Post on 20-Nov-2015
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MINISTRIO DA EDUCAO
INSTITUTO FEDERAL DE
EDUCAO, CINCIA E
TECNOLOGIA DE
PERNAMBUCO
PR-REITORIA DE ENSINO
DIRETORIA DE EDUCAO A
DISTNCIA
1) Considere os vetores u =(4,10,5), v1 = (1,1,2), v2 =(2,0,3) e v3 = (1,2,3).
Escreva o vetor u como combinao linear dos vetores v1, v2 e v3.
(4,10,5) = x(1,2,2) + y(2,0,3) + z(1,2,3)
(4,10,5) = (x,2x,2x) + (2y,0,3y) + (z,2z,3z)
(4,10,5) = (
Motamos um sistema lnear a aplicamos o processo de escalonamento.
{
=> {
{
=> ,
DATA: 22 / 12 /2014 Curso: LICENCIATURA EM MATEMTICA
COMPONENTE CURRICULAR:
LGEBRA LINEAR
Professor(a): Jos de Arimata
Tutores(as): Adyr Marinho, Cleiton Luis e
Fernando Galdino
{
4y = -2
x+2y+z = 4
(
) (
)
x-1-
= 4
x = 4+1+
x = 5+
x =
x =
(4,10,5) =
(1,2,2)
(2,0,3)
(1,2,3)
2)Dado o seguinte sistema:
Aplicamos o processo de escalonamento.
=> {
=>
{
{
{
-1+
10(-1+
-10 +20
=>
-1+
=>
(
=>
Logo o sistema possvel e determinado, ou seja, possui apenas uma nica
soluo, S = {2,-1,0}.
Podemos afirmar que:
a) Trata-se de um sistema impossvel.
b) Trata-se de um sistema possvel e indeterminado
c) Trata-se de um sistema possvel e determinado
d) Trata-se de um sistema homogneo.
3) Ainda em relao ao sistema da questo anterior podemos afirmar que :
a)x1 = 1, x2 = 2, x3 = 0
b) x1 = x2 = x3= 1
c) x1 = x2 e x3 =0
d) x1 = 2, x2 = -1, x3 =0
Esses valores foi encontrado anteriormente pelo processo de escalonamento,
mas pode ser encontrado pela regra de Cramer.
A = [
] => det A = |
|
|
|
[
] |
|
[
] => |
|
[
] |
|
4) Defina subespao vetorial e mostre 5 exemplos que no sejam subespao
vetorial.
Sejam V um espao vetorial e S um subconjunto no-vazio de V. O
subconjunto S
um subespao vetorial de V se S um espao vetorial em relao adio e
multiplicao por escalar definidas em V.
Um subconjunto S, no-vazio, de um espao vetorial V, um subespao
vetorial
de V se forem satisfeitas as seguintes condies:
I) Para quaisquer u,v u+v
II) Para quaisquer IR, u S, S.
EXEMPLO 1
Considere o subconjunto S do R , S ={(x,4-2x); x }
Sejam u = (1,2) e v = (0,4) . Ento:
u+v = (1,6) ou se
Portanto S no um subespao vetorial do R.
EXEMPLO 2)
Considere o subconjunto S do R , S = {(x,y) IR2/y = 4 - 2x}. Considere os
vetores u = (1,2) e v = (2,0) . Verifique que S no um subespao vetorial
u + v = (3,2) , logo no um subespao vetorial.
EEMPLO 3
Considere o subconjunto S S = {(x, |x| ); x IR} IR. Considere ainda u =
(3,3) e v = (-2,2). Mostre que S no um subespao vetorial.
u + v = (1,5) , o que mostra no ser S subespao vetorial do IR.
EXEMPLO 4
Seja V = R2 e W = f(x; x2) R2 x R), um subespao vetorial?
Se escolhermos u = (1; 1) e v = (2; 4) W, temos: u + v = (3; 5) W, portanto
W no
subespao vetorial de R2:
EXEMPLO 5
Considere o subconjunto S do R , S = {(x,y) IR y = 1 + 2x}. Considere os
vetores u = (2,5) e v = (1,3) . Verifique que S no um subespao vetorial
u + v = (3,8) , logo no um subespao vetorial.
5) Se A uma matriz 5Xm, B uma matriz 4Xn. incorreto afirmar que:
a) A operao A+B assim como B+A no est definida.
b) Se o produto A.B estiver bem definido, ento necessariamente m = 4.
c) Se o produto B.A estiver bem definido ento necessariamente n = 5
d) Se o produto B.A estiver bem definido ento necessariamente m = 4 e n = 5.
6) Coloque V para verdadeiro e F para falso.
a) ( V ) (0,1) e (1,0) so a base cannica do R. Assim um vetor
(x,y)=x(1,0)+y(0,1).
b) ( F ) (1,-1) e ( -1,2) no geram R, desta forma os vetores (x, y) no podem
ser escritos como combinao linear dos vetores mencionados.
c) ( F ) Os vetores cannicos do R so: (0,0,1); (0,1,0) e (1,0,0).
d) ( F ) O ncleo de uma transformao linear sempre o vetor nulo.
e) ( V ) Dada a seguinte transformao linear: T: V W com V um espao
finito, ento, vale o seguinte teorema: dim N(T) + dim Im(T)= dim V
7) Na diagonalizao da seguinte matriz:
Clculo dos autos valores
(
[
] [
]
[
] [
]
[
]
[
]
(4- ( (
4-
-
4-
- = - 4 =>
Podemos afirmar que:
a) Temos dois autovalores iguais.
b) A soma dos trs autovalores 10.
c) Essa matriz tem todos os seus autovalores nulos.
d) Trata-se de uma matriz triangular logo, os autovalores so os elementos
da diagonal secundaria.
8) Seja F: R R T(x,y,z)=(2x-y+z,3x+y-2z) uma funo definida do R no R.
Podemos afirmar que F uma transformao linear? Justifique sua resposta.
Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2)
T(u+v) = T((x1, y1, z1 )+( x2, y2, z2))
T(u+v) = T(x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2)
= 2( (x1+ x2)- (y1+ y2)+( z1+ z2),3(x1+ x2)+( y1+ y2) -2(z1+ z2))
= ( 2x1+2x2) )- (y1+ y2)+( z1+ z2), (3x1+ 3x2)+( y1+ y2)- (2z1+ 2z2))
= (2x1- y1+ z1, 3x1+ y1-2z1) + (2x2- y2+ z2, 3x2+ y2 -2z2)
= T(u) + T(v)
A primeira condio satisfeita.
T( (
= (2
(
= (
A segunda condio tambm foi satisfeita.
Assim, T verifica as duas condies e, portanto uma Transformao Linear.
Temos que T(x,y,z)=(2x-y+z,3x+y-2z) admite o vetor nulo.
T(0,0,0) = (2.0-0+0,3.0+0-2.0)
T(0,0,0) =(0,0)
9) Verifique se as afirmaes abaixo so VERDADEIRAS ou FALSAS. Se
forem verdadeiras, exiba o teorema ou propriedade. Se forem falsas, d um
contra-exemplo.
a) A multiplicao de matrizes comutativa.
FALSA
A = *
+ e B = *
+
A.B = *
+ . *
+ ( (
*
+
B. A = *
+ *
+
= *
+
LOGO AB
A propriedade comutativa no vale para a multiplicao de matizes.
b) O produto de duas matrizes no nulas pode ser uma matriz nula.
Verdadeiro
A =
e B =
A.B =
c) Todo sistema linear homogneo admite apenas a soluo trivial,
(0,0,0...,0).
VERDADEIRO
Uma equao linear homognea uma equao que possui os termos
independentes iguais a zero, por exemplo, 2x+5y-z = 0 uma equao
homognea, portanto, podemos concluir que um sistema linear ser
considerado homogneo se todas as suas equaes tiverem os seus
termos independentes iguais zero.
d) Sempre possvel calcular a inversa de uma matriz desde que a
mesma seja quadrada, ou seja, o nmero de linhas seja igual ao
nmero de colunas.
FALSA
Seja calcular a inversa de A = *
+
= *
+ e I = *
+
*
+ *
+ *
+
,
= *
+
(I) ,
(II) ,
Para (I)
,
=> ,
=> 0 = 2 (impossvel)
Se o sistema I impossvel, no h necessidade da soluo do sistema II.
Ento podemos afirmar que a matriz A no admite inversa ou que a matriz A
no invertvel ou que no singular.
10) Calcule a matriz inversa da seguinte matriz A,
A = *
+
Uma matriz quadrada A dita invertvel quando existe outra matriz denotada A-
1 tal que:
A-1 A = I
A A-1= I
onde I a matriz identidade A-1 e a matriz inversa de A.
= *
+ e I = *
+
*
+ *
+ *
+
,
= *
+
(III) ,
(IV) ,
Para( I)
2 ,
Para (II)
2 ,
2b+3d = 1
2b+3(-5) = 1
2b-15 = 1
2b = 16 => b =8
Logo a matriz inversa pedida = *
+
*
+ *
+ *
+
*
+ *
+
11) Dado o vetor V=(2,3,2) R. Pode se afirmar que V uma combinao
linear de v1 = (1,0,0), v2 = (1,1,0) R. Apresente um vetor que seja combinao
linear de v1 e v2 .
(2,3,2) = a(1,0,0)+b(1,1,0)
(2,3,2) = (a,0,0)+(b,b,0)
(2,3,2) = (a+b,b,0)
{
Sistema incompatvel, o que comprova no poder o vetor V ser escrito como
combinao linear de v1 e v2.
V no combinao linear v1 e v2.
(x,y,z) = a(1,0,0)+b(1,1,0)
(x,y,z) = (a+b,b,0)
{
V = (a+b,b,0), tomando a =1 e b = 2 por exemplo, V = (3,2,0)
Ento temos que:
(3,2,0) = (a+b,b,0)
{
z = 0
a+b = 3
a+2 = 3
a = 3-2
a =1
b = 2
(3,2,0) = a(1,0,0)+b(1,1,0)
(3,2,0) = 1.(1,0,0)+2.(1,1,0)
12) Sejam v1 = (1, 2, 5), v2 = (7, 1, 5) e v3 = (1, 1, 1) vetores do R. Esses
vetores so LI ou LD? Justifique.
x(1,2,5) +y(7,-1,5)+z(1,-1-1) = (0,0,0)
(x,2x,5x) + (7y,-y,+5y) + (z,-z,-z) = (0,0,0)
(x+7y+z,2x-y-z,5x+5y-z) = (0,0,0)
{
=> {
, como a z a incgnita livre, ou seja, z pode
assumir qualquer valor, ento os vetores so LD.
Poderemos comprovar isso escalonando o sistema
{
{
{
=> {
{
, o sistema est escalonado. Como a terceira linha o dobro
da segunda, podemos afirmar que os vetores so LD.
Tambm podemos aplicar o determinante para saber se o conjunto de vetores
so LI ou LD. Se valor do determinante for nulo, ento os vetores
considerados so LD. Caso contrrio, sero LI.
[
]
|
|
Como o determinando D= 0, o conjunto de vetores LD.