Post on 22-Apr-2015
TERMO GERAL E SOMA DE TODOS OS TERMOS
Correção das últimas atividadesEx. 15Calcule a razão das seguintes progressões
aritméticas.a)(-7,-3,1,...)a2-a1 = a3-a2 = r
-3-(-7) = 1-(-3)=r -3+7 = 1+3 4 = 4 =r
Ex. 15b)a2-a1 = a3-a2 = r
,...4
3,2
1,4
1
4
1
2
1
A razão é 4
1r
c)
,...6
19,
6
11,2
1
a2-a1 = a3-a2 = r
2
1
6
11r
3
4
6
8
6
311r = 4/3
Ex. 16 Vamos fazer apenas a questão (b)a4=3 e r=5/2
a5=a4+r
a5=
a6=
a4=a3+r
2
53
2
56
2
11
2
5
2
118
2
16
2
53 3 a
32
53 a
2
1
2
56
2
533
a
22
4
2
4
2
5
2
12
a
2
9
2
5
2
41 a
8,
2
11,3,
2
1,2,
2
9PA
Ex. 18 Calcular a razão e classificar em crescente, decrescente ou constante.
a) , nan 32 *n
1 nn aar
33232
33232
13232
nnr
nnr
nnr
3r
Como r=3, r>0, então a PA é crescente
b)
183
,9
1
1
nn aa
a 2
n
n
099
9)1827(
9)1893(
)183( 11
12
r
r
r
aar
aar
Como r=o, então a PA é constante
12
2
2
12
122
9
1827
1893
183
183
aa
a
a
aa
aa
nan 46 *n
4
22
)46()86(
)146()246(12
r
r
r
r
aar
Como r=-4, r<0, então a PA é decrescente
c)
426
)2(6
)86()126(
)246()346(23
r
r
r
r
aar
Termo Geral da P.A.Uma PA é uma sequência onde o segundo termo é igual ao primeiro mais a razão, o terceiro é o segundo mais a razão e assim por diante.
Vejamos isto em escrita matemática:
a1 = a1+0r = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = (a1+r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1+2r) + r = a1 + 3r
a5 = a4 + r = (a1+3r) + r = a1 + 4r
e assim por diante até chegarmos à generalização:
an = a1 + (n-1)r
an = último termo ou um termo qualquer;
a1 = primeiro termo
n = número de elementos ou a posição do
termo “an ".
r = razão da P.A.
Soma dos termos de uma PASe quiséssemos somar todos os termos de uma
determinada PA, como deveríamos proceder?
Johann Carl Friedrich Gauss Aos sete anos entrou para a escola. Segundo uma história famosa, seu diretor, Butner, pediu que os alunos somassem os números inteiros de 01 a 100, mal havia enunciado o problema e o jovem Gauss colocou sua lousa sobre a mesa, dizendo: ligget se! Sua resposta, 5050, foi encontrada através do raciocínio que demonstra a fórmula da soma de uma progressão aritmética.
(fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss)
Imagine que queremos a soma dos 10 primeiros números ímpares.
(1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)A idéia é bem simples: 1 + 3 + 5 + 7+9+11+13+15+17+19+19+17+15+13+11+ 9 +7+5 + 3 + 120+20+20+20+20+20+20+20+20+20Ou seja temos 10 x 20 = 200Mas perceba que somamos duas vezes esta
sequência, logo precisamos dividir por 2, então:
Temos 200/2 = 100. logo a soma dos 10 primeiros números ímpares é 100.
Isto, porém, só é possível com uma PA finita.Óbvio, pois se a PA cresce infinitamente como
vamos somar todos os termos? Esta soma irá crescer infinitamente da mesma forma.
DEEERRRR!!!!!!!
Traduzindo para a escrita matemática:Sn=a1+a2+a3+...+an-2+an-1+an I
Sn=an+an-1+an-2+...+a3+a2+a1 II
Somando-se a exemplo do que fizemos com os números ímpares: I+II
Sn=a1+a2+a3+...+an-2+an-1+an
+ Sn=an+an-1+an-2+...+a3+a2+a1
2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+...+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)
Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+...+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)
2
Como sabemos que as somas dentro dos parênteses são sempre iguais, ou seja:
(a3+an-2)=(a2+an-1)=(a1+an), e que temos n parcelasTemos:
Sn= n(a1+an) 2
Onde:
Sn=Soma dos n termos da PA
n= número de termos e/ou parcelas.
a1= primeiro termo
an= último termo
EXEMPLOVamos voltar aos números ímpares;
Para somar os primeiros 10 números ímpares temos:
Sn= soma que queremos;a1 = 1 (primeiro termo);
n = 10 (número de termos);an = 19 (último termo).
Sn= n(a1+an)
2
1002
20102
)191(10
Sn
Sn
Atividades para fixaçãoPáginas 229-230:
30, 31, 32, 42, 45, 49Páginas 235-236:
66, 67, 68, 74
Sn= n(a1+an) an = a1 + (n-1)r r = a2-a1
2