UNIFEI

4a Prova de Estruturas Algebricas I-MAT350

17/05/2018

Observacao 1: Qualquer questao respondida sem nenhuma palavra recebera zero. Qual-

quer questao respondida sem nenhuma frase recebera no maximo metade da pontuacao

maxima.

Observacao 2: Explique bem suas respostas.

Observacao 3: As definicoes de estruturas algebricas e propriedades devem ser com-

patıveis com as do livro texto.

1. (25 pontos) Defina anel. De um exemplo de um anel comutativo que nao possui

unidade. De um exemplo de um anel que possui identidade mas nao e comutativo.

2. (25 pontos) Seja A um anel comutativo com unidade. Entao A e um anel de integri-

dade se, e somente se, todo elemento nao nulo de A e regular para a multiplicacao.

De exemplo de um anel de integridade que nao e um corpo.

3. (25 pontos) Seja f : A → B um homomorfismo de aneis. Prove que

(a) N(f) e um subanel de A.

(b) f e injetor se, e somente se, N(f) = {0A}.

4. (30 pontos) Mostre que K := Q[√

2] = {a + b√

2; a, b ∈ Q} e um subcorpo de R.