03 - Otimização com Restrições I

Mtodos Quantitativos

em EconomiaTpico 03 Otimizao com Restries I: Condies

de Primeira Ordem

Ricardo Bruno N. dos Santos

Waldemar Sobral SampaioProfessores Faculdade de Economia

e do PPGE (Economia) UFPA

Todo o material necessrio (mas no suficiente) aoacompanhamento do curso estar disponvel no link doMediafire:

http://www.mediafire.com/?v0g6utclc5ni5

Instrues para visualizar os vdeos:

- Os vdeos estaro disponibilizados na pasta videos;

- Instale o k-lite codec para visualiza-los;

- Se voc criar o diretrio c:\mtodos e nesse diretrioinserir os slides, os vdeos, para serem abertos pelocone do vdeo, devero ficar no diretrioc:\mtodos\videos.

- PS videos sem o acento.

O QUE VEREMOS

SIMON, Carl P. e BLUME, Lawrence. Matemtica paraEconomistas. Porto Alegre: Bookman, 2004.

PARTE IV: OTIMIZAO

- Capitulo 16: Formas Quadrticas e Matrizes Definidas;

- Capitulo 17: Otimizao No Condicionada;

- Capitulo 18: Otimizao com Restries I: Condiesde primeira Ordem;

- Capitulo 19: Otimizao com Restries II;

- Capitulo 20: Funes Homogneas e Homotticas;

- Capitulo 21: Funes Cncavas e Quase-cncavas;

- Capitulo 22: Aplicaes em Economia.

Otimizao com restries I: Condies de 1 ordem

Agora temos uma relao mais definitiva com aeconomia. A partir desse ponto estaremos aplicandorestries nos modelos ou relaes econmicas.

Empresas: Querem Maximizar Lucros;

Famlias: Querem Maximizar sua satisfao

Governo: Quer minimizar seus gastos; Maximizar aArrecadao.


Ou seja, a relao intrnseca que existe entre os vrios setorese atores econmicos devem ser otimizadas. A empresapossui restries quanto ao custo e a disponibilidade deinsumos; para uma famlia, maximizar sua cesta de consumoideal depender do nvel de renda da mesma.

Matematicamente podemos inserir essa restrio por meiode uma funo, onde:

max(, , )Onde , , deve satisfazer:

, , , , (, , ) , , = , , , , =


EXEMPLOS

Maximizao da Utilidade Nesse tipo de situao temos arepresentao a quantidade de uma determinada mercadoriai e , , , geralmente denotada por U , , pararetratar a utilidade. Nesse caso a funo estar medindo onvel de utilidade ou satisfao com o consumo de unidades do bem 1 e unidades do bem 2, e assim pordiante. Podemos representar o preo das mercadorias por, , e I como a renda individual. Assim o objetivo doconsumidor :

max(, , ). ++

0, , 0


Utilidade com escolha entre renda e lazer: Sejam U, , , ,, , como no exemplo anterior. Alm disso, sejam # ataxa salarial, $ a renda no salarial do consumidor, %& as horasde trabalho e % as horas de lazer. O consumidor tem $ +#%'unidades monetrias para gastar e deseja:

max(, , , %)

. . ++ $ +#%'%' + % = 24 0, , 0, %' 0, % 0


Maximizao do lucro de uma forma no mercado de

concorrncia perfeita: Considerando que uma firma opere emum mercado cujo regime seja de concorrncia perfeita e quea mesma utilize n insumos para produzir seu produto. Sejam* o nvel de produo e , , as quantidades dos insumos(vistos como fluxos). Seja * = (, , ) a funo deproduo da firma, que descreve o nvel de produo mximoque pode ser alcanado com a cesta de insumos (, , ).Sejam o preo unitrio do produto e #+ o custo do insumo i.O principal objetivo da firma escolher (, , ) quemaximize o seu lucro


max, , , = , , .#++

s.a.

, , #++ 0 lucros no negativos 0 , , (0) disponibilidade de insumos 0, , 0


RESTRIES DE IGUALDADE

A curva de nvel da funo f de valor mais alto que TOCA oCONJUNTO-RESTRIO C deve ser tangente C no mximocondicionado. Esta soluo ocorrer no ponto x*.

C

b

x*

U1

U3U2


Ento considerando uma funo representada por (+) e onosso conjunto restrio C representada por (+), ento noponto x* em que ambas tangenciam-se temos para umafuno maximizadora simples como max(, ) sujeita arestrio 1 = (, ), ento temos2

2 (0)

22 (0

)=

22 (0

)22 (0

)Ou reescrevendo temos

45467 (0

)48467 (0

)=

45469 (0

)48469 (0

)Corrigir a equao (3) da pgina 424 do Simon e Blume.


Chamando de m o valor obtido na expresso anteriorteremos:

22 (x

)22 (x

)=

22 (x

)22 (x

)= :

O que remete a equao22 x

: 22 x = 0

22 x

: 22 x = 0


Nesse caso o termo m remete a um termo sombra quedeveremos encontrar, ou seja, passamos a buscar trs incgnitasespecficas onde (, , ;), onde o ; representa o m. No entanto,para encontrar essa incgnita temos que multiplica-la com a nossaequao de restrio, assim, passamos a considerar o processo derestrio envolvendo:

22 x

; 22 x = 0

22 x

; 22 x = 0

, 1 = 0Tal sistema pode ser escrito de uma forma mais adequada. Essamaneira conhecida como funo lagrangiana ou, simplesmente,o lagrangiano

< , , ; , ; , 1


Ao derivarmos o lagrangiano em relao a cada uma das

variveis + e o termo sombra ; ( >?>@A ,>?>@B ,

>?>C), chegaremos ao

mesmo sistema visto anteriormente. O termo ; maisconhecido como multiplicador de Lagrange.

No entanto, temos que considerar uma importanteinformao. Tal reduo no teria funcionado se as derivadasparciais da funo de restrio 2/2+ fossem zero nomximo x*. Por esta razo, necessitamos criar a hiptese deque 2/2+ no-nula no mximo condicionado, ou ambasso nulas. Como trata-se de um imposio no conjuntorestrio (fraca), denominada qualificao de restrio. Se arestrio linear ela satisfeita de forma automtica.


EFGHFIJ7K. 7: Sejam f e h funes 1 de duas variveis.Suponha que 0 = (, ) uma soluo do problema

max , . . , = 1

Suponha tambm que (, ) no um ponto crtico de h.Ento, existe um nmero real ; tal que (, , ;) umponto crtico da funo Lagrangiana

< , , ; , ; , 1Ou seja, em (, , ;) temos2M>@B

e L 0 =>N>@A>N>@B

Podemos dizer ento que no ponto x* os vetores gradientes L 0 eL 0 devem estar alinhados, ou seja, possuem a mesma direo; elesapontam no mesmo sentido (na situao de max condicionado) ou emsentidos opostos (na situao de min condicionado). No caso domultiplicador como *, obteremos L 0 =L 0 , ou seja,

2222

= ;2222


No grfico teramos:

C

U2

x*

L(0)

L(0)

Na situao de max

C

U2

L(0)

L(0)

Na situao de min

x*


Vamos verificar como fica essa composio para o seguinteproblema:

max , = . . 1N = , : 2 + = 3

A primeira coisa a se fazer construir o Lagrangeano< , , ; = ;(2 + 3)

Resolvendo as condies de primeira ordem temos:2@ = *a 2; ; = 0>?>d = a 2;* = 0>?>c = * ; = 0>?>CA = 1

* = 0>?>CB = 1 a = 0

O primeiro passo ser encontrar osvalores dos multiplicadores, para isso,basta isola-los na segunda e terceiraequao, para depois substituirmos na 1equao. Assim

Otimizao com restries I: Condies de 1 ordemDe(3 + 1)( 1)Da quadrtica obtemos:

j kl ; $ 0,7676;$$ = 0,4343

Substituindo cada um desses valores nasrestries teremos: 0,7676 * 0,6409 a 1,7676

0,4343 * 0,9008 a 0,5657

>?>CA = 1

* = 0>?>CB = 1 a = 0

* = 1 0,7676 * 0,6409a = 1 + 0,7676 a 1,7676.

Para os 4 pontos teremos:

Funo5 = 6Xe

x y z Valor

-0,7676 0,6409 1,7676 -0,8696

* (mximo) -0,7676 -0,6409 1,7676 0,8696

0,4343 0,9008 0,5657 0,2213

0,4343 -0,9008 0,5657 -0,2213


RESTRIES DE DESIGUALDADE

Quando trabalhamos com esse tipo de restrio estamosenveredando para algo mais complexo na otimizao. Noentanto, enveredar para essa anlise essencial para tratarde problemas econmicos, pois, na sua grande maioria, asrestries econmicas envolvem um campo de atuao queno se limita apenas a pontos fixos, mas sim. A um conjuntode possibilidades.


Nesse o problema de otimizao estar ligado a uma funomaximixadora com a seguinte restrio:

max(, *). . (, *)

r 6, X = s

p

U1

U3U2

L(t)

L(t)

r 6, X s


No caso do grfico anterior, quando estamos trabalhandocom o ponto crtico p, ou seja, quando a CPO da funoobjetivo se iguala com a CPO da funo de restrio temosuma restrio ATIVA (ou, ento, vinculadora, eficaz ou justa)em p. Ou seja, continuaremos observando o gradiente tantode f quanto da restrio g, ou seja,

L t L t = 0Lembrando que o gradiente da funo objetivo serequivalente a um mltiplo do gradiente da restrio, que nocaso da desigualdade estar representado por


Porm deve-se ter um cuidado peculiar na avaliao darestrio. Como ela tem agora a desigualdade, devemostomar o cuidado de o gradiente L t no apontar para oconjunto restrio na maximizao, isso porque se eleapontar para o conjunto restrio poderamos aumentar f eainda manter (, *) . Ou seja, L t deve apontar paraa regio em que (, *) .Com isso, na relao L t = L t devemos concluir quepara o gradiente de f ser positivo, devemos ter 0.Ou seja, mas uma vez podemos elaborar a nossa funolagrandiana da mesma forma que anteriormente, no entantoo que ir mudar so algumas condies restritivas em relaoao multiplicador.


Nosso lagrangiano passa a ser ento:< , *, u , * [ , * ]

Que pelos gradientes nos fornece:2@ , *, = 0 b)

>?>d , *, = 0

c) , * = 0 d) 0

e) (, *)


Algumas observaes importantes devem ser consideradas:antes de irmos para tais observaes devemos ter em menteque cada autor tem uma preferncia de retratar a restrio. Aforma de retratar a mesma altera o valor do sinal nolagrangiano. Por exemplo, alguns preferem colocar que(, *) , nesse caso na funo lagrangiana teremos< = , * + [ , * ].

Comparando o que fora visto no teorema 18.2 e 18.3(respectivamente restries de igualdade e desigualdade):

i) Ambos usam a mesma funo L, requerendo que ascondies de primeira ordem em relao aos + sejam nulas;


ii) A condio>?>C = , * = 0 para restries de

igualdade pode no valer mais para restries dedesigualdade, pois a restrio no precisa ser ativa nomximo em caso de restries de desigualdade. A condio substituda por duas condies

, * = 0R 2


iv) No havia restries no sinal do multiplicador na situaade igualdade; porm, o multiplicador para restries dedesigualdade deve ser no negativo.

v) Para restries de igualdade (e para problemas semrestries), as mesmas CPO que valem para problemas demaximizao tambm so aplicveis para minimizao. Noentanto, devemos ter a cautela de como se comporta adireo do gradiente de f e g.


Considere o problemamax , * = *

. . , * = + * 1


Vrias restries de desigualdade

Nesse caso temos a configurao do teorema como:

Teorema 18.4: Suponha que f, , , funes 1 de nvariveis. Suponha que x* um mximo local de f noconjunto restrio definido pelas k desigualdades

, , , , (, , )

Para facilitar a notao, suponha que as primeiras |'restries so ativas em x* e que as ltimas | |' restriesso inativas. Suponha que a seguinte qualificao de restriono degenerada est satisfeita em x*


Cont. Teorema 18.4

O posto x* da matriz jacobiana ser22 (0

) 22 (0)

2}2 (0

) 2}2 (0)

Das restries ativas |', ou seja, o maior possvel.


Formando assim o Lagrangiano:< , , , , , , ,[ ]

Ento existem multiplicadores , , tais que:a)

>?>@A

, = 0, , >?>@~ , = 0

b) = 0, , = 0

c) 0, , 0

d) , ,


Considere agora o problema:max , *, a = *a

. . + * + a 1 0* 0Ra 0


RESTRIES MISTAS

Em algumas situaes teremos que trabalhar tanto comrestries de desigualdade como tambm as com igualdade.Para definir esse teorema, deve-se realizar uma combinaoentre os teoremas 18.2 e 18.4 vistos at o momento.

Nesse caso, para uma restrio mista, deve-se seguir oseguinte teorema:


Teorema 18.5: Suponha que f, , , , , , sofunes de 1 de n variveis. Suponha que x* ummximo local de f no conjunto restrio definido pelas kdesigualdades em m igualdades:

, , , , (, , ) , , = , , , , =

Sem perda de generalidade, podemos supor que as primeiras|' restries de desigualdade so ativas em x* e que asoutras | |' restries de desigualdade so inativas.Suponha que a seguinte QRND est satisfeita em x*.


O posto de x* da matriz Jacobiana22 (0

) 22 (0)

22 (0

)22 (0

)

22 (0

)

22 (0

)22 (0

)

22 (0

)Das restries de igualdade e das restries de desigualdadeativas |' +:, ou seja, o maior possvel.


O seguinte lagrangiano deve ser formado:< , , ,, , , ;, , ;

= , , , , ; , , ;[ , , ]

Com isso teremos os seguintes multiplicadores:

(a) >?>@A 0, = 0, , >?>@~ 0

, = 0

(b) , , = 0, , , , = 0

(c) 0 = , , 0 =

(d) 0, , 0, e

(e) 0 , , 0


Para fazer uso dessa formulao, necessitamos escrever todasas restries de desigualdade na forma () . Porexemplo, escreveramos a restrio + * 5 como arestrio + * 5 . Note que, neste caso, asrestries de no negatividade j esto na forma correta;agora elas aparecem no lagrangiano como ++.


Tal abordagem pode variar em outras leituras, masmanteremos esta que est de acordo com a nossa principalbibliografia. Com relao a minimizao condicionada temos:

i) Basta substituir a funo objetivo por uma com o sinalnegativo, ou seja f passa a ser f . Mantenha todo o restantedas restries, mesmo as restries de desigualdade.

ii) Coloque os multiplicadores no lagrangiano com um sinal demais em vez do sinal de menos, mantendo as restries comoelas estavam, para o problema de maximizao condicionada.


Vamos ao exemplo 18.10 do Simon e Blume onde:max *

. . + * = 4 0; * 0

O Lagrange para esse equao ser:< = * ; + * 4 + + *

Podemos montar a seguinte matriz Jacobiana:

2 2*1 00 1

nesse caso nossa matriz ter posto 2,

independente do valor de x e y


Podemos perceber que a condio QRND atendida.

Nossas condies so:

(1)>?>@ = 1 2; + = 0

(2)>?>d = 2* 2;* + = 0

(3) + * 4 = 0(4) 0(5) * 0

Que so nossas condies de folga complementar

Otimizao com restries I: Condies de 1 ordemUsando agora (3) podemos verificar peloque j encontramos que:

= 4, 2No entanto, como temos a condio deno negatividade presente conclumosque x=2.

Substituindo todos os resultadosencontrados em (1) encontramos o valorde

1 - 4; 0

; 1

4

Com isso, a maximizao ocorrer em:

; *; ;; ; (2; 0;

; 0; 0)

APLICAO E USO DA fmincon

Inicialmente verificamos que por (1)temos:

1 2;

Se 0 ento ; 0R 0

De (2) podemos verificar que:

2* 1 ;

Se 0 ento percebe-se que ou* 0, ou se ; v 0, como j verificamosque em (1) >0 ento a segundahiptese est descartada.

Logo podemos concluir que:

* 0


PROBLEMAS DE MINIMIZAO CONDICIONADA

Quando trabalhamos com esse tipo de problema temos quemudar a restrio de igualdade, ou seja, antes, namaximizao, trabalhava-se com a restrio menor igual,agora, em minimizao temos que considerar a restrio dedesigualdade como maior igual. Ou ento, podemos fazer amudana no sinal da funo objetivo, como verificou-se naprogramao do Matlab.

Diante dessa informao, passamos a definir o teorema paraminimizar uma funo objetivo dada suas restries comosendo:


Teorema 18.6: Suponha que f, , , , , , sofunes de 1 de n variveis. Suponha que x* ummnimo local de f no conjunto restrio definido pelas kdesigualdades em m igualdades:

, , , , (, , ) , , = , , , , =

Sem perda de generalidade, podemos supor que as primeiras|' restries de desigualdade so ativas em x* e que asoutras | |' restries de desigualdade so inativas.Suponha que a seguinte QRND est satisfeita em x*.


O posto de x* da matriz Jacobiana22 (0

) 22 (0)

22 (0

)22 (0

)

22 (0

)

22 (0

)22 (0

)

22 (0

)Das restries de igualdade e das restries de desigualdadeativas |' +:, ou seja, o maior possvel.


O seguinte lagrangiano deve ser formado:< , , ,, , , ;, , ;

= , , , , ; , , ;[ , , ]

Com isso teremos os seguintes multiplicadores:

(a) >?>@A 0, = 0, , >?>@~ 0

, = 0

(b) , , = 0, , , , = 0

(c) 0 = , , 0 =

(d) 0, , 0, e

(e) 0 , , 0


Quanto a minimizao devemos ter os seguintes cuidados:

No uso dessa formulao, precisamos escrever todas as restriesde desigualdade na forma () . Por exemplo, para a restriode desigualdade + * 5 teremos para minimizao * 5. Nesse caso as restries de no negatividade jesto na forma correta; agora elas aparecem no lagrangiano como ++.Nesse caso valem as seguintes dicas:

(1) Substitua f por f j que minimizar f o mesmo que maximizarf. Mantenha todo o restante exatamente como naformulao de max condicionado, inclusive a forma dasrestries de desigualdade.

(2) Coloque os multiplicadores no lagrangiano com um sinal demais em vez de menos, mantendo as restries como elasestavam para o problema de maximizao condicionada.


FORMULAO DE KUHN-TUCKER

Como os problemas de max condicionada mais comuns emeconomia envolvem somente restries de desigualdade euma coleo completa de restries de no negatividade:

max(, , ). . , , , , , ,

0, , 0Dadas estas condies, podemos fazer uso de um lagrangeespecial para solucionar tal problema. Trata-se da formulaode Kuhn-Tucker.

Considerando a QRND para x* do problema acima, peloteorema 18.4 verificou-se como resolver esse problema aparir das CPO.


No caso da formulao de Kuhn-Tucker ser considerado umaoutra forma de especificao da funo lagrangiana, onde:

?>@ + = 0 ou

>?>@ 0 e

>?>@ = 0


Nesse caso, para cada x,

2


Ento teremos dadas as condies anteriores de Khun-Tucker

2


Com isso podemos chegar ao seguinte teorema:

Teorema 18.7: Considere o problema de maximizaocondicionada max(0) . . 0 , , (0) e0 0 sem restries de igualdade e com uma coleocompleta de restries de no negatividade. Forme olagrangiano de Kuhn-Tucker @ = 0 ,2?>@ = 0.


De um problema considerando a maximizao da utilidade, apartir de Kuhn-Tucker temos:max(, ) . . + 0, 0

Ento teremos:

03 - Otimização com Restrições I

Documents

Transcript of 03 - Otimização com Restrições I