PREFEITURA MUNICIPAL DE CAMPO LIMPO PAULISTA

SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO E CULTURA

O trabalho com a metodologia da Resolução de Problemas

É importante propiciar aos alunos oportunidades para desenvolver o espírito crítico, a criatividade, a capacidade de análise, a interpretação, a formulação de hipóteses e a elaboração de estratégias para a Resolução de Problemas, inclusive, quando possível, utilizando analogias estabelecidas com outros problemas já resolvidos.

Devemos propor situações-problema que promovam interações da Matemática com o cotidiano, de forma que o aluno não tenha que se limitar, ao conhecimento formal das definições, dos resultados e das técnicas, permitindo que o conhecimento tenha sentido em questões que ele se propõe a resolver.

Com relação ao aluno, destaque sempre que possível:

A formulação de hipóteses.A validação de estratégias.A comparação de resultados com os colegas.A elaboração de procedimentos diversos de resolução, a partir da confrontação das estratégias usadas pela classe. Convém salientar, que para um bom aprendizado, é importante, para uma boa aprendizagem, é importante o trabalho dentro da sala de aula, o apoio do professor e o envolvimento do aluno.

1. O que é uma situação-problema?

São situações que enfrentamos diariamente e que nos obrigam a pensar e a organizar informações na busca de soluções.

Resolução de Problemas

Procedimentos/estratégias que utilizamos para chegar à solução de situações-problemas.

Solução - Desenvolvimento cognitivo envolvido no processo para se chegar a resposta final (objetivo).

2. O que é uma situação problema em matemática?

È aquela que exige uma maneira matemática de pensar, isto é, uma situação em que são aplicados os conhecimentos matemáticos para encontrar a solução.

Situações-problemas:Numa turma há vinte e três alunos; nove são rapazes. Durante a aula de Educação Física há:

Um grupo de sete garotas que dançam;

Um grupo de oito rapazes que fazem corridas;

Um grupo de rapazes e garotas que praticam futebol.

PERGUNTA: Quantos rapazes e quantas garotas, ao todo, estão a jogar futebol?

Na mosca

I. O Miguel lançou três setas e obteve 135 pontos.Em que zonas do alvo ficaram as setas? 

II. O Miguel contou ao Tiago que, certo dia, tinha obtido 100 pontos de diversas maneiras: com uma só seta, com duas, com três, com quatro, com cinco e com seis setas.Terá o Miguel dito a verdade? 

 

Resolução

I. Há uma única resposta a esta pergunta: 2 setas na zona dos 60 pontos e uma na dos 15 pontos: 2×60+15=135.

II. O Miguel mente desde que uma das afirmações que fez seja falsa. Ora, o Miguel não consegue fazer 100 pontos nem com duas nem com cinco setas. Portanto, o Miguel mentiu.

Uma tarde no circo 

O André, o Tiago, a Carolina e a Joana foram ao circo. O espetáculo tinha vários números com animais: elefantes, tigres, chimpanzés e cavalos. Ao intervalo, algumas pessoas vendiam guloseimas: pipocas, gelados, algodão doce e chocolates.

Todos comeram guloseimas diferentes e, no fim do espetáculo, concluíram que todos tinham gostado de números com animais diferentes.

O André não gostou do número dos tigres, porque teve medo que o domador fosse ferido por algum dos animais. O Tiago, ao ver o seu número preferido, lembrou-se que, no dia seguinte, tinha aula de equitação. A Carolina gostou do

número em que um animal imitava os humanos a ver televisão, enquanto comia amendoins.

A criança que gostou do número dos elefantes comeu pipocas. A Carolina não pôde comer gelado, porque estava com dores de garganta. O Tiago comeu chocolate.

Que guloseima comeu cada uma das crianças?

 

Resolução

Pela informação que nos é dada, podemos concluir que o Tiago preferiu o

número dos cavalos (equitação) e que a Carolina gostou do número dos

chimpanzés (imitava os humanos e comia amendoins). O André não

gostou do número dos tigres. Então, como todos gostaram de números

diferentes, só pode ter gostado do número dos elefantes.

Se o André gostou do número dos elefantes, então foi ele que comeu

pipocas. Sabemos, pela informação dada, que foi o Tiago que comeu

chocolate. Ora, a Carolina não podia comer gelado por estar mal da

garganta. Logo, foi ele que comeu algodão doce. Resta a Joana que terá

comido o gelado.

O gato e o rato

Analisando a seqüência de figuras que se segue, podes concluir que o

gato se desloca, sempre, de um quadrado para o outro, no sentido dos

ponteiros do relógio. Quanto ao rato, desloca-se no sentido anti-horário

(ao contrário dos ponteiros do relógio) e sobre os lados exteriores dos

quadrados menores.

I. No movimento 5, os bichos estão no mesmo quadrado. Se

continuarem a comportar-se sempre da mesma forma, quando

voltarão a encontrar-se? E em que quadrado?

II. Quando é que o rato volta a estar na posição em que estava no

movimento 1?

III. Em que posição estariam os bichos no 35º movimento?

 

Resolução

I. Os bichos voltam a encontrar-se no movimento 8, no quadrado

inferior esquerdo:

II. Voltarão a estar em posição idêntica à do movimento 1, no

movimento 9.

III. O movimento 9 é uma repetição do movimento 1, o 10º será uma

repetição do 2º, o 11º será uma repetição do 3º, e assim sucessivamente.

Numa tabela:

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31 32

33 34 35          

Uma cerca no jardim

Há dois meses, a cadela do Miguel teve cachorros.

O pai do Miguel está a construir uma cerca, quadrada, para que os cachorros possam apanhar sol e brincar, sem estragar o

jardim. Para isso, comprou estacas no valor de 250 euros, mas só conseguiu completar três lados do quadrado e, portanto, precisa de comprar mais estacas.  

Sabendo que cada estaca custa 10 euros e que todos os lados da cerca levam o mesmo número de estacas, quanto mais precisa gastar o pai do Miguel para

completar a obra?

        Resolução

O pai do Miguel comprou inicialmente 25 estacas (250:10). Sabemos que completou 3 lados da cerca e que lhe faltaram estacas para completar a cerca, mas não sabemos se lhe sobraram estacas em número insuficiente para completar o quarto lado.

Vamos primeiro, partir da hipótese de que utilizou todas as estacas para fazer os três primeiros lados. Se cada lado levar 9 estacas, como 3x9=27,  parece que não chegam; só que, (tal como no problema das gralhas) estamos a contar a mesma estaca duas vezes – as que ficam nos vértices do quadrado. Ora reparem:

 

Neste caso, faltariam 7 estacas para completar a rede e o pai do Miguel

teria de gastar mais 70 euros.

 

Mas também podia acontecer que o pai do Miguel só usasse 8 estacas em

cada lado. Neste caso, faltariam ainda 3 estacas e o pai do Miguel teria de

gastar 30 euros.

Pilha de laranjas 

Num supermercado, as laranjas estão arrumadas formando uma pilha cuja primeira camada é um retângulo de 5 laranjas por 7. Acima dessa primeira camada, cada laranja fica alojada numa espécie de bolsa formada por quatro laranjas da camada de baixo.

A última camada é constituída por uma só fila de laranjas.

         Quantas laranjas há na pilha?

Resolução

Para resolver este problema é preciso, em primeiro lugar, perceber como se encontram arrumadas as laranjas.

E, depois, convém simular com um desenho essa arrumação:

Nem sempre é preciso fazer o desenho completo. A certa altura percebe-se que cada camada tem menos uma laranja no comprimento e menos uma laranja na largura que a anterior.

Assim, se a primeira camada tem 7x5=35 laranjas, a segunda terá 6x4=24, a terceira 5x3=15, a quarta 4x2=8, a quinta 3x1=3 laranjas.

A quinta camada tem de ser a última, pois o enunciado refere que «a última camada é constituída por uma só fila de laranjas».

Para calcular o número total de laranjas, basta adicionar os números correspondentes às várias camadas, isto é, 35+24+15+8+3=85.

Um passeio de carro

O André, o Tiago, a Joana e a Carolina vão dar um passeio de carro. O carro só tem 4 lugares: o lugar do condutor, o lugar do passageiro da frente, e dois lugares atrás. Só os rapazes é que sabem guiar.

De quantas formas se podem sentar?

Se todos soubessem guiar, de quantas formas se poderiam sentar? 

 

ResoluçãoPara resolver este problema basta perceber como é que, escolhido um condutor, os outros passageiros se podem sentar.

Por exemplo, suponhamos que é o André que vai a guiar. Ao seu lado, pode sentar-se qualquer um dos outros. Como há mais 3 pessoas, há 3 maneiras de ocupar o lugar ao lado do condutor: a Carolina, a Joana ou o Tiago. Podemos recorrer a um desenho que represente o automóvel e teremos então:

Mas temos ainda mais duas pessoas para sentar. A terceira pessoa pode escolher sentar-se atrás do condutor ou atrás do pendura – duas maneiras. A quarta pessoa fica com o lugar que sobra.

Temos, então, 6 maneiras diferentes dos viajantes se sentarem, quando o condutor é o André. Se for o Tiago a guiar, haverá

igualmente 6 maneiras diferentes dos viajantes se sentarem. Isto é, se só os homens guiarem, há 2x6=12 maneiras diferentes de se sentarem no carro. Esta era a resposta à primeira pergunta.

A resposta à segunda pergunta segue o mesmo raciocínio: sendo 6 as formas diferentes de arrumar os viajantes por cada condutor, havendo agora 4 pessoas que sabem guiar, há, ao todo 4x6=24 formas diferentes das quatro pessoas se sentarem dentro do automóvel. 

/ AC / AC / AT / AT / AJ / AJ // JT / TJ / JC / CJ / CT / TC /     (esta é a situação em que o André guia). 

"No primeiro banco só posso colocar 2 pessoas, no 2º banco (tendo posto 1 pessoa no 1º) só posso colocar 3 pessoas, tendo posto uma delas no 2º banco só posso colocar 2 pessoas no 3º banco, pondo uma delas no 3º só posso pôr 1 pessoa no 4º. Então multipliquei 2x3x2x1=12 (que são todas as variantes que tenho de colocar as pessoas no carro se podem conduzir só 2 pessoas). Se todos puderem conduzir faço da mesma maneira o que dá 4x3x2x1=24".

Um colar regular 

A Marta está a fazer um colar com peças de vários feitios. Mas está a executá-lo de uma forma regular. Reparem:

• Que peça irá a Marta colocar a seguir ao triângulo azul?• Se ela usar, no total, 63 peças, de quantos corações vai precisar?• E de quantos triângulos?• E de quantos círculos? 

 

Resolução

Este problema pode ser resolvido de duas formas: (1) desenha-se o colar completo e contam-se as peças de cada tipo; ou (2) fazem-se cálculos para determinar o número de peças das várias espécies.

Mas, quer para resolver o problema pelo desenho, quer para resolvê-lo

pelo cálculo, é necessário perceber como é que o colar se constrói, como

é que as peças se seguem umas às outras. E isto porque a Marta não

quer um colar qualquer, quer um colar regular!

Quando se escreve a seqüência 2-8-0-7-1-9-8-7-3-4-2-7-... esta não

apresenta qualquer regularidade e, por isso, não podemos saber qual o

número que se segue ao último 7. Mas se a seqüência for 1-3-5-2-4-1-3-5-

2-4-1-3-..., toda a gente pode "adivinhar" que ao último 3 se segue um 5 e

depois um 2, etc. Esta segunda seqüência é regular, segue um padrão.

Qual é, então, o padrão do colar da Marta? 

"Ao fazer o colar de 63 peças, a Marta

vai repetir o padrão de 7 peças (Coração

Vermelho, Triângulo Azul, Sol Amarelo,

Triângulo Azul, 2 Círculos Cinzentos e

Triângulo Azul)".

 

É este, então, o padrão, a seqüência, que se vai repetir. E quantas vezes

se repete esta seqüência?

"63:7=9 (o número 7 representa as

peças que existem em cada seqüência).

Num colar de 63 peças existem 9

seqüência."

 

Falta, agora, calcular o número de peças de cada tipo.

"Se ela usar, no total, 63 peças, faz nove seqüências. Como em cada

seqüência há um coração, vai precisar de 9 corações. Como em cada

seqüência há 3 triângulos, para as nove seqüências (63 peças) vai

precisar de 27 triângulos. Em cada seqüência há dois círculos, nas nove

vezes (63 peças), vai precisar de 18 círculos".

 

"Mas se pensarmos que ela já iniciou o colar e que nos mostra na figura, podemos dizer que ... precisa de 7 corações. Os 9 do total para o colar menos os 2 que aparecem na figura.

... precisa de 22 triângulos. Os 27 do total para o colar menos os 5 que aparecem na figura.

... precisa de 16 círculos. Os 18 do total para o colar menos os 2 que aparecem na figura". Bem, e então qual é a peça que se segue às que vemos na figura? 

"Na figura aparece-nos uma seqüência e 4 peças da seqüência seguinte:

coração – triângulo – sol – triângulo. A peça que virá a seguir será um

círculo".

A sorte está lançada!

Lançam-se, simultaneamente, três dados: um verde, um amarelo e um vermelho.

1.       Qual a pontuação mínima que se pode obter?

2.        Qual a pontuação máxima que se pode obter?

3.        De quantas formas se pode obter 4 pontos?

4.        De quantas formas se pode obter 10 pontos?

5.        Em tua opinião, o que é mais fácil de obter: 4 pontos ou 10 pontos?

  Resolução

 

"A pontuação mínima é obtida quando os três dados

apresentarem a face com o mínimo, ou seja, 1, logo a

pontuação mínima é três. Da mesma forma, a pontuação

máxima é obtida quando os três dados apresentarem a face

com a máxima pontuação, neste caso 3x6=18".

"Podem-se obter 4 pontos de 3 formas:

 

  Para responder à questão 4( pode ser usada uma tabela: 

"Quando existem dois dados com resultados iguais, existem 3 hipóteses de os conjugar  e

Vermelho Amarelo  Verde Total6 3 1 106 2 2 106 1 3 105 4 1 105 3 2 105 2 3 105 1 4 104 5 1 104 4 2 104 3 3 104 2 4 104 1 5 103 6 1 103 5 2 103 4 3 103 3 4 103 2 5 103 1 6 102 6 2 102 5 3 102 4 4 102 3 5 102 2 6 101 6 3 101 5 2 101 4 5 101 3 6 10

quando os resultados dos dados são todos diferentes existem 6 hipóteses de os conjugar:

2+2+6=10          3 formas diferentes

3+3+4=10          3 formas diferentes 

4+4+2=10          3 formas diferentes 

1+6+3=10          6 formas diferentes

2+5+3=10       6 formas diferentes 

1+5+4=10       6 formas diferentes 

 

Finalmente, quase todos concordam: havendo mais formas de obter 10 pontos, há mais possibilidades de, num lançamento dos três dados, obter 10 pontos do que 4 pontos.

Rodas e rodinhas 

    O Miguel e os seus sete primos têm todos ou bicicleta ou triciclo.

    Hoje, foram todos passear. O vizinho da frente viu-os passar e contou 21 rodas.

            Quantas bicicletas viu o vizinho passar?

                        

  Resolução  Há, quase sempre, vários processos para resolver um problema. As pessoas escolhem o processo conforme as "ferramentas" matemáticas de que dispõem e, também, de acordo com a experiência que têm de resolver problemas semelhantes. Para quem sabe resolver equações, esta situação contada no enunciado nem constitui um problema; é apenas um exercício de traduzir o enunciado por uma equação e de resolvê-la.

Uma outra  forma de resolver este problema consiste em analisar as combinações de bicicletas e triciclos (num total de 8) e ver o que se passa com o número de rodas.

Na tabela ao lado, vê-se que, se cada menino utilizar um veículo, não há mais soluções do que aquela registrada a vermelho.

Três caçadores em apuros 

Três amigos, que andavam a caçar na selva, depararam-se, de repente, com um rio largo e profundo e, ainda por cima,

Bicicletas

Triciclos

Rodas

8 0 8x2+0x3=167 1 7x2+1x3=176 2 6x2+2x3=185 3 5x2+3x3=194 4 4x2+4x3=203 5 3x2+5x3=2

12 6 2x2+6x3=221 7 1x2+7x3=230 8 0x2+8x3=24

infestado de crocodilos. Na margem oposta podiam vislumbrar dois rapazes nativos com uma canoa.

A canoa não suporta mais de um homem com o respectivo equipamento – espingarda e mochila – ou, então, só os dois rapazes.

Como poderão os três amigos atravessar o rio, com a ajuda dos dois rapazes?

Desafios com “Seqüências”

Descubra o segredo da seqüência abaixo e escreva os números que faltam.

 

Descubra o segredo dos esquemas abaixo e escreva os números que faltam.

Desafios com “Massa”

Observe a massa de cada uma das pessoas abaixo.

Agora, escreva o nome de cada pessoa na etiqueta adequada sabendo que:

• André é mais leve que Lauro;• Felipe é mais pesado que Sílvio;• Jonas é o mais pesado;• André é mais pesado que Sílvio;• Felipe é mais leve que André.

Numa mesa há seis bolinhas de mesma cor e de mesmo tamanho. Dessas bolinhas, cinco têm a mesma massa e uma tem massa maior que as demais.

Utilizando uma balança de dois pratos e efetuando apenas duas pesagens, como é possível descobrir qual é a bolinha de maior massa?

bserve as balanças abaixo e, de acordo com as indicações, encontre a massa de cada livro.

Repare que balanças a seguir estão em equilíbrio. Em uma dessas balanças a garrafa está cheia com café e na outra a garrafa está vazia.

De acordo com essas balanças, responda as seguintes questões:

a) Qual é a massa da garrafa vazia?

b) Qual é a massa da garrafa com café?

c) Qual é a massa equivalente ao líquido contido na garrafa?

Não vale errar!!!!!!!

Utilizando todos os pesos indicados ao lado, como é possível equilibrar cada uma das balanças a seguir? Dê a resposta por meio de uma figura.

Sem efetuar cálculos, escreva se a superfície branca ocupa maior, menor ou igual área que a superfície cinza.

Agora, verifique se sua resposta está correta.

Divida a figura abaixo em quatro partes que tenham a mesma forma e área, de maneira que em cada uma dessas partes fique a mesma quantidade de triângulos e círculos.

Utilizando três recipientes como os indicados abaixo, como é possível obter, em um deles, 5  de água?

 

Utilizando dois baldes como os indicados abaixo, como é possível obter, em um deles, 3 de água?

 

Utilizando dois baldes como os indicados abaixo, como é possível obter, em um dos baldes, 1 de água?

Osvaldo é vinicultor. Ele armazena sua produção de vinho tinto e vinho branco em cinco barris como os indicados a seguir.

Sabendo que a quantidade de vinho tinto é duas vezes maior que a de vinho branco, responda as seguintes questões.

a) Qual é a quantidade de vinho tinto armazenada? E de vinho branco?

b) Indique os barris que armazenam o vinho branco.

Alguns dos elos a seguir estão presos apenas por um barbante. Se esse barbante for retirado, quantos elos ficarão soltos?

 

Observe os pedaços de corrente representados abaixo.

Para que eles formem uma única corrente aberta, qual é a menor quantidade de elos que devemos cortar?

Recorte o pentágono abaixo. Em seguida, com dois cortes retos, divida-o em três partes de maneira que, ao encaixá-las, seja possível obter um quadrado.

Observação: Os dois cortes devem passar pelo ponto

indicado.

Recorte o círculo abaixo. Em seguida, com apenas um corte reto, divida-o em quatro partes iguais.

Dica: Antes de fazer o corte, dobre o círculo.

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