Post on 14-Feb-2019
Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 7
Parte 7 Pré-Cálculo 1
Trigonometria
Parte 7 Pré-Cálculo 2
Trigonometria
trigonometria
triângulo retângulo funções trigonométricas
(seno de um ângulo) (seno de um número real)
Parte 7 Pré-Cálculo 3
Trigonometria
trigonometria
triângulo retângulo funções trigonométricas
(seno de um ângulo) (seno de um número real)
Parte 7 Pré-Cálculo 4
Trigonometria
trigonometria
triângulo retângulo funções trigonométricas
(seno de um ângulo) (seno de um número real)
Parte 7 Pré-Cálculo 5
Trigonometria
trigonometria
triângulo retângulo funções trigonométricas
(seno de um ângulo) (seno de um número real)
Parte 7 Pré-Cálculo 6
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Parte 7 Pré-Cálculo 7
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Parte 7 Pré-Cálculo 8
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Parte 7 Pré-Cálculo 9
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Parte 7 Pré-Cálculo 10
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Parte 7 Pré-Cálculo 11
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Parte 7 Pré-Cálculo 12
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Parte 7 Pré-Cálculo 13
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Parte 7 Pré-Cálculo 14
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =cateto oposto
hipotenusa=
ba, cos(B̂) =
cateto adjacentehipotenusa
=ca,
tg(B̂) =cateto oposto
cateto adjacente=
bc.
Parte 7 Pré-Cálculo 15
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =cateto oposto
hipotenusa=
ba, cos(B̂) =
cateto adjacentehipotenusa
=ca,
tg(B̂) =cateto oposto
cateto adjacente=
bc.
Parte 7 Pré-Cálculo 16
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =cateto oposto
hipotenusa=
ba, cos(B̂) =
cateto adjacentehipotenusa
=ca,
tg(B̂) =cateto oposto
cateto adjacente=
bc.
Parte 7 Pré-Cálculo 17
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =cateto oposto
hipotenusa=
ba, cos(B̂) =
cateto adjacentehipotenusa
=ca,
tg(B̂) =cateto oposto
cateto adjacente=
bc.
Parte 7 Pré-Cálculo 18
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =cateto oposto
hipotenusa=
ba, cos(B̂) =
cateto adjacentehipotenusa
=ca,
tg(B̂) =cateto oposto
cateto adjacente=
bc.
Parte 7 Pré-Cálculo 19
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =cateto oposto
hipotenusa=
ba, cos(B̂) =
cateto adjacentehipotenusa
=ca,
tg(B̂) =cateto oposto
cateto adjacente=
bc.
Parte 7 Pré-Cálculo 20
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =cateto oposto
hipotenusa=
ba, cos(B̂) =
cateto adjacentehipotenusa
=ca,
tg(B̂) =cateto oposto
cateto adjacente=
bc.
Parte 7 Pré-Cálculo 21
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′
a′=
ba
ec′
a′=
ca
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Parte 7 Pré-Cálculo 22
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′
a′=
ba
ec′
a′=
ca
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Parte 7 Pré-Cálculo 23
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′
a′=
ba
ec′
a′=
ca
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Parte 7 Pré-Cálculo 24
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′
a′=
ba
ec′
a′=
ca
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Parte 7 Pré-Cálculo 25
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′
a′=
ba
ec′
a′=
ca
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Parte 7 Pré-Cálculo 26
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′
a′=
ba
ec′
a′=
ca
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Parte 7 Pré-Cálculo 27
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′
a′=
ba
ec′
a′=
ca
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Parte 7 Pré-Cálculo 28
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(cos(B̂)
)2+(
sen(B̂))2
=c2
a2 +b2
a2 =b2 + c2
a2(∗)=
a2
a2 = 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Parte 7 Pré-Cálculo 29
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(cos(B̂)
)2+(
sen(B̂))2
=c2
a2 +b2
a2 =b2 + c2
a2(∗)=
a2
a2 = 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Parte 7 Pré-Cálculo 30
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(cos(B̂)
)2+(
sen(B̂))2
=c2
a2 +b2
a2 =b2 + c2
a2(∗)=
a2
a2 = 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Parte 7 Pré-Cálculo 31
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(cos(B̂)
)2+(
sen(B̂))2
=c2
a2 +b2
a2 =b2 + c2
a2(∗)=
a2
a2 = 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Parte 7 Pré-Cálculo 32
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(cos(B̂)
)2+(
sen(B̂))2
=c2
a2 +b2
a2 =b2 + c2
a2(∗)=
a2
a2 = 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Parte 7 Pré-Cálculo 33
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(cos(B̂)
)2+(
sen(B̂))2
=c2
a2 +b2
a2 =b2 + c2
a2(∗)=
a2
a2 = 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Parte 7 Pré-Cálculo 34
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(cos(B̂)
)2+(
sen(B̂))2
=c2
a2 +b2
a2 =b2 + c2
a2(∗)=
a2
a2 = 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Parte 7 Pré-Cálculo 35
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(cos(B̂)
)2+(
sen(B̂))2
=c2
a2 +b2
a2 =b2 + c2
a2(∗)=
a2
a2 = 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Parte 7 Pré-Cálculo 36
Notações
cos2(B̂) significa(
cos(B̂))2
e sen2(B̂) significa(
sen(B̂))2.
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.
Parte 7 Pré-Cálculo 37
Notações
cos2(B̂) significa(
cos(B̂))2
e sen2(B̂) significa(
sen(B̂))2.
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.
Parte 7 Pré-Cálculo 38
Notações
cos2(B̂) significa(
cos(B̂))2
e sen2(B̂) significa(
sen(B̂))2.
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.
Parte 7 Pré-Cálculo 39
Notações
cos2(B̂) significa(
cos(B̂))2
e sen2(B̂) significa(
sen(B̂))2.
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.
Parte 7 Pré-Cálculo 40
Notações
cos2(B̂) significa(
cos(B̂))2
e sen2(B̂) significa(
sen(B̂))2.
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.
Parte 7 Pré-Cálculo 41
Funções Trigonométricas
Parte 7 Pré-Cálculo 42
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html)
Parte 7 Pré-Cálculo 43
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.
Parte 7 Pré-Cálculo 44
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.
Parte 7 Pré-Cálculo 45
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.
Parte 7 Pré-Cálculo 46
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.
Parte 7 Pré-Cálculo 47
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.
Parte 7 Pré-Cálculo 48
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.
Parte 7 Pré-Cálculo 49
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.
Parte 7 Pré-Cálculo 50
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
Também é possível definir uma função G : R→ C pondo
G(s) = E(
2πs360
), para todo s real.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada s em R, P = G(s), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede s graus.
Parte 7 Pré-Cálculo 51
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
Também é possível definir uma função G : R→ C pondo
G(s) = E(
2πs360
), para todo s real.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada s em R, P = G(s), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede s graus.
Parte 7 Pré-Cálculo 52
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html)
Parte 7 Pré-Cálculo 53
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP temcomprimento igual a 2π/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele quesubtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que2πrad = 360◦, ou seja,
1rad =
(3602π
)◦= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.
Parte 7 Pré-Cálculo 54
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP temcomprimento igual a 2π/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele quesubtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que2πrad = 360◦, ou seja,
1rad =
(3602π
)◦= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.
Parte 7 Pré-Cálculo 55
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP temcomprimento igual a 2π/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele quesubtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que2πrad = 360◦, ou seja,
1rad =
(3602π
)◦= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.
Parte 7 Pré-Cálculo 56
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP temcomprimento igual a 2π/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele quesubtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que2πrad = 360◦, ou seja,
1rad =
(3602π
)◦= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.
Parte 7 Pré-Cálculo 57
Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html)
Parte 7 Pré-Cálculo 58
Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
As funções cos : R → R e sen : R → R, chamadas função cosseno e função senorespectivamente, são definidas pondo-se, para cada t em R:
E(t) = (cos(t), sen(t)).
Noutras palavras, x = cos(t) e y = sen(t) são respectivamente a abscissa e a orde-nada do ponto E(t) da circunferência unitária. Note que, aqui, o número real t dáa medida do ângulo AOP em radianos!.
Parte 7 Pré-Cálculo 59
Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
As funções cos : R → R e sen : R → R, chamadas função cosseno e função senorespectivamente, são definidas pondo-se, para cada t em R:
E(t) = (cos(t), sen(t)).
Noutras palavras, x = cos(t) e y = sen(t) são respectivamente a abscissa e a orde-nada do ponto E(t) da circunferência unitária. Note que, aqui, o número real t dáa medida do ângulo AOP em radianos!.
Parte 7 Pré-Cálculo 60
Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
As funções cos : R → R e sen : R → R, chamadas função cosseno e função senorespectivamente, são definidas pondo-se, para cada t em R:
E(t) = (cos(t), sen(t)).
Noutras palavras, x = cos(t) e y = sen(t) são respectivamente a abscissa e a orde-nada do ponto E(t) da circunferência unitária. Note que, aqui, o número real t dáa medida do ângulo AOP em radianos!.
Parte 7 Pré-Cálculo 61
Seno e cosseno de números reais (caso: graus)
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html)
Parte 7 Pré-Cálculo 62
Seno e cosseno de números reais (caso: graus)
Nas definições das funções seno e cosseno dadas anteriormente, o número real tdá a medida do ângulo AOP em radianos. Se, no lugar de medidas em radianos,usarmos medidas em graus, obteremos outras funções que, por abuso de notação,também serão representadas por cos e sen. Elas são definidas pondo-se, para cadas em R:
G(s) = (cos(s), sen(s)).
Noutras palavras, x = cos(s) e y = sen(s) são respectivamente a abscissa ea ordenada do ponto G(s) da circunferência unitária.
Parte 7 Pré-Cálculo 63
Identidades trigonométricas
(Ir para o GeoGebra)
Parte 7 Pré-Cálculo 64
Identidades trigonométricas
(Ir para o GeoGebra)
Parte 7 Pré-Cálculo 65
Identidades trigonométricas
(Ir para o GeoGebra)
Parte 7 Pré-Cálculo 66
A função tangente
Parte 7 Pré-Cálculo 67
A função tangente
f (x) = tg(x) =sen(x)
cos(x)
Qual é o domínio natural da função tangente?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 68
A função tangente
f (x) = tg(x) =sen(x)
cos(x)
Qual é o domínio natural da função tangente?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 69
A função tangente
f (x) = tg(x) =sen(x)
cos(x)
Qual é o domínio natural da função tangente?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 70
A função tangente
f (x) = tg(x) =sen(x)
cos(x)
Qual é o domínio natural da função tangente?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 71
A função tangente
f (x) = tg(x) =sen(x)
cos(x)
Qual é o domínio natural da função tangente?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 72
O gráfico da função tangente
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-tangente-rad-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-tangente-rad-br.html)
Parte 7 Pré-Cálculo 73
A função secante
Parte 7 Pré-Cálculo 74
A função secante
f (x) = sec(x) =1
cos(x)
Qual é o domínio natural da função secante?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 75
A função secante
f (x) = sec(x) =1
cos(x)
Qual é o domínio natural da função secante?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 76
A função secante
f (x) = sec(x) =1
cos(x)
Qual é o domínio natural da função secante?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 77
A função secante
f (x) = sec(x) =1
cos(x)
Qual é o domínio natural da função secante?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 78
A função secante
f (x) = sec(x) =1
cos(x)
Qual é o domínio natural da função secante?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 79
A função secante
Parte 7 Pré-Cálculo 80
A função cossecante
Parte 7 Pré-Cálculo 81
A função cossecante
f (x) = cossec(x) =1
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cossecante?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 82
A função cossecante
f (x) = cossec(x) =1
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cossecante?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 83
A função cossecante
f (x) = cossec(x) =1
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cossecante?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 84
A função cossecante
f (x) = cossec(x) =1
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cossecante?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 85
A função cossecante
f (x) = cossec(x) =1
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cossecante?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 86
A função cossecante
Parte 7 Pré-Cálculo 87
A função cotangente
Parte 7 Pré-Cálculo 88
A função cotangente
f (x) = cotg(x) =cos(x)
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cotangente?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 89
A função cotangente
f (x) = cotg(x) =cos(x)
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cotangente?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 90
A função cotangente
f (x) = cotg(x) =cos(x)
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cotangente?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 91
A função cotangente
f (x) = cotg(x) =cos(x)
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cotangente?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 92
A função cotangente
f (x) = cotg(x) =cos(x)
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cotangente?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 93
A função cotangente
Parte 7 Pré-Cálculo 94
A função arco seno
Parte 7 Pré-Cálculo 95
A função arco seno
f : R → Rx 7→ y = f (x) = sen(x)
não é inversível, pois não é injetiva.
Parte 7 Pré-Cálculo 96
A função arco seno
f : [−π/2,+π/2] → [−1,+1]x 7→ y = f (x) = sen(x)
é inversível, pois é bijetiva.
Parte 7 Pré-Cálculo 97
A função arco seno
f−1 : [−1,+1] → [−π/2,+π/2]x 7→ y = f−1(x) = arcsen(x)
é sua função inversa.
Parte 7 Pré-Cálculo 98
Exemplo
f−1 : [−1,+1] → [−π/2,+π/2]x 7→ y = f−1(x) = arcsen(x)
é sua função inversa.
Parte 7 Pré-Cálculo 99
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 100
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 101
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 102
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 103
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 104
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 105
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 106
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 107
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 108
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 109
A função arco cosseno
Parte 7 Pré-Cálculo 110
A função arco cosseno
f : R → Rx 7→ y = f (x) = cos(x)
não é inversível, pois não é injetiva.
Parte 7 Pré-Cálculo 111
A função arco cosseno
f : [0, π] → [−1,+1]x 7→ y = f (x) = cos(x)
é inversível, pois é bijetiva.
Parte 7 Pré-Cálculo 112
A função arco cosseno
f−1 : [−1,+1] → [0, π]x 7→ y = f−1(x) = arccos(x)
é sua função inversa.
Parte 7 Pré-Cálculo 113
A função arco cosseno
f−1 : [−1,+1] → [0, π]x 7→ y = f−1(x) = arccos(x)
é sua função inversa.
Parte 7 Pré-Cálculo 114
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 115
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 116
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 117
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 118
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 119
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 120
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 121
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 122
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 123
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 124
A função arco tangente
Parte 7 Pré-Cálculo 125
A função arco tangente
f : R− {π/2 + k · π | k ∈ Z} → Rx 7→ y = f (x) = tg(x)
não é inversível.
Parte 7 Pré-Cálculo 126
A função arco tangente
f : (−π/2,+π/2) → Rx 7→ y = f (x) = tg(x)
é inversível, pois é bijetiva.
Parte 7 Pré-Cálculo 127
A função arco tangente
f−1 : R → (−π/2,+π/2)x 7→ y = f−1(x) = arctg(x)
é sua função inversa.
Parte 7 Pré-Cálculo 128
A função arco tangente
f−1 : R → (−π/2,+π/2)x 7→ y = f−1(x) = arctg(x)
é sua função inversa.
Parte 7 Pré-Cálculo 129
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Parte 7 Pré-Cálculo 130
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Parte 7 Pré-Cálculo 131
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Parte 7 Pré-Cálculo 132
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Parte 7 Pré-Cálculo 133
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Parte 7 Pré-Cálculo 134
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Parte 7 Pré-Cálculo 135
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Parte 7 Pré-Cálculo 136
As fórmulas de adição
Parte 7 Pré-Cálculo 137
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 138
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 139
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 140
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 141
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 142
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 143
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 144
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 145
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 146
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 147
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 148
As fórmulas de adição
cos(α + β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
cos(α− β) = cos(α + (−β))
= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)
= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
cos(2α) = cos(α + α) = cos2(α)− sen2(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 149
As fórmulas de adição
cos(α + β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
cos(α− β) = cos(α + (−β))
= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)
= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
cos(2α) = cos(α + α) = cos2(α)− sen2(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 150
As fórmulas de adição
cos(α + β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
cos(α− β) = cos(α + (−β))
= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)
= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
cos(2α) = cos(α + α) = cos2(α)− sen2(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 151
As fórmulas de adição
cos(α + β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
cos(α− β) = cos(α + (−β))
= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)
= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
cos(2α) = cos(α + α) = cos2(α)− sen2(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 152
As fórmulas de adição
cos(α + β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
cos(α− β) = cos(α + (−β))
= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)
= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
cos(2α) = cos(α + α) = cos2(α)− sen2(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 153
As fórmulas de adição
cos(α + β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
cos(α− β) = cos(α + (−β))
= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)
= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
cos(2α) = cos(α + α) = cos2(α)− sen2(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 154
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α + β) = − cos(π
2+ α + β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 155
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α + β) = − cos(π
2+ α + β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 156
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α + β) = − cos(π
2+ α + β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 157
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α + β) = − cos(π
2+ α + β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 158
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α + β) = − cos(π
2+ α + β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 159
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α + β) = − cos(π
2+ α + β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 160
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α + β) = − cos(π
2+ α + β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 161
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α + β) = − cos(π
2+ α + β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 162
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α + β) = − cos(π
2+ α + β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 163