1

Operações Numéricas e Estimação

6673

2

1. Padrões e relações numéricas

Número

É um objeto da matemática usado para descrever quantidades, efetuar medidas ou realizar ordenações.

Provavelmente foi um dos primeiros conceitos matemáticos utilizados pelo homem no processo de contagem.Os primeiros vestígios de contagem datam da idade da pedra.

Os homens não adquiriram primeiro os números naturais para depois contarem, pelo contrário,

os números naturais é que se foram formando lentamente pela prática diária de contagem.

É habitual contar-se pelos dedos pequenas quantidades de objetos, este facto teve grande influência no

aparecimento dos números. A base do nosso sistema de numeração é 10 que é exatamente os número de

dedos de duas mãos.O nome dígito que designa os números, vem do latim digitus que significa dedo.

Ao homem primitivo, não ocorre considerar o zero como um número, por isso não faz parte dos

números naturais.

A criação de um símbolo (0) para representar o nada, constitui um dos atos mais audazes do pensamento.

O maior ou menor conhecimento dos números, está ligado com as condições da vida económica de cada povo.

À medida que as sociedades de tornavam cada vez mais complexas (por exemplo o aparecimento do regime de

propriedade) levou os matemáticos a descobrir outros tipos de números para cálculo de áreas, comprimentos, etc.

ACerqueira

3

Várias civilizações criaram os seus próprios sistemas de numeração:

▪ Os Romanos usavam um sistema decimal, semelhante ao nosso mas com números diferentes

▪ Os Maias usavam um sistema vigesimal, que tem por base o número 20.

Por exemplo na língua francesa 80 diz-se quatre-vingts (quatro vintes)

▪ Os Egípcios usavam um sistema decimal, semelhante ao romano mas também com símbolos diferentes

▪ Os Babilónios usavam um sistema sexagesimal, que tem por base o número 60.

Este sistema é usado

• Nas medidas do tempo

➢ 1 hora são 60 minutos

➢ 1 minuto são 60 segundos

• Nas medidas dos ângulos

➢ 1 grau = 60 minutos (1˚= 60’)

➢ 1 minuto = 60 segundos (1’ = 60’’)

4

Números inteiros relativos

Números naturais representados por IN, é o conjunto numérico mais popular. Usado em contagem ou

ordenação, é um conjunto infinito e formado pelos números inteiros positivos.

IN = {1, 2, 3, 4, 5, ….} Representação em extensão

Números naturais

À medida que a sociedade se torna mais complexa, aparecem outras necessidades tais como:

• Representar uma dívida,• Representar nada matematicamente

Juntando zero, os números naturais e os números inteiros negativos surge o conjunto

dos números inteiros relativos que se representa por𝕫.

𝕫 = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} IN

Assim sendo IN ⊂ 𝕫 IN está contido em 𝕫 )

⊂ está contido⊃ contém

Representação naforma de conjunto

𝕫

IN

5

Também podemos representar os números inteiros relativos através da reta numérica

▪ Marcamos primeiro o zero no centro da reta

▪ À direita marcamos o número 1 que representa a unidade e todos os números naturais

▪ À esquerda os inteiros negativos

Para todo o número positivo existe um negativo que é o seu oposto.

Esta reta denomina-se reta das abcissas, sendo zero a origem das abcissas.

Ao número associado a um ponto desta reta, dá-se o nome de abcissa do ponto

Subconjuntos de 𝕫

Exercícios 1.1

6

Exemplo: Quanto falamos de saldo bancário, podemos ter saldo positivo (200€) ou então dívida ao banco que se representa por saldo negativo (−200€)

Como podemos ver, estão ambos à mesma distância da origem.

A essa distância à origem dá-se o nome de valor absoluto e representa-se por |a|.

| −200| = |200| = 200

Quando dois números diferentes têm o mesmo valor absoluto, dizemos que são números simétricos.

Assim sendo, 200 e −200 são simétricos.

Valor absoluto

▪ Quanto mais se afasta para a esquerda, menor é o número

▪ Reciprocamente, quanto mais se afasta para a direita maior é o número

− 10 < − 5< − 1 < 0 < 1< 4 < 6

10 > 5 > 1 > 0 > − 1 > − 3 > − 8

Comparações

Exercícios 1.2

7

Adicionar 2 valores positivos

2 + 3 = +5 = 5 − 2 + (− 4) = − 6 −4 + 5 = +1 = 1

3 + (− 5) = 3 − 5 = −2

− 2 + (− 4) = − 2 − 4 = −6

• Somam-se os valores absolutos

• Mantemos o sinal existente (+)

Adicionar 2 valores negativos

• Somam-se os valores

absolutos• Mantemos o sinal existente (−)

Adicionar um positivo e outro

negativo

• Subtraem-se os valores

absolutos

• Ficamos com o sinal do maior

em valor absoluto

Operações

▪ Adição 𝒂 + 𝒃

Diretas Inversas

Adição Subtração

Multiplicação Divisão

Potenciação Radiciação e Logaritmação

3 + (− 5) = −2

8

Propriedades

Comutativa

a+b = b+a

Associativa

(a + b) + c = a + (b +c)

(2 + 3) + 6 = 2 + (3 + 6) (2 + 3) + (− 6 ) = 2 + (3 +(− 6) )

Elemento neutro a + 0 = a

Simétricoa +(− a) = 0

2 + 0 = 0 + 2 = 2

4 +( − 4) = 4 − 4 = 0

2+3 = 3+2

5 + (−4) = −4 + 5 = 1

9

Exercícios 1.3

A forma mais fácil e rápida de fazer adições é somar por partes (unidades / dezenas / centenas / etc)

DICA

Exemplo 1: 1235 + 2423

1235 = 1000 + 200 + 30 + 5

2423 = 2000 + 400 + 20 + 3

1235 + 2423 = 3658

Outra forma é a adição vertical

com transporte

3000 + + +600 50 8 = 3658

Exemplo 2: 1435 + 2728

10

▪ Subtração 𝒂 − 𝒃

• Primeiro eliminamos o parênteses, trocando o sinal do valor que está dentro do parênteses.

− 5 − (+ 3) = − 5 − 3

Sinais diferentes

• Subtraem-se os valores

• Dá-se o sinal do maior em valor absoluto

Sinais iguais

• Adicionam-se os valores

• Mantemos o sinal existente

− 5 + 6 = 1

2 − (+ 3) = 2 − 3

2 − 3 = − 1 − 5 − 3 = − 8

− 5 − (− 6) = − 5 + 6

• Depois efetuamos os cálculos, seguindo as mesmas regras da soma

2 − (− 5) = 2 + 5

2 + 5 = 7

Elemento neutro a − 0 = a

Propriedades

Outras

a + (b − c) = (a + b) − c

a − (b + c)= (a − b) − c

a − (b − c)= (a − b) + c

(a + c) − (b + c) = a + c − b – c = a − b

(a − c) − (b − c) = a − c − b + c = a − b

11

Como no caso da soma, também se pode fazer subtração por partes (unidades / dezenas / centenas / etc)

e no final somar os resultados

DICA

Exemplo 1: 3235 − 2423

3235 = 3000 + 200 + 30 + 5

2423 = 2000 + 400 + 20 + 3

3000 − 2000 = 1000

200 − 400 = − 200

30 − 20 = 10

5 − 3 = 2

3235 − 2423 = 812

800

Exercícios 1.4

Outra forma é a subtração vertical

com transporte

12

▪ Multiplicação (𝒂 × 𝒃 ou 𝒂. 𝒃)

Multiplicação em 𝕫 não é mais do que uma extensão da multiplicação em IN.

Como vamos ter valores positivos e negativos, devemos ter atenção aos sinais

▪ Produto de 2 valores com o mesmo sinal

o resultado é positivo

▪ Produto de 2 valores com sinais diferentes

o resultado é negativo

−5 × −2 = +10

5 × 2 = +10

5 × −2 = −10

− 5 × 2 = −10

Propriedades

Elemento neutro 1𝑎 × 1 = a

Elemento absorvente 0𝑎 × 0 = 0 × 𝑎 = 0

Comutativa

𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎

Associativa 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 = (𝑎 × 𝑏) × 𝑐

Distributiva

𝑎 × 𝑏 + 𝑐 = (𝑎 × 𝑏) + (𝑎 × 𝑐)

Outra 𝑺𝒆 𝑐 ≠ 0 𝐞 𝑎 × 𝑐 = 𝑏 × 𝑐 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝑎 = 𝑏

𝑎 × 𝑏 − 𝑐 = (𝑎 × 𝑏) − (𝑎 × 𝑐)

13

Normalmente faz-se o cálculo vertical na multiplicação

Também se pode fazer a multiplicação por partes e em certos casos torna o cálculo mais fácil

Exemplo 1: 6 × 63

6 × 60 = 360

6 × 3 = 18

360 + 18 = 378

resultado : 378

Exemplo 2: 9 × 120

9 × 100 = 900

9 × 20 = 180

900 + 180 = 1080

resultado : 1080

Exemplo 3: 𝟏𝟐 × 35

10 × 35 = 350

2 × 35 = 70

350 + 70 = 420

resultado : 420

▪ Multiplicar as unidades, dezenas, etc▪ Avançar casas decimais, acrescentando mais um zero

em cada passo (dezenas – 1 zero, centenas – 2 zeros, unidades de milhar -3 zeros, etc)▪ Somar todas as colunas

14

▪ Memorizar produtos entre números iguais

Exemplo: Sabendo que 4 x 4 = 16, também sei:

4 x 5 = 20 porque é só adicionar 4 unidades

4 x 3 = 12 porque é só subtrair 4 unidades

DICAS

▪ Para multiplicar por 10, 100, 1000, etc,

basta acrescentar o mesmo número de zeros

Exemplo: 8943 × 1000 = 8943000

Para multiplicar por 20, 30, 40, … ou

200, 300, 400, … basta multiplicar pelo

1º algarismo 2,3,4, …

e depois acrescentar os zeros

Exemplo: 213 × 3000

1º) 213 × 3 = 639

2º) Acrescentar os zeros 639000

213 × 3000 = 639000

Exercícios 1.5

15

▪ Divisão (𝒂: 𝒃 ou 𝒂

𝒃)

É a operação inversa da multiplicação.Mais uma vez, tendo valores positivos e negativos devemos ter atenção aos sinais

▪ Divisão de 2 valores com o mesmo sinal

o resultado é positivo

▪ Divisão de 2 valores com sinais diferentes

o resultado é negativo

Propriedades

Elemento neutro 1𝑎

1= a

Distributiva

Outras

𝑺𝒆 𝑐 ≠ 0 𝐞𝐧𝐭ã𝐨0

𝑐= 0

8

4= 2

−8

4= − 2

−8

−4= 2

8

−4= − 2

𝑎+𝑏

𝑐=

𝑎

𝑐+

𝑏

𝑐

𝑎−𝑏

𝑐=

𝑎

𝑐−

𝑏

𝑐

Nota:

𝑐

0= +∞ ∀ 𝑐 > 0

𝑐

0= −∞ ∀ 𝑐 < 0

0

0= valor indeterminado

16

Exercícios 1.6

▪ A propriedade distributiva é muito útil. Separando certos valores por partes, torna-se maisfácil fazer a divisão.

Exemplo: 1318 : 2

1318 é par, logo é divisível por 2. No entanto, se tentarmos fazer uma divisão direta,

vemos que 13 não é divisível por 2.

Nestes casos, a melhor opção é separar o dividendo por partes (unidades, dezenas, centenas,….)

1318

2=

1000 + 300 + 10+ 8

2

1318 = 1000 + 300 + 10 + 8

=1000

2+

300

2+

10

2+

8

2

= 500 + 150+ 5+ 4 = 659

DICAS

▪ Quando temos zeros no numerador e no denominador, podemos simplificar a fração fazendo cortes.Por cada zero no numerador, podemos eliminar um no denominador.

824000

100=

8240

1= 8240

Exemplo:

17

Fora dos parênteses

Entreparênteses

Obtemos

+ + +

+ − −

− + −

− − +

Resumo

Valores Resultado

+ + Somar os valores Sinal do resultado é +

− − Somar os valores Sinal do resultado é −

+ −

− +

Subtrair os valores

Sinal do resultado é igual ao do maior em valor absoluto

Soma e Subtração Multiplicação e Divisão

Valores Resultado

+ + Multiplicar/Dividir os valores Sinal do resultado é +

− − Multiplicar/Dividir os valores Sinal do resultado é +

+ −

− +

Multiplicar/Dividir os valores

Sinal do resultado é −

Estas regras de sinais são

válidas para qualquer número

em IR.

18

Números racionais relativos

Como sabemos, nem sempre a divisão de dois números inteiros é um número inteiro.

Com a necessidade de subdividir uma unidade de medida num certo número de partes iguais, surgem

os números racionais relativos.

Número racional é todo o número que pode ser representado por uma fração ( razão) de dois números inteiros

𝑎

𝑏𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑏 ≠ 0

Se 𝑏 =1, podemos considerar que todos os números inteiros são números racionais logo 𝕫⊂

1

35

4

−3

5 ……

19

Comparação de frações

As frações indicam que um todo foi dividido em partes iguais.

Uma fração representa parte desse todo.

𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟

𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟

Indica quantas partes temos do todo

Indica em quantas partes o todo foi dividoAlgumas frações representam o mesmo valor,

embora à primeira vista não pareça.

Exemplo: 5

15

Como 5 e 15 são ambos múltiplos de 5,

podemos simplificar a fração, dividindo

ambos os membros pelo mesmo valor

5

15=

5:5

15:5=

1

3

Logo 5

15e

1

3

representam o mesmo valor𝟓

𝟏𝟓=

𝟏

𝟑

20

▪ As frações têm o denominador igual 3

5e

4

5quando maior o numerador maior é o valor da fração.

Como 4 > 3 temos 4

5>

3

5

▪ As frações têm o numerador igual 3

5e

3

8quando maior o denominador menor é o valor da fração.

Como 8 > 5 temos 3

8<

3

5

▪ As frações têm o numerador e denominador diferentes 3

5e

1

4Neste caso temos duas opções

▪ Arranjamos frações equivalentes, ambas com o mesmo denominador

2

4e

5

8

2

4=

2×2

4×2=

4

8

4

8<

5

8logo

2

4<

5

8

▪ Passamos a fração a número decimal 3

5= 0,6

1

4= 0,25 0,6 > 0,25 logo

3

5>

1

4

v

Exercícios 1.7

21

Representação de números de fracionários

Exercícios 1.8

Como visto anteriormente, podemos representar os números fracionários através de números decimais

efetuando a divisão.

Outra forma de representá-los é usando a reta numérica. Para isso temos duas opções:

▪ Efetuar a divisão e calcular o número decimal a representar

▪ Representar usando o valor da fração e para isso devemos:

Exemplo: 𝟏

𝟒

−𝟐

𝟓

𝟓

𝟒

1

4

2

5

−2

5

5

4=

4

4+

1

4= 1 +

1

4

5

4

▪ Fazer a divisão de um todo em partes iguais (valor indicado no denominador)

▪ Considerar o número de partes indicadas no numerador

1

4= 0,25

−2

5= −2 × 0,2 = −0,4

5

4= 5 ×

1

4=

5 × 0,25 = 1,25

1

5= 0,2

22

Múltiplos e divisores

Critérios de divisibilidade

Múltiplo de um número é todo o valor obtido multiplicando esse valor por um número inteiro.

▪ Zero é múltiplo de qualquer número

▪ Todos os números têm infinitos múltiplos

▪ Qualquer número é múltiplo de si próprio

Divisor de um número é todo o valor que divide esse número de forma exata, ou seja o resto da divisão é zero

▪ Um é divisor de qualquer número

▪ Qualquer número é divisor de si próprio

▪ Zero não é divisor de qualquer número.

▪ 654 – 4 é par logo é divisível por 2

▪ 2947 – 7 não é par logo não é divisível por 2

Número é divisível por 2 sempre que o algarismo das unidades é par (0,2,4,..)

23

Número é divisível por 3 sempre que a soma dos seus algarismos também é

divisível por 3

▪ 747

7 + 4 + 7 = 18, como 18 é divisível por 3 o 747 também é.

▪ 153710

1+5+3+7+1+0 = 17, como 17 não é divisível por 3 o 153710 também não é.

Número é divisível por 4 sempre que termine em 00 ou o número formado

pelos seus 2 últimos algarismos (dezenas e unidades) seja divisível por 4.

▪ 632

32 : 4 = 8 logo 632 também é divisível por 4

▪ 86300 - termina em 00 logo é divisível por 4

▪ 735 – 35 não é divisível por 4 logo 735 também não é

Número é divisível por 5 sempre que termine em 0 ou 5

▪ 1535 – termina em 5 logo é divisível por 5

▪ 2350 – termina em 0 logo é divisível por 5

▪ 2354 – não termina em 5 nem em 0 logo não é divisível por 5

24

Número é divisível por 6 sempre que seja divisível por 2 e por 3 simultaneamente

▪ 750 termina em 0 logo é divisível por 2

7+5+0 = 12

Como 12 é divisível por 3, o 750 também é.

Sendo divisível por 2 e por 3, podemos concluir que 750 é divisível por 6

▪ 623 – 3 não é par, por isso 623 não é divisível por 2.

Logo também não é divisível por 6.

Número é divisível por 8 sempre que termine em 000 ou o número formado pelos

seus três últimos algarismos (centenas, dezenas e unidades) seja divisível por 8.

▪ 7880

880 : 8 = 110 logo 7880 também é divisível por 8

▪ 534000 - termina em 000 logo é divisível por 8

▪ 1385 – 385 não é divisível por 8 logo 1385 também não é

Número é divisível por 9 sempre que a soma dos seus algarismos também seja divisível por 9.

Número é divisível por 10 sempre que termina em zero.

Exercícios 1.9

25

Número primo

É todo o número que admite dois e só dois divisores – ele próprio e o um.

Todos os outros são números compostos.

▪ 1 não é primo nem composto

▪ 2 é o único número par que é primo

Tabela de números primos entre 1 e 100

26

Decomposição de um número em fatores primos

Passos para decompor um número em fatores primos:

▪ Dividir o valor pelo menor número primo possível▪ Dividir novamente o valor obtido pelo menor número primo possível

▪ Realizar esta operação até obter quociente 1

O produto de todos esses valores é a decomposição do número em fatores primos

Exemplo: Decompor 42 em fatores primos

42 = 2 × 3 × 7

27

m.d.c – Máximo divisor comum entre dois ou mais números é o maior inteiro que é fator desses números.

Após decompor esses números em fatores primos, o m.d.c é o produto dos fatores primos comuns

de menor expoente. Muito utilizado na simplificação de frações.

m.d.c (12, 18) = 2 × 3 = 6 m.d.c (36, 90) = 2 × 32 = 18

:

Exemplos: m.d.c(12,18) m.d.c(36,90)

Máximo divisor comum

12 = 22 × 3 18 = 32 × 2 36 = 22 × 32 90 = 2 × 5 × 32

28

m.m.c – Mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números é o menor inteiro que é múltiplo desses números.

Após decompor esses números em fatores primos, o m.m.c é o produto dos fatores primos

comuns e não comuns de maior expoente. Muito utilizado para arranjar frações equivalentes.

m.m.c (12, 30) = 22× 3 × 5 = 60 m.m.c(6,21) = 3 × 7 × 2 = 42

Exercícios 1.10

Mínimo múltiplo comum

Exemplos: m.m.c(12,30) m.m.c(6,21)

12 = 22 × 3 30 = 2 × 3 × 521 = 3 × 7 6 = 2 × 3

29

2. Estimação e cálculo numérico

Números racionais relativos

Como já foi visto no capítulo anterior, número racional é todo o número que pode ser

representado por uma fração ( razão) de dois números inteiros

𝑎

𝑏𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑏 ≠ 0

Números racionais

Inteiros Fraccionários

3

1= 3 Dízimas finitas

Dízimas infinitas

periódicas

10

2= 5 3

5= 0,6

1

3= 0,3333… = 0,(3)

0

5= 0

5

4= 1,25 8

7= 1,(142857)

ACerqueira

30

Operações com números racionais - Forma de fração

▪ Adição 𝒂 + 𝒃 ▪ Subtração 𝒂 − 𝒃

Na adição e subtração de frações, devemos considerar 2 casos:

▪ Se tiverem o mesmo denominador - Adicionam-se ou subtraem-se os numeradores e mantém-se o

mesmo denominador2

7+

4

7=

2+4

7=

6

7

3

5−

7

5=

3−7

5=

−4

5

▪ Se tiverem denominadores diferentes - Primeiro temos de transformar as frações em frações equivalentes,

utilizando o m.m.c ( obter fraçoes com denominadores iguais )3

4−

5

6- Depois adicionar ou subtrair os numeradores, mantendo o novo

denominador calculado

.

m.m.c(4,6) = 22 × 3 = 12

4 = 2 × 2 = 22

Exercícios 2.1

6 = 2 × 3

NOTA: Respeitar sempre as regras dos sinais (página 17)

31

▪ Multiplicação (𝒂 × 𝒃 ou 𝒂. 𝒃)

A multiplicação de frações é a operação mais fácil. Faz-se o produto dos numeradores entre si

e o mesmo para os denominadores, respeitando as regras dos sinais (página 17),

2

3×

4

7=

2×4

3×7=

8

21

−2

5×

−4

3=

−2×(−4)

5×3=

8

15

4 ×4

7=

4

1×

4

7=

4×4

1×7=

16

7

−2 ×3

7=

−2

1×

3

7=

−2×3

1×7=

−6

7

Exercícios 2.2

32

▪ Divisão (𝒂: 𝒃 ou 𝒂

𝒃)

Na divisão de frações temos duas opções

▪ Fazer o produto da primeira fração pelo inverso da segunda , respeitando as regras dos sinais (página 17)

−2

3÷

4

7=

−2

3×

7

4=

−14

12=

−14:2

12:2=

−7

6

1

2÷ 5 =

1

2×

1

5=

1

106 ÷

1

3= 6 ×

3

1=

18

1= 18

▪ Ou dividir as duas. Neste caso o resultado terá como numerador o produto dos extremos e como

denominador o produto dos elementos que estão no centro, respeitando as regras dos sinais.−2

34

7

= −2×7

3×4=

−14

12=

−7

6

Exercícios 2.3

33

Operações com números racionais – Forma de número decimal

Como vimos, qualquer fração representa um número inteiro, uma dízima finita ou

uma dízima infinita periódica . Os números racionais podem ser representados em forma de dízima,

para isso basta efetuar a divisão.

30

430

4= 7,5 Nota :

−30

4= − 7,5 - Regras dos sinais

7

3Dízima infinita periódica

Dízima finita

7

3= 2,333… = 2,(3)

34

Exercícios 2.4

▪ Adição ▪ Subtração

Exemplo: 425,3 + 63,842

(1)

4 2 5, 3 0 0

6 3, 8 4 2

4 8 9, 1 4 2

resultado: 489,142

Quando temos várias casas decimais, o método

mais simples é colocar os números alinhados. Tendo

em conta as ordens, efetuamos a soma por colunas.

Quando temos somente uma casa decimal,

também é fácil somar por partes

Exemplo: 123,3 + 236,5

100 + 200 = 300

20 + 30 = 50

3 + 6 = 9

0,3 + 0,5 = 0,8 resultado da soma : 359,8

Como na soma, o método mais simples é colocar os

números alinhados. Tendo em conta as ordens,

efetuamos a subtração por colunas.

Regra dos sinais

Sinais iguais >>> Somar os valores >>>

Resultado fica com o mesmo sinal dos valores

exemplo: -2 -3 = - 5

Sinais diferentes >>> Subtrair os valores >>> Resultado fica com

o sinal daquele que tem maior valor absoluto exemplo: 2 - 6 = -

4 - 4 + 6 = 2

+

35

Exercícios 2.5

▪ Multiplicação

Neste caso multiplica-se por ordens (unidades, dezenas, centenas, etc).

O número de casas decimais do resultado, é igual à soma das casas decimais dos fatores utilizados

Não esquecer as regra dos sinais

Para multiplicar por 10, 100, 1000,… basta mover a vírgula para a direita, o número de casas decimais igualà quantidade de zeros, ou acrescentar zeros caso seja necessário.

Exemplos: 23,4568 × 100 = 2345,68 23,45 × 10000 = 234500

2 𝑐𝑎𝑠𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑖𝑠4 𝑐𝑎𝑠𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑖𝑠

36

divisor

quociente restoDividendo = (divisor x quociente) + resto

a) Só no dividendo Ignoramos as casas decimais e fazemos a divisão.

No final consideramos as casas decimais, ficando o

quociente e o resto, com as mesmas casas decimais

que o dividendo.

Quociente = 0,12

Resto= 0,03

dividendo

▪ Divisão

Na divisão devemos considerar diferentes métodos, conforme o local onde

está posicionado o número decimal (no dividendo, divisor ou em ambos).

Não esquecer as regra dos sinais

37

b) Só no divisor

423 3,5Quando o dividendo (423) tem menos casas decimais que o

divisor (3,5), temos que as igualar.

Logo a melhor forma neste caso (uma casa decimal) é multiplicar ambos por 10.

423 x10 = 4230 e 3,5 x 10 = 35 ficando ambos sem casas decimais. Assim

podemos fazer a divisão de dois inteiros.

423 = 3,5 x 120 + 3 Quociente = 120

Resto= 3

No final, temos que regressar aos valores iniciais.Para isso fazemos a operação inversa, ou seja, dividimos ambos por 10

3,5

divisor

quociente restoDividendo = (divisor x quociente) + resto

dividendo

423

Não esquecer que quando temos a divisão

de um produto (35 × 120), só dividimos num

dos fatores, neste caso o que nos interessa

dividir é o 35 para ficarmos com 3,5

38

c) Em ambos (dividendo e divisor)

Quociente = 1,2

Resto – Mesmo número de casas decimais

que o dividendo – 2 casas decimais

Resto= 0,03

Desde que o dividendo tenha um número

de casas decimais igual ou superior ao divisor,

ignoramos as casas decimais e fazemos

a divisão. Caso contrário, fazemos o processo (b).

No final consideramos as casas decimais

no quociente e no resto ficando:

Quociente – 2-1 = 1 casa decimal (diferença entre as do

dividendo e as do divisor) Dividendo – 2 casas decimais

Divisor – 1 casa decimal

Exercícios 2.6

Divisões por 10, 100, 1000, …. é só mover a vírgula uma casa decimal para a esquerda por cada zero que temos no divisor. Mais uma vez podemos eliminar um zero no divendo por cada zero que temos no divisor.

Exemplo𝑠:265,3

10000= 0, 02653 ( 4 zeros → 4 casas decimais)

26500

10000=

265

100= 2,65

39

3. Números irracionais

Número irracional é todo aquele que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros.

Os números irracionais, não estão contidos em nenhum dos conjuntos vistos até agora.

Exemplo: 5 = 2,23606797...... Dízimas infinitas não periódicas

Ao juntarmos aos números racionais os números irracionais, obtemos um novo conjunto ao qual

se dá o nome de Números Reais e representa-se por IR

Assim sendo, dos Números Reais fazem parte todosos números racionais e irracionais

Subconjuntos de

+

−

0

−

Reais positivos

Reais negativos

Reais positivos incluindo o zero

Reais negativos incluindo o zero

IR

IR

IR

IR+

0IR

ACerqueira

40

Representação de intervalos de números reais

Exercícios 3.1

Os conjuntos numéricos podem ser representados por intervalos.

Seja S = {𝑥 ∈ IR ∶ 𝑥 < 5}

O conjunto S é formado por todos os números reais inferiores a 5 (o 5 não está incluído).

Visto na reta numérica temos

Como intervalo temos 𝑥 ∈ ] − ∞, 5[

Seja B= {𝑥 ∈ IR ∶ 𝑥 ≥ −3}

Isto significa que o conjunto S é formado por todos os números reais maiores ou iguais a 3 (o 3 está incluído)

Visto na reta numérica temos

Este símbolo indica que o valor (5) nãoestá incluído no intervalo.

Intervalo aberto [ no 5 ..., 5[

Como intervalo temos 𝑥 ∈ [−3, +∞[

Este símbolo indica que o valor (-3) estáincluído no intervalo.

Intervalo fechado [ no -3 [-3,...

NOTA: ][ abertos [] fechados

41

Radiciação

Não é mais do que a operação inversa da potenciação.

𝑛 𝑎

𝒏 𝒂 lê-se raiz índice n de a

Nota: Quando n = 2 chamamos raiz quadrada e escreve-se 𝒂 (e não 2 𝑎 )

Quando n = 3 chamamos raiz cúbica e escreve-se 3 𝑎

Dado um número n e um número a, determina-se um número b = 𝑛 𝑎 tal que a = 𝑏𝑛

Se 𝑏𝑛 = a então b = 𝑛 𝑎

Potenciação

𝑥2 = 9

𝑥 = ± 9

𝑥 = ± 32 = ±3

𝑎𝑛 , 𝑛 ∊ ℕ

Potenciação (𝑎𝑛 ) é um produto de 𝑛 fatores iguais (𝑎)

𝑎 – base – é o fator que se repete 𝑛 – expoente – é o número de vezes que a base se repete

𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16𝑎𝑛 = 𝑎 x 𝑎 x …… x 𝑎

n vezes 4 vezes

Sempre que o expoente é par, quando efetuamos

a radiciação devemos colocar ±. Porque qualquer

número diferente de zero (positivo ou negativo)

elevado a um número par dá resultado positivo. (−3)2= 32 = 9

42

Raiz quadrada de um número x , é um valor positivo que multiplicado por si próprio é igual a x.

A formação de quadrados uns a partir dos outros

1+3 = 4 = 2 × 2 = 22

1+3 +5 = 9 = 3 × 3 = 32

1+3 +5 +7 = 16 = 4 × 4 = 42

…

𝑛 × 𝑛 = 𝑛2

16 = 42 = 4

9 = 32 = 3

4 = 22 = 2

𝑛2 = 𝑛 1 = 12 = 1

23 = 8

13 = 1

33 = 27

43 = 64A formação de cubos

Exercícios 3.2

𝑘 = 𝑘12

3 = 312

35 = 5

1

3

𝑛𝑘 = 𝑘

1

𝑛

43

4. Estimação, valores aproximados e erros

Fazer uma estimativa, não é mais do que fazer um cálculo aproximado de determinado valor, baseando-se

em dados com um comportamento aleatório.

Quando temos valores com muitas casas decimais, o mais comum é usarmos

valores aproximados. Normalmente usamos uma, duas ou três casas decimais e para isso

fazemos os chamados os arredondamentos.

Dízimas

Infinitas

Periódicas

2,345345345345.

Não

Periódicas

1,321514836

Finitas

2,36

Dízima - É a representação de um número sob a forma decimal.

0,3333…

4,37682

ACerqueira

44

5,2 < 5,285714 < 5,3

▪ Aproximação às décimas - Com uma casa decimal

5,2 – É o valor aproximado por defeito

5,3 – É o valor aproximado por excesso

▪ Aproximação às centésimas - Com duas casas decimais

5,28 < 5,285714 < 5,295,28 – É o valor aproximado por defeito

5,29 – É o valor aproximado por excesso

▪ Aproximação às milésimas - Com três casas decimais

5,285 < 5,285714 < 5,2865,285 – É o valor aproximado por defeito

5,286 – É o valor aproximado por excesso

Em valores aproximados, temos que considerar 2 casos.

Um valor aproximado por defeito e o outro por excesso.

Consideremos o valor 5,285714

Exercícios 4.1

45

Nos arredondamentos são usadas as seguintes regras:

• Se o algarismo da casa decimal seguinte for maior ou igual a 5,

o número da casa decimal a arredondar sobe uma unidade

4,2562 - arredondar às décimas – 4,3

4,2361 - arredondar às centésimas – 4,24

3,5326 - arredondar às milésimas – 3,533

• Se o algarismo da casa decimal seguinte for menor do que 5,

o número da casa decimal a arredondar mantém-se inalterado

1,236 - arredondar às décimas – 1,2

4,2326 - arredondar às centésimas – 4,23

6,6781 - arredondar às milésimas – 6,678

Arredondamentos

Exercícios 4.2

ou seja utilizamos no

arredondamento o valor

aproximado por excesso

ou seja utilizamos no

arredondamento o valor

aproximado por defeito

46

5. Operações com potências de expoente inteiro

Potenciação 𝑎𝑛 , 𝑛 ∊ ℕ

Como já vimos atrás, potenciação é um produto de fatores iguais

𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × ⋯ × 𝑎

𝑛 vezes 4 vezes

Multiplicação de potências com a mesma base

𝑎𝑛 × 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 - dá-se a mesma base e somam-se os expoentes

Multiplicação de potências com o mesmo expoente

𝑎𝑛 × 𝑏𝑛 = (𝑎 × 𝑏)𝑛 - dá-se o mesmo expoente e multiplicam-se as bases

23 × 24 = 23+4 = 27

24 × 34 = (2 × 3)4 = 64

Exercícios 5.1

ACerqueira

47

Divisão de potências com a mesma base

𝑎𝑛

𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚 - dá-se a mesma base e subtraem-se os expoentes

Divisão de potências com o mesmo expoente

𝑎𝑛

𝑏𝑛 = (𝑎

𝑏)𝑛 - dá-se o mesmo expoente e dividem-se as bases

1 - como expoente - Não tem influência no resultado e mantém-se o

valor da base

Exemplo: 51 = 5

1 - como base - O resultado é sempre 1, porque 1 é elemento neutro da multiplicação

Exemplo: 11 = 15 = 11000 = 1

0 - como base - O resultado é sempre 0, para qualquer expoente diferente de zero

Exemplo: 01 = 05 = 01000 = 0

48

0 - como expoente - O resultado é sempre 1 para qualquer base diferente de zero Exemplo: 50 = 200 = 10000 = 1

NOTA: 𝟎𝟎 é uma indeterminação

Qualquer número (≠0) a dividir por ele próprio é sempre 1, logo 𝑎𝑛

𝑎𝑛 = 1

mas pelas propriedades das potências sabemos que 𝒂𝒏

𝒂𝒏 = 𝑎𝑛−𝑛 = 𝑎0 então 𝑎0 = 1

Potências de base 10

Estas potências são usadas para facilitar a representação de números muito grandes ou muito pequenos.

Podem ter expoentes negativos ou positivos.

Exemplos: 1000000 = 106

0,00001 = 10−5

Exercícios 5.2

Como já vimos, divisões por potências de 10 ( 10, 100, 1000, ….), é só mover a vírgula uma casa decimal para a esquerda por

cada zero que temos no divisor ou cortar zeros caso existam no numerador e no denominador

No caso de expoentes negativos 255

0,0001=

255

1×10−4 =255

1 × 104 = 255 × 104 = 2550000

49

Outros valores que possam aparecer como por exemplo 0,0003 ou 250000 podemos também escrevê-los usando potências de 10 .

0,003 = 3 × 0,001 = 3× 10−3

250000 = 25 × 10000 = 25 × 104 250000 = 2,5 × 100000 = 2,5 × 105ou

Expoentes positivos Expoentes negativos

101 = 10 10−1 = 0,1

102 = 100 10−2 = 0,01

103 = 1000 10−3 = 0,001

104 = 10000 10−4 = 0,0001

105 = 100000 10−5 = 0,00001

….. ….

10𝑛 = 10…0 Sendo n o número de zeros

10−𝑛 = 0,0…01 Com n algarismos após a vírgula

𝐍𝐎𝐓𝐀: 100 = 1

50

Notação científica

Não é mais do que representar um valor como um produto, formado por um número com um só algarismo

(diferente de zero) à esquerda da vírgula e por uma potência de base 10.

Na maior parte das vezes, usamos a notação científica sempre que pretendemos escrever :

▪ números muito grandes, como por exemplo a massa do sol ( 1,989 × 1030 kg)

▪ números muito pequenos, como por exemplo massa atómica do carbono (1,9944235 × 10−23 g)

Exemplos: 123,15 0,00451 3000000

123,15 em notação científica é 1,2315 × 102

0,00451 em notação científica é 4,51 × 10−3

3000000 em notação científica é 3 × 106

▪ Movimentamos a vírgula 2 casas para a esquerda ▪ Mulitplicamos por 10 elevado ao número de casas movimentadas 2

▪ Movimentamos a vírgula 3 casas para a direita

▪ Mulitplicamos por 10 elevado menos o número de casas movimentadas (−3)

▪ Como temos um número inteiro, é como se a vírgula estivesse a

seguir ao último algarismo (0)

▪ Movimentamos a vírgula 6 casas para a esquerda ▪ Mulitplicamos por 10 elevado ao número de casas movimentadas 6

51

Exercícios 5.3

Comparação de números em notação científica

▪ Comparando um número positivo com outro negativo, é sempre maior o número positivo

▪ Comparando dois números positivos, é sempre maior o que tiver maior expoente na potência de 10,

se tiverem ambos a mesma potência de 10, é maior aquele que tiver o maior valor a multiplicar pela potência de 10

▪ Comparando dois números negativos com a mesma potência de 10, é maior o que tiver menor valor absoluto

(ditância ao zero)

▪ Comparando dois números negativos com diferentes potências de 10, é maior o que tiver menor expoente

na potência de 10

Operações com números em notação científica

Multiplicação

Divisão

Adição e subtração

▪ Faz-se o produto dos valores que estão a multiplicar

pelas potências de 10 ▪ Multiplicam-se as potências de 10

4,1 × 103 × 2,3 × 105 =

4,1 × 2,3 × 103 × 105 = 9,43 × 108

▪ Faz-se a divisão dos valores que estão a multiplicar

pelas potências de 10 ▪ Dividem-se as potências de 10

6,8 × 105 ∶ 2 × 103 =6,8 × 105

2 × 103= 3,4 × 102

Para somar ou subtrair números em notação científica,

é necessário que estes tenham o mesmo expoente

na potência de 10

2,1 × 104 + 1,4 × 105 = 2,1 × 104 + 14 × 104=(2,1 + 14) × 104 = 16,1 × 104

2,5 × 105 − 1,2 × 103 = 250 × 103 − 1,2 × 103=(250 − 1,2) × 103 = 248,8 × 103

52

Bibliografia

Conceitos fundamentais da matemática – Bento de Jesus Caraça

Matemática 9º ano - Fátima Cerqueira Magro, Fernando Fidalgo, Pedro Louçano

Matemática – Bruno Silva, Cristina Serra, Isabel Oliveira, Raquel Oliveira

ACerqueira

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Anabela Cerqueira

Ano : 2020