TEOREMAS SOBRE ELASTICIDADE

Pedro Jorge Ramos Vianna

Maio/2011

APRESENTAÇÃO O presente trabalho é uma reedição do Texto Didático nº 3, editado pelo Departamento de Teoria Econômica, da Faculdade de Economia da Universidade Federal do Ceará, de maio de 1996. Dado que desde aquele ano até agora nenhum texto veio aprimorar ou substituir o que escrevi em 1996, torno-o público com a esperança que venha aprimorar os conhecimentos dos alunos de economia sobre o tema. Como o conceito de elasticidade é um dos mais usados instrumentos de análise que o economista dispõe para efetuar seus estudos, vale congregar em um único texto os diversos teoremas e algumas aplicações desse conceito tão importante. Vale a princípio salientar que como é um conceito matemático, sua aplicação é universal e, em economia, pode ser usado em qualquer situação onde haja a interação entre duas ou mais variáveis. Entretanto, sua aplicação nos livros textos de economia, é esporádica e dispersa. Por este motivo, neste trabalho resolvi reunir uma série de informações sobre o Conceito de Elasticidade e suas aplicações. O primeiro Item deste trabalho traz para o aluno quinze teoremas envolvendo o conceito de elasticidade, mormente no campo de Microeconomia. Os treze primeiros teoremas dizem respeito à função demanda; o Teorema 12 está vinculado à função procura do trabalhador por hora trabalhada; os Teoremas 13 e 14 referem-se à função produção; e, o Teorema 15 relaciona-se com a função utilidade. Após a apresentação desses quinze teoremas, mostro no Item 2 algumas aplicações do Conceito de Elasticidade ainda no campo da Microeconomia: a primeira diz respeito à relação curva de oferta/utilização da capacidade produtiva no curto prazo. A segunda trata da relação curva de oferta da indústria de longo prazo e o problema dos custos de escala. A terceira relaciona-se com a incidência do imposto sobre consumidores e/ou vendedores. Na quarta aplicação, discuto a comparação entre as elasticidades-preço de diferentes curvas de demanda. No Item 3 apresento uma discussão sobre a Elasticidade de Substituição. Aqui são apresentados não só o Conceito de Elasticidade de Substituição, como algumas características dessa elasticidade, e sua importância para a Teoria Econômica. Finalmente no Item 4 apresento a mais conhecida aplicação do conceito de elasticidade na Teoria do Comércio Internacional: a Condição de Marshall-Lerner. Espero que o presente texto seja de alguma valia para os estudantes de Ciência Econômica. Pedro Jorge Ramos Vianna Maio/2011

1 - TEOREMAS SOBRE ELASTICIDADE Como já frizamos anteriormente, um dos conceitos mais utilizados em Teoria Econômica é o conceito de elasticidade. Tomado emprestado à Física, o conceito de elasticidade é utilizado para medir a variação relativa de uma variável, quando há uma variação relativa em uma variável que influencia a variável que se está analisando. Desta forma, imaginemos que Y = F ( x ) Neste caso, definiremos a elasticidade, como a relação % ∆∆∆∆ Y E Y,X = __________ % ∆∆∆∆ X ou

∆∆ ∆ ∆

As três fórmulas medem a mesma coisa: a variação percentual na variável Y, quando há uma variação percentual em X. As duas últimas expressões, se referem, respectivamente, ao caso onde temos variações finitas e ao caso onde temos variações infinitesimais.

No presente trabalho apresentamos os mais conhecidos teoremas de aplicação do conceito de Elasticidade em Teoria Econômica. TEOREMA 1 : Dada uma função demanda como a do gráfico abaixo. p N P = a - bq R E αααα ββββ = 180 - αααα 0 S M q Então,

Eq,p , no ponto E , é igual a ME

DEMONSTRAÇÃO: Devido à semelhança de triângulos, teremos ME

Mas sabemos que

SM= tg (180 - αααα) ⇒⇒⇒⇒

ES= Cotg (180 - αααα )

Sabemos ainda que Tg ( 180 - αααα ) = - tg αααα e cotg (180 - αααα) = - cotg αααα

Assim, poderemos ter

ES = cotg (180 - αααα ) = - cotg αααα

SM = - ES . Cotg αααα Mas, temos que

ES = P e 0S = q logo, ME

.cot .cotα α

Entretanto

Cotg αααα = d q

d P , porque tg αααα =

dPE Eq P=

−= − =

COROLÁRIO Dada a função demanda como no gráfico abaixo p N

E > 1 ME EN= B E = 1 A E < 1 M q

Então:

Eq,pA < 1 = MA

Eq,pE = 1 = ME

Eq,pB > 1 = MB

TEOREMA 2 : Dado a função demanda P = 1/q (hipérbole retangular) p q Então Eq,p = 1 DEMONSTRAÇÃO Dado que

e que qP

⇒ = − −

= − −

Eq,p = - −

COROLÁRIO: Dada a função P = R . 1/q ⇒⇒⇒⇒ q = R . 1/ P Então Eq,p = 1 DEMONSTRAÇÃO Como

q P, .

= − −

TEOREMA 3: Se q = constante, ou seja

p qo q ⇒⇒⇒⇒ Eq,p = 0 DEMONSTRAÇÃO: Dado que

qq P, .= −

Mas sabemos que

dq = 0 dp

⇒⇒⇒⇒ E q,p = - 0 x P = 0 ⇒⇒⇒⇒ Eq,p = 0

TEOREMA 4: Se a função demanda é expressa por P = constante, ou seja P Po q ⇒⇒⇒⇒ Eq,p = ∞∞∞∞

DEMONSTRAÇÃO:

qq P, .=

Sabemos que

dq = 1___ dP dP/dq Então

Eq,p = 1 P = 1 P = P dP/dq q 0 q 0 ⇒⇒⇒⇒ Eq,p = ∞∞∞∞ TEOREMA 5 : Dada a função q = f(P) então

nq,p = d (lllln q)_

d (lllln P) DEMONSTRAÇÃO: Aplicando logarítmo neperiano à expressão, teremos lllln q = lllln [[[[ f(P) ]]]] = f [[[[ lllln P ]]]] Façamos lllln q = u lllln P = v Então P = e v

Temos então

d (lllln q ) = du d (lllln P ) dv Mas u = lllln q = f [ lllln P ]]]] = f [[[[ lllln e v ]]]] Logo u = f { q [ P (v)] } Assim

ou seja

( )( )

TEOREMA 6 : Se q = F(R) e R = f (Ed) ⇒⇒⇒⇒ Eq,Ed = Eq,R . E R,Ed

DEMONSTRAÇÃO

Sabemos que

Eq,Ed = dq . Ed dEd q e que dq

dEd= .

Eq,Ed = dq

multiplicando e dividindo esta expressão por R, encontraremos

Eq,Ed = dq

R. . .

Reorganizando os termos, encontraremos

Eq,Ed = dq

R. . .

Ou seja Eq,Ed = Eq,r . Er,Ed TEOREMA 7 : Dada a função q = F ( x, y, z ) Onde F ( x , y , z ) = f ( x, y , z ) + g ( x , y , z ) + h ( x , y , z ) Então

Eq,x = Ef,x . f + Eg,x . g + Eh,x . h f + g + h DEMONSTRAÇÃO:

E q,x = dq x_ dx q Mas

dx= + +

Assim, podemos fazer

. . . .

Mas, poderemos fazer

=+ +. . .

Sabemos que

f E g E h E

f g hq x

f x g x h x≡ =+ +

, , ,. . .

TEOREMA 8: Se q = F ( x, y, z ) = f ( x, y, z ) . g ( x, y, z ) . h ( x, y, z ) Então Eq,x = Ef,x + Eg,x + Eh,x

DEMONSTRAÇÃO: Temos dq = df . g . h + f . dg . h + f . g . dh Logo,

dxg h f

dxh f g

dx= + +. . . . . .

Poderemos fazer, então

f g hf

f g hf g

. . .. .

. .. .

q = Eq,x = Ef,x + Eg,x + Eh,x

COROLÁRIO:

Se q = F (x, y, z ) = ( )( )

f x y z

g x y z

Então Eq,x = Ef,x - Eg,x TEOREMA 9 : Dado que a função demanda xi = fi ( P1, P2, ...., Pn, R ) é homogenea de grau zero em preços e renda, então

n ΣΣΣΣ Exi , Pj + E xi, R = 0 j=1 DEMONSTRAÇÃO: Se xi é homogenea de grau zero em preços e renda, poderemos aplicar o Teorema de Euler. Teremos então:

∂∂

RRi i i

22 0+ + + + + + =... ...

se dividirmos esta expressão por xi , teremos

∂∂

2 0+ + + + + + =... ...

Temos, então Exi,P1 + E xi,P2 + . . . + E xi,Pi + . . . + E xi,Pn + E xi,R = 0 ou

E Exi Pjj

xi R, ,=∑ + =

TEOREMA 10 : Dada a função demanda x = f ( P, P’ ) , onde P’ = g (P) onde P - representa o preço atual dos bens P’ - representa o preço esperado dos bens Então E x,(p,p’) = E x,p + E x,p’ . E p’,p DEMONSTRAÇÃO:

E x, (P,P’) = dx

dx = ∂∂∂∂x + ∂∂∂∂x . dP’ dP ∂∂∂∂P ∂∂∂∂P’ dP Logo

E x,(p,P’) = ∂∂∂∂x P + ∂∂∂∂x dP’ P ∂∂∂∂P x ∂∂∂∂P’ dP x Mas, poderemos fazer

x P P,( , ') '

∂∂

mas, sabemos que

Ex,p = ∂∂∂∂x x_ ∂∂∂∂P P

Ex,p’ = ∂∂∂∂x P’ ∂∂∂∂P’ x

E p’,p = dP’ P_ dP P’ Então, teremos E x,(P,P’) = E x,p + Ex,p’ . E p’,p TEOREMA 11:

E q,p = RM

RM RMe

e a−

DEMONSTRAÇÃO: Sabemos que R = P . q dR = P . dq + g . dP Então dR

dqP= +

Mas poderemos fazer dR

dq= + = + = +

= =−

P E= −

⇒ = −1

P E− = − ⇒

−= −1

=− +

⇒ =−

RM RMq Pe

e a, =

TEOREMA 12: Dada a função procura do trabalhador pela renda, R = f (S), e dado que o número de horas de trabalho é H = R/S Então

EH,S = S

dS = ER,S - 1

DEMONSTRAÇÃO: Sabemos que

H = R_ S Então

−2 2

Então

H S R S

= = −

∴ = −

TEOREMA 13: Se há rendimentos constantes de escala na Função de Produção Q = F ( K, L ) Então

∂∂∂∂ (lllln Q) + ∂∂∂∂ (lllln Q) = 1 ∂∂∂∂ (lllln K) ∂∂∂∂ (lllln L) Sabemos que

∂∂∂∂ (lllln Q) = ∂∂∂∂ Q K ∂∂∂∂ (lllln L) ∂∂∂∂ K Q e

∂∂∂∂ (lllln Q) = ∂∂∂∂Q L ∂∂∂∂ (lllln L) ∂∂∂∂L Q Então, teremos

∂∂

LL+ = +

Se a função apresenta rendimentos constantes de escala ⇒ Função de Produção Homogenea Linear. Assim, pelo Teorema de Euler.

∂∂∂∂Q K + ∂∂∂∂Q L = Q ∂∂∂∂K ∂∂∂∂L Logo

∂∂∂∂(lllln Q) + ∂∂∂∂(lllln Q) = 1 Q = 1

∂∂∂∂(lllln K) ∂∂∂∂(lllln L) Q TEOREMA 14: Seja Q = f (L, K, T ) uma função de Produção Então q = ∝∝∝∝ k + ββββllll + ρρρρ Onde

q = dQ , taxa de crescimento do produto Q

k = dK , taxa de crescimento do capital K

llll = dL , taxa de crescimento do trabalho L

ρρρρ = ∂∂∂∂Q dT/Q , taxa de crescimento do produto devido ao avanço tecnológico ∂∂∂∂T ∝∝∝∝ = EQ,K

ββββ = EQ,L

DEMONSTRAÇÃO

∂∂

Mas podemos fazer

Q= + +

∂∂

QQ L Q K= + +, ,

∂∂

q = llll . EQ,L + K . EQ,K + ρρρρ TEOREMA 15 : Dado a) A Função Utilidade: U = U (x1 , x2 , ....., xn)

b) A Função de Restrição Orçamentária P X Ri ii

−∑ =

c) As Elasticidades Preço e Renda: eik - Elasticidade Preço Ei - Elasticidade Renda

d) As Proporções Orçamentárias : α ii iP X

Então

i) α i ii

E=∑ =

1 (Agregação de Engel ou condição de aditividade)

obs: A agregação de Engel não pode ser obtida para a demanda compensada porque a renda não é argumento da Função.

ii) α αi iRi

Re k n=∑ = − =

12, , ,..., (TEOREMA DE COURNOT)

obs: i

1∝∝∝∝i eik = 0 , se for demanda compensada

DEMONSTRAÇÃO i) Sabemos que

=∂∂

logo, poderemos fazer

α α α∂∂

∂∂

1 1 2 21 1 1

E E EP X

n nn n n

+ + + = + + + =

= + + +

... ...

Mas, pela equação de orçamento sabemos que

n= + + +11

∂∂∂

∂∂...

dR dR PX

Rnn= + + +

∂∂∂

∂∂

⇒ + + + = =

⇒ ==∑

∂∂

DEMONSTRAÇÃO ii) Sabemos que

∂∂

Podemos fazer, então P1X1 + P2X2 + .....+ Pk XR + ...... + Pn Xn - R = 0 Diferenciando essa expressão em termos de PR, obteremos

0∂∂

∂∂

+ + + + + + =

⇒ = − − − − − −

.... ....

Podemos fazer, também

α∂∂

∂∂

R R R R

=∑ = + + + + +

= + + + + +

... ...

.... ....

Mas já vimos que

= −=∑ ∂

∂1 , logo a expressão entre colchetes é igual a - Xk

= − = −

⇒ = −

2 - APLICAÇÕES DO CONCEITO DE ELASTICIDADE NA MICRO ECONOMIA 2 . 1 - RELAÇÃO ENTRE A ELASTICIDADE DE OFERTA E A UTILIZAÇÃO DA CAPACIDADE PRODUTIVA DA FIRMA NO CURTO P RAZO Sabemos que no curto prazo a curva de oferta da firma é a curva de Cma para P > P*, como no gráfico abaixo

P,CMe Cma = S |P>P* CMa CMe P* RMe = RMa 0 Q* Q Entretanto, nem sempre a curva de CMa se apresenta como a do gráfico ora apresentado. Desta forma, podemos ter os seguintes casos: 10 CASO : CURVA DE OFERTA PERFEITAMENTE INELASTICA

QdQS = = ⇒ =0 0

⇒ Empresa já está produzindo no seu nível máximo de capacidade produtiva. Curva de Custos Marginais é uma vertical. 20 CASO : CURVA DE OFERTA PERFEITAMENTE ELASTICA

QdPS = = ∞ ⇒ = 0

⇒ Curva de Custos Marginais é uma horizontal. 30 CASO : CURVA DE OFERTA “NORMAL”

⇒⇒⇒⇒ Curva de Custos Marginais é crescente.

2 . 2 - A ELASTICIDADE DE LONGO PRAZO DA CURVA DE O FERTA DA INDÚSTRIA E O CONCEITO DE CUSTOS DE ESCALA 10 CASO : INDÚSTRIA COM CUSTOS CONSTANTES DE ESCALA a) No longo prazo a curva de oferta da firma é uma horizontal P CMa CMe P* = S Q b) EQ P

S, = ∞

20 CASO : INDÚSTRIA COM CUSTOS CRESCENTES DE ESCALA a) Curva de oferta crescente P S Q b) EQ P

S, > 0

30 CASO : INDÚSTRIA COM CUSTOS DECRESCENTES DE ESCALA a) Curva de oferta decrescente P S Q b) EQ P

S, < 0

2. 3 - A ALASTICIDADE-PREÇO E A INCIDÊNCIA DE UM IM POSTO SOBRE A QUANTIDADE Uma das questões mais discutidas em finanças públicas é a questão sobre quem recai um imposto indireto: se sobre o vendedor ou se sobre o comprador. Imaginemos o caso de um imposto sobre a quantidade. Imaginemos que o Governo estabeleça o imposto de t reais sobre cada unidade vendida de um determinado produto. Quem arcará com este imposto? A resposta depende das elasticidades-preço das curvas de oferta e demanda. Nos gráficos a seguir mostramos essa dependência. CASO A CASO B P P S PC B S B’ PE E PC E PV PE A D PV D A’ 0 qt qE q 0 qt qE q CASO A

t AB P PC V= = − Como a curva de demanda é muito inelástica em relação à curva de oferta, então o imposto incidirá quase totalmente sobre o comprador. CASO B

t A B P PC V= = −' '

Como a curva de demanda é muito elástica em relação à curva de oferta, então o imposto incidirá principalmente sobre o vendedor. Podemos estabelecer a seguinte metodologia

α β=−

= −−

Onde, αααα = é a fração do imposto que recai sobre os compradores ββββ = é a fração do imposto que recai sobre os vendedores ED = Elasticidade-Preço da Demanda ES = Elasticidade-Preço da Oferta Obs.: a) Se ED = 0 ⇒⇒⇒⇒ αααα = 1 e o imposto recai totalmente sobre o consumidor b) Se ED = ∞∞∞∞ ⇒⇒⇒⇒ αααα = 0 e o imposto recai totalmente sobre o vendedor 2.4 – COMPARAÇÃO ENTRE AS ELASTICIDADES - PREÇO ENTRE DIFERENTES CURVAS DE DEMANDA Dadas, por exemplo, duas diferentes curvas de demanda (em termos gráficos) será possível dizer qual

delas é a mais elástica?

Para responder a esta pergunta tomemos duas curvas de demanda retilíneas e paralelas (o caso mais

simples) :

D1 D0 = a0 + b0 P

D1 = a1 + b0 P P1 D0 C P0

q0 q1 q sabemos que, dado um preço Po, tem-se

= =. .

dPD D0 1

é fácil concluir que, àquele nível de preço P0, E0 > E1

Pode-se, então, concluir que E0 > E1 para qualquer nível de preço ? A resposta é não. E isto se pode

explicar por dois caminhos:

1) De acordo com o Teorema 1 nos pontos em que as curvas cortarem os eixos (vertical e

horizontal) as elasticidades seriam iguais ( E0 = E1 = ∞∞∞∞ e E0 = E1 = 0 )

2) No lugar de começarmos a discussão fixando o nível inicial dos preços, suponha que fixemos as quantidades iniciais, digamos, no ponto q0. Dada uma variação qualquer de preços, teríamos.

= =. .

dPD D0 1

teríamos

E0 < E1 , já que P1 > P0. Vale salientar que, novamente, nos pontos em que as curvas de

demanda cortassem os eixos, teríamos:

E0 = E1 = ∞∞∞∞ e E0 = E1 = 0 Para os outros casos especiais ( Teorema 2, 3 e 4), dados duas curvas de demandas paralelas, suas

elasticidades seriam sempre iguais entre si.

Suponhamos agora que temos duas curvas de demanda, retilíneas, porém não paralelas, como no gráfico abaixo.

M D1 MA AN

C Po A

qo q1 n E q

Se raciocinarmos em termos dos casos dos Teoremas 3 e 4, seriamos tentados a afirmar que D1

seria mais elástica que D0 . Esta afirmação seria verdadeira?

Com o auxílio do que foi exposto no Teorema 1 será fácil mostrar que para o nível de preço P0,

a curva de demanda D0 é mais elástica que a curva de demanda D1 , pois, naquele ponto,

teremos:

EDO = 1 e ED1 < 1

E, novamente, nos pontos em que as curvas de demanda cortassem os eixos, ter-se-ia.

EDO = ED1 = ∞∞∞∞ e EDO = ED1 = 0

Desta forma, a análise gráfica da demanda é bastante frágil no que diz respeito à comparação de

elasticidades entre duas curvas, razão por que tais comparações devem ser analisadas com

bastante cuidado. Assim, deve-se tomar as explicações, por exemplo, sobre as consequências

das desvalorizações cambiais apresentadas nos livros-textos de Economia Internacional apenas

como um expediente didático do qual o autor lança mão para facilitar sua explanação. Uma

análise mais rigorosa exige o conhecimento das curvas de demanda a serem comparadas.

3 - A ELASTICIDADE DE SUBSTITUIÇÃO 3. 1 - CONCEITO Denomina-se “Elasticidade de Substituição” entre dois bens à relação entre a variação percentual da relação entre as suas quantidades consumidas, quando a taxa marginal de substituição entre eles varia de 1%. A análise do gráfico abaixo permite-nos dizer que a Elasticidade de Substituição mede de quantos por

cento varia a tgy

xα = quando a tg

dxβ = − varia de 1%.

αααα ββββ x A expressão analítica para a Elasticidade de Substituição pode ser escrita da seguinte maneira: d ( y / x ) y / x

E S = ____________ d ( dy / dx ) dy / dx onde:

x, y são as quantidades consumidas, d y

d xé a Taxa Marginal de Substituição entre x e y.

Podemos fazer

d dy dx

d y dx

x dy - y dx __________________

= _____________________________ . _ dy / dx__

y d 2y / dx2

dy ( x dy - y ) dx dx = ________________________ xy d 2y

dx2 ou seja

dy ( x dy - y ) dx dx E S = _____________________ xy d 2y dx2

3. 2 - O SINAL DA ELASTICIDADE DE SUBSTITUIÇÃ O Temos que dy ( x dy - y ) dx dx E S = ________________________ xy d 2y dx2 Assim, o sinal da Elasticidade de Substituição é determinado por dois importantes pressupostos da Teoria Econômica. Tais pressupostos são: i. O Axioma da Não-Saciedade (Teoria do Consumidor) ou a hipótese de que as produtividades marginais serão sempre positivas. ii. A Proposição da Taxa Marginal de Substituição ser decrescente (Teoria do Consumidor) ou TMST decrescente (Teoria da Produção). Temos, então:

Axioma da Não-Saciedade ⇒ d y

d x < 0 , porque UX , UY > 0 no caso da Teoria do Consumidor

ou d K

dL < 0

Taxa Marginal de Substituição Decrescente ⇒ >d y

2 0 ou d K

Esses dois pressupostos determinam, então, que: E S > 0 II. 1. Casos Especiais: a) Se a função é da forma

q = min x

, , ... ,

ou seja, apresenta proporções fixas, o que implica não haver substituição possível entre as variáveis, então, teremos: x2

e E S = 0 porque dx

x1 b) Se os bens são completamente substitutos, ou seja, economicamente indistintos, então x2

e E S = ∝ , porque d x

3. 3 - A ELASTICIDADE DE SUBSTITUIÇÃO NA TEORIA DO CONSUMIDOR E NA TEORIA DA PRODUÇÃO 3. 3. 1 - TEORIA DO CONSUMIDOR Suponha que temos a seguinte função utilidade: U = u ( x,y ) Quando trabalhamos com curvas de indiferença, fazemos U 0 = u ( x,y ) Assim, podemos fazer

dU 0 = Ux + Uy dy = 0 dx

dy = - Ux dx Uy e

d 2 U 0 = Uxx + 2U xy ( dy ) + U yy ( dy ) 2 + U y d 2y = 0

dx dx dx2

d 2y = - 1 [ Uxx + 2U xy ( dy ) + U yy ( dy ) 2 ]

dx2 Uy dx dx ou

d 2 y = - 1 [ Uxx + 2U xx ( - Ux ) + Uyy Ux 2 ]

dx 2 Uy Uy U2y

= −− +

= − −

U U U U U U U

UU U U U U U

xx y x y xy yy x

xx y x y xy x

Como sabemos que dy ( x dy - y ) dx dx

E S = ________________________

xy d 2y

dx2 Podemos substituir dy e d 2y pelos seus valores, obtendo

dx dx2

Ux .Uy [ x Ux + yUy ] E S = _____________________________________________________

[ Uxx U2y - 2Uxy Ux Uy + Uyy U2

x ] 3. 3. 2 - TEORIA DA PRODUÇÃO Se tivermos uma função de Produção Q = q (K, L) e estivermos trabalhando com isoquantas, poderemos fazer Q 0 = q ( K, L)

De maneira análoga à utilizada para a Teoria do Consumidor, obtertemos Q K Q L ( K.Q K + L Q L ) E S = - ________________________________________________________________

K.L ( Q Q2 - 2 Q Q Q + Q Q2 )

KK L KL K L LL K 3. 3. 2.1 - A ELASTICIDADE DE SUBSTITUIÇÃO E AS FUNÇÕES DE PRODUÇÃO HOMOGÊNEAS LINEARES A propriedade que apresentarei abaixo é válida para qualquer tipo de função homogênea linear. Entretanto, como ela é mais universalmente aplicada para as funções de produção, restringir-me-ei a esse tipo de função. TEOREMA : Seja a função de produção Q = q (K,L) Homogênea Linear nos fatores, então Q K . Q L E S = ______________________ Q . Q KL Demonstração: Dado que Q = q (K,L) é Homogênea Linear, teremos: Q = K ∂Q + L ∂Q - Teorema de Euler (3a propriedade) ∂K ∂L

∂ 2 Q = L . ∂ 2 Q

∂K2 K ∂K ∂L

⟩ ( 4a Propriedade)

∂ 2 Q = - K . ∂ 2Q

∂L2 L ∂L ∂K Sabemos que Q K Q L (K Q K + L Q L ) E S = ______________________________________________________________

K.L ( Q Q 2 - 2 Q Q Q + Q Q 2 ) KK L KL K L LL K Assim, substituindo os valores de K Q K + L Q L ; Q KK e Q L obteremos Q K Q L . Q

E S = ______________________________________________________________________

K.L [ - L Q Q 2 - 2 Q Q Q - K Q Q 2 ] K KL L KL K L L KL K Q K Q L . Q E S = -

______________________________________________________________

Q [ - L 2 Q 2 - 2KL Q Q - K 2 Q 2 ]

KL L K L K Q K Q L . Q = ____________________________________________________________

Q [ L 2 Q 2 + 2KL Q Q + K 2 Q 2 ] KL K L K Q K Q L . Q = ________________________________________

Q [ ( L Q + K Q ) 2 ] KL L K Q K Q L . Q = _______________________ Q Q 2 KL Assim, Q K . Q L E S = _______________ Q . Q KL 3. 3. 2. 2 - EXEMPLOS DE FUNÇÕES DE PRODUÇÃO a) COBB - DOUGLAS Se a função de Produção é dada como

Q = α K β L

1- β , 0 < β < 1

Então, E S = 1 Demonstração: Como a função dada é Homogênea Linear, podemos usar a expressão Q . Q K L

E S = _________________ Q . Q

Temos, então:

β -1 1- β

∂Q = α β K L ∂K

β - β

∂Q = α (1 - β) K L ∂L

β -1 - β

∂ 2Q = α β (1 - β) K L ∂K ∂L Então

β -1 1- β β - β α β K L α (1 - β ) K L E S = ___________________________________________________

β 1- β β -1 - β α K L α β (1 - β ) K L donde E S = 1 b) C.E.S.

- δ - δ - 1

Q = α [ β K + (1 - β ) L ] δ Então 1

E S = ___________ 1 + δ Demonstração: A função de Produção dada é Homogênea Linear. Logo poderemos usar a expressão

E S = _______________ Q . Q

- δ - δ - 1 - 1

∂Q = α ( - 1 ) [ β K + (1 - β) L ] δ x

∂K δ

- δ -1 x β ( - δ ) K

( - δ -1) -δ -δ -1-δ

∂Q = α β K [ β K + (1 - β ) L ] δ ∂K

- δ -δ -1-δ -δ -1

∂Q = α ( - 1 ) [ β K + (1 - β ) L ] δ . (1 - β ) ( - δ) L ∂L δ

-δ -1 -δ -δ -1-δ

= α (1 - β ) L [ β K + (1 - β) L ] δ e

- δ -1 -δ -δ -1 -δ -1

∂ 2Q = α (1 - β) L ( -1 - δ ) [ β K + (1 - β ) L ] δ x ∂K ∂L δ

-δ -1 x β ( - δ ) K

-δ -1 -δ -1 -δ -δ -1-δ-δ

= α (1 - β ) (1 + δ) β L K [ β K + (1 - β) L ] δ Temos então

-δ -1 -δ -δ -1-δ -δ -1 -δ -δ -1-δ

α β K [βK + (1 - β) L ] δ α (1 - β)L [βK + (1 - β) L ] δ E S = ________________________________________________________________________________________________________

-δ -δ -1 -δ -1 -δ -1 -δ -δ -1-δ-δ

α [β K + (1- β) L ] δ α (1 - β)(1+ δ)β L K [β K + (1 - β) L ] δ Assim,

- δ - δ -1-δ-1-δ

[ β K + (1 - β) L ] δ E S = ___________________________________________________

-δ -δ -1-δ-1-δ

(1 + δ) [ β K + (1- β ) L ] δ E, portanto. 1 E S = ________ 1 + δ 3. 4 - IMPORTÂNCIA 3. 4. 1 - RELAÇÀO ENTRE AS ELASTICIDADES DE SUBSTITUIÇÃO, PREÇO E RENDA Sabemos que

Px + d = R → equação de orçamento

u x P x _____ = _____ = P → condição de equilíbrio

u d 1 daí tiramos que

P ( x u x + d u d ) - Pu d R E S = - ______________________________________ = _______________________________________

x d ( u xx - 2 Pu xd + P2 u dd ) xd ( u xx - 2Pu xd + P2 u dd ) Sabemos ainda que

R ∂ x E = _______ . _________

x ∂ R Mas o efeito-renda,

Pu dd - u xd

= ___________________________________

∂R u xx - 2 u xd + P2 u dd Logo

R Pu dd - u xd

E R = _____ . __________________________________

x u xx - 2u xd + P2 u dd

Sabemos também que

E p = - P ∂x_ x ∂P Mas o efeito - preço,

u d Pu dd u xd

= __________________________________ - x __________________________________

∂P u xx - 2Pu xd + P2 u dd u xx - 2Pu xd + P2 u dd

Assim, teremos:

Pu dd - u xd P u d

E p = P ________________________ - ____ _______________________

u xx - 2Pu xd + P2 u dd u xx - 2Pu xd + P2 u dd Assim teremos

u d Pu dd - u xd

R E p = -R _P_ ______________________ + R P ______________________ x

u xx - 2Pu xd + P2 u dd u xx - 2 Pu xd + P2 u dd

-Pu d R

d E S = d ___________________________ xd ( u xx - 2Pu xd + P2 u dd )

Pu dd - u xd

Px E R = Px _R_ ______________________ x

u xx - 2u xd + P2 u dd donde R E P = d E S + Px E R Desta expressão tiramos as seguintes conclusões a) Quanto menor E R , menor será a E P (tendo em vista que E S , d > 0) Isso significa que a procura de um bem é tanto menos elástica (com relação ao preço) quanto mais essencial for o bem. b) Quanto maior E S , maior será E P Isso significa que a procura de um bem é tanto mais elástica, em relaçào ao seu preço, quanto maior for a substitutibilidade do bem.

c) Se ε S < E R , quanto menor _Px_ , menor será E P

Isso significa que os bens pouco substituíveis e de pequeno peso no orçamento do consumidor possuem procura inelástica em relação ao preço.

d) Bens de Giffen: E p < 0 , EP

PP =− ∂

RES R+ < 0

como E S > 0 então E R deverá ser negativa e a elasticidade de substituição deve ser muito baixa ou o bem deve pesar muito no orçamento do consumidor. 3. 5 - A ELASTICIDADE DE SUBSTITUIÇÃO E A PARTICIPA ÇÃO DOS FATORES NO PRODUTO NACIONAL. Suponha que tenhamos uma função de produção que apresente rendimentos constantes de escala. Q = F (K,L) sabemos que

ε SK L

Façamos

k = K L

então Q = f (k) Q = L f (k) L Então

∂Q = L df dk = L f ’ (k) 1 = f ’(k) ∂K dk dk L

∂Q = L df dk + f(k) = Lf ’(k) (- K ) + f (k) ∂L dk dL L2 = - k f ’(k) + f(k) Sabemos que

a) - dK = F L = f(k) - k f ’(k) = R taxa marginal de substituição

dL F K f ’(k) b) por definição

E S = d(ln k)

d(ln R) mas ln R = ln ( f(k) - k f ’(k)) - ln f ’(k) donde

d [ln R ] = 1 [f ’(k) - k f ”(k)-f ’(k) ] - 1

f ”(k) dk f(k) - kf ’(k) f ’(k)

= -k f ”(k) - f ”(k) f(k) - kf ’(k) f ’(k)

= -kf ”(k) f ’(k) - f ”(k) f(k) + kf ’(k) f ”(k)

f ’(k) [ f(k) - k f ”(k) ]

= - f ”(k) f(k)______

f ’(k) [ f(k) - kf ’(k) ] então: _1_ k f ’(k) [ f(k) - kf (k) ]

E S = d (ln k) = ______________________________ =

_____________________________

d (ln R) f ”(k) f(k) k f ”(k) f(k) ________________________ f ’(k) [ f(k) - kf ’(k) ] sabemos que f ’(k) > 0, [f(k) - kf ”(k)] > 0 e f ”(k) <0 ⇒ E S > 0. chamemos agora

w = ∂Q = [f(k) - k f ’(k)] ∂L

ρ = ∂Q = F’(k) ∂K então teremos

w = [f(k) - kf ’(k)] ⇒ dw = f ’(k) - f ’(k) - k f ”(k) = - kf ”(R) dk

q = f(k) ⇒ dq = f ’(k) dk em termos de diferencial, teremos:

dq = - f ’(k)_ dw kf ”(k) então poderemos escrever

dq w_ = - f ’(k) . f(k) - k f ”(k) dw q k f ”(k) f(k)

E q ,w = - f ’(k) [ f(k) - kf ’(k)] = E S > 0 k f (k) f ”(k) w ↑ ⇒ k ↑ porque w ↑ ⇒ q ↑ ⇔ k ↑ Teorema:

Seja π = ρ k = kf ’(k) a participaçào dos lucros (no produto): q f(k) Então:

i) se E S > 1 ⇒ d π > 0 , d π > 0 dk dw

ii) se E S < 1 ⇒ d π < 0 , d π < 0 dk dw

iii) se E S = 1 ⇒ d π = 0 , d π = 0 dk dw Prova:

( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )

( )( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

f k k f k f k k f k

f kk f k f k f k f k k f k

f kf k f k k f k k f k f k

f k f k k f k

k f k f k

f k f k k f k

f kk f k

=+ −

= + −

= = − +

, , , ,

, ,, ,

( )( )

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

f k f k kf k

kf k f k

π =−

,, , ,

então

( ) ( )[ ]( )d

f kf k S

π ε= − −,, 1

como f ”(k) < 0 ⇒ f ”(k) > 0. Logo o sinal de d π depende de E S ≥ 1!

O que prova nosso teorema!

3. 6 - A ELASTICIDADE DE SUBSTITUIÇÃO E AS INOVAÇÕE S TECNOLÓGICAS. Definição: Neutralidade de Solow As invenções são ditas Solow-neutras se o produto por trabalhador é invariante a uma constante taxa de salário. Com relação à Elasticidade de Substituição, poderemos definir. 1a Definição: Invenções são neutras no sentido de que a elasticidade de substituição dos fatores é não-afetada a uma razão constante capital-trabalho. ou seja

y x ( y - xy x )

σ (x) = _____________ , ∂σ(x)/ ∂t = 0

-x yy xx dessa expressão podemos obter

( )( )

y A t e

d x n B t e

∫∫ +

∂ ε∂ εl

Pode ser demonstrado que A condição Hicks neutralidade é condição suficiente, mas não necessária a fim de que a elasticidade de substituição seja constante a uma razão constante capital - trabalho. 2a Definição: Invenções são neutras no sentido de que a elasticidade de substituição é não- afetada a uma razão constante produto-capital . CASO GERAL DA NEUTRALIDADE DE HARROD. dessa definição podemos obter

( ) ( )( )

x A t e

y B t ey n y

∫−

σ ∂ l

3. 7 - A ELASTICIDADE DE SUBSTITUIÇÃO E A ECONOMIA BRASILEIRA Período de 1940 a 1959 : a) emprego no setor manufatureiro, como uma percentagem do emprego

real, caiu de 9.4% para 8.9%. b) Produto manufaturado subiu em 144%, e o setor industrial teve um aumento na sua participação relativa do produto total de 23,4% para 25,4%. Duas escolas surgiram para explicar o fenômeno : a) a escola da crítica “estrutural” b) a escola da crítica de “mercado” De acordo com a “escola estruturalista” esse fenômeno é determinado pela limitada possibilidade de substituição de fatores, pela importância de firmas estrangeiras que utilizam a tecnologia de seus países de origem (“labor-saving” , na maioria dos casos) etc. Nesse caso os preços relativos dos fatores são de pouca importância. A escola “mercantilista” argumenta sobre a importância dos preços relativos dos fatores em determinar as quantidades dos diferentes fatores empregados. Para essa escola as distorções introduzidas nos mercados de fatores pelas políticas governamentais são as causas principais para esse declínio da absorção de mão-de-obra. O autor se propõe estimar diferentes elasticidades de substituição, para avaliar o argumento da escola estruturalista. Em termos empíricos, que tipo de função de produção podemos assumir para um estudo dessa natureza? Pode-se trabalhar, por exemplo, com duas funções bastante conhecidas na literatura econômica. A Função Cobb - Douglas:

Q = A K α N

A Função de Leontief:

q = min x

, , ... ,

No caso da Função Cobb-Douglas, temos que ES = 1. Assim, esta função pressupõe ilimitadas possibilidades de substituição. Quanto à Função de Leontief, temos que ES = 0. Portanto não existe substituição possível, quando há somente um processo produtivo. Nesse caso os preços dos fatores são irrelevantes para o emprego dos fatores produtivos. O emprego desses fatores é determinado exclusivamente pela tecnologia. No entanto, na medida em que ES > 0 , os preços relativos dos fatores são determinantes do emprego dos fatores. Uma outra possibilidade de se trabalhar seria com uma função que não é tão conhecida como as duas acima mencionadas. A Função CES

V = σ [ δ K -ρ

+ (1- δ) L-ρ

onde σ > 0, ρ < -1, 0 < δ < 1 e V , K , L são o produto, o capital e o trabalho

σ = coeficiente de eficiência

ρ = coeficiente de substituição

δ = coeficiente de distribuição Hipóteses: O produto e fatores têm mercados competitivos e o comportamento do produtor é o de maximização do lucro

( )( )dK

+∂∂∂∂

δσ ρ

ln ( dK ) = ln ( 1- δ ) + ( ρ + 1) ln ( K

Já foi demonstrado que

E S = _1__

1 + ρ

como dK = w dL r podemos fazer

ln ( w ) = ln ( 1 - δ ) + ( ρ + 1) ln ( K )

ln ( K ) = - ( __1 _ ) ln ( _1- δ ) + ( _ 1__ ) ln ( _w_ )

L ρ +1 δ ρ +1 r

E S = 1__ ρ +1 podemos fazer

( )1 11

= ⇒ =

δσ ρ

Lw nw n n

nw n nV

ln ( V ) = ln a + b ln w

l lna n

= −+

Dessa maneira a estimação do parâmetro b ( a elasticidade de substituição ) nos daria a relação existente entre a taxa de salário e a relação produto-trabalho.

4 - A CONDIÇÃO DE MARSHALL - LERNER A ABORDAGEM DAS ELASTICIDADES NO AJUSTAMENTO DO BAL ANÇO DE PAGAMENTOS HIPÓTESE PRINCIPAL: Equilíbrio inicial no Balanço de pagamentos

B ≡≡≡≡ SBPC/C = 0 = ππππX X - ππππM M onde SBPC/C = Saldo do Balanço de Pagamento em conta corrente

ππππX = Preço Internacional das exportações

ππππM = Preço Internacional das Importações X = Volume Exportado pelo País M = Volume Importado pelo País DEFINIÇÕES:

1. ε XX

X= , Elasticidade-Preço da Oferta de exportações do País

2. ηπ

d X= − , Elasticidade-Preço da Demanda pelas exportações do País

3. ε ππ

d M= , Elasticidade-Preço da Oferta das importações do País

4. ηπ

d M= − , Elasticidade-Preço da Demanda por impotações pelo País

5. P t

P tX M

onde PM = Preço Interno dos bens Importados PX = Preço Interno dos bens Exportados t = Taxa Cambial PERGUNTA: Se houver uma desvalorização em t, o que ocorrerá com o SBP ? TESE:

d (SBP) > 0 ⇔⇔⇔⇔ ηηηηx + ηηηηM - 1 > 0 , e se as Elasticidades-Preço das ofertas forem infinitas. DEMONSTRAÇÃO: Dado que

B ≡≡≡≡ SBPC/C = ππππX X - ππππM M = 0 Teremos

dB = d ππππX .X + ππππX dX - d ππππM .M - ππππM dM = 0 ( 1 ) e ainda, dado que

PX = t. ππππX e PM = t. ππππM ,

lllln PX = lllln t + lllln ππππX

lllln PX = lllln t + lllln ππππM poderemos fazer

Ou seja

$ $ $ ( )

ηππ π

= − = − ⇒ − =

⇒ = −

εππ π

= = ⇒ =

X X XX

X P PX

= = ⇒ =

⇒ = ⇒ = ⇒ =

$$ $ $

$ $ $$

M M MM

M P PM

= − = ⇒ − =

⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −

$$ $ $

$ $ $$

Portanto, podemos fazer

πεη π

P= − = −

( ) ( )$

πε π

η πεX

t= −

+= −

Desta forma

$ $ $ $ $ $

π η ε π ε π η π ε ε

π η ε ε

X X X X X X X X X X

X X X X

= − − ⇒ + = −

⇒ + = −

⇒ = −+

$ $ $ $ $ $

$ $ ( )

π ε η π η π ε π η η

π η ε η

M M M M M M M M M M

M M M M

= − − ⇒ + = −

⇒ + = −

⇒ = −+

como, entretanto, $ $ $ $ $ $P t e P tX X M M= + = +π π

Poderemos fazer

$ $$ $ $ $

$ $ $$ $ $

P tt t t t

P t tt t t

= −+

=+ −

= −+

=+ −

εη ε

η ε εη ε

ηη ε

ηε η

ε η ηε η

εε η

Como temos dB = d ππππX .X + ππππX dX - d ππππM .M - ππππM dM = 0 Poderemos fazer

[ ] [ ]

DB d X dX d M dM

X X X M M M

X X M M

X X X M MM

X X X M M M

X X M M

= + − − =

= + − + =

ππ π π

π π π π ππ

π π π π π π

π π π π

$ . . $ . .

$ . . $ $ . . . . $

. $ $ . $ $

Substituindo, agora, os valores de $ , $ , $ $π πX MX e M , encontraremos

DB X t P M t PXX

X XX X M

M MM M= −

− −

εε η

ε πη

ε ηη. $ $ . $ $ 0

Substituindo, agora, os valores de $ $P e PX M , encontraremos

( ) ( )

DB Xt t

X t M t

= −+

− −

−− +

ε ηε η

ε ηπ

ηε η

ε ηε η

πε η

ε ηπ

η εε η

. . $ . . $1 1

Pela hipótese do equilíbrio no SBPC/C , ππππX X = ππππM M , logo

( ) ( )DB X tX

− ++

ε ηε η

η εε η

. . $1 1

Portanto, para que DB > 0 , deveremos ter

( ) ( )ε ηε η

η εε η

−− +

Tendo em vista que $ ;t e XX> > >0 0 0π Como, por hipótese, εεεεM = ∝∝∝∝ e εεεεX = ∝∝∝∝ Podemos fazer

( ) ( )

ε εε η

ε ηη εε η

ηεε ε

ε εη

→ ∞−

− ++

→ ∞

→ ∞−

= − +

Assim, para que

( ) ( )ε η

ε ηη ε

ε ηX X

⇒⇒⇒⇒ ηηηηX + ηηηηM - 1 > 0 Esta é a famosa Condição de Marshall - Lerner ! Isto é, para que uma desvalorização cambial seja benéfica (no sentido de aumentar o saldo do Balanço de Pagamentos) para um país, necessário se faz que a soma das Elasticidades-Preço das demandas no Comércio Internacional seja maior do que um !

Observações: Notemos, entretanto, que esta condição é baseada em hipóteses que nem sempre serão verdadeiras, tais como: a) Que o Balanço de Pagamentos esteja em equilíbrio, ou seja

ππππX X = ππππM M b) Que as Elasticidades-Preço de oferta das exportações sejam infinitas, isto é

εεεεM = ∝∝∝∝ e εεεεX = ∝∝∝∝ c) Que as desvalorizações sejam de pequena monta Observação final É importante ter em mente que a Condição de Marshall-Lerner só se aplica ao Balanço de Pagamentos em Conta Corrente !

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