Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões

Problemas deForma Não-Padrão

Prof. Dr. Alexandre Pereira Salgado Junior

Conteúdos do Capítulo

Problemas de Forma Não Padrão Minimização Método da Função Artificial Restrições de Maior ou Igual Restrições de Igualdade Restrições com Constantes Negativas

Problemas de FormaNão-Padrão

Problemas de programação linear podem apresentar outras formas, tais como, igualdades e formas maior ou igual e/ou constantes não positivas nas restrições, ou ainda problemas de minimização.

Estas formas de modelo apresentam problemas de se encontrar a solução básica inicial. Por não existir esta solução básica inicial Por não ser óbvia a solução inicial como no caso do formato

padrão

Minimização versus Maximização

Minimização Maximização

0,2423

10252

28

21

21

2

21

21

xxxx

xxx

stxxZMin

0,2423

10252

28

21

21

2

21

21*

xxxx

xxx

stxxZMax

Problemas de Inicialização No caso de alguma restrição, for representada por uma

igualdade, ou por uma inequação do tipo maior ou igual, ao invés de uma restrição de menor ou igual, três soluções possíveis podem ocorrer: 1 - Substituição da restrição de igualdade por duas desigualdades. 2 - Processo do “M Grande” 3 - Método da Função-Objetivo Artificial ou Método das Duas

fases

Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual

Max Z x x 3 51 2

1

2x 122

3x x 2 18 1 2

s r x 4. .

x x 0 01 2,

)18;12;4;0;0(

531823

2124

21

215

24

13

Associada SoluçãoxxZxxx

xxxx

Dicionário Inicial

Não pode

babca

- bca ba

Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual

)18;12;4;0;0(

531823

2124

21

215

24

13

Associada SoluçãoxxZxxx

xxxx

)18;0;12;4;0;0(

0,,,,,053

1823122

4

154321

21

1521

42

31

Associada SoluçãoAxxxxx

xxZAxxx

xxxx

Dicionário Inicial Dicionário Artificial

X5 deve ser zero, caso contrário ele irá valer -18 o que fere a condição de ser positivo

Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual

)18;0;12;4;0;0(

0,,,,,053

1823122

4

154321

21

1521

42

31

Associada SoluçãoAxxxxx

xxZAxxx

xxxx

Dicionário Artificial Dicionário Artificial Inicial

0,,,,,

01823

1224

154321

1

1521

42

31

Axxxxx

AWAxxx

xxxx

)18;0;12;4;0;0(Associada Solução

Todas artificiais do problema devem aparecer em Z

Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual

Como A1 é uma variável artificial (não faz parte do nosso problema) desejamos encontrar uma solução para o dicionário artificial, na qual o valor de A1 seja igual a zero.

Esta solução fará parte do conjunto de soluções viáveis de ambos os problemas (original e artificial).

Para tal modificaremos a função-objetivo de maneira a encontrar esta solução.

11 AWMaxAWMin SIMPLEX só sabe Maximizar

Problema Artificial - Quadro Inicial

Este quadro apresenta inconsistência(s) que devem ser corrigidas antes da aplicação do método simplex

Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual

X1, X2 e X5 não entram na base (foram associados a valores negativos)

Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual

Fase 1 - Acerto Linha Zero - Inconsistência

Exercício Inicial 2.4 – Simplex Tabular Forma Padrão

Como ele difere do exercício acima?

Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual

Fase 1 - Acerto Linha Zero

-W X3 X4 A1 Constante

1 0 0 0 c10 1 0 0 c20 0 1 0 c30 0 0 1 c4

Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual

Fase 1 - Acerto Linha Zero

Nova Linha 0 = Antiga Linha 0 - Coef. da coluna A1 da Linha 0 x Linha A1

(-1)

Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual

Fase 1 - Ciclo 1

Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual

Fase 1 – Ciclo 2

Solução Ótima do Problema Artificial

Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual

Fase 2 - Introdução da Função-Objetivo Original

Início da Fase 2

1 0 3-1,5 -0,5

Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual

Acerto da Linha Zero para início da segunda fase

Fromação de MATRIZ IDENTIDADE Z, X1, X4, X2 Solução Ótima Atingida (4;3;0;6;0) => Z = -3

Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade

Problema Original

Max Z x x 3 51 2

1

2x 122

3x x 2 18 1 2

s r x 4. .

x x 0 01 2, 0,,053

1823122

4

321

21

21

2

13

xxxxxZ

xxx

xxDicionário Modificado Inicial

Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade

0,,053

1823122

4

321

21

21

2

13

xxxxxZ

xxx

xxDicionário Modificado Inicial Dicionário Artificial

0,,,,0531823

1224

21321

21

221

12

31

AAxxxxxZAxx

Axxx

Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade

Dicionário Artificial Dicionário Artificial Inicial

0,,,,01823

1224

21321

21

221

12

31

AAxxxAAWAxx

Axxx

0,,,,0531823

1224

21321

21

221

12

31

AAxxxxxZAxx

Axxx

Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade

Quadro Inicial do Dicionário Artificial Inicial

Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade

Corrigindo as inconsistências

Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade

Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade

Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade

Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade

Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade

Solução Ótima Atingida (2;6;2) =>Z = -24

Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade

Problema Original

Max Z x x 3 51 2

1

2x 122

3x x 2 18 1 2

s r x 4. .

x x 0 01 2, 0,,053

1823122

4

321

21

21

2

13

xxxxxZ

xxx

xxDicionário Modificado Inicial

Serve como exemplo, pois já tínhamos a solução final (2;6;2) e Z = -24

Problemas de InicializaçãoCoeficientes Negativos na Restrição

Max Z x x 3 51 2

1

2x 122

3x x 2 -18 1 2

s r x 4. .

x x 0 01 2,

Problema não Padrão

Max Z x x 3 51 2

1

2x 122

-3x x 2 18 1 2

s r x 4. .

x x 0 01 2,Após multiplicarmos por (-1), obtemos coeficientes positivos e poderemos tratar o problema como o caso anterior, através da introdução de uma variável de excesso (Xn) e de outra artificial (A1)

Problema não Padrão

Problemas de InicializaçãoGeração de Soluções Iniciais - Resumo

O Conjunto de Restrições abaixo

Deve ser transformado no seguinte sistema de equações

634663

687654

32

634663

68765432

3621

521

221

1421

321

21

21

21

21

21

Axxxxxx

AxxAxxx

xxx

xxxxxxxxxx

Problemas de InicializaçãoGeração de Soluções Iniciais - Resumo

A introdução de variáveis de folga e de excesso não altera a natureza das restrições e tampouco da função- objetivo. Assim, tais variáveis são incorporadas à função-objetivo com coeficientes de valor nulo.

As variáveis artificiais, contudo, mudam a natureza das restrições. Portanto, devemos utilizar o método da função-objetivo artificial ou outro método adequado para resolver este problema.

Exercício 1Exercício 1

Problema na forma não padrãoMax Z* = -x1 -3x2 - 2x3

Min Z = x1 + 3x2 + 2x3 Max Z*+ x1 + 3x2 + 2x3 = 0s.r. s.r.x2 + x3 ≥ 3 x2 + x3 -x4 + A1 = 32x1 +3x2 = 10 2x1 +3x2 + A2 = 10x1 +x3 ≤ 20 x1 +x3 +x5 = 20x1; x2; x3; x4; x5 ≥ 0 x1; x2; x3; x4; x5 ≥ 0

-W + A1 + A2 = 0

solução inicial (0; 0; 0; 0; 20; 3; 10)Z = 0

-W x1 x2 x3 x4 x5 A1 A2 -W 1 0 0 0 0 0 1 1 0x5 0 1 0 1 0 1 0 0 20A1 0 0 1 1 -1 0 1 0 3A2 0 2 3 0 0 0 0 1 10

BÁSICA Coeficientes de Constante Divisão

Corrigir inconsistências para formar a matriz identidade

-W x1 x2 x3 x4 x5 A1 A2 -W 1 -2 -4 -1 1 0 0 0 -13x5 0 1 0 1 0 1 0 0 20 -A1 0 0 1 1 -1 0 1 0 3 3A2 0 2 3 0 0 0 0 1 10 3,33

-W x1 x2 x3 x4 x5 A1 A2 -W 1 -2 0 3 -3 0 4 0 -1x5 0 1 0 1 0 1 0 0 20 -x2 0 0 1 1 -1 0 1 0 3 -3A2 0 2 0 -3 3 0 -3 1 1 1/2

BÁSICA Coeficientes de Constante Divisão

BÁSICA Coeficientes de Constante Divisão

-W x1 x2 x3 x4 x5 A1 A2 -W 1 0 0 0 0 0 1 1 0x5 0 1 0 1 0 1 0 0 20x2 0 2/3 1 0 0 0 0 1/3 10/3x4 0 2/3 0 -1 1 0 -1 1/3 1/3

Z* x1 x2 x3 x4 x5Z* 1 1 3 2 0 0 0x5 0 1 0 1 0 1 20x2 0 2/3 1 0 0 0 10/3x4 0 2/3 0 -1 1 0 1/3

BÁSICA Coeficientes de Constante Divisão

BÁSICA Coeficientes de Constante Divisão

Corrigir inconsistências para formar a matriz identidade no Z*

Quando tirar inconsistência vai aparecer (-1), ou seja, deve-se rodar novamente.

Z* x1 x2 x3 x4 x5Z* 1 -1 0 2 0 0 -10 -x5 0 1 0 1 0 1 20 20x2 0 2/3 1 0 0 0 10/3 5x4 0 2/3 0 -1 1 0 1/3 1/2

Z* x1 x2 x3 x4 x5Z* 1 0 0 1/2 3/2 0 -19/2x5 0 0 0 5/2 -3/2 1 39/2x2 0 0 1 1 -1 0 3x1 0 1 0 -3/2 3/2 0 1/2

SOLUÇÃO ÓTIMA (1/2; 3; 0; 0; 39/2)Z* = -19,2 Z = 19/2

BÁSICA Coeficientes de Constante Divisão

BÁSICA Coeficientes de Constante Divisão

Exercício 2Exercício 2

0,,280523

321

321

xxxxxx

MIN Z = 2X1 + X2 + 3X3

2X1 + X2 + 3X3 = 420

Max Z* = -2x1 - x2 - 3x3Min Z = 2x1 + x2 + 3x3 Max Z* + 2x1 + x2 + 3x3 = 0s.r. s.r.2x1 + x2 + 3x3 = 420 2x1 + x2 + 3x3 + A1 = 4203x1 + 2x2 + 5x3 ≥ 280 3x1 + 2x2 + 5x3 - x4 + A2 = 280x1, x2, x3 ≥ 0 -W + A1 +A2 = 0

solução inicial (0; 0; 0; 0; 420; 280)

-W X1 X2 X3 X4 A1 A2 -W 1 0 0 0 0 1 1 0A1 0 2 1 3 0 1 0 420A2 0 3 2 5 -1 0 1 280

-W X1 X2 X3 X4 A1 A2 -W 1 -5 -3 -8 1 0 0 -700A1 0 2 1 3 0 1 0 420 140A2 0 3 2 5 -1 0 1 280 56

BÁSICA Constante Divisão

BÁSICA

Coeficientes de

Coeficientes de Constante Divisão

-W X1 X2 X3 X4 A1 A2 -W 1 -1/5 1/5 0 -3/5 0 8/5 -252A1 0 1/5 -1/5 0 3/5 1 -3/5 252 420X3 0 3/5 2/5 1 -1/5 0 1/5 56 -280

-W X1 X2 X3 X4 A1 A2 -W 1 0 0 0 0 1 1 0X4 0 1/3 -1/3 0 1 5/3 -1 420X3 0 2/3 1/3 1 0 1/3 0 140

Z* X1 X2 X3 X4Z* 1 2 1 3 0 0X4 0 1/3 -1/3 0 1 420X3 0 2/3 1/3 1 0 140

BÁSICA Coeficientes de

BÁSICA

BÁSICA

Constante Divisão

Constante Divisão

Constante Divisão

Coeficientes de

Coeficientes de

Z* X1 X2 X3 X4Z* 1 0 0 0 0 -420X4 0 1/3 -1/3 0 1 420X3 0 2/3 1/3 1 0 140

SOLUÇÃO ÓTIMA (0; 0; 140; 420; 0; 0)

Z* = -420 Z = 420

BÁSICA Constante DivisãoCoeficientes de