8/7/2012

1

Prof. Dr. Anderson

Caproni

1

O que é mecânica?

Mecânica

Estuda o movimento de corpos físicos. Inicialmente, a

descrição é feita a partir do movimento de partículas.

E a cinemática se ocupa da descrição do movimento.

2

S0 = 0m

T= 0s

S0 = 10m

T= 1s

S0 = 20m

T= 2s

S0 = 30m

T= 3s

S0 = 0m

T= 0s

S0 = 10m

T= 0,9s

S0 = 20m

T= 1,6s

S0 = 30m

T= 2,0s

8/7/2012

2

Cinemática

A posição da partícula pode ser descrita a partir de 3

coordenadas (normalmente cartesianas).

3

k

j

i

S = 0m S = 10m S = 20m S = 30m

x = x1 i + x2 j + x3 k

Cinemática

O movimento da partícula é descrito escrevendo-se

suas coordenadas em função do tempo.

4

x (t) = x1 (t) i + x2 (t) j + x3 (t) k

O principal objetivo da mecânica é encontrar

maneiras para determinar essas coordenadas.

8/7/2012

3

Cinemática

Conhecendo-se as coordenadas, em função do tempo,

de uma partícula, a sua velocidade é dada por:

5

v (t) = v1 (t) i + v2 (t) j + v3 (t) k

onde,

vi = xi = dxi/dt .

E a sua aceleração é:

a (t) = a1 (t) i + a2 (t) j + a3 (t) k

onde,

ai = vi = dvi/dt = d2xi/dt2 .

Cinemática

Dependendo da situação (problema), outros sistemas

de coordenadas podem ser mais convenientes.

6

x (r, z, θ) – coordenadas cilíndricas

x (r, θ, φ) – coordenadas esféricas

Ou podem ser utilizados outros tipos de coordenadas: Por exemplo, coordenadas do centro de massa e as

angulares (corpo rígido).

8/7/2012

4

Movimento retilíneo

7

Movimento retilíneo

8

S = 0m S = 10m S = 20m S = 30m

Posição – localização do objeto em um determinado instante.

8/7/2012

5

Movimento retilíneo

9

Deslocamento - distância percorrida pelo objeto em relação ao seu

ponto de partida.

S0 = 0m S1 = 10m S2 = 20m S3 = 30m

DS = S3 – S1 = 20m DS = S1 – S0 = 10m DS = S2 – S0 = 20m

Movimento retilíneo uniforme

10

O movimento pode ser uniforme: com velocidade constante, ou

seja, aceleração nula.

S0 = 0m

T= 0s

S0 = 10m

T= 1s

S0 = 20m

T= 2s

S0 = 30m

T= 3s

A moto percorre espaços iguais em tempos iguais.

8/7/2012

6

Movimento retilíneo uniforme

11

A velocidade é uma grandeza vetorial: possui módulo,

direção e sentido.

Chamamos o módulo da velocidade de velocidade escalar.

v1 = 3 i v2 = -2 j

v1 = 3 m/s v2 = 2 m/s

x

y

Movimento retilíneo uniforme

12

No movimento uniforme, como a velocidade é constante, o seu

módulo pode ser calculado simplesmente pela razão entre o

espaço total percorrido e o tempo gasto.

Essa velocidade é a velocidade escalar média:

S0 = 0m

T= 0s

S0 = 10m

T= 1s

S0 = 20m

T= 2s

S0 = 30m

T= 3s

t

sv

D

D

A velocidade média é o quociente entre o

deslocamento de um móvel e o intervalo de

tempo total e está definida como: t

svm

D

D

( 0)

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7

Movimento retilíneo uniforme

13

Porém, a velocidade em um determinado ponto (espacial ou

temporal) durante o deslocamento é chamada velocidade

instantânea.

S0 = 0m

T= 0s

S0 = 10m

T= 1s

S0 = 20m

T= 2s

S0 = 30m

T= 3s

Velocidade instantânea:

dt

sdv

(calculada derivando-se

o vetor deslocamento em

relação ao tempo)

Movimento retilíneo uniforme

14

Equação de movimento:

Vetorial Escalar

tvss 00

tvss 00

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8

Exercício 1

15

Quando o brasileiro Joaquim Cruz ganhou a medalha de ouro

nas Olimpíadas de Los Angeles, correu 800m em 100s. Qual

foi sua velocidade média?

m800Ds

D

D

t

svm

s100Dt

?mv 100

800 1sm8 mv

Como não se pode passar de 2 h, o carro deverá percorrer os 60 km finais num tempo mínimo

de 1 h. Assim:

Exercício 2

16

Em uma nova resolução, o governo decide multar os carros em estradas

baseado na velocidade média. Se, em uma estrada de 200km, a

velocidade média limite é 100km/h, e um carro percorre os primeiros

140 km a 140km/h, qual terá que ser sua velocidade nos últimos 60km

para não ser multado? 0 km 140 km 200 km

Para não ser multado, a velocidade média nos 200 km deve ser menor ou igual a 100 km/h.

Com isto o tempo de percurso deve ser no mínimo:

D

D lim,m

tot

totm v

t

sv

DD

lim,m

tottot

v

st D

100

200tott h2D tott

O tempo gasto pelo carro nos primeiros 140 km foi de: D

D1

11

mv

st

140

140h11 Dt

D

D

2

2lim,2

t

svm

1

60lim,2mv

1

lim,2 hkm60 mv

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9

Movimento uniformemente variado (MUV)

17

O movimento pode ser variado: com a velocidade variando em

função do tempo. A aceleração, nesse caso, é diferente de zero.

S0 = 0m

T= 0s

S0 = 10m

T= 2s

S0 = 20m

T= 3s

S0 = 30m

T= 3,5s

Aceleração: variação da velocidade em função do tempo.

Movimento uniformemente variado (MUV)

18

A aceleração também é uma grandeza vetorial:

possui módulo, direção e sentido.

Chamamos o módulo da aceleração de aceleração escalar.

a1 = 2 i m/s2 a2 = -1 j m/s2

a1 = 2 m/s2 a2 = 1 m/s2

O sinal da aceleração, entretanto, tem um significado mais

importante: ele diz se a velocidade está aumentando (a > 0)

ou diminuindo (a < 0).

x

y

8/7/2012

10

19

Movimento uniformemente variado

20

O movimento pode ser variado: com velocidade variável, ou seja,

aceleração diferente de zero.

S0 = 0m

T= 0s

S0 = 10m

T= 2s

S0 = 20m

T= 3s

S0 = 30m

T= 3,5s

A moto percorre espaços iguais em tempos cada vez menores.

Ou ela percorre, em tempos iguais, espaços cada vez maiores.

Movimento uniformemente variado

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11

21

S0 = 0m

T= 0s

S0 = 10m

T= 1s

S0 = 20m

T= 2s

S0 = 30m

T= 3s

No movimento acelerado, a velocidade não é constante e aceleração

não é nula. Por isso, tem-se que considerar a aceleração. A velocidade

calculada é a instantânea.

v = DS/Dt v = dS/dt

Movimento uniformemente variado (MUV)

Velocidade instantânea:

22

S0 = 0m

T= 0s

S0 = 10m

T= 1s

S0 = 20m

T= 2s

S0 = 30m

T= 3s

a = Dv/Dt a = dv/dt

Movimento uniformemente variado (MUV)

Aceleração instantânea:

8/7/2012

12

23

Movimento uniformemente variado (MUV)

Equações de movimento:

Vetorial Escalar

2

002

1tatvss

2

002

1attvss

a) Posição:

b) Velocidade:

Vetorial Escalar

tavv

0 atvv 0

savv D 22

0

2 savv

D 22

0

2Eq. de Torricelli

24

Ao avistar um radar a 60m de distância, um motorista, a 120km/h, tem

que frear seu carro até atingir 80km/h. Qual deve ser a aceleração da

freada em km/h2? Em quanto tempo (em h) ele tem que frear o carro?

Exercício 3

-60 m

radar

0 m

120 km h-1 80 km h-1

Aceleração da freada: D savv 22

0

2 060,00212080 22 a

a12,0144006400

12,0

144006400a 2hkm7,66666 a

Intervalo de tempo para frear o carro:

atvv 0 t7,6666612080

7,66666

12080t h0006,0t

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13

Gráficos - MRU

Gráfico S x t: como a velocidade é

constante, o espaço percorrido é o

mesmo em intervalos de tempos

iguais.

t=1h

S=10 km

t=1h

S=10 km

25

A curva que representa o espaço

em função do tempo é uma reta.

Gráficos - MRU

26

Gráfico v x t: como a velocidade é constante, a curva que

representa a velocidade em função do tempo é uma reta.

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14

27

Movimento acelerado, a velocidade é variável e o espaço percorrido

muda em intervalos de tempos iguais.

Dt=1s Dt=1s

DS=-3 m

DS=-7 m

Gráficos

28

Movimento acelerado, a velocidade é variável e o espaço percorrido

muda em intervalos de tempos iguais.

Gráficos - MUV

A posição inicial é dada pela

intersecção da curva com o eixo

das ordenadas (S).

A posição é nula na intersecção da

curva com o eixo das abscissas (t).

S0 = 2 m

Nesse caso é preciso achar a raiz

da equação de segundo grau.

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15

29

Movimento acelerado, a velocidade varia linearmente com o tempo.

Gráficos - MUV

A velocidade inicial é dada pela

intersecção da curva com o eixo

das ordenadas (v).

A velocidade é nula na

intersecção da curva com o eixo

das abscissas (t).

v0 = 3 m/s

v = 0 m/s em t = 0,75 s

Aceleração da gravidade (g) é aceleração imprimida a um

corpo perto da superfície da Terra por esta.

Desprezando qualquer atrito e a resistência do ar:

30

Aceleração gravitacional

Todos os corpos, independente de seu tamanho,

forma, composição ou massa, caem com a mesma

aceleração, a aceleração da gravidade g.

..\topicos_fisica_2011\Apollo_15_Hamm

er_Feather_gravity_demonstration.flv

..\topicos_fisica_2011\Brainiac - Do

heavy objects fall faster than light

objects Aristotle vs Galileo.flv

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16

31

Aceleração gravitacional

..\topicos_fisica_2011\MythBusters Bullet Fired Dropped.flv

O valor de g depende, entretanto, da latitude e da altitude.

32

g

Mas, para fins práticos, podemos considerá-lo constante,

sendo sempre vertical e para baixo.

Aceleração gravitacional

Matematicamente: 2

2

T

T sm80665,9 R

GMg

Onde:

G = 6,67210-11 N m2 kg-2 cte gravitacional;

MT = 5,981024 kg massa da Terra;

RT = 6,37106 m raio médio da Terra.

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17

33

Calcular a aceleração da gravidade da Lua, do Sol e de Júpiter.

Para a Lua:

Exercício 4

2

L

LL

R

GMg

26

2211

10738,1

1035,710672,6T

2

L6

1sm623,1 gg

Para o Sol:

2

S

SS

R

GMg

28

3011

1096,6

1099,110672,6T

2

S 28sm09,274 gg

Para Júpiter:

2

J

JJ

R

GMg

27

2711

1069,6

10899,110672,6T

2

J 3sm31,28 gg

Dizemos que se um corpo que cai livremente, somente com a

aceleração da gravidade, sem nenhuma outra influência

externa, está em queda livre.

34

As equações de movimento, nesse caso, serão as mesmas do

MUV, mas com a=g e, normalmente, S=h.

Queda Livre

h = h0 + v0t + gt2/2 h = gt2/2

v0 =0

h0 = 0

v = v0 + gt v = gt

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18

35

Dados dois corpos, um com massa 50 kg e outro com massa 10

kg, qual deles chega primeiro ao chão se largados de uma altura

de 2 m, ao mesmo tempo (despreze efeitos da resistência do ar)?

Para calcular t, sabendo S e a, pode-se usar:

S = S0 + v0 t + at2/2

onde a = g nos dois casos.

Exercício 5

2

2

81,9020 tt

g

2905,42 t

905,4

22t s64,0t

Ambos chegam ao chão no mesmo instante de tempo!!!

36

Calcule o tempo de queda de um corpo de 40 kg de uma altura de

15 m a partir do repouso. Em quanto tempo e a que velocidade

ele chega ao chão?

Exercício 6

h =15 m

281,92

10150 tt

2905,415 t 905,4

152t s75,1t

2

002

1gttvyy

y

gtvv 0 75,181,90v 1sm16,17 v

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19

Nossa experiência cotidiana está repleta de exemplos de

movimentos bi e tridimensionais:

37

Movimento em duas dimensões

Concentremos nossos estudos nos movimentos bidimensionais.

38

Movimento em duas dimensões

A generalização para movimentos tridimensionais é relativamente

direta e, por isso mesmo, pode-se fazê-la sem maiores problemas se

compreendermos bem os aspectos bidimensionais do movimento.

Os conceitos de vetores e trigonometria serão muito importantes e

largamente empregados no estudo de movimentos em 2D.

Vamos rediscutir algumas definições em cinemática do ponto de

vista vetorial...

8/7/2012

20

Vamos considerar um sistema de coordenadas x-y para analisar o

movimento de uma partícula do ponto inicial P ocupado no instante

ti até o ponto final Q ocupado no instante tf

39

Vetor posição e vetor deslocamento

O ponto inicial P é localizado pelo vetor

posição:

O ponto final Q é localizado pelo vetor

posição:

jyixr iiiˆˆ

jyixr fffˆˆ

O vetor deslocamento da partícula indo

do ponto P ao ponto Q está dado por:

jyyixxrrr ifififˆˆ D

jvivjdt

dyi

dt

dxj

t

yi

t

x

jt

yyi

t

xx

t

rr

t

r

dt

rdv

yxtt

if

t

if

t

if

tt

D

D

D

D

D

D

D

D

D

DD

DDDD

00

0000

limlim

limlimlimlim

Denomina-se vetor velocidade média o quociente entre o vetor

deslocamento da partícula e o intervalo de tempo total Δt=tf -ti que

este demora para finalizar tal percurso, ou seja:

40

Vetores velocidade média e velocidade instantânea

Analogamente ao caso unidimensional, podemos

definir o vetor velocidade instantânea como:

t

rvm

D

D

jvivj

t

yi

t

xj

t

yyi

t

xx

t

rr

t

rv mymx

ififif

m

,,

D

D

D

D

D

D

D

D

D

Ou seja:

dt

rdv

Ou seja:

8/7/2012

21

jaiajdt

dvi

dt

dvj

t

vi

t

v

jt

vvi

t

vv

t

vv

t

v

dt

vda

yx

yxy

t

x

t

iyfy

t

ixfx

t

if

tt

D

D

D

D

D

D

D

D

D

DD

DDDD

00

,,

0

,,

000

limlim

limlimlimlim

Denomina-se vetor aceleração média o quociente entre a variação

do vetor velocidade da partícula e o intervalo de tempo total Δt=tf-ti

que este demora para finalizar tal percurso, ou seja:

41

Vetores aceleração média e aceleração instantânea

Analogamente ao caso unidimensional, podemos

definir o vetor aceleração instantânea como:

t

vam

D

D

Ou seja:

dt

vda

Ou seja:

jaiaj

t

vi

t

vj

t

vvi

t

vv

t

vv

t

va ymxm

yxiyfyixfxif

m

,,

,,,,

D

D

D

D

D

D

D

D

D

O movimento de projéteis sob ação da gravidade é um excelente

exemplo de movimento bidimensional. Tal movimento é conhecido

como lançamento oblíquo;

42

Lançamento oblíquo

Partícula se move num plano, com movimento uniformemente

acelerado em uma das direções e com velocidade constante em

outra direção.

g

vx

vy

g

vx

vy

g

vx vy

8/7/2012

22

Vamos considerar que o projétil é lançado a partir de uma altura y0 do chão, na

posição x0 em relação à origem das coordenadas, com um vetor velocidade no

instante t = t0.

43

Lançamento oblíquo

Da figura podemos ver que pode ser

escrito em termos de suas componentes

em x e y:

2

,0

2

,00

00,0,00

:sendo

sincos

yx

yx

vvv

jvivjvivv

O vetor aceleração da gravidade só

possui componente na direção y:

jgg

Decompondo o movimento do projétil nas coordenadas x e y, teremos as

seguintes equações de movimento:

000 cos ttvxx Eixo x:

2

00002

1sin ttgttvyy

Eixo y:

Se y0 = 0, o alcance do projétil, ou seja, seu deslocamento

na direção x, pode ser calculado por:

44

Lançamento oblíquo

g

vxxx

2sin2

002 D

FIGURA 3: Lançamento oblíquo com a mesma velocidade inicial para três

ângulos distintos: 30o (curva azul), 45

o (curva verde) e 60

o (curva vermelha).

Alcance máximo ocorre para =45o

8/7/2012

23

45

Lançamento oblíquo

A altura máxima y1 corresponde ao ponto da trajetória do projétil onde este

possui apenas velocidade na direção x (vy = 0), sendo dada por:

g

vyy

2

sin22

001

Se y0 = 0, o intervalo de tempo Dt transcorrido desde o lançamento do projétil até

seu impacto com o solo (y2 = 0), pode ser calculado a partir da equação:

g

vttt

sin2 002 D

O módulo da velocidade com que o projétil impacta está dado por:

gyvtv 0

2

02 2)(

46

Uma pedra é lançada horizontalmente do topo de uma torre de 24 m de altura e atinge

o solo a uma distância de 18 m da base da torre.

a) Determinar a velocidade escalar com que a bola foi lançada;

b) Determinar a velocidade escalar da pedra no instante em que atinge o solo.

Exercício 7

2

0

81,92

1024)(

0)(

ttty

tvtxv0=?

24 m

18 m

a) Vamos escrever as

equações de movimento

da pedra na direção x e y:

y

x

No instante tsolo, a pedra

atinge o solo, ou seja:

0905,424)(

18)(

2

0

solosolo

solosolo

tty

tvtx

Da primeira equação temos que: 0

18

vtsolo

Substituindo tsolo na equação de y(tsolo):

0

18905,424

2

0v

905,4

24182

0v

905,4

2418

0v

905,424

180v 1

0 sm14,8 v

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24

47

Uma pedra é lançada horizontalmente do topo de uma torre de 24 m de altura e atinge

o solo a uma distância de 18 m da base da torre.

a) Determinar a velocidade escalar com que a bola foi lançada;

b) Determinar a velocidade escalar da pedra no instante em que atinge o solo.

Exercício 7 (continuação)

b) A velocidade escalar ao atingir o solo corresponde ao

módulo do vetor velocidade neste instante, ou seja:

soloysoloy gtvtv 0)(

14,8

1881,90

22)()()( soloysoloxsolo tvtvtv

vx(tsolo)=8,14 m s-1, enquanto que vy(tsolo) pode ser

calculado por:

-1sm69,21)( soloy tv

Portanto:

22

69,2114,8)( solotv1sm16,23)( solotv