Ç DQR Volume 1 - Conquista | Guia · 2020. 5. 12. · 3 Observe o polígono representado no plano...

Capítulo 1Transformações geométricas 2

Capítulo 2 Potenciação e radiciação 22

Capítulo 3 Porcentagem e juros 76

Volume 1

capí

tulo

Transformações geométricas1

O Palácio de Alhambra está localizado em Granada, na

Espanha, e é mundialmente conhecido pela sua beleza. Por

motivos religiosos, os muçulmanos não podiam representar

pessoas ou animais em suas obras de arte. Assim, toda a de-

coração do Palácio de Alhambra é composta de diferentes

padrões geométricos. O artista holandês Maurits Cornelis

Escher ficou muito impressionado ao visitar o palácio, e o

que viu inspirou seu trabalho por toda a vida.

Como esses padrões podem ser recriados utilizando a

geometria?

Translação

Reflexão

Rotação

o que vocêvai conhecer

©Shutterstock/Joserpizarro

2

Matemática

Isometrias

Neste capítulo, retomaremos e aprofundaremos os conceitos de simetria já aprendidos no 7º. ano.

As transformações geométricas de uma figura que não alteram sua forma nem seu tamanho são chamadas isometrias, também conhecidas como simetrias.

Para entender na prática o que é uma isometria, considere uma fi-gura qualquer, como a que consta ao lado.

Veja a seguir algumas possibilidades de criar imagens decorati-vas usando cópias dessa figura.

Exemplo 1:

Exemplo 2: Exemplo 3:

Podemos notar que as cópias têm o mesmo formato e tamanho da figura original, mas, em cada exemplo, estão dispostas em posições diferentes.

Observe que devem ser seguidas determinadas regras para criar cópias de uma figura por meio de transformações isométricas.

Uma transformação isométrica (ou isometria) aplicada em uma figura resulta em outra ima-gem, de mesma forma e tamanho. Existem três tipos principais de transformações isométricas no plano: a translação, a rotação e a reflexão. Qualquer outra isometria é uma combinação dessas três.

Identificar figuras planas simétricas e a simetria de uma figura plana.

Identificar e diferenciar as transformações geométricas.

Reconhecer e determinar o(s) eixo(s) de simetria de figuras planas na simetria de reflexão.

Resolver problemas que envolvam a aplicação das transformações geométricas no plano.

objetivos do capítulo

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kina

3

Translação

Na transformação geométrica denominada translação, a figura é repetida uma ou mais ve-

zes, em intervalos regulares, como se tivesse sido deslocada em determinada direção. Veja a

seguir como essa transformação foi representada usando a palavra TRANSLAÇÃO.

TRANSLAÇÃO TRANSLAÇÃO



Podemos reconhecer o uso da translação

na criação do mosaico ao lado, que decora o

Palácio de Alhambra.

Embora haja mudança de cores, as for-

mas que compõem o desenho são sempre as

mesmas, sendo possível supor que uma des-

sas formas gerou todas as outras por meio

de seu deslocamento a uma determinada dis-

tância e direção. Essa forma recebe o nome

de módulo. O módulo desse padrão está des-

tacado abaixo:

Observe que o deslocamento de uma cópia

desse módulo, que pode ser feito para a direita,

para a esquerda, para cima, para baixo ou em

diagonal, gera a repetição da imagem e repre-

senta a transformação denominada translação.

©S

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A simetria de translação é uma transfor-

mação isométrica na qual a imagem de uma

figura é obtida por meio do deslocamento de

todos os seus pontos a uma mesma distância,

mantendo-se uma direção e um sentido.

No exemplo ao lado, a seta indica a distância, a direção e o

sentido da translação. Cada ponto do triângulo ABC foi deslo-

cado quatro quadradinhos para a direita.

A

B

C

A’

B’

C’

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4

Matemática

atividades

1 Nesta obra de Escher, podemos notar como os desenhos dos pássaros brancos e azuis passaram por uma translação para compor um mosaico.

Destaque na imagem o módulo que gera esse padrão.

2 Observe a direção e o sentido indicados pela seta e faça translações da figura representada na ma-

lha quadriculada.

3 Na imagem a seguir, observe a seta, que indica o deslocamento da figura original. Seguindo o mes-

mo padrão, desenhe mais duas figuras.

ESCHER, Maurits C. Two birds (nº. 18). 1935. 1 nanquim, lápis e aquarela. Coleção particular.

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5

4 Indique as figuras cuja transformação corresponde à translação em relação à figura 1.

5 Observe as figuras desenhadas no plano cartesiano e obtenha o polígono A’B’C’D’, imagem de ABCD, por meio de uma translação de 5 unidades para a esquerda.

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E C

D

A B

6 Considere o pentágono ABCDE representado no plano cartesiano a seguir.

a) Quais são as coordenadas dos vértices do polígo-no ABCD?

b) Quais são as coordenadas dos vértices do polígo-no A’B’C’D’?

a) Obtenha o polígono A’B’C’D’E’, imagem de ABCDE, por meio de uma translação de 4 unidades para baixo.

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4. D

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1 2 3 4 5 6

6

Matemática

b) Quais são as coordenadas dos vértices do polígono ABCDE?

c) Quais são as coordenadas dos vértices do polígono A’B’C’D’E’?

d) O que acontece com as coordenadas dos vértices de um polígono quando ele sofre uma trans-lação no sentido horizontal?

e) O que acontece com as coordenadas dos vértices de um polígono quando ele sofre uma trans-lação no sentido vertical?

7 Em figuras decorativas pode existir a presença de frisos geométricos, como o do exemplo abaixo.

Esse friso é composto pela repetição de um padrão geométrico: .

Usando uma régua, destaque nas imagens o elemento de cada friso que se repete por uma simetria de translação.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

8 Crie um padrão e represente-o na malha quadriculada. A figura que você fizer será considerada a figura original. Reproduza o padrão pelo menos duas vezes, formando um friso.

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7

Reflexão

Na transformação geométrica chamada de reflexão, também conhecida como simetria axial, a figura é refletida em relação a uma reta, como se tivesse sido espelhada. Veja a se-

guir como essa transformação foi representada usando a palavra REFLEXÃO.

REFLEXÃOREFLEXÃO

A reta considerada nessa transformação geométrica é denominada eixo de simetria ou eixo de reflexão. Uma figura pode ter um ou mais eixos de reflexão, como mostram os

exemplos a seguir.©

Sh

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Eixo de simetria

Na figura a seguir, podemos observar uma parte da decoração do Palácio de Alhambra

que apresenta a ideia de simetria de reflexão. As linhas destacadas sugerem os eixos de si-

metria presentes na figura.

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Eixo de simetria

Eixo de simetria

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8

Matemática

Algumas formas encontradas na natu-reza, como as identificadas nas imagens ao lado, também representam a ideia de sime-tria de reflexão.

É importante considerar que o eixo de simetria pode estar dentro ou fora da figura.

Observe os triângulos DEF e GHI, representados em um plano cartesiano.

Isso nos permite concluir que, dada uma figura no plano cartesiano que apresenta si-metria de reflexão, dois pontos são simétricos em relação ao eixo das ordenadas quando as abscissas dos vértices correspondentes dos dois triângulos são números reais simétricos e as ordenadas são iguais.

A simetria observada é de re-flexão.

Veja que o eixo das ordenadas (eixo y) representa o eixo de sime-tria entre os dois triângulos.

Pontos simétricos

A simetria de reflexão é uma transformação geométrica na qual a imagem de uma figura é obtida por meio da reflexão de todos os seus pontos em relação a um eixo, sem alteração em sua forma e em seu tamanho. A imagem original e a imagem refletida são reflexos uma da outra e ambas mantêm a mesma distância em relação ao eixo de simetria.

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Eixo pertencente à figura Eixo não pertencente à figura

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Dois pontos, um pertencente à figura original e outro pertencente à imagem construída por uma simetria de reflexão, são chamados de simétricos. Esses pontos estão à mesma dis-tância do eixo de simetria e pertencem a uma reta perpendicular a ele.

Eixo de simetria

'A

A

Veja a seguir como é possível construir, com régua e compasso, uma figura simétrica a outra por reflexão utilizando a definição de pontos simétricos. Neste caso, são indicados os passos para a construção do simétrico de um triângulo ABC em relação a uma reta.

1º. ) Com a régua e o esquadro, trace as retas perpendiculares ao eixo que passam pelos vértices do triângulo.

A

C

B

2º. ) Marque os pontos de intersecção dessas perpendiculares com o eixo de simetria (pontos M

1, M

2 e M

3). Com a

ponta-seca do compasso em M1 e abertu-

ra igual à do segmento AM1, determine o

simétrico A’ de A.

A

C

M3

M2

M1 A'

B

3º. ) Repita o passo anterior para criar os pontos B’ e C’ usando M

2 e M

3. Assim, cons-

trua o triângulo A’B’C’, simétrico de ABC.

A

C

M3

M2

M1 A'

B'

C'

B

10

Matemática

atividades

1 Trace todos os eixos de simetria de reflexão das ilustrações a seguir.

2 Considerando o eixo x (horizontal) como o eixo de simetria de reflexão, desenhe metade de uma figura e troque o desenho com um colega de sua classe para que ele complete a figura com a outra metade.

3 Observe o polígono representado no plano cartesiano.

Ce

sar

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01

4. D

igit

al.

x

y

a) Desenhe nesse plano cartesiano um polígono simétrico a ele con-siderando o eixo das abscissas (x) como eixo de simetria de refle-xão da figura dada.

b) Indique os pontos que represen-

tam os vértices dos polígonos e os respectivos simétricos.

0–1

–1

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–2

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–3

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–5

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2

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6 7 8 9 10 x

B C

DAE

11

4 Considerando o eixo de simetria indicado na malha triangular, represente a figura por meio da sime-tria de reflexão.

Eixo de simetria

Rotação

Os detalhes destes dois painéis do Palácio de Alhambra lembram a simetria de rotação.

Partes das figuras podem ser giradas em torno de um ponto, criando-se um padrão.

Na transformação geométrica chamada de rotação, a figura simé-

trica está em outra posição, obtida por meio de um giro feito em senti-

do horário ou anti-horário.

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RO

TAÇ

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ROTAÇÃ

A ideia de simetria de rotação também pode ser observada em algumas formas encon-

tradas na natureza.

12

Matemática

Podemos notar que a figura que mostra a estrutura do cris-

tal de gelo (ao lado) apresenta ideias das simetrias de reflexão

e de rotação. Os eixos de simetria indicam também o ângulo de

giro da figura, que é de 60°.

Também encontramos exemplos de simetria de rotação

nos revestimentos interiores e exteriores de construções do

início do século XIX. Muitos dos revestimentos eram constituí-

dos pela repetição de um azulejo-padrão, que, no conjunto, for-

mava diversas composições. Veja o azulejo ao lado.

É possível obter uma composição desses azulejos por meio de rotações sucessivas de 90°,

feitas a partir de um de seus cantos. Note que o resultado final também apresenta simetria axial.

Iniciando-se o giro (sentido horário), são necessárias quatro rotações de 90° para voltar

à posição inicial do azulejo.

A simetria de rotação é uma transformação isométrica na qual a

imagem de uma figura é obtida por meio da rotação de todos os seus

pontos em relação a um ponto, denominado centro de rotação, per-

correndo um ângulo em sentido horário ou anti-horário, denominado

ângulo de giro.

A

B

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B’

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Girando 90° Girando 90°

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13

O ponto a partir do qual é feito o giro (centro de rotação) pode pertencer ou não à figura original. Observe, nos exemplos a seguir, a rotação feita no sentido horário, com ângulo de 90°.

No exemplo ao lado, o paralelogramo ABCD foi rotacionado a partir do centro O em sentido anti-horário e sob um ângulo α = 120°. Foram traçadas retas unindo cada um dos vértices do polígono ao centro de rotação. Com base nessas retas, foram mar-cados ângulos de 120° (semirretas traceja-das) para determinar os pontos simétricos aos vértices dados. Esses pontos são obtidos com o auxílio de circunferências construídas com centro no ponto O e raio igual à distân-cia até os vértices.

Determinação do centro de rotação

Veja como determinar o centro de rotação de uma figura que apresenta esse tipo de simetria. No exemplo a seguir, o polígono EFGH foi rotacionado em torno de um ponto, obtendo-se a imagem E’F’G’H’.

Imaginemos que os pontos correspondentes E e E’, por exemplo, são simétricos por reflexão em rela-ção a um eixo. Para encontrarmos esse eixo, primei-ramente marcamos o ponto médio do segmento EE’ com uma régua. Em seguida, com o auxílio do esqua-dro, traçamos a perpendicular de EE’ passando pelo ponto médio encontrado. Esse é o eixo de simetria dos pontos E e E’.

Fazemos o mesmo procedimento com outros dois pares de pontos simétricos. Na figura, tomamos H e H’.

Finalmente, o centro de rotação será o ponto de encontro entre esses eixos.

C

A � A'

O

C'

B B'

C

A` C`

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A

C'

B'

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A'

D' O

A B

D C

Centro derotação

Eixo de simetria de HH'

O

G

G'

H'

F'

E'

F

E

H

Eixo de simetria de EE'

14

Matemática

atividades

1 O artista plástico holandês Maurits Cornelis Escher, por meio de suas intuições sobre as simetrias, conseguiu aperfeiçoar a beleza existente nos mosaicos. Em suas obras, é possível observar a cria-tividade e a beleza de figuras planas simétricas criadas por ele. Observe a imagem a seguir, que representa a recriação digital de uma de suas obras, e responda às questões.

a) Que tipo de simetria podemos observar nes-sa obra?

b) Qual é o centro de rotação e os ângulos de giro dessa simetria na obra?

c) A figura apresenta simetria de reflexão?

2 Observe a figura representada na malha quadriculada e faça rotações sucessivas de 90° no sentido horário, tomando como centro de rotação o ponto F.

3 Na figura a seguir, o hexágono é formado por seis triângulos equiláte-ros congruentes. Analise-a e responda às questões propostas.

a) Considerando-se uma rotação em sentido anti-horário e com o centro da circunferência como centro de rotação, qual é o ângulo de giro para que o triângulo verde passe para a posição do triângulo marrom?

b) Com relação à rotação descrita no item a, haveria diferença se fosse adotado o sentido horário? Explique sua resposta.

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15

a)

b)

c)

d)

1 Observe as figuras a seguir e indique a simetria relacionada a cada uma.

2 Observe a figura 1 representada na malha quadriculada a seguir. Depois, associe cada uma das ou-tras figuras à figura 1, de acordo com a simetria que apresentam em relação a ela.

3 Ao lado de cada uma das figuras A, B e C, está representada uma transformação geométrica. Iden-

tifique o tipo de simetria referente a cada figura.

o que já conquistei

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( A ) Reflexão

( B ) Rotação

( C ) Translação

( ) Figura 2

( ) Figura 3

( ) Figura 4

A

B

C

Figura A:

Figura B:

Figura C:

16

Matemática

4 Indique os tipos de simetria que podemos identificar nestes mosaicos encontrados no Palácio de Alhambra. Considere apenas os formatos das figuras.

5 A composição a seguir é formada por quatro azulejos que foram organizados de modo simétrico por meio de um giro em relação à posição (azulejo) inicial.

a)

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Go

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Bo

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a) Como se chama esse tipo de transforma-ção geométrica?

b) Sabendo-se que a posição inicial é repre-sentada pelo azulejo superior esquerdo,

qual é o ângulo de giro necessário, no sentido horário, para chegar à posição do azulejo inferior esquerdo?

17

6 As figuras a seguir representam transformações geométricas. Observe-as e indique o caso de sime-tria de cada item.

7 Observe a imagem e indique o tipo de simetria identificado. Depois, trace sobre ela o eixo de simetria.

8 Se rotacionarmos o pentágono regular destacado abaixo em 216° no sentido anti-horário, que figu-ra obteremos?

a)

b)

c)

d)

e)

a) Figuras 1, 2 e 3.

b) Figuras 4, 5 e 6.

c) Figuras 5 e 7.

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18

Matemática

9 As figuras 2 e 3 representam formas simétricas em relação à figura 1. Observe a distribuição delas na malha e faça o que se pede.

a) A figura 3 foi obtida pela translação da figura 1. Usan-do o mesmo padrão, faça a translação da figura 3.

b) A figura 2 foi obtida pela rotação da figura 1. Consi-derando o eixo de simetria indicado, obtenha uma figura simétrica à figura 2 por meio de uma reflexão.

c) Por meio da reflexão, repre-sente uma figura simétrica à obtida no item a, consi-derando o eixo de simetria indicado.

a) Realize uma translação do polígono ABCD com um deslocamento de 3 unidades para cima.

b) Indique os pontos que representam os vértices dos polígonos e os respectivos simétricos.

a) Encontre os outros vértices do quadrado que tem AB como diagonal.

b) Represente no plano cartesiano a translação desse quadrado com um deslocamento de 1 unidade para a direita e 4 unidades para baixo.

c) Quais são as coordenadas dos vértices do quadrado transladado?

1

3

2

10 Observe o polígono ABCD representado no plano cartesiano.

11 Observe os pontos A e B representados no plano cartesiano.

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B

A

19

12 Represente no plano cartesiano os polígonos simétricos de ABCDEF em relação ao eixo das abscis-sas e em relação ao eixo das ordenadas.

13 Observe o eixo traçado no plano cartesiano e faça o que se pede.

14 Construa o simétrico do polígono ABCDEF em relação ao eixo de simetria destacado.

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5

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A B

C

DF

E

a) Desenhe a figura simétrica à que está representa-da, em relação ao eixo traçado.

b) Escreva as coordenadas dos simétricos dos pon-

c) Descreva o que acontece com os pontos simétri-cos em relação a esse eixo, em particular. 0 1–1

–1

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–2–3–4–5 2 3 4 5 x

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F

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A

D

C

B

20

Matemática

15 (ENEM) Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O.

A imagem que representa a nova figura é:

16 (ENEM) As figuras a seguir exibem um trecho de um quebra--cabeça que está sendo montado. Observe que as peças são quadradas e há 8 peças no tabuleiro da figura A e 8 peças no tabuleiro da figura B. As peças são retiradas do tabuleiro da fi-gura B e colocadas no tabuleiro da figura A na posição correta, isto é, de modo a completar os desenhos.

É possível preencher corretamente o espaço indicado pela seta no tabuleiro da figura A colocando a peça

a) 1 após girá-la 90° no sentido horário.

b) 1 após girá-la 180° no sentido anti-horário.

c) 2 após girá-la 90° no sentido anti-horário.

d) 2 após girá-la 180° no sentido horário.

e) 2 após girá-la 270° no sentido anti-horário.

a)

b)

c)

d)

e)

a) b) c) d) e)

Figura original

Disponível em: http://pt.eternityii.com. Acesso em: 14 jul. 2009.

17 (ENEM) Uma das expressões artísticas mais famosas associada aos con-ceitos de simetria e congruência é, talvez, a obra de Maurits Cornelis Escher, artista holandês cujo trabalho é amplamente difundido. A figu-ra apresentada, de sua autoria, mostra a pavimentação do plano com cavalos claros e cavalos escuros, que são congruentes e se encaixam sem deixar espaços vazios.

Realizando procedimentos análogos aos feitos por Escher, entre as figuras abaixo, aquela que poderia pavimentar um plano, utilizando-se peças congruentes de tona-lidades claras e escuras é

21

capí

tulo

Potenciação e radiciação2

'Fake news' se espalham 70% mais rápido que as notícias verdadeiras, diz MIT

As notícias falsas se espalham 70% mais rápido que as verdadei-ras e alcançam muito mais gente. A conclusão é do maior estudo já realizado sobre a disseminação de notícias falsas na internet, rea-lizado por cientistas do Instituto de Tecnologia de Massachusetts (MIT, na sigla em inglês), dos Estados Unidos. [...]

‘FAKE news’ se espalham 70% mais rápido que as notícias verdadeiras, diz MIT. Jornal do Comércio, 8 mar. 2018. Disponível em: <https://www.jornaldocomercio.com/_conteudo/2018/03/geral/615457-fake-news-se-espalham-70-mais-rapido-que-as-noticias-verdadeiras-diz-mit.html>. Acesso em: 21 dez. 2018.

Potências com expoentes inteiros

Propriedades da potenciação

Notação científica

Raízes exatas e aproximadas


©Shutterstock/Georgejmclittle

22

Potências com expoentes inteiros

O modo como ocorre a propagação de notícias falsas se assemelha muito à forma como se dissemina uma doença. Par-tindo de um único indivíduo, tanto a informação falsa como o agente de contaminação podem atingir um grande número de pessoas rapidamente.

Esse processo está relacionado com o modo como esses elementos se propagam. São como os ramos de uma árvore: cada ramo se divide em dois ou três e, com o passar do tempo, formam-se milhares de novos brotos!

Para ampliar nossa reflexão sobre esse tema, vamos anali-sar com mais detalhes como se reproduzem os seres que estão associados a muitas doenças, as bactérias.

Em condições ideais, determinada bactéria leva, aproxi-madamente, 20 minutos para completar a divisão binária, pro-cesso em que duplica seu material genético e logo em seguida se divide, originando duas bactérias idênticas. Isso significa que, em um ambiente favorável, a cada 20 minutos, o número de bactérias dobra.

Observe o esquema ao lado, que mostra o número de bactérias a cada

De acordo com esse esquema, quantas bactérias serão formadas após 100 minutos?

Se, em 240 minutos, uma placa de Petri está com x bactérias, em quan-tos minutos após o instante inicial o número de bactérias corresponde a x

2?

Calcular potências de base racional e expoente inteiro.

Reconhecer e aplicar as propriedades da potenciação de números inteiros e racionais.

Representar corretamente números em notação científica.

Resolver expressões numéricas que envolvem radiciação e potenciação.

Relacionar potências de expoentes fracionários como uma representação possível para radicais.

bactérias: seres microscópicos formados por uma única célula sem núcleo organizado.

placa de Petri: recipiente cilíndrico que os profissionais de laboratório utilizam para estudar a população de micro-organismos.

Die

go

Mun

hoz.

20

14. D

igit

al.

23

Vamos analisar esses casos.

No instante inicial, o qual denominamos de etapa zero, há uma bactéria. Após 20 minu-

tos, ocorre o primeiro processo de divisão, originando-se duas bactérias. Aos 40 minutos,

ocorre o segundo processo de divisão, e cada uma se divide em duas outras bactérias. Aos

60 minutos, há o terceiro processo de divisão, em que cada uma se divide em duas outras

bactérias e assim sucessivamente.

Esquematizando a situação, temos:

Instante inicial

(etapa zero)

1ª. etapa (20 minutos)





1 2 2 · 2 2 · 2 · 2 2 · 2 · 2 · 2 2 · 2 · 2 · 2 · 2

Na quarta etapa, o número de bactérias é dado pelo produto 2 · 2 · 2 · 2, em que o fator

2 se repete 4 vezes.

Representando cada etapa por meio de uma potenciação, temos:

Instante inicial






20 21 22 23 24 25

Dessa forma, o número de bactérias após 100 minutos será de 25 = 32 .

6ª. etapa (120

minutos)

7ª. etapa (140

minutos)

8ª. etapa (160

minutos)

9ª. etapa (180

minutos)

10ª. etapa (200

minutos)

11ª. etapa (220

minutos)

12ª. etapa (240

minutos)

26 27 28 29 210 211 212

Observe que, em 240 minutos, o número de bactérias será igual a x = 212 = 4 096.

A metade de 4 096 é 2 048, que corresponde a 211.

Portanto, em 220 minutos, a quantidade de bactérias será equivalente

a x

22048 .

A multiplicação de fatores iguais pode ser representada por meio da operação de poten-

ciação. Assim, temos: 2 · 2 · 2 · 2 = 24.

Expoente

Base 24 = 16 Potência

Lemos: “dois elevado à quarta potência”.

Potência: resultado da operação.

Base: fator que se repete.

Expoente: indica o número de vezes que o fator se repete.

Lembre-se:

Um número elevado a expoente um é igual ao próprio número.

Todo número não nulo elevado a zero é igual a um.

24

Matemática

O que são Doenças Transmitidas por Alimentos (DTA)?

São doenças [...] que ocorrem quando micróbios prejudiciais à saúde, parasitas ou substâncias tóxicas estão presentes no alimento.

Os sintomas mais comuns de DTA são vômitos e diarreias, podendo também apresentar dores abdominais, dor de cabeça, febre, alteração da visão, olhos inchados, dentre outros. [...]

Para causar doença, é preciso que os micróbios multipliquem-se nos alimentos até atingir números elevados. Quando as condições do alimento são ideais para os micróbios, uma única bactéria pode se multiplicar em 130 000 em apenas 6 horas.*

ANVISA. Cartilha sobre boas práticas para serviços de alimentação. Resolução RDC n. 216/2004. 3. ed. Brasília, 2015. p. 5, 12. Disponível em: <goo.gl/5mjFj2>. Acesso em: 30 jan. 2019.* Segundo recomendações da Agência Nacional de Vigilância Sanitária (Anvisa), na geladeira, os alimentos devem ser conservados em temperaturas abaixo de 5 °C e, em balcões de self-service, em temperaturas acima de 60 °C.

conectado

bios icas

s

atividades

1 Complete o quadro.

Potenciação Base Expoente Potência Leitura da potenciação

42 4 2 Quatro elevado ao quadrado

60 3

16

2 Calcule as potências.

a) 35 =

b) 72 =

c) 122 =

d) 63 =

e) 106 =

f) 27 =

g) 34 =

h) 54 =

i) 46 =

j) 211 =

k) 312 =

l) 04 =

Diego Munhoz. 2014. Digital.

3 Calcule e escreva na forma de potenciação

a) o quadrado de catorze:

b) o cubo de nove:

25

c) dois elevado à oitava potência:

d) dez ao quadrado:

4 (SARESP) Durante uma brincadeira de adivinhação, Juliana pedia que seus amigos falassem dois números para que ela dissesse um terceiro número, que era calculado a partir da seguinte regra: Ju-liana usava o primeiro número como base e o segundo como expoente e então calculava a potência. Essa regra, porém, somente ela conhecia e a brincadeira era descobrir a tal regra. Nessa brincadeira, Mateus falou os números: 21 e 3, nessa ordem. Portanto, o número encontrado por Juliana foi:

a) 504

b) 882

c) 1 323

d) 9 261

Potenciação de números negativos

As potenciações de números inteiros ne-gativos são definidas da mesma forma que as potenciações de números naturais. Veja:

�� 6 6 6 6 2163

Die

go

Mun

hoz.

201

4. D

igit

al.

LEMOS: “SEIS NEGATIVOS ELEVADO À TERCEIRA POTÊNCIA É IGUAL A

DUZENTOS E DEZESSEIS NEGATIVOS” OU “SEIS NEGATIVOS AO CUBO É IGUAL A

DUZENTOS E DEZESSEIS NEGATIVOS”.

LEMBRE-SE: TODA POTENCIAÇÃO DE EXPOENTE 1 RESULTA NA PRÓPRIA

BASE. VEJA: 41 = 4 E (–9)1 = –9

Multiplicação de fatores iguais Produto Sinal da baseSinal do produto

(–2)2 4

(–2)3

(–2)4 16

(–2)5

(–2)6 64

2 4

3 8

4 16

5 32

26

Matemática

Comparando todos os expoentes pares e ímpares do quadro, é possível concluir que:

potências com expoente par têm resultado positivo;

potências com expoente ímpar têm resultado positivo apenas quando a base é positiva e resultado negativo quando a base é negativa.

Exemplos:

�� 2 512 2 10249 10

Na potenciação, é preciso observar as seguintes regras:

Quando o expoente é um número par, o sinal do resultado é sempre positivo.

Quando o expoente é um número ímpar, o resultado tem sempre o mesmo sinal da base da potência.

atividades

1 Calcule as potências.

2 Complete cada lacuna com a palavra que torna a frase correta.

Na potenciação, quando a base é

a) positiva e o expoente é ímpar, o resultado tem sinal

b) negativa e o expoente é ímpar, o resultado tem sinal

c) positiva e o expoente é par, o resultado tem sinal

d) negativa e o expoente é par, o resultado tem sinal

3 Escreva os números a seguir na forma de potenciação de base 10.

a) 112 =

b) (–11)2 =

c) (–7)2 =

d) (–5)3 =

e) (–1)4 =

f) 252 =

g) (–7)3 =

h) (–12)2 =

i) 15 =

j) (–3)5 =

k) (–9)4 =

l) (–31)1 =

m) (–10)8 =

n) (–4)1 =

a) 10 =

b) 100 =

c) 1 000 =

d) 1 000 000 000 =

e) 100 000 000 000 =

f) 1 000 000 000 000 000 =

27

4 Calcule cada potência nos espaços indicados e, depois, complete com o sinal de maior (>), menor (<) ou igual (=).

5 Complete a tabela.

Número Quadrado Dobro Cubo Triplo

7

−15

20

−1

10

−2

6 Um prédio tem 6 andares, em cada andar há 6 apartamentos e em cada apartamento há 6 moradores.

Quantas pessoas moram nesse prédio?

a) (–9)2 –92

b) –63 (–6)3

c) –(–7)3 –72

d) [–(–2)]4 (–2)4

e) (–1)4 15

f) –93 (–5)3

7 (UFRGS – RS) Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bactérias, somente em seu trato digestivo. Esse número de bactérias pode ser escrito como:

a) 109 b) 1010 c) 1011 d) 1012 e) 1013

28

Matemática

Potenciação de números racionais

José comprou esse aquário cúbico repre-

sentado ao lado, cujas arestas medem 0,5 m. Ele

deseja saber o volume desse aquário, e para isso

deverá realizar um cálculo.

Lembre-se de que o volume de um sólido é o

número que indica a capacidade (quantidade de

espaço) que esse sólido contém.

O volume (V) de qualquer cubo é calculado multiplicando a medida de três arestas.

Três fatores iguais

V = (0,5) ⋅ (0,5) ⋅ (0,5)

Escrevendo na forma de potenciação, temos:

V = (0,5)3 Expoente

Base

Calculando esse valor, temos:

V = (0,5)3 = 0,5 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 = 0,125

O volume do aquário cúbico é de 0,125 m3.

Poderíamos ter expresso esse cálculo convertendo os números decimais em frações.

Veja:

0 55

10

1

2,

Desse modo:

V = 1

2

1

2

1

2

1

2

1 1 1

2 2 2

1

80 125

3��

� ��

� � ,

Portanto, o volume V tem que ser 0,125 m3, como já havíamos calculado.

Die

go

Mu

nh

oz.

20

14

. Dig

ita

l. QUAL SERÁ O VOLUME DESTE AQUÁRIO?

atividades

1 Calcule as potenciações.

a) 9

10

2�� =

b) ��

7

8

2

=

c) ��

3

4

3

=

d) 1

2

4�� =

29

2 A seguir está representado o processo de construção do triângulo de Sierpinski, uma figura geo-métrica que foi descrita pela primeira vez pelo matemático polonês Waclaw Sierpinski. Para obtê--la, inicia-se pela construção de um triângulo equilátero. Em seguida, para cada estágio posterior de construção, fraciona-se cada lado do(s) triângulo(s) anterior(es) ao meio e unem-se os pontos médios encontrados, gerando, assim, novos triângulos equiláteros.

Veja a sequência dos quatro primeiros estágios:

a) Complete a tabela considerando que, a cada estágio, são obtidos triângulos menores que re-presentam frações do triângulo inicial.

Estágio 0 1 2 3 4

Fração do triângulo inicial 1

Fração na forma de multiplicação

11

4

1

4

Fração na forma de potência1

4

4��

b) As frações do triângulo inicial em cada estágio formam uma sequência numérica. Qual é a regra de formação dessa sequência?

3 (OBMEP) Se m é um número natural, tal que 3m = 81, então m3 é igual a:

a) 813 b) 381 c) 64 d) 24 e) 48

Estágio 0 Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3 Estágio 4

4 (CESGRANRIO – RJ) A representação decimal de (0,01)3 é:

a) 0,03 b) 0,0001 c) 0,001 d) 0,000001 e) 0,003

30

Matemática

Potenciação com expoente inteiro negativo

Observe a tabela com os valores das divisões de potências de uma mesma base.

Divisão Fração Resultado Resultado como uma potência

24 : 21 2

2

16

2

4

1 8 23

24 : 22 2

2

16

4

4

2 4 22

24 : 23 2

2

16

8

4

3 2 21

24 : 24 2

2

16

16

4

4 1 20

24 : 25 2

2

16

32

4

5

1

22–1

24 : 26 2

2

16

64

4

6

1

42–2

24 : 27 2

2

16

128

4

7

1

82–3

Observe que, na passagem de uma linha da tabela para a linha seguinte, o resultado é dividi-

do por 2 e o resultado expresso como uma potência tem o expoente diminuído em uma unidade.

O padrão descrito na tabela nos permite concluir que:

21

2

1

22

1

2

1

42

1

2

1

8

1

1

2

2

3

3

� � ��

:2

:2

:2

:2

:2

:2

Toda potenciação com expoente negativo é igual à potenciação com expoente positivo

do inverso da base (essa base deve ser um número diferente de zero).

Algebricamente, dado um número racional a 0 e um número natural n, temos: aa

n

n

� �1

.

Veja outros exemplos:

Calcule 5–2.

O inverso de 5 é 1

5.

Desse modo, 51

5

1

25

2

2

� � � .

Calcule 2

3

3��

�

.

O inverso de 2

3 é

3

2.

Desse modo, 2

3

3

2

27

8

3 3��

��

�

.

Calcule (–7)–2.

( )( ) ( ) ( )

� ��

��

��71

7

1

7 7

1

49

2

2

Calcule ��

�5

2

3

.

��

��

�5

2

2

5

2

5

2

5

2

5

8

125

3 3

31

atividades

1 Calcule as potenciações com expoente inteiro positivo.

2 Calcule as potenciações com expoente inteiro negativo.

3 O grupo de números racionais ao lado apresenta quatro pares de inversos. Indique esses pares e efetue a multiplicação entre eles.

4 Com base na resposta da questão anterior, responda: Qual é o produto obtido quando multiplica-mos um número pelo seu inverso?

a) ��

3

7

2

=

b) (0,6)4 =

c) (–0,21)2 =

d) ��

��

1

1000

2

=

e) ��

3

2

3

=

f) ��

��

1

10

7

=

g) 1

4

5�� =

h) ��

3

8

3

=

a) 1

7

1��

�

=

b) 33 =

c) ��

�5

7

2

=

d) (0,15)–1 =

e) 11

12

2��

�

=

f) (–1)–4 =

g) ��

�2

5

3

=

h) (–10)–3 =

2

50,25 2,5

1

5��

�

�

�2

5

1100

25

25

10

1�

�

�

�1

5

1�

�

�

�

32

Matemática

Propriedades da potenciação

Muitos jovens fazem uso de aplicativos no celular para se comunicarem com familiares, amigos, etc. Esse é um meio bastante prático e divertido de se comunicar; entretanto, quan-do utilizado para compartilhar notícias falsas, gera constrangimentos e brigas e pode levar à instauração de processos por difamação e calúnia.

Para que você tenha noção de como as informações são processadas rapidamente, ana-lise a situação a seguir.

Em determinado dia, Marina (M), Clara (C) e Olga (O), amigas inseparáveis, tomaram conheci-mento de um boato. No outro dia, cada uma delas enviou uma mensagem contando o que soube a outras três pessoas. No dia seguinte, cada uma des-sas pessoas contou o boato a outras três. Assim, do mesmo modo e sucessivamente, a informação se propagou dia a dia.

Para verificar a propagação da informação até o 3º. dia, observe a árvore de possibilida-des, que mostra a forma como a informação se espalhou quando cada pessoa repassou o boato a outras três.

Die

go

Mun

hoz.

201

4. D

igit

al.

A1

A2

A3

M

C

O

A4

A5

A6

A7

A8

A9

1º. dia 2º. dia 3º. diaA

10

A11

A12

A13

A14

A15

A16

A17

A18

A19

A20

A21

A22

A23

A24

A25

A26

A27

A28

A29

A30

A31

A32

A33

A34

A35

A36

33

Responda às questões propostas com base na situação descrita anteriormente.

a) Qual é o acontecimento que se quer analisar?

b) Quantas pessoas souberam do boato no 3º. dia?

c) Represente o valor encontrado no item anterior na forma de potência.

d) Indique uma expressão numérica envolvendo potências que representem o número de pessoas que souberam do boato desde o 1º. até o fim do 3º. dia. Qual foi o total de pessoas?

e) Represente, por meio de um produto de dois fatores diferentes, o número de pessoas que soube do boato no 4º. e no 5º. dia.

f) Prosseguindo com o mesmo raciocínio, determine o número de novas pessoas que soube do boato até o fim do 6º. dia.

g) No item e, você utilizou a operação de multiplicação para determinar o número de pessoas que recebeu a informação no 4º. dia, com base no número de pessoas do dia anterior.

Veja: 27 · 3 = 81 pessoas.

Apresente essa igualdade substituindo os fatores e o produto por potências de base 3.

Proceda da mesma forma para as multiplicações seguintes. Depois, responda à pergunta.

81 · 3 = 243 Na forma de potência:

243 · 3 = 729 Na forma de potência:

A que conclusão podemos chegar quando comparamos as operações?

Carolina e Ana, excelentes alunas do 8º. ano, sempre gostam de resolver suas tarefas juntas. Cada uma delas executa sua tarefa e, ao final, confere as resoluções e as respostas. Nessa comparação, muitas vezes, elas percebem que a maneira de resolver as atividades é diferente, porém os resulta-dos são iguais.

34

Matemática

Veja a seguir como as alunas resolveram alguns exercícios de Matemática e a que con-clusão chegaram.

Resolva a expressão 25 : 22.

Ilustrações: Diego Munhoz. 2014. Digital.ANA, VOCÊ REPAROU QUE, NAS DUAS RESOLUÇÕES,

BASTA REPETIR O 2 (BASE) E SUBTRAIR OS EXPOENTES?

VAMOS TENTAR COM OUTRA POTÊNCIA?

34 : 32

81 : 9 = 9 = 32 LOGO,

34: 32 = 34–2 = 32.

SE AS OPERAÇÕES

SÃO IGUAIS, OS RESULTADOS TÊM QUE SER

IGUAIS TAMBÉM.

ENTÃO NÓS ACABAMOS

DE DESCOBRIR UMA NOVA

PROPRIEDADE!

VOCÊ TEM RAZÃO, PORQUE

25 : 22 = 25–2 = 23.

VAMOS RESOLVER O PRÓXIMO DE DUAS

MANEIRAS DIFERENTES. 53 : 53

1º. MÉTODO: 5 5 125 125 13 3: :

LOGO, 53 : 53 = 1. 2º. MÉTODO:

53 : 53 =53–3 = 50

Observe que podemos estabelecer relações entre as operações de multiplicação e divi-são de potências de mesma base:

Assim, temos:

5 5 5 54 3 4 3 7� � ��

17 17 17 1710 4 10 4 6: � ��

7 7 7 7 111 11 11 11 0: � � ��

Resolução de Carolina

25 : 22

32 : 4 = 8, ou seja,

25 : 22 = 23

Resolução de Ana

25 : 22

22=324

=

81=8=2

5

2

÷4

÷4

3

Para multiplicar potências de mesma base, repete-se a base e somam-se os expoentes.

Para dividir potências de mesma base, repete-se a base e subtraem-se os expoentes.

35

A potenciação apresenta mais algumas propriedades. Observe as operações situadas nos exemplos a seguir, que mostram essas propriedades.

Exemplo 1 – Potência de uma potência:

��

��

2 2 2 2 2 643

23 3 3 3 6

Perceba que ��

�� 2 8 64

32

2.

Assim, ��

��

2 2 23

23 2 6

.

Exemplo 2 – Produto de potências de mesmo expoente:

�� 8 7 64 49 3 1362 2

Perceba que �� 8 7 56 3 1362 2 .

Assim, �� 8 7 8 72 2 2

.

Exemplo 3 – Quociente de potências de mesmo expoente:

�� 100 5 10000 25 4002 2

: :

Perceba que �� 100 5 20 4002 2

: .

Assim, �� 100 5 100 52 2 2

: : .

Outros exemplos:

��

��

9 9 96

46 4 24

�� 6 10 6 10 603 3 3 3

�� 16 4 16 4 43 3 3 3

: :

Para calcular a potência de uma potência em que as bases são diferentes de zero, é pos-sível reduzi-la a uma única potência repetindo-se a base e multiplicando-se os expoentes.

Na multiplicação de duas ou mais potências de mesmo expoente e bases diferentes de zero, é possível reduzi-las a uma única potenciação multiplicando-se as bases e conservando--se o expoente comum.

Na divisão de duas potências de mesmo expoente e bases diferentes de zero, é possí-vel reduzi-las a uma única potenciação dividindo-se as bases e conservando-se o expoente comum.

36

Matemática

atividades

1 O resultado de 82 ⋅ 8 ⋅ 82 ⋅ 87 é:

a) ( ) 811 b) ( ) 828 c) ( ) 812

2 Utilizando a propriedade da multiplicação de potências de mesma base, reduza cada operação a uma só potência.

a) 32 ⋅ 33 ⋅ 32 =

b) (–10)2 ⋅ (–10)0 ⋅ (–10)7 =

c) 5 ⋅ 57 ⋅ 52 =

d) (–9)8 ⋅ (–9)10 ⋅ (–9)16 =

e) 122 ⋅ 155 ⋅ 12 =

f) (–1)17 ⋅ (–1)10 =

g) 10 ⋅ 10 ⋅ 106 ⋅ 107 =

h) (–9)7 ⋅ (–9) ⋅ (–9)4 =

i) 40 ⋅ 47 ⋅ 4 =

j) 156 ⋅ 153 =

3 Utilizando a propriedade da divisão de potências de mesma base, reduza cada operação a uma só potência.

a) 87 : 82 =

b) (–6)8 : (–6)5 =

c) (–15)13 : (–15)5 =

d) 10017 : 1008 =

e) (–25)14 : (–25) : (–25)4 =

f) (–24)10 : (–24) =

g) (–3)–48 : (–3)–(–46) =

h) 645:5 : 66:2 =

i) 2 : 21–1 =

j) (44)44 : (44)4 ⋅ 4 =

4 Na computação, o bit é a unidade de armazenamento de memória no computador. Assim:

1 byte = 8 bits 1 B = 23 bits

1 kilobyte = 1 024 bits 1 kB = 210 bits

1 megabyte = 1 024 kB

1 gigabyte = 230 bytesCom base nas informações, responda: Qual é o valor de 1 byte multiplicado por 1 kilobyte, em bits, em uma só potência de base 2?

©Sh

utte

rsto

ck/B

lack

bo

ard

5 Apresente cada multiplicação ou divisão na forma de uma só potência.

a) 13 ⋅ 132 =

b) 58 ⋅ 55 =

c) 412 ⋅ 4 ⋅ 43 =

d) 98 : 95 =

e) 1532 : 158 =

f) 208 ⋅ 209 : 2010 =

37

6 Utilizando a propriedade da potência de uma potência, faça a redução a uma só potência.

a) 6510� � =

b) ��

��

513

9

=

c) ��

��

927

8

=

d) 1267� � =

e) ��

��

450

9

=

f) ��

��

��

��

172

36

=

7 Expresse cada operação na forma de uma só potência com expoente inteiro positivo.

a) (–4)2 ⋅ (–4)3 =

b) (–7)6 : (–7)2 =

c) 117 : 117 =

d) ��

��

138

2

=

e) 1675� � =

f) (–6)12 ⋅ (–6)34 : (–6)18 =

g) ��

��

192

8

=

h) 304 : 154 =

i) (–71)6 ⋅ 46 =

j) 60010 : (–48)10 =

8 As propriedades da potenciação de mesma base que são válidas para a divisão e a multiplicação de números inteiros também são válidas para os racionais. Aplique-as nos itens a seguir e efetue as operações.

a) 35 : 32 =

b) ��

2

5

2

5

12 9

: =

c) (0,4)4 : (0,4)3 =

d) ��

1

5

1

5

5 4

: =

e) ��

��

��

7

13

7

13

5 5

: =

f) ��

1

9

1

9

1

9

2 0

=

g) ��

1

2

1

2

3 2

=

h) (–7)7 : (–7)4 =

i) ��

��

��

11

13

11

13 =

j) ��

1

8

1

8

10 8

: =

9 Resolva as expressões numéricas a seguir. Lembre-se de considerar as seguintes regras de resolução:

1º. ) as operações dentro dos parênteses ( );

2º. ) as operações dentro dos colchetes [ ];

3º. ) as operações dentro das chaves { }.

Você também deve respeitar a ordem em que as operações aparecem:

potenciação;

multiplicação e divisão; adição e subtração.

38

Matemática

a) –(–2)3 ⋅ (–5)2 ⋅ (–5)

b) –42 4 : (–3)2 + 50

c) 510 ⋅ 52 : 58

d) (822 : 821 3)2

e) 12 ⋅ (32 ⋅ 4 : 20

f) 5 2 3 3 3 5 22 5 6 2 0� � � � ��

�� :

1 0 Resolva as expressões a seguir.

a) 1

2

1

3

3

� ��

�

=

b) 23

5

1

5

1 2

� ��

�

: =

c) 3

5

1

32

1

2

0 1 3��

�� =

39

Notação científica

Potências de dez

Os termos “milhão”, “bilhão” e “trilhão” são usados cons-tantemente em diversos contextos. Com frequência, eles estão associados às medidas que representam valores gigantescos. Por exemplo, podemos dizer que dez milhões de bactérias, apro-ximadamente, são encontradas em um quilograma de terra.

Assim, podemos representar o número de bactérias encon-tradas em 1 kg de terra

somente com algarismos: 10 000 000;

como uma multiplicação de fatores iguais a dez: 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10;

por meio da potenciação: 107.

A utilização de potências de base 10 nas operações matemáticas é uma ferramenta es-sencial que nos permite escrever números gigantescos e operar com eles de forma simples e rápida, diminuindo os erros de cálculo.

Veja como determinamos, utilizando potências de 10, a quantidade aproximada de bac-térias presentes em

a) uma amostra de 100 kg de solo:

Partindo da informação de que 1 kg de solo contém 107 bactérias, usamos o raciocí-nio proporcional da multiplicação:

· 1001 kg 107 bactérias

· 100100 kg x bactérias

Observe que o valor de x é dado pelo produto de 107 · 100, que é o mesmo que 107 · 102, que será 109 bactérias (1 000 000 000 bactérias).

b) uma amostra de 1 g de solo:

Novamente usaremos o raciocínio proporcional da multiplicação. No entanto, note que as unidades de massa devem ser as mesmas. Para isso, consideramos 1 kg = 1 000 g:

: 10001000 g 107 bactérias

: 10001 g y bactérias

Observe que o valor de y é dado pelo quociente de 107 : 1000, que é o mesmo que 107 : 103, que será 104 bactérias (10 000 bactérias).

Veja: ao efetuarmos uma multiplicação de 107 por 102, é como se estivéssemos “deslo-cando” a vírgula decimal do número 107 duas casas para a direita:

107 = 10 000 000,0 107 · 102 = 1 000 000 000,0 = 1 000 000 000,0

O mesmo acontece quando fazemos a divisão de 107 por 103. Dessa vez, a vírgula decimal de 107 se desloca 3 casas para a esquerda:

107 = 10 000 000,0 107 : 103 = 10 000,0000 = 10 000,0000

©B

SIP

/ A

lam

y /

Foto

aren

a

40

Matemática

Ao multiplicar qualquer número por 10, 100, 1 000 e assim sucessivamente, desloca-se a vírgula para a direita tantas casas quantos forem os zeros da potência de base 10, isto é:

na multiplicação por 101, a vírgula se desloca 1 casa para a direita;

na multiplicação por 102, a vírgula se desloca 2 casas para a direita.

Dividir um número por 10, 100, 1 000 ou por qualquer potência de base 10 com expoente positivo é o mesmo que multiplicá-lo pela potência de base 10 correspondente com expoen-te negativo. Assim, desloca-se a vírgula para a esquerda tantas casas quantos forem os zeros da potência de base 10.

0 88

108

1

108 0 1 8 10 1, ,� � � � � � � �

0 125125

1000125

1

1000125 0 001 125 10 3, ,� � � � � � � �

21 352 135

1002 135

1

1002 135 0 01 2 135 10 2, ,� � � � � � � �

Exemplos: 12,0 · 103 = 12 000 12 000 : 104 = 1,2

3 casas para a direita 4 casas para a esquerda

atividades

1 Assim como 1 milhão pode ser representado na forma de potência de base 10, também podemos representar os números 1 bilhão, 1 trilhão e assim sucessivamente. Complete quadro a seguir.

NúmeroRepresentação com todos os

dígitosMultiplicação de fatores iguais a 10

Potência de base 10

1 mil 1 000 10 · 10 · 10 103

1 milhão

1 bilhão

1 trilhão

Com base na sequência da tabela, responda: Qual será a representação, na forma de potência de base 10, de 1 quatrilhão? E de 1 quintilhão?

Resumidamente:

41

2 Nos itens a seguir, escreva cada número informado como uma multiplica-ção de um número inteiro por uma potência de base 10.

a) A distância média da Terra ao Sol é de 149 bilhões de metros.

b) Em nosso corpo, temos aproximadamente 100 trilhões de células.

c) O planeta Vênus está a uma distância aproximada de 108 milhões de quilômetros do Sol.

©S

hu

tte

rsto

ck/V

ad

im S

ad

ov

ski

3 Escreva o número resultante da multiplicação dada em cada item.

a) 0,0000126 · 105 =

b) 0,000126 · 104 =

c) 0,00126 · 103 =

d) 0,0126 · 102 =

Agora, represente de outra maneira o valor de 1,26 como uma multiplicação de dois fatores em que um deles seja uma potência de base 10.

4 Complete o quadro com os valores que estão faltando.

Potência com expoente negativo

Potência com expoente positivo

Fração decimal

Número decimal

10–1 110

1�

�

� 0,1

1100

0,001

10–4

5 Com base nos valores registrados no quadro anterior, complete com um número decimal e uma potência de base 10 que verifiquem cada igualdade.

a) 0,4 = 4 · 0,1 = 4 · 10–1

b) 0,04 = 4 · = 4 ·

c) 0,0004 = 4 · = 4 ·

d) 0,00004 = 4 · = 4 ·

42

Matemática

6 Escreva com todos os dígitos o produto 4 · 10–6.

7 A ilustração abaixo mostra uma colônia de micoplasmas, bactérias responsáveis por algumas infec-ções pulmonares. O comprimento desse tipo de bactéria é de aproximadamente 0,0000002 m.

Represente essa medida como uma multipli-cação entre o menor número inteiro possível e uma potência de base 10.

8 Escreva com todos os dígitos o número resultante de cada multiplicação.

a) 1,75 · 103 =

b) 0,0002 · 104 =

c) 1 200 · 10–4 =

d) 153,7 · 10–3 =

e) 3 · 10–5 =

f) 0,2 · 10–2 =

g) 1,49 · 106 =

h) 0,0056 · 106 =

9 Complete com a potência de base 10 que verifica as igualdades.

a) 12 = 1,2 · = 0,12 · = 120 ·

b) 230 = 23 · = 2,3 · = 0,23 ·

c) 12,5 = 125 · = 1,25 · = 1 250 ·

10 Compare os números e complete as lacunas com o símbolo de >, < ou =.

a) 12,7 · 105 127 · 104

b) 324 bilhões 324 · 109

c) 12,5 milhões 1,25 · 105

d) 4 500 · 10–3 4 500 · 10–2

e) 50 · 102 5 000 · 10–4

f) 1 1000 000 · 10–6

g) 2 centenas 2 · 10–3

h) 0,0000000001 10–8

11 Escreva os números a seguir como uma multiplicação de dois fatores em que um deles seja um nú-mero maior ou igual a 1 e menor que 10 e o outro seja uma potência de base 10.

a) 8 000 =

b) 3 trilhões =

c) 60 000 =

d) 80 trilhões =

e) 750 000 =

f) 23 mil =

g) 9 milhões =

h) 342 000 000 =

©Sh

utte

rsto

ck/K

ater

yna

Ko

n

43

Números representados em notação científica

A realização de cálculos que envolvem números

muito grandes ou muito pequenos é de extrema im-

portância para agilizar o processo de investigação

científica em várias áreas de conhecimento.

Por exemplo, ao lidar com medidas astronômicas,

como as distâncias entre planetas, os cientistas neces-

sitam operar com números de no mínimo dez algaris-

mos! Então, para facilitar essas contas, foi desenvolvi-

da uma notação especial.

Fotografia de raios X do Sol, tirada pelo telescópio da Missão Yohkoh (Japão/EUA/Inglaterra)

Para unificar a forma de representar quantidades indicadas por números muito grandes

ou muito pequenos, foi criada a chamada notação científica. Ela permite representar um

número como uma multiplicação de dois fatores, sendo um deles um número real maior ou

igual a 1 e menor que 10, e o outro uma potência de base 10 com expoente inteiro, ou seja:

ae

é um número eiro

b��

��

101 10a a

b int

Para que o número esteja escrito na forma de notação científica, é necessário que repre-

sente uma multiplicação e que cada um dos fatores satisfaça as condições definidas acima.

Na tabela a seguir, são apresentados alguns dados relativos ao Sol.

Idade aproximada 5 000 000 000 de anos

Distância média da Terra 150 000 000 km

Período de rotação 25,38 dias

Diâmetro 1 392 520 km (109,3 vezes o da Terra)

Massa 1,99 · 1030 kg (333 400 vezes a da Terra)

Temperatura superficial 5 497 °C

Fonte: VARELLA, Irineu G. Dados numéricos do Sol. Disponível em: <http://www.uranometrianova. pro.br/tabelas/Sistema/sol.htm>. Acesso em: 2 abr. 2019.

Note que o número que representa a massa do Sol, em quilogramas, está escrito na for-

ma de uma multiplicação, na qual um dos fatores é um número maior que 1 e menor que 10

e o outro fator é uma potência de base 10.

1 99 1030,

Fator Fator� �

Esse número também pode ser escrito como:

1 99 1000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

30

,

zeros

� ��

©J

isa

s/lo

ckh

ee

d /

Sci

en

ce P

ho

to L

ibra

ry /

Fo

toa

ren

a

44

Matemática

Na representação de um número na forma de notação científica, o sinal do expoente da

potência de base 10 indica se a vírgula foi deslocada para a esquerda ou para a direita.

Exemplos para números pequenos:

a) 0,025 = 2,5 · 10–2

b) 0,0000012 = 1,2 · 10–6

c) 0,0000000325 = 3,25 · 10–8

Exemplos para números grandes:

a) 1 200 000 000 = 1,2 · 109

b) 135 000 000 000 = 1,35 · 1011

c) 23 000 000 000 000 = 2,3 · 1013

Ao empregar a notação científica para representar um número, é preciso considerar as

regras descritas a seguir.

O número de casas que a vírgula se deslocou para a esquerda corresponde ao expoente

positivo da potência de base 10.

O número de casas que a vírgula se deslocou para a direita corresponde ao expoente

negativo da potência de base 10.

Para obter a representação decimal, basta reverter o processo.

Veja alguns exemplos:

Escreva o número 1,98 · 10–9 com todos os algarismos.

Para isso, basta observar que a vírgula foi deslocada 9 casas para a direita. Para que isso

seja possível, o número escrito com todos os algarismos deve ser igual a 0,00000000198.

Um número escrito em notação científica é igual a 2,86 · 109. Que número é esse?

O expoente da potência de dez indica que esse número teve sua vírgula decimal deslo-

cada 9 casas para a esquerda. Para que isso seja possível, o número deve ser 2 860 000 000.

atividades

1 Em cada item, complete os espaços indicados com a potência de base 10 correta para que o valor inicial não seja alterado.

a) 15 000 = 15 ·

b)

c) 752 = 75,2 ·

d) 0,0000852 = 852 · = 8,52 ·

e) = 9,5 ·

f) = 2,3 ·

2 A distância mínima entre a Terra e Saturno é de 1 195 500 000 km, enquanto a distância máxima chega a 1 658 500 000 km. Represente essas medidas de duas maneiras diferentes, por meio de uma multiplicação na qual um dos fatores seja uma potência de base 10.

45

3 Leia o texto e o infográfico a seguir.

O primeiro passo para entrar no pe-queno grande mundo da nanotecnolo-gia é mudar a escala na qual os olhos veem as coisas. Esse universo, que ma-nipula as partículas em escala micros-cópica (até um bilhão de vezes menor do que o metro), já chamou atenção do mundo com pesquisas mostrando o grande papel das nanopartículas do tratamento de doenças como a den-gue, alguns tipos de câncer e o HIV.

Agora é a vez das nanofibras, outro segmento desse universo revolucioná-rio. Trata-se de fibras com diâmetro na ordem de cem nanômetros, muito me-nores que um fio de cabelo, mas com comprimentos similares. São conside-radas um dos materiais mais promis-sores da nanotecnologia.

No futuro, as nanofibras de car-bono, por exemplo, poderão ser usa-das para produzir os mais resistentes coletes à prova de balas e músculos artificiais ou reconstruir corações danificados.

MATTOS, Litza. Elas reconstruirão corações danificados e tratarão doenças. Disponível em: <https://www.otempo.com.br/interessa/elas-reconstruir%C3%A3o-cora%C3%A7%C3%B5es-danificados-e-tratar%C3%A3o-doen%C3%A7as-1.1426222>. Acesso em: 2 abr. 2019.

Sabendo que 1 nanômetro (nm) é igual a 10–9 metro e considerando as informações apresentadas, responda às questões propostas.

a) Um nano-objeto de medida 100 nm tem quantos metros de comprimento?

b) Quantos metros tem 1 micrômetro? Justifique com cálculos.

c) Qual a variação, em metros, do diâmetro de um fio de cabelo?

46

Matemática

d) Quantos nanômetros cabem em 30 milímetros?

e) Um nanotubo que apresenta 6 nanômetros de diâmetro e 2 nanômetros de comprimento pode ser considerado uma nanofibra? Justifique sua resposta.

4 Marte é um planeta que se assemelha à Terra em alguns aspectos. Há indícios de que esse é o único planeta conhecido no qual também poderíamos morar, desde que fosse possível levar água e oxigênio para lá.

A distância média desse planeta ao Sol é de 227 900 000 km.

a) Calcule essa distância em metros e represente-a na forma de notação científica.

b) Calcule essa distância em milímetros e represente-a na forma de notação científica.

5 Cientistas trabalham com valores muito pequenos, como os registrados no quadro abaixo.

Massa de um glóbulo vermelho 0,00000000000009 kg

Massa de um átomo de hidrogênio 0,00000000000000000000000000168 kg

Raio de um fio de cabelo humano 0,00005 m

Represente os valores da tabela anterior em notação científica.

Massa de um glóbulo vermelho

Massa de um átomo de hidrogênio

Raio de um fio de cabelo humano

6 A distância da Terra à Lua é de aproximadamente 380 000 km. Determine essa distância em metros e represente-a em notação científica.

© 123RF/paulpaladin

©N

AS

A

47

7 Considere as medidas 0,000000000048 m e 0,000000000174 m. Transforme-as em milímetros e expresse o resultado em notação científica.

8 Utilize as potências de base 10 para simplificar as notações dos fatores apresentados e resolva a expressão abaixo. Em seguida, apresente a resposta em notação científica.

150 000 4 500 000 000 000 0 0002

300 000 000

,

9 Leia as informações e apresente a medida indicada na forma de notação científica.

a) A massa de uma partícula de poeira é de 0,00000000067 kg.

b) A duração provável de vida de um ser humano é de aproximadamente 2 000 000 000 de segun-

dos.

c) O tempo entre as batidas normais do coração é de 0,8 segundo.

d) Uma uva tem massa aproximada de 0,003 kg.

10 As distâncias astronômicas, como as distâncias entre pla-netas, galáxias e outros corpos celestes, são representa-das por números gigantescos. Quando se medem as dis-

tâncias entre cidades, utiliza-se o quilômetro; quando se quer determinar o tamanho de uma formiga, utiliza-se o

milímetro; quando se medem as distâncias astronômicas, utiliza-se a unidade de medida denominada ano-luz. Um ano-luz representa a distância que a luz percorre durante

1 ano e corresponde aproximadamente a 9,5 trilhões de quilômetros.

Com base nessas informações, responda às questões propostas.

a) Qual é a distância, em quilômetros, de uma estrela que está a 4 anos-luz da Terra?

b) Substituindo convenientemente 1 trilhão pela potência de base 10 correspondente, como se representa o valor encontrado no item anterior na forma de notação científica?

Div

o P

ad

ilh

a. 2

00

7. D

igit

al.

48

Matemática

11 Assinale os itens que representam o número 0,0000385.

a) ( ) 3,85 · 105

b) ( ) 0,385 · 10–4

c) ( ) 38,5 · 106

d) ( ) 38,5 · 10–6

e) ( ) 3,85 · 10–5

f) ( ) 0,0385 · 10–3

g) ( ) 385 · 10–7

h) ( ) 385 · 107

i) ( ) 0,385 · 104

Qual dos itens assinalados é a representação em notação científica?

12 Represente cada número na forma de notação científica.

a) 0,000147 =

b) 0,00000093 =

c) 135 000 000 000 =

d) 103 trilhões =

e) 132,1 =

f) 20,7 mil =

g) 12 milhões =

h) 755 001 =

13 (UFPI) A nossa galáxia, a Via Láctea, contém cerca de 400 bilhões de estrelas. Suponha que 0,05% dessas estrelas possuam um sistema planetário onde exista um planeta semelhante à Terra. O nú-mero de planetas semelhantes à Terra, na Via-Láctea, seria:

a) 2 · 104 b) 2 · 105 c) 2 · 108 d) 2 · 1011 e) 2 · 1012

Pensando pequeno

Uma vez que podíamos escrever números minúsculos na forma de frações decimais, todo um mundo novo se abriu para nós. Podíamos agora pensar sobre coisas tão pequenas que sequer são enxergadas. E, o que era mais importante, podíamos descrever exatamente quão pequenas elas são.

Hoje sabemos que grande parte de nosso mundo é invisível para nós por ser peque-na demais para ser vista pelo olho. Sabemos que somos feitos de trilhões de células, cada uma cerca de 100 000 vezes menor que a nossa altura, o que significa um tamanho en-tre cerca de 7 e 30 micrômetros, ou 0,000007 e 0,00003 metro. Sabemos também que os vírus que infectam nossas células são centenas de vezes menores que isso, variando en-tre 20 nanômetros (pólio) e 300 nanômetros (varíola), ou 0,00000002 e 0,0000003 metro. Os vírus são a mais simples forma de vida, de fato não muito mais que moléculas complicadas, e as moléculas são feitas de átomos.

conectado

BENTLEY, Peter. O livro dos números: uma história ilustrada da Matemática. Tradução de Maria Luiza X. de A. Borges. Rio de Janeiro: J. Zahar, 2009. p. 32-33.

49

14 Escreva em forma de notação científica os números destacados no texto da página anterior.

©S

hu

tte

rsto

ck/S

eb

ast

ian

Ka

uli

tzk

i

15 (ENEM) As exportações de soja do Brasil totalizaram 4,129 milhões de toneladas no mês de julho de 2012, e registraram um aumento em relação ao mês de julho de 2011, embora tenha havido uma baixa em relação ao mês de maio de 2012.

Disponível em: <www.noticiasagricolas.com.br>. Acesso em: 2 ago. 2012.

A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de

a) 4,129 . 103 b) 4,129 . 106 c) 4,129 . 109 d) 4,129 . 1012 e) 4,129 . 1015

a)

b)

c)

d)

e)

Raízes exatas e aproximadas

A ginástica artística olímpica é uma modalidade esportiva que compreende uma série

de exercícios sistematizados que combinam força, elasticidade e agilidade, sendo realizados

com finalidades competitivas.

A competição no solo ocorre em um tablado, conforme ilustra a figura a seguir.

12 m 12 m

Zona de2 m

Cesar Stati. 2014. Digital.

A área de competição dessa modalidade é um

quadrado de 12 m . 12 m = 144 m².

Também é possível representar essa área,

em metros quadrados, por meio de uma

potenciação:

122 = 144.

50

Matemática

Se soubéssemos apenas a área dessa região e desejássemos calcular a medida do lado, bastaria aplicar a operação inversa da potenciação, ou seja, a radiciação.

Índice Radical

Radicando Raiz

12 144 144 122 2� � �

Lembre-se: toda raiz quadrada dispensa a escrita do índice 2.

Por exemplo, 64 8, pois 82 64.

Calcular o volume de um corpo significa determi-nar o espaço ocupado por ele.

Observe atentamente os dois cubos ao lado e, junto com seus colegas de turma, responda às ques-tões propostas, sabendo que o cubo maior é com-posto de cubinhos de 1 cm de aresta.

a) Quantos cubinhos são necessários para formar o cubo maior?

b) Qual é o volume do cubo menor?

c) É correto afirmar que o cubo maior ocupa um espaço correspondente a 64 cubos de 1 cm³?

d) Qual é o volume do cubo maior?

e) Quanto mede a aresta do cubo maior?

f) Que potência representa o volume do cubo menor? E do cubo maior?

g) Você já comprovou, por meio de cálculos, que a operação inversa da potenciação é a radicia-ção. No caso da potência de expoente 2, a operação inversa é a raiz quadrada. Dessa forma, qual é a operação inversa da potência de expoente 3?

troca de ideias

1 cm

1 cm

1 cm

51

O conceito de raiz cúbica de um número inteiro positivo pode ser associado ao cálculo da medida da aresta do cubo, quando se conhece seu volume.

Denominando de V o volume de um cubo e de a a medida de sua aresta, para V = 27 cm³,

a3 27 , portanto a 27 33 ,pois 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27.

A aresta desse cubo mede 3 cm.

Calcular a raiz cúbica de um número é determinar outro número que, elevado ao cubo, resulte no primeiro.

Assim como a raiz quadrada � � é a operação inversa de potências cujo expoente é

dois, a raiz cúbica 3� � é a operação inversa de potências cujo expoente é três. Existem

raízes com índice 4 4� � , índice 5 5� � , entre outras, que representam operações inversas

das potências cujos expoentes são, respectivamente, quatro, cinco e assim sucessivamente. Lemos: “raiz quarta”, “raiz quinta” e assim por diante, conforme o índice.

atividades

1 Indique o número inteiro que representa a raiz quadrada de cada número a seguir, quando possível.

a) 10 000

b) 900

c) 121

d) � �49

2 Complete os espaços, tornando verdadeira cada igualdade.

a) 5 = 25, pois 25 =

b) 2 = 169, pois mmm

= 13

c) 225 = 15, pois 2 = 225

d) mmm

= 20, pois 2 = 400

3 Resolva as expressões numéricas a seguir. Lembre-se de considerar as seguintes regras de resolução:

1º. ) as operações dentro dos parênteses ( );

2º. ) as operações dentro dos colchetes [ ];

3º. ) as operações dentro das chaves { }.

Você também deve respeitar a ordem em que as operações aparecem:

radiciação e potenciação; multiplicação e divisão; adição e subtração.

a) �� 13 81 3 625 32 2

52

Matemática

b) � � � �� 5 49 82

c) 6 36 225 122 0 � � ��

��

d) � � �� 1 25 33

e) 3 1 144 70 � � ��

��

4 (IFSUL – RS) O valor da expressão 1

5

1

527

2 23�

��

��

�

é:

a) 3 b) c) 551

25d) 701

25

53

5 Conhecendo a área de cada quadrado, determine a medida de seus lados.

a)

121 m2

Medida dos lados:

b) 49 m2

Medida dos lados:

c)

196 m2

Medida dos lados:

d)

576 m2

Medida dos lados:

e) 1 m2

Medida dos lados:

f)

441 m2

Medida dos lados:

6 (CEFET – MG) Um paisagista deseja cercar um jardim quadrado de 25 m2. Sabendo-se que o metro linear da grade custa R$ 23,25 e que foi pago um adicional de R$ 1,75 por metro linear de grade instalado, a despesa com a cerca, em reais, foi de:

a) 420,25. b) 450,00. c) 500,00. d) 506,75.

Radiciação de números inteiros

Sabemos que 82 = 64. Mas será que existe outro número que, elevado ao quadrado, tam-

bém resulte em 64?

Observe que �� 8 8 8 642

e que �� 8 8 8 642

.

Assim, não podemos dizer que 64 8 e que 64 8� � ?

54

Matemática

Nesse e em muitos outros casos, teríamos dois resultados para a mesma coisa, o que não faz sentido. Por isso, ficou convencionado que a raiz quadrada de 64 é +8. Nunca teremos uma raiz quadrada com resultado negativo.

Observe outra situação:

Sabemos que 62 = 36 e que (–6)2 = 36. Mas existe um número inteiro que, elevado ao quadra-do, resulte em –36? Não! Nem sempre existe um número que, elevado ao quadrado, resulta em outro. Veja que não existe raiz quadrada de um número negativo.

Portanto, 36 não existe.

O mesmo acontece com qualquer raiz de índice par. Mas quando o índice for ímpar, sem-pre existirá raiz.

atividades

1 Determine o valor de cada raiz quando possível.

a) 49 =

b) 1 =

c) 121 =

d) 121 =

e) 16 =

f) 196 =

g) 4 =

h) 361 =

2

3 Com base no que você aprendeu sobre potências e raízes, calcule as raízes e justifique o resultado encontrado utilizando a potenciação.

a) 121 = , pois ( )2 = 121.

b) 83 = , pois ( )3 = 8.

c) 1253 = , pois ( )3 = 125.

d) 169 = , pois ( )2 = 169.

e) 2163 = , pois ( )3 = 216.

f) 047 = , pois ( )47 = 0.

4 Calcule as potências e justifique o resultado encontrado por meio da radiciação.

a) 32 = , portanto 9 = .

b) 53 = , portanto 1253 = .

c) 24 = , portanto 164 = .

d) 25 = , portanto 325 = .

55

5 Calcule o que se pede em cada item.

a) A raiz cúbica de 343:

b) O número cuja raiz quadrada é 8:

c) O cubo de 9:

d) A raiz quarta de 16:

e) O número que, somado com a raiz cúbica de 27, resulta em 7:

f) A raiz quinta de 32:

6 Utilize a potenciação para determinar os volumes dos cubos, ou seja, a quantidade de cubinhos que os compõem. Em seguida, utilize a radiciação para representar a quantidade de cubinhos na aresta de cada um dos cubos.

a)

Volume:

Aresta:

b)

Volume:

Aresta:

c)

Volume:

Aresta:

d)

Volume:

Aresta:

7 Calcule as raízes.

a) 2435 =

b) 646 =

c) 814 =

d) 7293 =

e) 10 0004 =

f) 7296 =

g) 2564 =

h) 6254 =

i) 10245 =

j) 12964 =

k) 3 1255 =

l) 10003 =

©M

ike

Go

nza

lez

(Th

eC

off

ee

)

©S

hu

tte

rsto

ck /

Po

pa

rtic

©M

ike

Go

nza

lez

(Th

eC

off

ee

)

©S

hu

tte

rsto

ck /

Pe

terV

rab

el

56

Matemática

8 Resolva as expressões numéricas.

a) 27 16 33 4 2� � ��

b) 81 8 64 433

6 2��

c) 64

162

32

� ��

d) � � � �� 3 32 3 1213 2

5

e) 2 3 2 44 3 2� ��

f) 64 9

5

3

2

��

9 Observe como Juliane resolveu a seguinte expressão:

Ces

ar S

tati

. 201

4. D

igit

al.

3 5 25 2

9 5 5 2

9 25 2

36 6

2 1� � � �

� � � � �

� � � �

� �

Analisando o que Juliane fez, descreva passo a passo a re-solução da expressão.

Agora, é a sua vez! Resolva as expressões a seguir calculando inicialmente as raízes que estão den-tro do radical.

a) 6 2 9 256 123� � � � b) �� 3 3 2 11 23 3 2 23

57

10 (PUC-RIO – RJ) O valor de �� 3 1 1 2 42 6 0 63

, é:

a) 13 b) 15 c) 17 d) 19 e) 21

Raízes de números racionais

Vamos analisar a situação a seguir.

Um dos tatames de certo ginásio tem forma

quadrada e área de 40,96 m2. Qual é o perímetro

desse tatame?

Para calcular o perímetro, é necessário saber

a medida dos lados. Como conhecemos a área do

quadrado, temos:

40 96, m

Precisamos encontrar um número que, mul-

tiplicado por ele mesmo, resulte em 40,96. Na

sequência, vamos considerar duas maneiras de

abordar o problema.

1a. maneira

Sabemos que 62 = 36 e 72 = 49. Então, 40 96, é um número maior do que 6 e menor do que 7.

Testamos alguns valores:

6,12 = 37,21

6,22 = 38,44

6,32 = 39,69

6,42 = 40,96

Portanto, 40 96 6 4, , , ou seja, os lados do quadrado medem 6,4 m e o perímetro é:

P = 6,4 m + 6,4 m + 6,4 m + 6,4 m = 4 · 6,4 m = 25,6 m

©S

hu

tte

rsto

ck/J

Dm

itri

i Ia

ruso

v

58

Matemática

2a. maneira

Todo número racional pode ser escrito na forma de fração. Assim, temos:

40 964096

100

4096

100

64

106 4, ,

Extrair a raiz quadrada de um número racional significa encontrar outro número racional

que, elevado ao quadrado, tem por resultado o número. Veja:

0 4949

100

49

100

7

100 7, , , pois

7

10

49

1000 7 0 49

22�

�

� � � � �ou , ,

atividades

1 Um quadrado tem área igual a 2,25 dm2. Calcule a medida dos lados e o perímetro desse quadrado.

2 Calcule a raiz quadrada de cada número racional a seguir.

a) 0 81, =

b) 25

196=

c) 64

169=

d) 0 16, =

e) 9

49=

f) 16

81=

g) 225

256=

h) 0 04, =

3 O quadrado ABCD representa um terreno dividido em lotes indicados pelas cores vermelha, verde, roxa e azul.

A B

D C

Considere as seguintes informações:

Quadrado verde: 1

9 da área do quadrado ABCD.

Quadrado roxo: 1


Quadrado vermelho: 4


Parte azul: área restante do quadrado ABCD.

Perímetro do terreno: 240 m.

59

Responda às questões a seguir.

a) O que a raiz quadrada da fração que indica a área de cada quadrado colorido representa em relação à medida dos lados do quadrado ABCD?

b) Qual é a fração correspondente à medida dos lados dos lotes roxo, verde e vermelho em rela-ção à medida dos lados do quadrado ABCD?

c) Qual é a fração correspondente à área do lote azul em relação à área do quadrado ABCD?

d) Qual é a medida dos lados do quadrado ABCD?

e) Qual é a área de cada lote (roxo, verde, vermelho e azul)?

4 A expressão 1

30 64 0 7

36

100

2

� ��

�

� , : , é igual a:

a) 1

3b)

81

3c)

81

3d)

241

3e)

340

3

60

Matemática

Raiz quadrada exata

Vamos considerar as situações a seguir.

Situação 1

Na figura, a sequência de quadrados tem por unidade de área o quadradinho de 1 cm².

1

2

3

4

1 cm

1 cm

Denominando a área de A

A cm

cm

1

1

1

1

1

1

² A cm

cm

2

2

2

4

4

2

² A cm

cm

3

3

3

9

9

3

² A cm

cm

4

4

4

16

16

4

²

Os números naturais que expressam a área de quadrados são cha-mados de quadrados perfeitos

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...

Agora, veja como reconhecer se um número é quadrado perfeito ou não.

Vamos verificar se o número 225 é quadrado perfeito decompondo-o em fatores primos.

2 2 5 3

7 5 3 225 = 32 . 52

2 5 5

5 5

1

Note que os expoentes de todos os fatores são pares. Quando decompomos um núme-

quadrado perfeito.

61

Situação 2

Há também quadrados cuja medida dos lados é dada por números decimais exatos. Ob-serve os quadrados construídos sobre a malha a seguir.

1 cm

1 cm

O cálculo da área e da medida dos lados dos quadrados destacados em vermelho é feito desta forma:

�

� � ��

1 5

1 5

2 25

2

,

,

, ²

cm

A cm

A cm

�

� � ��

3 3

3 3

10 89

2

2

,

,

,

cm

A cm

A cm

�

� � ��

4 5

4 5

20 25

2

2

,

,

,

cm

A cm

A cm

�

� � ��

1 2

1 2

1 44

2

,

,

, ²

cm

A cm

A cm

E, a partir da área, podemos encontrar a medida dos lados de cada quadrado extraindo a raiz quadrada do número que representa a área, mesmo que esse número seja decimal. Veja:

A cm cm cm cml� � � � �1 44 1 44144

100

12

101 2, ² , , cm

1 Por meio da decomposição em fatores primos, verifique se os números dados a seguir são quadra-dos perfeitos.

a) 441 b) 350

atividades

62

Matemática

c) 784

d) 258

e) 324

f) 2 025

2 Escreva os números a seguir na forma fatorada.

a) 90 =

b) 1 800 =

c) 250 =

d) 125 =

e) 121 =

f) 256 =

3 Determine a raiz quadrada dos números a seguir utilizando a fatoração em números primos.

a) 676

b) 400

c) 10 000

d) 6 561

e) 529

f) 576

Raiz quadrada não exata

Como determinar a raiz quadrada de números naturais que não são quadrados perfeitos?

Tomemos como exemplo o número 2, que não é um quadrado perfeito, portanto sua raiz

quadrada não é exata. Observando a sequência dos quadrados perfeitos (1, 4, 9, 16, 25, ...),

podemos perceber que os números mais próximos de 2 são 1 e 4.

Sabemos que 1 1 e que 4 2. Portanto, 2 é um número maior do que 1 e menor

do que 2, ou seja, não é um número natural. Podemos, então, tentar determinar 2 por

aproximação, uma vez que

1 2 4

1 2 2

63

Logo, precisamos procurar o número não negativo que, elevado ao quadrado, resulte em 2.

1,12 = 1,21

1,22 = 1,44

1,32 = 1,69

1,42 = 1,96

1,52 = 2,25

1,62 = 2,56

Assim, 2 está entre 1,4 e 1,5.

Se quisermos uma aproximação com mais casas decimais, continuamos com as tentativas.

1 41 1 41 1 9881, , ,� � 1 42 1 42 2 0164, , ,� �


Podemos ainda continuar com as tentativas.

1 411 1 411 1 990921, , ,� �

1 414 1 414 1 999396, , ,� �

1 412 1 412 1 993744, , ,� �

1 415 1 415 2 002225, , ,� �

1 413 1 413 1 996569, , ,� �


Como 1,999396 está mais perto de 2 do que 2,002225 está próximo de 2, dizemos que 2 é quase 1,414, ou seja, 2 1 414� , .

Usando a calculadora de um computador, por exemplo, obtemos a seguinte aproxima-ção para 2 :

1,4142135623730950488016887242097...

Agora, suponha que você precise obter uma aproximação para a raiz cúbica de 10. Usan-do novamente a calculadora de um computador, obtemos a seguinte aproximação para 103 :

2,1544346900318837217592935665194...

Caso não tenha uma calculadora que forneça raízes cúbicas, você pode fazer tentativas, como fez no exemplo anterior. Como 23 = 8 e 33 = 27, 103 está entre 2 e 3. Perceba que 103 está mais perto de 2 do que 3, pois 10 está mais perto de 8 do que 27.

atividades

1 Cada número decimal a seguir representa a medida do lado de um quadrado. Calcule a área do respectivo quadrado utilizando a representação fracionária.

a) 6,1 b) 1,9 c) 7,3

64

Matemática

d) 3,3

e) 0,3

f) 1,2

g) 2,6

2 O Índice de Adiposidade Corporal (IAC) representa a porcentagem de gordura corporal em adultos. Para calcular esse índice, utiliza-se a seguinte fórmula:

% de gordura do quadril 1000

��

�Circunferência

Altura Altura��18

Nessa fórmula, as medidas estão em centímetros.

Considerando-se os critérios de avaliação física pelo IAC, homens que têm de 8% a 20% de gordura corporal estão na categoria “saudável”; aqueles que têm acima de 20% até 25% de gordura corporal estão na categoria “acima do peso”; e aqueles que têm acima de 25% de gordura corporal se enqua-dram na categoria “obeso”.

Assim, calcule o percentual de gordura e o resultado da ava-liação de um homem que tem 168 cm de altura e 100 cm de circunferência do quadril.

©Sh

utte

rsto

ck/I

van

Kur

mys

hov

3 Represente, numa folha quadriculada, o quadrado de maior área que se pode construir com os va-lores indicados a seguir. Caso o valor dado não constitua um quadrado perfeito, represente, ao lado de cada construção, as unidades de área que sobraram. Considere cada quadradinho do quadricula-do como uma unidade de área.

a) 26 unidades de área.

b) 49 unidades de área.

c) 38 unidades de área.

d) 16 unidades de área.

65

Relação entre potência e raiz

Observe algumas maneiras de calcular 563 :

5 5 5 5 5 5 563 2 2 2 2 2 2 2 6� � � � �� ,pois

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 563 2 3 33 2� � � � � � � � � � �,pois ( )

5 5 5 563 2 23

6� � � �,pois

Note que:

5 5 566

3 3 2

Veja a seguir alguns exemplos que mostram essa relação entre potências e raízes:

4 4 4 2

1

2 12 125 125 5

1

3 13 9 9 9 30 51

2,

Assim, em uma expressão numérica que envolve potências (com base não negativa) de expoente fracionário, primeiro devemos calcular as potências transformando-as em raízes e somente depois realizar as demais operações.

Para calcular a raiz de uma potência, basta repetir a base e dividir o expoente pelo índice do radical.

Uma potência (com base não negativa) de expoente fracionário representa uma raiz em que a base é o radicando, o numerador da fração é o expoente do radicando e o denominador é o índice da raiz.

4 Já vimos que, na Matemática, são aplicadas diversas propriedades aos números. Elas nos auxiliam no cálculo de expressões matemáticas e evitam que equívocos sejam cometidos. Em duplas, verifi-quem se cada sentença a seguir representa uma propriedade válida para qualquer número natural. Apresentem exemplos em que a igualdade funciona e exemplos em que ela não funciona.

O que vocês descobriram? As sentenças são verdadeiras para quaisquer números não negativos? Por quê?

a) a b a b� � � b) a b a b� � �

Essa divisão pode ser escrita na forma de fração:

5 5 56 66

3 3 3:

Portanto, podemos representar uma raiz também na forma de potência.

66

Matemática

Exemplos:

2 2 2

14

7 147 2 x x

11

3 113 10 10 10

9

3 93 3 4 4

1

5 15

curiosidade?

Método geométrico para o cálculo da raiz quadrada

Seja X o número do qual queremos extrair a raiz qua-drada. Numa reta, tomemos os pontos A, B e C tais que AB = X e BC = 1.

Seja P o ponto médio do segmento AC (AP PC).

Com centro em P, tracemos um semicírculo de raio AP e, por B, tracemos uma perpendicular à reta que con-tém AC até interceptar o semicírculo, determinando as-sim o ponto R.

O segmento BR nada mais é do que a raiz quadrada do número X em questão.

MÉTODO geométrico para o cálculo da raiz quadrada. Disponível em: <http://www.rpm.org.br/cdrpm/6/11.htm>. Acesso em: 12 fev. 2019.

A P B

R

X 1

C

X

atividades

1 Escreva as potências na forma de radicais.

a) 10

5

3 =

b) 12

4

3 =

c) 5

2

10 =

d) a

21

2 =

e) b

1

3 =

f) y

5

3 =

2 Represente as potências como radicais e calcule o resultado quando possível.

a) 1

4

3 =

b) 27

1

3 =

c) 5

9

3 =

d) x

10

2 =

e) b

2

3 =

f) 64

2

3 =

3 Relacione os radicais com suas representações na forma de potência com expoente fracionário.

( A ) 2

( B ) 37

( C ) 5

( D ) 73

( E ) 24

( F ) 4

( ) 7

1

3

( ) 2

1

4

( ) 2

1

2

( ) 5

1

2

( ) 3

1

7

( ) 4

1

2

67

1 O esquema abaixo simula uma situação de transmissão de uma doença nos três primeiros dias de contágio. Observe-o e, depois, responda às questões propostas.

a) De acordo com o esquema, quantas novas pessoas serão contaminadas no sexto dia? Qual potência representa esse número?

b) Represente, por meio de uma expressão numérica envolvendo potências, o número de pessoas que serão contaminadas desde o início do processo até o sexto dia.

c) Quantas pessoas serão contaminadas em seis dias de análise?


1º. dia 2º. dia 3º. dia

Die

go

Mun

hoz.

201

4. D

igit

al.

... e assim por diante

Pessoa

contaminada

2 Calcule as potências a seguir.

a) ( )2 10 =

b) ( )1 999 =

c) ( )3 1 =

d) ( )1 1000 =

e) 54 =

f) 04 =

g) ( )10 6 =

h) ( )19 0 =

i) 83 =

j) ( )4 3=

68

Matemática

3 Complete a cruzadinha escrevendo por extenso os resultados das expressões.

a) 32 + 2 + 72 =

b) 24 + 18 =

c) 112 – 6 ⋅ 4 – 92 =

d) 27 – 53 =

e) 44 – 63 – 5 ⋅ 6 =

f) 04 + 33 – 121 =

4 Uma professora de Matemática elaborará uma prova com cinco questões objetivas (de marcar X), cada uma com cinco opções de resposta (a, b, c, d, e). Sabendo que cada questão terá uma única resposta correta, quantos serão os gabaritos possíveis para essa prova?

f

c

b

d

e

a

5 Resolva as expressões numéricas a seguir.

a) � � � � �2 3 22 3 3( ) ( ) b) � � � � ��

��3 1 3 52 2( )

69

c) 5 5

5 5

10 4

2 4

:

d) 2 2 2

2

8 2

11

e) 6 2 3 2 22 3 3� � ��

��

f) ( : )4 4 4 33 2 3� �

6 Determine o valor de cada expressão.

a) 8 9 72 0

b) 0 81

c) 2 3 19 2 9� �

d) 1 49 64100 � �

7 (OBMEP) 9 9 920 20 20 é igual a:

a) 920

b) 366

c) 923

d) 341

e) 323

8 Represente os números a seguir na forma de notação científica.

a) 23 000 000 000 =

b) 1 600 000 000 =

c) 0,00000034 =

d) 0,0000000000143 =

70

Matemática

e) 5 000 000 000 =

f) 42 700 000 000 =

g) 0,0063 =

h) 0,00000000007 =

9 Qual dos números abaixo é o maior? Justifique sua resposta escrevendo cada número com todos os algarismos.

( ) 1 34 10 10, � � ( ) 4 13 10 12, � �

10 (SARESP) O raio da Terra, no Equador, é de aproximadamente 6 400 000 metros, e a distância apro-ximada da Terra à Lua é de 384 000 000 metros. Podemos também apresentar corretamente o raio da Terra e a distância da Terra à Lua, respectivamente, por:

a) 6,4 × 103 metros, e 3,84 × 105 metros.

b) 6,4 × 10 metros, e 3,84 × 108 metros.

c) 6,4 × 106 metros, e 3,84 × 108 metros.

d) 6,4 × 108 metros, e 3,84 × 1010 metros.

11 A nanotecnologia, que é uma tecnologia relativa a componentes excessivamente pequenos, traba-lha com estruturas de 1 bilionésimo do metro. Escrito em notação científica, o número 0,000000001 (1 bilionésimo) corresponde a:

©S

hu

tte

rsto

ck /

Le

oS

ad

a) ( ) 1 ⋅ 10–7

b) ( ) 1 ⋅ 10–9

c) ( ) 1 ⋅ 10–11

d) ( ) 1 ⋅ 10–13

12 (UFF – RJ) O nanômetro é a medida de comprimento usada em nanotecnologia (“nano” vem do grego e significa “anão”). Sabe-se que um metro equivale a um bilhão de nanômetros. Considerando

o diâmetro da Terra com 13 000 quilômetros, conclui-se que a medida do diâmetro da Terra, em nanômetro, é igual a:

a) 1,3 ⋅ 1016

b) 1,3 ⋅ 10–16

c) 1,3 ⋅ 10–9

d) 1,3 ⋅ 109

e) 1,3 ⋅ 104

71

14 Complete os quadrinhos com os valores que verificam a igualdade.

a) ...... = 18

b) 625 =

c) 81 = 3

d) ..........5

= 2

e) 125 = 5

f) 646 =

g) .......... = 13

h) ..........

5 = 6

15 Resolva as expressões numéricas a seguir.

a) 144 64 33 2� � �( ) ( )

b) � � � � � ��

��3 64 2 3 56 2 2( )

c) 225 273

d) � � � � � ��

��

��

��

4 125 2 2 9 1213 3 3 23

1:

13 (FUVEST – SP) As células da bactéria Escherichia coli têm formato cilíndrico, com 8 10 7� � metros de diâmetro. O diâmetro de um fio de cabelo é de aproximadamente 1 10 4� � metros. Dividindo-se o diâmetro de um fio de cabelo pelo diâmetro de uma célula de Escherichia coli, obtém-se, como resultado:

a) 125 b) 250 c) 500 d) 1 000 e) 8 000

72

Matemática

16 Uma bactéria leva, aproximadamente, 20 minutos para completar a divisão binária, transformando-se em duas bactérias. Nessas condições, quantas bactérias serão formadas após 4 horas? E após 7 horas?

17 (SARESP) O diâmetro de um glóbulo vermelho de sangue mede 0,007 milímetros. Esse número, escrito em notação científica, corresponde a:

a) 7 103 milímetros

b) 7 10 3� � milímetros

c) 0 7 10 3, � � milímetros

d) 0 7 10 4, � � milímetros

18 Escreva cada expressão a seguir na forma de uma só potenciação com expoente inteiro positivo.

a) 6 63 4� �

b) 2

5

23

��

�

��

�

��

�

c) 7 7

7

3 2

4

:

d) 1

3

1

3

5 2��

� �

:

19 Determine a raiz de cada número racional a seguir.

a) 2 56, =

b) 49

196 =

c) 0 09, =

d) 0 04, =

e) 121

144 =

f) 83 =

g) 814 =

h) 325 =

i) 1287 =

j) 7296 =

73

20 Calcule o valor numérico das expressões.

a) 1

4

1

42

2�� :

b) 1 51

3

1

90 75

22

, ,� � � ��

c) 0 001 0 12

, : ,� � � �

d) 0 51

25

1

5

12 1

,� ��

��

��

��

e) 3

527

1

33

2

� ��

�

:

f) 144

255

1

250 51� �� : ,

g) 31

20 5

4

9

20

��

, :

h) �� 5 2 5 2 5 2

2 4 3, , ,

74

Matemática

21 (SARESP) Resolva a expressão abaixo.

�� 1

2

1

40 5

2 22

,

a) 5

8

b) 9

16

c) 1

8

d) 1

16

22 Resolva as expressões a seguir.

a) 31

3

1

9

2� � �

b) 2

5

2

5

25

4

2 3��

�

:

c) 21

4

9

16

3� � �

d) 10

10

10

10

4

8 5

2

��

�

�

�

23 Escreva as potências na forma de radicais.

a) 2

7

3 =

b) 8

1

3 =

c) 5

7

10 =

d) a

1

2 =

e) 12

2

3 =

f) 3

1

3 =

24 Represente as potências como radicais e calcule o resultado quando possível.

a) 8

1

3 =

b) 7

9

3 =

c) 6

8

2 =

d) b

4

3 =

e) 125

2

3 =

f) 2

7

3 =

75

capí

tulo

Porcentagem e juros3

[...] Quando você pede dinheiro emprestado para qualquer coisa, des-de uma hipoteca até um cartão de crédito, o montante que você devolve é determinado pela taxa de juros, mais qualquer taxa adicional existente. O mesmo vale para a poupança, em que você ganha juros de acordo com a taxa especificada.

Taxas de juros são o preço de se viver em um mundo que depende forte-mente de crédito e débito. Se as taxas de juros não existissem, os credores não teriam motivos para te emprestar dinheiro. [...]

INTRODUÇÃO aos princípios da Economia: taxas de juros. Disponível em: <https://janusinvestimentos.com/guia-de-principios-de-economia/taxa-de-juros/>. Acesso em: 21 dez. 2018.

Acréscimo

Desconto

Juros simples

Juros compostos


©Shutterstock/Supawat Bursuk

76

Matemática

Acréscimo

Observe a situação a seguir.

Beatriz trabalha longe da casa onde mora e pre-

cisa comer fora diariamente. Certo dia, ela leu na

internet uma notícia com a informação de que co-

mer fora tinha ficado 3,8% mais caro.

Antes do aumento no preço das refeições

em restaurantes e lanchonetes, Beatriz gastava

R$ 400,00 por mês para almoçar. Quanto ela vai

gastar por mês após esse aumento?

Vamos fazer o cálculo em duas etapas.

Calculamos quanto Beatriz vai gastar a mais,

em reais:

3,8% de 0403 8

100400 0 038 400 15 2� � � � �

,, ,

Portanto, 3,8% de R$ 400,00 correspondem a R$ 15,20.

Adicionamos o valor do acréscimo ao que Beatriz gastava antes:

R$ 400,00 + R$ 15,20 = R$ 415,20

Também podemos fazer o cálculo do aumento em uma única etapa. Nesse caso, deve-

mos considerar que, como o acréscimo é aplicado sobre R$ 400,00, que é a quantia que

Beatriz gastava anteriormente, esse é o valor de referência, que corresponde a 100%. Após

o aumento de 3,8%, o gasto de Beatriz passa a ser de 100 3 8 103 8% , % , %� � .

Calculando 103,8% de R$ 400,00, temos:

103,8% de 400103 8

100400 1 038 400 415 20� � � � �

,, ,

Portanto, 103,8% de R$ 400,00 correspondem a R$ 415,20.

Calcular porcentagens por meio de operações com frações e números decimais.

Aplicar o conceito de acréscimos e decréscimos na resolução de diversas situações.

Compreender o conceito de juros.

Resolver situações-problema que envolvam o cálculo de juros simples e compostos.

pre-

na

-

R$ 15,20.

©Shutterstock/Kckate 16

77

Agora, vamos analisar outra situação.

Lucas, colega de Beatriz, não sabe qual era sua despesa com refeições, mas, depois do aumento, viu que passou a gastar R$ 519,00. Sabendo disso, podemos calcular o quanto Lu-cas gastava antes.

Nesse caso, o valor de referência, que corresponde a 100%, é desconhecido. Após o acréscimo de 3,8%, temos 100% + 3,8% = 103,8%.

Sendo x o valor gasto por Lucas antes do aumento, temos:

103 8 519

103 8

100519

1 038 519

519

1 038

500

, %

,

,

,

de x

x

x

x

x

�

� �

� �

�

�

Portanto, antes do aumento, Lucas gastava R$ 500,00 por mês.

atividades

1 Calcule o valor final de cada quantia após o acréscimo percentual indicado.

a) 1% sobre R$ 420,00

b) 25% sobre R$ 420,00

c) 16% sobre R$ 380,00

d) 66% sobre R$ 380,00

2 O salário de Bárbara é de R$ 1.560,00. Depois de um ano de trabalho, ela foi promovida e recebeu um aumento de 15%. Qual será o novo salário de Bárbara?

78

Matemática

©Sh

utte

rsto

ck /

Cus

tom

des

igne

r

3 Leia o trecho de uma notícia sobre o preço da gasolina no início de 2018.

Qual era o preço aproximado da gasolina antes do aumento?

4 Em 2016, Carla contratou um plano de saúde por R$ 260,00 ao mês. Em 2017, o reajuste do plano foi de 13% e, em 2018, de 9,5%. Qual é o valor pago por Carla após o reajuste de 2018?

5 De acordo com o anúncio a seguir, determine o percentual de acréscimo, em relação ao valor à vista, para o pagamento parcelado do refrigerador.

Valor (R$) Porcentagem (%)

Aumentos sucessivos: Pela 12ª. semana seguida, preço médio da gasolina sobe

Na terceira semana do ano, o valor médio por litro subiu 0,26%, para R$ 4,194.

AUMENTOS sucessivos: Pela 12ª. semana seguida, preço médio da gasolina sobe. Disponível em: <http://setelagoas.com.br/noticias/brasil/42897-aumentos-sucessivos-pela-12-semana-seguida-preco-medio-da-gasolina-sobe>. Acesso em: 13 dez. 2018.

©Sh

utte

rsto

ck/P

avel

Kub

arko

v

Refrigerador duas portas frost free smart

De: R$ 2.899,00

Por: R$ 2.255,60 à vista

Ou em 6x de R$ 394,73 iguais

79

Desconto

Uma farmácia oferece um desconto de 15%

aos clientes que possuem o cartão-fidelidade.

Márcia compra mensalmente um remédio que cus-

ta R$ 59,60. Depois de adquirir o cartão-fidelidade,

quanto ela passará a pagar pelo medicamento?

Podemos resolver essa situação em dois

passos.

Calculamos 15% do valor do remédio, que é o desconto que será dado:

15 59 60 59 60 0 15 59 60 8 9415

100% , , , , , de � � � ��

Subtraímos esse valor de R$ 59,60:

R$ 59,60 – R$ 8,94 = R$ 50,66

O preço do remédio com o desconto de 15% será de R$ 50,66.

Também podemos fazer esse cálculo em um único passo.

Como o desconto é aplicado sobre o valor de R$ 59,60, esse é o valor de referência,

que corresponde a 100%. Com o desconto de 15%, a porcentagem total a ser paga será de

100% – 15% = 85%.

Logo, 85 59 60 59 60 0 85 59 60 50 6685

100% , , , , , de � � � �� .

Agora, observe a oferta no anúncio a seguir.

Sofá retrátil

Ja

ck A

rt. 2

01

4. D

igit

al.

Qual é a porcentagem de desconto dada em relação ao preço original do sofá?

Valor referente ao desconto em reais.

Aplicando a regra de três simples, temos:


3 990 100

1 596 x

Logo, foi dado um desconto de 40% na compra do sofá.

©Shutterstock/Hermdorff

hutterstock/Hermdorff

3 990 1596 100

3 990 159 600

159 600

3 99040

x

x

x

� ��

� �

�

80

Matemática

atividades

1 Cada quantia a seguir será reduzida por meio da aplicação de um desconto de 40%. Calcule a quan-tia final após esse desconto em cada um dos casos a seguir.

a) R$ 300,00

b) US$ 1.000

c) 121 pesos

d) 400 euros

2 Observe este anúncio de uma loja de eletrodomésticos:

Calcule o preço para pagamento à vista de cada um dos produtos apresentados no anúncio da loja.

3 Com frequência, anunciam-se produtos com descontos indicados em reais, e não em porcentagem. Veja:

©Sh

utte

rsto

ck/L

chum

pit

az

MICRO-ONDASR$ 350,00

FOGÃO 4 BOCAS

R$ 690,00REFRIGERADOR

DUPLEXR$ 1.690,00

LAVADORA DE ROUPAS

R$ 1.950,00

3

1

2

17% de desconto no pagamento

De: R$ 1.798,00

Por: R$ 1.582,24

De: R$ 986,00

Por: R$ 769,08

De: R$ 1.068,00

Por: R$ 833,04

2

3

1

©Sh

utte

rsto

ck/o

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esir

e

81

a) Para qual dos aparelhos o desconto em reais é maior?

b) O desconto em porcentagem é maior para qual aparelho?

c) Qual seria o preço do aparelho 1 se a porcentagem de desconto fosse igual à dos outros dois aparelhos?

4 Poliana pesquisou na internet o preço de uma máquina de lavar roupas. A máquina pela qual ela se interessou custava R$ 1.700,00 e estava em promoção com 10% de desconto sobre o preço normal para pagamento à vista.

a) Quanto Poliana pagaria pela máquina para aproveitar a promoção?

b) Ao chegar à loja física, Poliana gostou de outra máquina. No entanto, notou que era 30% mais cara em relação ao valor promocional do outro modelo. Qual é o valor da máquina mais cara?

82

Matemática

Juros simples

Geralmente, quando compramos um produto o vendedor da loja nos oferece duas for-mas de pagamento: à vista ou a prazo.

Se optarmos pelo pagamento à vista, teremos que pagar o valor total do produto no momento da compra. Se optarmos pelo pagamento a prazo, poderemos efetuá-lo em parce-las mensais. Nesta última forma de pagamento, normalmente, há um valor adicional a ser pago, chamado de juros.

Leia com atenção as situações apresentadas.

Situação 1

No anúncio a seguir, observe os valores para as diferentes formas de pagamento oferecidas por uma loja e, depois, res-ponda às questões.

a) Qual é o valor da câmera digital a prazo?

10 89 76 897 60R R$ , $ , =

b) Optando-se por pagar a prazo, qual será a taxa percen-tual dos juros sobre o valor à vista?

Aplicando a regra de três simples, temos:


816,00 100

897,60 x

816 00 897 60 100

816 00 89760

89760

816110

, ,

,

x

x

x

� ��

� �

Caso a compra seja feita em 10 prestações, os juros cobrados serão de 10%.

Esse acréscimo em percentual corresponde à taxa de juros cobrada pelo parcelamento em relação ao preço à vista do produto.

Juro é o valor que se paga pelo uso de um capital (dinheiro) em-prestado por certo período de tempo.

Capital é a quantia de dinheiro aplicada em algum investimento ou emprestada, e o montante é determinado pela soma do capital com os juros.

No sistema financeiro, existem diferentes formas de juros, como os juros simples e os juros compostos. Observe outra situação a seguir.

ou em 10x de

R$ 89,76 iguais

Câmera digitalSuperzoom

de R$ 1.299,00

por R$ 816,00

©Sh

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rsto

ck/J

ulia

Ivan

tso

va

83

Situação 2

Carla emprestou para sua prima Ana a quantia de R$ 6.000,00 por 3 meses, a uma taxa de juros simples de 4% ao mês.

Para determinarmos o valor dos juros simples que Ana vai pagar pelo empréstimo, ini-cialmente transformamos a taxa percentual em um número decimal.

44

1000 04% ,

Em seguida, multiplicamos o capital pela taxa de juros. Depois, multiplicamos o valor do juro mensal pelo tempo do empréstimo.

6 000 0 04 240 � �, Valor dos juros cobrados a cada mês.

240 3 720� � Valor dos juros de 3 meses.

Logo, após 3 meses, Ana deverá pagar a Carla o total de:

R R R$ . , $ , $ . ,6 000 00 720 00 6 720 00� � Isso é o que chamamos de montante.

Verifique na tabela a seguir o que acontece se calcularmos mês a mês a dívida de Ana.

Mês ValorJuros simples (4% ao mês)

Valor emprestado + juros (montante)

1º. R$ 6.000,00 R$ 240,00 R$ 6.240,00

2º. R$ 6.240,00 R$ 240,00 R$ 6.480,00

3º. R$ 6.480,00 R$ 240,00 R$ 6.720,00

Isso é o que chamamos de juros simples.

atividades

1 Nicole aplicou R$ 12.386,00 a uma taxa de juros simples de 0,5% ao mês. Qual será o montante após 1 mês de aplicação?

2 Gustavo emprestou R$ 40.600,00 para Wilson a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Após al-guns meses, Wilson pagou o montante de R$ 50.344,00. Quantos meses durou o empréstimo?

84

Matemática

3 Determine o valor dos juros em um investimento de R$ 52.056,00 por 12 meses a uma taxa de juros simples de 0,9% ao mês.

4 Usando a modalidade de juros simples, Paloma aplicou R$ 40.000,00 a uma taxa de 1,4% ao mês. Depois de 3 meses, fez uma retirada de R$ 10.000,00 e manteve o restante do dinheiro na aplicação por mais 3 meses. Paloma, então, retirou todo o dinheiro da aplicação. Quanto ela recebeu ao fazer a última retirada?

©Shutterstock/Frederic

Mulle

r

Juros compostos

Os juros simples são sempre calculados sobre o valor inicial (capital), mas os juros compostos são calculados sobre o montante obtido a cada período. Dessa forma, os juros que são produzidos passam a fazer parte do capital ou do montante que servirá de base para o cálculo dos juros do período seguinte.

Por exemplo:

Jéssica aplicou R$ 6.000,00 em um investimento a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês por 3 meses.

Calculando o montante do investimento nos 3 meses, temos:

R R$ . , , $ , 6 000 00 0 04 240 00� � Valor dos juros após o 1º. mês.

R R R$ . , $ , $ . , 6 000 00 240 00 6 240 00� � Montante após o 1º. mês.





85

Não

Observe como esses valores estão organizados na tabela a seguir.

Mês ValorJuros compostos

(4% ao mês)Montante

1º. R$ 6.000,00 R$ 240,00 R$ 6.240,00

2º. R$ 6.240,00 R$ 249,60 R$ 6.489,60

3º. R$ 6.489,60 R$ 259,58 R$ 6.749,18

Portanto, o montante obtido ao fim de três meses é de aproximadamente R$ 6.749,18.

Agora que você já estudou sobre os juros simples e compostos, observe o fluxograma a seguir e complete-o com as informações faltantes.

Para compreender melhor a diferença entre juros simples e juros compostos, considere a situação a seguir.

Você sabe em que situações do dia a dia eles

são utilizados?

Juros

Sim

Sim

Você sabe a diferença entre juros simples e

juros compostos?

Complete o passo anterior. Se tiver alguma dúvida, converse com seu professor ou com seus colegas.

Dê um exemplo.

Feito?

Faça uma pesquisa e descubra em que situações os juros

são utilizados. Volte ao passo anterior.

Elabore um problema envolvendo o assunto. Você pode fazer isso em seu caderno e depois trocar de caderno com o colega para que cada um resolva o problema proposto pelo outro.

Juros simples: os juros são cobrados apenas

sobre o montante emprestado, ou seja, o

capital inicial.

Juros compostos: os juros são calculados sobre o montante emprestado

somado aos juros acumulados em cada

período.

Volte ao passo anterior.

Sim

Não

Não

86

Matemática

Rogério dividiu igualmente a quantia de R$ 1.000,00 entre duas aplicações. Ambas têm

uma taxa de 10% ao ano, mas uma é calculada na modalidade de juros simples, e a outra, na

de juros compostos.

Observe a tabela com o cálculo dessas aplicações ao fim dos três primeiros anos.

Juros simples Juros compostos

Juros ao fim do primeiro ano J1 1000 0 10 100� � �, J1 1000 0 10 100� � �,

Montante ao fim do primeiro ano M1 1000 100 1100� � � M1 1000 100 1100� � �

Juros ao fim do segundo ano J2 1000 0 10 100� � �, J2 1100 0 10 110� � �,

Montante ao fim do segundo ano M2 1100 100 1200� � � M2 1100 110 1210� � �

Juros ao fim do terceiro ano J3 1000 0 10 100� � �, J3 1210 0 10 121� � �,

Montante ao fim do terceiro ano M3 1200 100 1300� � � M3 1210 121 1331� � �

Observe que na modalidade de juros compostos, Rogério obteve R$ 31,00 a mais do que

na de juros simples.

O cálculo dos juros compostos é feito por meio da seguinte fórmula:

M C it

� � �� 1

M: montante C: capital i: taxa de juro

(na forma decimal)

t: período de

tempo

A modalidade de juros compostos é a utilizada no financiamento de um imóvel ou no caso

de uma aplicação na poupança. Também é conhecida como juros sobre juros.

atividades

1 César, cliente de um banco, aplicou R$ 7.800,00 na poupança (tipo de investimento de baixo ren-dimento e alta segurança) a uma taxa de juros compostos de 0,5% ao mês. Sabendo-se que César deixou aplicado esse valor por 6 meses, qual será o montante após esse tempo? Para organizar os dados e os valores obtidos, complete a tabela a seguir considerando os valores até a 2ª. casa decimal.

Mês Capital Montante Juros

1º. R$ 7.800,00 R$ 7.839,00 R$ 39,00

2º. R$ 7.839,00 R$ 39,19

87

2 Determine o montante obtido para cada aplicação na modalidade de juros compostos.

a) R$ 35.000,00 a uma taxa de 20% ao ano, em um período de 3 anos.

b) R$ 1.100,00 a uma taxa de 2% ao mês, em um período de 4 meses.

3 Felipe fez um empréstimo de R$ 50.000,00 no banco por 6 meses. O valor a ser devolvido foi calcu-lado na modalidade de juros compostos de 4% ao mês. Quanto Felipe precisou devolver ao banco?

4 Uma instituição financeira está oferecendo uma aplicação a uma taxa de 1,17% ao mês, com rendi-mento mensal no sistema de juros compostos.

a) Quanto receberá, aproximadamente, ao término de um ano, uma pessoa que aplicar R$ 25.000,00?

b) Quanto uma pessoa precisa aplicar para ter aproximadamente R$ 50.000,00 ao término de um ano?

88

Matemática

1 (OBM) Uma loja de CDs realizará uma liquidação e, para isso, o gerente pediu para Anderlaine multipli-car todos os preços dos CDs por 0,68. Nessa liquidação, a loja está oferecendo um desconto de:

a) 68% b) 6,8% c) 0,68% d) 3,2% e) 32%

2 (CEFET – PR) O dono de uma loja vendeu uma geladeira, recebendo 25% de entrada e o restante em 3 parcelas iguais de R$ 250,00. O valor total da geladeira é:

a) R$ 250,00 b) R$ 400,00 c) R$ 800,00 d) R$ 1.000,00

3 Um cliente de um banco fez um investimento de R$ 3.500,00 por 10 meses, a uma taxa de juro simples de 2% ao mês. Quantos reais ele receberá considerando-se apenas o valor referente aos juros?

4 (UEMG) Usando o sistema a juros simples, uma pessoa aplicou R$ 10.000,00, à taxa de 1,8% ao mês, durante

3 meses. Decorrido esse prazo, fez uma retirada de R$ 3.000,00 e aplicou o restante a juros de 2,4% ao mês, durante 2 meses. O valor do montante que coube a essa pessoa, ao final dos 5 meses, é de:

a) R$ 7.540,00 b) R$ 7.800,54 c) R$ 7.901,92 d) R$ 7.233,30


89

5 Luiz emprestará R$ 18.700,00 de seu irmão, que cobrará apenas uma taxa de juros simples de 5% ao ano.

a) Quantos reais Luiz pagará ao seu irmão após 4 anos?

b) Quanto Luiz pagaria após 4 anos se fossem aplicados juros compostos?

6 Patrícia tem R$ 30.000,00 e quer comprar um carro que custa R$ 64.000,00. A concessionária vai financiar a diferença a juros compostos de 1% ao mês, em 5 anos.

a) Qual valor Patrícia vai financiar e em quantos meses?

b) Quanto Patrícia vai pagar pelo financiamento?

c) Se ela dividir esse valor igualmente em 60 meses, quanto ela vai pagar por mês?

d) Patrícia achou o valor da prestação muito alto e resolveu esperar mais um pouco para comprar o carro. Enquanto isso, aplicou os R$ 30.000,00 em um investimento a uma taxa de 1,2% ao mês. Quanto Patrícia terá dentro de um ano?

90

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