Preleções Científicas

Universidade Estadual do CearáPró-Reitoria de Extensão

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

Ministrante: Prof. K. David Sabóia

Duração: 12 horas

IntegraçãoÁrea sob a Curva

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

2

∆x

3

1i

i

A f x

IntegraçãoÁrea sob a Curva

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

3

∆x

5

1i

i

A f x

Integração Área sob a Curva

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

4

∆x

01

lim ( )N

x ii

A f x x

( )b

aA f x dx

Integrais de Volume

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

5

Integrais de Volume

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

6

Integrais de Volume

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

7

Integrais de VolumeExemplo: Se a base de um

sólido é um círculo de raio r e se todas as seções do plano perpendiculares a um diâmetro fixo são quarados, encontre o volume do sólido.

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

8

Integrais de Volume

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

9

Integrais de Volume

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

10

Sólido de Rotação

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

11

Sólido de Rotação

Definição:

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

12

Integrais de VolumeExemplo: Encontre o

sólido de revolução gerado pela curva y=x2, o eixo x e as linhas x=1 e x=2.

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

13

Sólidos de Rotação

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

14

Sólidos de Rotação

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

15

Sólidos de Rotação

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

16

Sólidos de Rotação

Definição:

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume 17

Sólidos de RotaçãoExemplo: Encontre o

volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da região limitada pelas curvas y=x+3 e y=x2+1.

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

18

Sólidos de Rotação

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

19

Sólidos de Rotação

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

20

Integrais Múltiplas

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

21

( , )R

f x y dA

( , )R

f x y dxdy

Integrais Múltiplas

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

22

2

1

( )

( )

( , )y xb

a y x

V f x y dy dx

Integrais MúltiplasExemplo: Calcule a

integral:

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

23

2

1

02

x

xV ydydx

Integrais MúltiplasExemplo: Use uma

integral iterada para calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano x+y+z=1.

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

24

Integrais duplas em Coordenadas Polares

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

25

( )( )dA dr rd rdrd

( , ) ( cos , )R R

f x y dA f r rsen rdrd

Integrais duplas em Coordenadas Polares

Exemplo: Calcule a área da região englobada pela cardicóide r=a(1+cosθ).

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

26

Integrais duplas em Coordenadas Polares

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

27

Integrais Triplas

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

28

( , , )R

f x y z dV

( , , )R

f x y z dxdydz

Elemento de Área de Coordenadas Esféricas

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

29

Elemento de Área de Coordenadas Esféricas

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

30

Coordenadas Esféricas

Exemplo: Calcule o volume e a área da superfície de uma esfera.

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

31

Elemento de Área de Coordenadas Cilíndricas

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

32

Coordenadas Cilíndricas

Exemplo: Calcule o volume e a área da superfície de um cilindro.

Integrais Múltiplas e Integrais de Volume

33

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Duração: 12 horas