 = (𝑎 × 𝑏) − (𝑎 × 𝑐)
13
Normalmente faz-se o cálculo vertical na multiplicação
Também se pode fazer a multiplicação por partes e em certos casos torna o cálculo mais fácil
Exemplo 1: 6 × 63
6 × 60 = 360
6 × 3 = 18
360 + 18 = 378
resultado : 378
Exemplo 2: 9 × 120
9 × 100 = 900
9 × 20 = 180
900 + 180 = 1080
resultado : 1080
Exemplo 3: 𝟏𝟐 × 35
10 × 35 = 350
2 × 35 = 70
350 + 70 = 420
resultado : 420
▪ Multiplicar as unidades, dezenas, etc▪ Avançar casas decimais, acrescentando mais um zero
em cada passo (dezenas – 1 zero, centenas – 2 zeros, unidades de milhar -3 zeros, etc)▪ Somar todas as colunas
14
▪ Memorizar produtos entre números iguais
Exemplo: Sabendo que 4 x 4 = 16, também sei:
4 x 5 = 20 porque é só adicionar 4 unidades
4 x 3 = 12 porque é só subtrair 4 unidades
DICAS
▪ Para multiplicar por 10, 100, 1000, etc,
basta acrescentar o mesmo número de zeros
Exemplo: 8943 × 1000 = 8943000
Para multiplicar por 20, 30, 40, … ou
200, 300, 400, … basta multiplicar pelo
1º algarismo 2,3,4, …
e depois acrescentar os zeros
Exemplo: 213 × 3000
1º) 213 × 3 = 639
2º) Acrescentar os zeros 639000
213 × 3000 = 639000
Exercícios 1.5
15
▪ Divisão (𝒂: 𝒃 ou 𝒂
𝒃)
É a operação inversa da multiplicação.Mais uma vez, tendo valores positivos e negativos devemos ter atenção aos sinais
▪ Divisão de 2 valores com o mesmo sinal
o resultado é positivo
▪ Divisão de 2 valores com sinais diferentes
o resultado é negativo
Propriedades
Elemento neutro 1𝑎
1= a
Distributiva
Outras
𝑺𝒆 𝑐 ≠ 0 𝐞𝐧𝐭ã𝐨0
𝑐= 0
8
4= 2
−8
4= − 2
−8
−4= 2
8
−4= − 2
𝑎+𝑏
𝑐=
𝑎
𝑐+
𝑏
𝑐
𝑎−𝑏
𝑐=
𝑎
𝑐−
𝑏
𝑐
Nota:
𝑐
0= +∞ ∀ 𝑐 > 0
𝑐
0= −∞ ∀ 𝑐 < 0
0
0= valor indeterminado
16
Exercícios 1.6
▪ A propriedade distributiva é muito útil. Separando certos valores por partes, torna-se maisfácil fazer a divisão.
Exemplo: 1318 : 2
1318 é par, logo é divisível por 2. No entanto, se tentarmos fazer uma divisão direta,
vemos que 13 não é divisível por 2.
Nestes casos, a melhor opção é separar o dividendo por partes (unidades, dezenas, centenas,….)
1318
2=
1000 + 300 + 10+ 8
2
1318 = 1000 + 300 + 10 + 8
=1000
2+
300
2+
10
2+
8
2
= 500 + 150+ 5+ 4 = 659
DICAS
▪ Quando temos zeros no numerador e no denominador, podemos simplificar a fração fazendo cortes.Por cada zero no numerador, podemos eliminar um no denominador.
824000
100=
8240
1= 8240
Exemplo:
17
Fora dos parênteses
Entreparênteses
Obtemos
+ + +
+ − −
− + −
− − +
Resumo
Valores Resultado
+ + Somar os valores Sinal do resultado é +
− − Somar os valores Sinal do resultado é −
+ −
− +
Subtrair os valores
Sinal do resultado é igual ao do maior em valor absoluto
Soma e Subtração Multiplicação e Divisão
Valores Resultado
+ + Multiplicar/Dividir os valores Sinal do resultado é +
− − Multiplicar/Dividir os valores Sinal do resultado é +
+ −
− +
Multiplicar/Dividir os valores
Sinal do resultado é −
Estas regras de sinais são
válidas para qualquer número
em IR.
18
Números racionais relativos
Como sabemos, nem sempre a divisão de dois números inteiros é um número inteiro.
Com a necessidade de subdividir uma unidade de medida num certo número de partes iguais, surgem
os números racionais relativos.
Número racional é todo o número que pode ser representado por uma fração ( razão) de dois números inteiros
𝑎
𝑏𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑏 ≠ 0
Se 𝑏 =1, podemos considerar que todos os números inteiros são números racionais logo 𝕫⊂
1
35
4
−3
5 ……
19
Comparação de frações
As frações indicam que um todo foi dividido em partes iguais.
Uma fração representa parte desse todo.
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟
Indica quantas partes temos do todo
Indica em quantas partes o todo foi dividoAlgumas frações representam o mesmo valor,
embora à primeira vista não pareça.
Exemplo: 5
15
Como 5 e 15 são ambos múltiplos de 5,
podemos simplificar a fração, dividindo
ambos os membros pelo mesmo valor
5
15=
5:5
15:5=
1
3
Logo 5
15e
1
3
representam o mesmo valor𝟓
𝟏𝟓=
𝟏
𝟑
20
▪ As frações têm o denominador igual 3
5e
4
5quando maior o numerador maior é o valor da fração.
Como 4 > 3 temos 4
5>
3
5
▪ As frações têm o numerador igual 3
5e
3
8quando maior o denominador menor é o valor da fração.
Como 8 > 5 temos 3
8<
3
5
▪ As frações têm o numerador e denominador diferentes 3
5e
1
4Neste caso temos duas opções
▪ Arranjamos frações equivalentes, ambas com o mesmo denominador
2
4e
5
8
2
4=
2×2
4×2=
4
8
4
8<
5
8logo
2
4<
5
8
▪ Passamos a fração a número decimal 3
5= 0,6
1
4= 0,25 0,6 > 0,25 logo
3
5>
1
4
v
Exercícios 1.7
21
Representação de números de fracionários
Exercícios 1.8
Como visto anteriormente, podemos representar os números fracionários através de números decimais
efetuando a divisão.
Outra forma de representá-los é usando a reta numérica. Para isso temos duas opções:
▪ Efetuar a divisão e calcular o número decimal a representar
▪ Representar usando o valor da fração e para isso devemos:
Exemplo: 𝟏
𝟒
−𝟐
𝟓
𝟓
𝟒
1
4
2
5
−2
5
5
4=
4
4+
1
4= 1 +
1
4
5
4
▪ Fazer a divisão de um todo em partes iguais (valor indicado no denominador)
▪ Considerar o número de partes indicadas no numerador
1
4= 0,25
−2
5= −2 × 0,2 = −0,4
5
4= 5 ×
1
4=
5 × 0,25 = 1,25
1
5= 0,2
22
Múltiplos e divisores
Critérios de divisibilidade
Múltiplo de um número é todo o valor obtido multiplicando esse valor por um número inteiro.
▪ Zero é múltiplo de qualquer número
▪ Todos os números têm infinitos múltiplos
▪ Qualquer número é múltiplo de si próprio
Divisor de um número é todo o valor que divide esse número de forma exata, ou seja o resto da divisão é zero
▪ Um é divisor de qualquer número
▪ Qualquer número é divisor de si próprio
▪ Zero não é divisor de qualquer número.
▪ 654 – 4 é par logo é divisível por 2
▪ 2947 – 7 não é par logo não é divisível por 2
Número é divisível por 2 sempre que o algarismo das unidades é par (0,2,4,..)
23
Número é divisível por 3 sempre que a soma dos seus algarismos também é
divisível por 3
▪ 747
7 + 4 + 7 = 18, como 18 é divisível por 3 o 747 também é.
▪ 153710
1+5+3+7+1+0 = 17, como 17 não é divisível por 3 o 153710 também não é.
Número é divisível por 4 sempre que termine em 00 ou o número formado
pelos seus 2 últimos algarismos (dezenas e unidades) seja divisível por 4.
▪ 632
32 : 4 = 8 logo 632 também é divisível por 4
▪ 86300 - termina em 00 logo é divisível por 4
▪ 735 – 35 não é divisível por 4 logo 735 também não é
Número é divisível por 5 sempre que termine em 0 ou 5
▪ 1535 – termina em 5 logo é divisível por 5
▪ 2350 – termina em 0 logo é divisível por 5
▪ 2354 – não termina em 5 nem em 0 logo não é divisível por 5
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Número é divisível por 6 sempre que seja divisível por 2 e por 3 simultaneamente
▪ 750 termina em 0 logo é divisível por 2
7+5+0 = 12
Como 12 é divisível por 3, o 750 também é.
Sendo divisível por 2 e por 3, podemos concluir que 750 é divisível por 6
▪ 623 – 3 não é par, por isso 623 não é divisível por 2.
Logo também não é divisível por 6.
Número é divisível por 8 sempre que termine em 000 ou o número formado pelos
seus três últimos algarismos (centenas, dezenas e unidades) seja divisível por 8.
▪ 7880
880 : 8 = 110 logo 7880 também é divisível por 8
▪ 534000 - termina em 000 logo é divisível por 8
▪ 1385 – 385 não é divisível por 8 logo 1385 também não é
Número é divisível por 9 sempre que a soma dos seus algarismos também seja divisível por 9.
Número é divisível por 10 sempre que termina em zero.
Exercícios 1.9
25
Número primo
É todo o número que admite dois e só dois divisores – ele próprio e o um.
Todos os outros são números compostos.
▪ 1 não é primo nem composto
▪ 2 é o único número par que é primo
Tabela de números primos entre 1 e 100
26
Decomposição de um número em fatores primos
Passos para decompor um número em fatores primos:
▪ Dividir o valor pelo menor número primo possível▪ Dividir novamente o valor obtido pelo menor número primo possível
▪ Realizar esta operação até obter quociente 1
O produto de todos esses valores é a decomposição do número em fatores primos
Exemplo: Decompor 42 em fatores primos
42 = 2 × 3 × 7
27
m.d.c – Máximo divisor comum entre dois ou mais números é o maior inteiro que é fator desses números.
Após decompor esses números em fatores primos, o m.d.c é o produto dos fatores primos comuns
de menor expoente. Muito utilizado na simplificação de frações.
m.d.c (12, 18) = 2 × 3 = 6 m.d.c (36, 90) = 2 × 32 = 18
:
Exemplos: m.d.c(12,18) m.d.c(36,90)
Máximo divisor comum
12 = 22 × 3 18 = 32 × 2 36 = 22 × 32 90 = 2 × 5 × 32
28
m.m.c – Mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números é o menor inteiro que é múltiplo desses números.
Após decompor esses números em fatores primos, o m.m.c é o produto dos fatores primos
comuns e não comuns de maior expoente. Muito utilizado para arranjar frações equivalentes.
m.m.c (12, 30) = 22× 3 × 5 = 60 m.m.c(6,21) = 3 × 7 × 2 = 42
Exercícios 1.10
Mínimo múltiplo comum
Exemplos: m.m.c(12,30) m.m.c(6,21)
12 = 22 × 3 30 = 2 × 3 × 521 = 3 × 7 6 = 2 × 3
29
2. Estimação e cálculo numérico
Números racionais relativos
Como já foi visto no capítulo anterior, número racional é todo o número que pode ser
representado por uma fração ( razão) de dois números inteiros
𝑎
𝑏𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑏 ≠ 0
Números racionais
Inteiros Fraccionários
3
1= 3 Dízimas finitas
Dízimas infinitas
periódicas
10
2= 5 3
5= 0,6
1
3= 0,3333… = 0,(3)
0
5= 0
5
4= 1,25 8
7= 1,(142857)
ACerqueira
30
Operações com números racionais - Forma de fração
▪ Adição 𝒂 + 𝒃 ▪ Subtração 𝒂 − 𝒃
Na adição e subtração de frações, devemos considerar 2 casos:
▪ Se tiverem o mesmo denominador - Adicionam-se ou subtraem-se os numeradores e mantém-se o
mesmo denominador2
7+
4
7=
2+4
7=
6
7
3
5−
7
5=
3−7
5=
−4
5
▪ Se tiverem denominadores diferentes - Primeiro temos de transformar as frações em frações equivalentes,
utilizando o m.m.c ( obter fraçoes com denominadores iguais )3
4−
5
6- Depois adicionar ou subtrair os numeradores, mantendo o novo
denominador calculado
.
m.m.c(4,6) = 22 × 3 = 12
4 = 2 × 2 = 22
Exercícios 2.1
6 = 2 × 3
NOTA: Respeitar sempre as regras dos sinais (página 17)
31
▪ Multiplicação (𝒂 × 𝒃 ou 𝒂. 𝒃)
A multiplicação de frações é a operação mais fácil. Faz-se o produto dos numeradores entre si
e o mesmo para os denominadores, respeitando as regras dos sinais (página 17),
2
3×
4
7=
2×4
3×7=
8
21
−2
5×
−4
3=
−2×(−4)
5×3=
8
15
4 ×4
7=
4
1×
4
7=
4×4
1×7=
16
7
−2 ×3
7=
−2
1×
3
7=
−2×3
1×7=
−6
7
Exercícios 2.2
32
▪ Divisão (𝒂: 𝒃 ou 𝒂
𝒃)
Na divisão de frações temos duas opções
▪ Fazer o produto da primeira fração pelo inverso da segunda , respeitando as regras dos sinais (página 17)
−2
3÷
4
7=
−2
3×
7
4=
−14
12=
−14:2
12:2=
−7
6
1
2÷ 5 =
1
2×
1
5=
1
106 ÷
1
3= 6 ×
3
1=
18
1= 18
▪ Ou dividir as duas. Neste caso o resultado terá como numerador o produto dos extremos e como
denominador o produto dos elementos que estão no centro, respeitando as regras dos sinais.−2
34
7
= −2×7
3×4=
−14
12=
−7
6
Exercícios 2.3
33
Operações com números racionais – Forma de número decimal
Como vimos, qualquer fração representa um número inteiro, uma dízima finita ou
uma dízima infinita periódica . Os números racionais podem ser representados em forma de dízima,
para isso basta efetuar a divisão.
30
430
4= 7,5 Nota :
−30
4= − 7,5 - Regras dos sinais
7
3Dízima infinita periódica
Dízima finita
7
3= 2,333… = 2,(3)
34
Exercícios 2.4
▪ Adição ▪ Subtração
Exemplo: 425,3 + 63,842
(1)
4 2 5, 3 0 0
6 3, 8 4 2
4 8 9, 1 4 2
resultado: 489,142
Quando temos várias casas decimais, o método
mais simples é colocar os números alinhados. Tendo
em conta as ordens, efetuamos a soma por colunas.
Quando temos somente uma casa decimal,
também é fácil somar por partes
Exemplo: 123,3 + 236,5
100 + 200 = 300
20 + 30 = 50
3 + 6 = 9
0,3 + 0,5 = 0,8 resultado da soma : 359,8
Como na soma, o método mais simples é colocar os
números alinhados. Tendo em conta as ordens,
efetuamos a subtração por colunas.
Regra dos sinais
Sinais iguais >>> Somar os valores >>>
Resultado fica com o mesmo sinal dos valores
exemplo: -2 -3 = - 5
Sinais diferentes >>> Subtrair os valores >>> Resultado fica com
o sinal daquele que tem maior valor absoluto exemplo: 2 - 6 = -
4 - 4 + 6 = 2
+
35
Exercícios 2.5
▪ Multiplicação
Neste caso multiplica-se por ordens (unidades, dezenas, centenas, etc).
O número de casas decimais do resultado, é igual à soma das casas decimais dos fatores utilizados
Não esquecer as regra dos sinais
Para multiplicar por 10, 100, 1000,… basta mover a vírgula para a direita, o número de casas decimais igualà quantidade de zeros, ou acrescentar zeros caso seja necessário.
Exemplos: 23,4568 × 100 = 2345,68 23,45 × 10000 = 234500
2 𝑐𝑎𝑠𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑖𝑠4 𝑐𝑎𝑠𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑖𝑠
36
divisor
quociente restoDividendo = (divisor x quociente) + resto
a) Só no dividendo Ignoramos as casas decimais e fazemos a divisão.
No final consideramos as casas decimais, ficando o
quociente e o resto, com as mesmas casas decimais
que o dividendo.
Quociente = 0,12
Resto= 0,03
dividendo
▪ Divisão
Na divisão devemos considerar diferentes métodos, conforme o local onde
está posicionado o número decimal (no dividendo, divisor ou em ambos).
Não esquecer as regra dos sinais
37
b) Só no divisor
423 3,5Quando o dividendo (423) tem menos casas decimais que o
divisor (3,5), temos que as igualar.
Logo a melhor forma neste caso (uma casa decimal) é multiplicar ambos por 10.
423 x10 = 4230 e 3,5 x 10 = 35 ficando ambos sem casas decimais. Assim
podemos fazer a divisão de dois inteiros.
423 = 3,5 x 120 + 3 Quociente = 120
Resto= 3
No final, temos que regressar aos valores iniciais.Para isso fazemos a operação inversa, ou seja, dividimos ambos por 10
3,5
divisor
quociente restoDividendo = (divisor x quociente) + resto
dividendo
423
Não esquecer que quando temos a divisão
de um produto (35 × 120), só dividimos num
dos fatores, neste caso o que nos interessa
dividir é o 35 para ficarmos com 3,5
38
c) Em ambos (dividendo e divisor)
Quociente = 1,2
Resto – Mesmo número de casas decimais
que o dividendo – 2 casas decimais
Resto= 0,03
Desde que o dividendo tenha um número
de casas decimais igual ou superior ao divisor,
ignoramos as casas decimais e fazemos
a divisão. Caso contrário, fazemos o processo (b).
No final consideramos as casas decimais
no quociente e no resto ficando:
Quociente – 2-1 = 1 casa decimal (diferença entre as do
dividendo e as do divisor) Dividendo – 2 casas decimais
Divisor – 1 casa decimal
Exercícios 2.6
Divisões por 10, 100, 1000, …. é só mover a vírgula uma casa decimal para a esquerda por cada zero que temos no divisor. Mais uma vez podemos eliminar um zero no divendo por cada zero que temos no divisor.
Exemplo𝑠:265,3
10000= 0, 02653 ( 4 zeros → 4 casas decimais)
26500
10000=
265
100= 2,65
39
3. Números irracionais
Número irracional é todo aquele que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros.
Os números irracionais, não estão contidos em nenhum dos conjuntos vistos até agora.
Exemplo: 5 = 2,23606797...... Dízimas infinitas não periódicas
Ao juntarmos aos números racionais os números irracionais, obtemos um novo conjunto ao qual
se dá o nome de Números Reais e representa-se por IR
Assim sendo, dos Números Reais fazem parte todosos números racionais e irracionais
Subconjuntos de
+
−
0
−
Reais positivos
Reais negativos
Reais positivos incluindo o zero
Reais negativos incluindo o zero
IR
IR
IR
IR+
0IR
ACerqueira
40
Representação de intervalos de números reais
Exercícios 3.1
Os conjuntos numéricos podem ser representados por intervalos.
Seja S = {𝑥 ∈ IR ∶ 𝑥 < 5}
O conjunto S é formado por todos os números reais inferiores a 5 (o 5 não está incluído).
Visto na reta numérica temos
Como intervalo temos 𝑥 ∈ ] − ∞, 5[
Seja B= {𝑥 ∈ IR ∶ 𝑥 ≥ −3}
Isto significa que o conjunto S é formado por todos os números reais maiores ou iguais a 3 (o 3 está incluído)
Visto na reta numérica temos
Este símbolo indica que o valor (5) nãoestá incluído no intervalo.
Intervalo aberto [ no 5 ..., 5[
Como intervalo temos 𝑥 ∈ [−3, +∞[
Este símbolo indica que o valor (-3) estáincluído no intervalo.
Intervalo fechado [ no -3 [-3,...
NOTA: ][ abertos [] fechados
41
Radiciação
Não é mais do que a operação inversa da potenciação.
𝑛 𝑎
𝒏 𝒂 lê-se raiz índice n de a
Nota: Quando n = 2 chamamos raiz quadrada e escreve-se 𝒂 (e não 2 𝑎 )
Quando n = 3 chamamos raiz cúbica e escreve-se 3 𝑎
Dado um número n e um número a, determina-se um número b = 𝑛 𝑎 tal que a = 𝑏𝑛
Se 𝑏𝑛 = a então b = 𝑛 𝑎
Potenciação
𝑥2 = 9
𝑥 = ± 9
𝑥 = ± 32 = ±3
𝑎𝑛 , 𝑛 ∊ ℕ
Potenciação (𝑎𝑛 ) é um produto de 𝑛 fatores iguais (𝑎)
𝑎 – base – é o fator que se repete 𝑛 – expoente – é o número de vezes que a base se repete
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16𝑎𝑛 = 𝑎 x 𝑎 x …… x 𝑎
n vezes 4 vezes
Sempre que o expoente é par, quando efetuamos
a radiciação devemos colocar ±. Porque qualquer
número diferente de zero (positivo ou negativo)
elevado a um número par dá resultado positivo. (−3)2= 32 = 9
42
Raiz quadrada de um número x , é um valor positivo que multiplicado por si próprio é igual a x.
A formação de quadrados uns a partir dos outros
1+3 = 4 = 2 × 2 = 22
1+3 +5 = 9 = 3 × 3 = 32
1+3 +5 +7 = 16 = 4 × 4 = 42
…
𝑛 × 𝑛 = 𝑛2
16 = 42 = 4
9 = 32 = 3
4 = 22 = 2
𝑛2 = 𝑛 1 = 12 = 1
23 = 8
13 = 1
33 = 27
43 = 64A formação de cubos
Exercícios 3.2
𝑘 = 𝑘12
3 = 312
35 = 5
1
3
𝑛𝑘 = 𝑘
1
𝑛
43
4. Estimação, valores aproximados e erros
Fazer uma estimativa, não é mais do que fazer um cálculo aproximado de determinado valor, baseando-se
em dados com um comportamento aleatório.
Quando temos valores com muitas casas decimais, o mais comum é usarmos
valores aproximados. Normalmente usamos uma, duas ou três casas decimais e para isso
fazemos os chamados os arredondamentos.
Dízimas
Infinitas
Periódicas
2,345345345345.
Não
Periódicas
1,321514836
Finitas
2,36
Dízima - É a representação de um número sob a forma decimal.
0,3333…
4,37682
ACerqueira
44
5,2 < 5,285714 < 5,3
▪ Aproximação às décimas - Com uma casa decimal
5,2 – É o valor aproximado por defeito
5,3 – É o valor aproximado por excesso
▪ Aproximação às centésimas - Com duas casas decimais
5,28 < 5,285714 < 5,295,28 – É o valor aproximado por defeito
5,29 – É o valor aproximado por excesso
▪ Aproximação às milésimas - Com três casas decimais
5,285 < 5,285714 < 5,2865,285 – É o valor aproximado por defeito
5,286 – É o valor aproximado por excesso
Em valores aproximados, temos que considerar 2 casos.
Um valor aproximado por defeito e o outro por excesso.
Consideremos o valor 5,285714
Exercícios 4.1
45
Nos arredondamentos são usadas as seguintes regras:
• Se o algarismo da casa decimal seguinte for maior ou igual a 5,
o número da casa decimal a arredondar sobe uma unidade
4,2562 - arredondar às décimas – 4,3
4,2361 - arredondar às centésimas – 4,24
3,5326 - arredondar às milésimas – 3,533
• Se o algarismo da casa decimal seguinte for menor do que 5,
o número da casa decimal a arredondar mantém-se inalterado
1,236 - arredondar às décimas – 1,2
4,2326 - arredondar às centésimas – 4,23
6,6781 - arredondar às milésimas – 6,678
Arredondamentos
Exercícios 4.2
ou seja utilizamos no
arredondamento o valor
aproximado por excesso
ou seja utilizamos no
arredondamento o valor
aproximado por defeito
46
5. Operações com potências de expoente inteiro
Potenciação 𝑎𝑛 , 𝑛 ∊ ℕ
Como já vimos atrás, potenciação é um produto de fatores iguais
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × ⋯ × 𝑎
𝑛 vezes 4 vezes
Multiplicação de potências com a mesma base
𝑎𝑛 × 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 - dá-se a mesma base e somam-se os expoentes
Multiplicação de potências com o mesmo expoente
𝑎𝑛 × 𝑏𝑛 = (𝑎 × 𝑏)𝑛 - dá-se o mesmo expoente e multiplicam-se as bases
23 × 24 = 23+4 = 27
24 × 34 = (2 × 3)4 = 64
Exercícios 5.1
ACerqueira
47
Divisão de potências com a mesma base
𝑎𝑛
𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚 - dá-se a mesma base e subtraem-se os expoentes
Divisão de potências com o mesmo expoente
𝑎𝑛
𝑏𝑛 = (𝑎
𝑏)𝑛 - dá-se o mesmo expoente e dividem-se as bases
1 - como expoente - Não tem influência no resultado e mantém-se o
valor da base
Exemplo: 51 = 5
1 - como base - O resultado é sempre 1, porque 1 é elemento neutro da multiplicação
Exemplo: 11 = 15 = 11000 = 1
0 - como base - O resultado é sempre 0, para qualquer expoente diferente de zero
Exemplo: 01 = 05 = 01000 = 0
48
0 - como expoente - O resultado é sempre 1 para qualquer base diferente de zero Exemplo: 50 = 200 = 10000 = 1
NOTA: 𝟎𝟎 é uma indeterminação
Qualquer número (≠0) a dividir por ele próprio é sempre 1, logo 𝑎𝑛
𝑎𝑛 = 1
mas pelas propriedades das potências sabemos que 𝒂𝒏
𝒂𝒏 = 𝑎𝑛−𝑛 = 𝑎0 então 𝑎0 = 1
Potências de base 10
Estas potências são usadas para facilitar a representação de números muito grandes ou muito pequenos.
Podem ter expoentes negativos ou positivos.
Exemplos: 1000000 = 106
0,00001 = 10−5
Exercícios 5.2
Como já vimos, divisões por potências de 10 ( 10, 100, 1000, ….), é só mover a vírgula uma casa decimal para a esquerda por
cada zero que temos no divisor ou cortar zeros caso existam no numerador e no denominador
No caso de expoentes negativos 255
0,0001=
255
1×10−4 =255
1 × 104 = 255 × 104 = 2550000
49
Outros valores que possam aparecer como por exemplo 0,0003 ou 250000 podemos também escrevê-los usando potências de 10 .
0,003 = 3 × 0,001 = 3× 10−3
250000 = 25 × 10000 = 25 × 104 250000 = 2,5 × 100000 = 2,5 × 105ou
Expoentes positivos Expoentes negativos
101 = 10 10−1 = 0,1
102 = 100 10−2 = 0,01
103 = 1000 10−3 = 0,001
104 = 10000 10−4 = 0,0001
105 = 100000 10−5 = 0,00001
….. ….
10𝑛 = 10…0 Sendo n o número de zeros
10−𝑛 = 0,0…01 Com n algarismos após a vírgula
𝐍𝐎𝐓𝐀: 100 = 1
50
Notação científica
Não é mais do que representar um valor como um produto, formado por um número com um só algarismo
(diferente de zero) à esquerda da vírgula e por uma potência de base 10.
Na maior parte das vezes, usamos a notação científica sempre que pretendemos escrever :
▪ números muito grandes, como por exemplo a massa do sol ( 1,989 × 1030 kg)
▪ números muito pequenos, como por exemplo massa atómica do carbono (1,9944235 × 10−23 g)
Exemplos: 123,15 0,00451 3000000
123,15 em notação científica é 1,2315 × 102
0,00451 em notação científica é 4,51 × 10−3
3000000 em notação científica é 3 × 106
▪ Movimentamos a vírgula 2 casas para a esquerda ▪ Mulitplicamos por 10 elevado ao número de casas movimentadas 2
▪ Movimentamos a vírgula 3 casas para a direita
▪ Mulitplicamos por 10 elevado menos o número de casas movimentadas (−3)
▪ Como temos um número inteiro, é como se a vírgula estivesse a
seguir ao último algarismo (0)
▪ Movimentamos a vírgula 6 casas para a esquerda ▪ Mulitplicamos por 10 elevado ao número de casas movimentadas 6
51
Exercícios 5.3
Comparação de números em notação científica
▪ Comparando um número positivo com outro negativo, é sempre maior o número positivo
▪ Comparando dois números positivos, é sempre maior o que tiver maior expoente na potência de 10,
se tiverem ambos a mesma potência de 10, é maior aquele que tiver o maior valor a multiplicar pela potência de 10
▪ Comparando dois números negativos com a mesma potência de 10, é maior o que tiver menor valor absoluto
(ditância ao zero)
▪ Comparando dois números negativos com diferentes potências de 10, é maior o que tiver menor expoente
na potência de 10
Operações com números em notação científica
Multiplicação
Divisão
Adição e subtração
▪ Faz-se o produto dos valores que estão a multiplicar
pelas potências de 10 ▪ Multiplicam-se as potências de 10
4,1 × 103 × 2,3 × 105 =
4,1 × 2,3 × 103 × 105 = 9,43 × 108
▪ Faz-se a divisão dos valores que estão a multiplicar
pelas potências de 10 ▪ Dividem-se as potências de 10
6,8 × 105 ∶ 2 × 103 =6,8 × 105
2 × 103= 3,4 × 102
Para somar ou subtrair números em notação científica,
é necessário que estes tenham o mesmo expoente
na potência de 10
2,1 × 104 + 1,4 × 105 = 2,1 × 104 + 14 × 104=(2,1 + 14) × 104 = 16,1 × 104
2,5 × 105 − 1,2 × 103 = 250 × 103 − 1,2 × 103=(250 − 1,2) × 103 = 248,8 × 103
52
Bibliografia
Conceitos fundamentais da matemática – Bento de Jesus Caraça
Matemática 9º ano - Fátima Cerqueira Magro, Fernando Fidalgo, Pedro Louçano
Matemática – Bruno Silva, Cristina Serra, Isabel Oliveira, Raquel Oliveira
ACerqueira
https://www.google.pt/
Anabela Cerqueira
Ano : 2020