NOTAS DE AULAS DE FSICA MODERNAProf. Carlos R. A. Lima

CAPTULO 5

PROPRIEDADES ONDULATRIAS DA MATRIA

Primeira Edio junho de 2005

CAPTULO 5 PROPRIEDADES ONDULATRIAS DA MATRIA NDICE5.1- Postulados de de Broglie 5.2- Interpretao Probabilstica da Dualidade Onda - Partcula 5.3- Propriedades das Ondas de Matria 5.4- Princpio da Incerteza 5.5- Experimento de Franck e Hertz 5.6- Integral de Ao e Regras da Quantizao 5.7- Modelo de SommerfeldNessa apostila aparecem sees, sub-sees e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposio de aula sem prejuzo da continuidade do curso de Estrutura da Matria. Entretanto, desejvel que os alunos leiam tais assuntos e discutam dvidas com o professor fora do horrio de aula. Fica a cargo do professor a cobrana ou no dos tpicos facultativos. Excluindo os tpicos facultativos, esse captulo deve ser abordado no mximo em 3 aulas de quatro crditos.

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Lista de Exerccios1- Por que a natureza ondulatria da matria no evidente em nossas observaes dirias? O comportamento ondulatrio de uma partcula clssica pode ser obtido assumindo-se m na frmula de de Broglie? Explique. 2- O comprimento de onda de de Broglie pode ser menor que a dimenso da partcula? Pode ser maior? necessrio que haja alguma relao entre essas grandezas? 3- A difrao de eltrons pode ser utilizada para se estudar a estrutura de slidos cristalinos? Explique. 4- Discuta a analogia: A ptica ondulatria para a ptica geomtrica assim como a mecnica quntica para a mecnica clssica. 5- Afinal de conta o que um eltron, uma partcula ou uma onda? Explique. 6- Discuta semelhanas e diferenas entre uma onda de matria e uma onda eletromagntica 7- Um projtil de massa m = 40g move-se a uma velocidade v = 1000m / s . (a) Qual o comprimento de onda de de Broglie que se pode associar a ele? (b) Por que sua natureza ondulatria no se revela por meio de efeitos de difrao? 8- O comprimento de onda da emisso espectral amarela do sdio eltron teria o mesmo comprimento de onda de de Broglie?

= 5890 A0 . Com que energia cintica um0

9- Um eltron e um fton tem ambos um comprimento de onda = 2.0 A . Quais so (a) seus momentos? (b) suas energias totais? (c) Compare as energias cinticas do eltron e do fton. 10- Um nutron trmico tem uma energia cintica

b3 2gkT

, onde

T = 300 K

a temperatura ambiente. Estes

nutrons esto em equilbrio trmico com o ambiente. (a) Qual a energia em eltrons - volt de um nutron trmico? (b) Qual o comprimento de onda de de Broglie? 11- Um feixe de nutrons de 1eV atinge um cristal cujo planos cristalinos esto separados por d = 0,025nm . Determine o ngulo de fase para o qual o primeiro mximo de interferncia observado.

. 12- O espaamento planar em um cristal de cloreto de potssio d = 314 A . Compare o ngulo de reflexo de Bragg de primeira ordem, por esses planos, de eltrons com energia cintica 40keV com o de ftons com energia 40keV . it0

13- Considere a interferncia de duas ondas 1 e 2 , emitidas de duas fendas estreitas e paralelas de distncia d , como mostra a figura ao lado. As ondas tm mesmas amplitude A , mesma freqncia e diferena de fase . Construa a superposio 1 + 2 usando a notao complexa para a funo de onda e mostre que a dependncia do padro de interferncia resultante com o ngulo ,

1 = Ae

d

1 = Aei b t + g dsen

I = 4 A cos2

FG kd senIJ . ( Sugesto: mostre primeiramente H2 K i 2

que, = 1 + 2 = A e

+ ei 2 ei b t + 2 g , em seguida escreva as exponenciais complexa entre colchetes na2

forma trigonomtrica. Escreva a distribuio de intensidades do padro de interferncia I = , e observe que a diferena de fase entre as duas ondas pode ser escrita na forma =

2 dsen ).

14- Referindo-se ao princpio da incerteza de Heisenberg, d exemplo de algum caso em que o processo de medida perturba o sistema que est sendo medido. 40

15- D uma justificativa partir do princpio da incerteza de Heisenberg ( Et

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que a energia de um

oscilador harmnico no pode ser nula. (Sugesto: Ser que o perodo de um oscilador pode ser infinito? Pense nisso). 16- Qual seria a voltagem aceleradora dos eltrons em um microscpio eletrnico necessria para que se tenha a mesma resoluo mxima que pode ser obtida em um "microscpio de raios " usando raios de 0.2 MeV ? 17- A resoluo mxima atingida por um microscpio limitada apenas pelo comprimento de onda utilizado, isto , o menor detalhe que se pode distinguir aproximadamente igual ao comprimento de onda. Suponhamos que se queira ver o interior de um tomo de dimetro 1.0 A , com detalhes da ordem de 0.1 A . (a) Se usarmos um microscpio eletrnico, qual seria a energia mnima necessria para os eltrons? (b) Se usarmos um microscpio ptico, qual seria a energia mnima para os ftons? Em que regio do espectro eletromagntico esto esses ftons? (c) Qual dos microscpios seria mais prtico para esse objetivo? Explique. 18- Mostre que para uma partcula livre pode-se escrever a relao de incerteza tambm na forma0 0

x 2 4 , onde xonda.

a incerteza na posio da onda e

a incerteza simultnea no comprimento de

19- Mostre que se a incerteza na posio de uma partcula for aproximadamente igual a seu comprimento de onda de de Broglie, ento a incerteza em sua velocidade aproximadamente igual a sua velocidade. 20- Um microscpio ptico utilizado para localizar um eltron em um tomo em uma regio de dimenso linear de

0.2 A 0 . Qual a incerteza na velocidade de um eltron localizado dessa forma?

21- Uma partcula de massa m est confinada em uma regio unidimensional de comprimento a . Use o princpio da incerteza para obter uma expresso para a energia mnima da partcula. Calcule o valor dessa energia para uma gota de massa m = 1g mantida sobre um fio de comprimento a = 10cm , e para um eltron em uma regio de comprimento

a = 0,1nm .0

22- (a) Considere um eltron em algum ponto dentro de um tomo de dimetro 1 A . Qual a incerteza no momento do eltron? Esse resultado consistente com a energia de ligao de eltrons em tomos? Pense em termos de energias das transies atmicas pertencente a regio visvel do espectro eletromagntico. (b) Imagine que um eltron esteja em algum ponto no interior de um ncleo de 10 cm . Qual a incerteza no momento do eltron? Esse resultado consistente com a energia de ligao de partculas constituintes do ncleo? Pense em termos de energias das transies nucleares pertencente a regio dos raios X e do espectro eletromagntico. (c) Considere um nutron, ou um prton, no interior desse ncleo atmico. Qual a incerteza no momento do nutron, ou do prton? Esse resultado consistente com a energia de ligao de partculas constituintes do ncleo? 23- A vida mdia de um estado excitado de um ncleo normalmente de cerca de energia do fton de raio emitido?12

1012 s . Qual a incerteza na

24- um garoto no alto de uma escada de altura H est jogando bolas de gude de massa m em uma fenda existente no solo. Para atingi-la, ele utiliza um equipamento que tem a maior preciso possvel. (a) Mostre que as bolas de gude vo deixar de atingir a fenda por uma distncia em mdia da ordem de

F I F HI xG J G J H mK H g K12

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, onde g a

acelerao da gravidade. (b) Utilizando valores razoveis de H e m, calcule esta distncia.

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