1 Lógica Proposicional. 2 Sintaxe (uma revisão mais formal) Def.1 Um alfabeto é um conjunto...

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Lógica Proposicional

2

Sintaxe (uma revisão mais formal)

Def.1 Um alfabeto é um conjunto qualquer de símbolos.

Def. 2 Dado um alfabeto , uma palavra (ou cadeia) sobre é uma sequência finita de símbolos de .

Def. 3 Uma linguagem sobre um alfabeto , L(), é um conjunto qualquer de palavras sobre .

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Def. 4 Um alfabeto proposicional consiste da união dos seguintes conjuntos de símbolos:

(i) conjunto de símbolos lógicos: pontuação: ( , ) conectivos: ~(negação), &(conjunção), (disjunção), (implicação) e (bi-implicação)

(ii) conjunto de símbolos não-lógicos: conjunto enumerável de símbolos proposicionais

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Def. 5 O conjunto das fórmulas proposicionais sobre um alfabeto proposicional é o menor conjunto de palavras sobre satisfazendo as condições:

todo símbolo proposicional P é uma fórmula (fórmula atômica) sobre .

se P e Q são fórmulas sobre , então (~P), (P & Q), (P Q), (P Q) e (P Q) são fórmulas sobre .

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Def. 6 Uma fórmula é uma sub-fórmula de uma fórmula se e somente se é ou ocorre em .

Def. 7 Uma linguagem proposicional sobre um alfabeto , L(), é o conjunto das fórmulas proposicionais sobre .

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Convenções AdotadasObjeto Sintático Convenção Notacional

Alfabeto Símbolos

Proposicionais P, Q, R, ...Conjuntos de Símbolos

Proposicionais P, Q, R, ... Fórmulas , , , ...

Conjuntos de Fórmulas , , , ... Linguagem

Proposicional L()

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Convenção sobre omissão de parênteses

Parênteses mais externos podem ser omitidosEx.: P & Q é (P & Q)

Negação aplica-se à menor fórmula possívelEx.: ~P & Q é ((~P) & Q) e não ~(P & Q)

Conjunção e disjunção aplicam-se à menor fórmula possívelEx.: P & Q R é (P & Q) R e não P & (Q R)

Agrupamento pela direita quando houver repetição de conectivosEx.: P & Q R é (P & (Q R))

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Exemplo: Formalizar o problema que segue

Descrição da situação:“Suponhamos que Sócrates estaria disposto a visitar Platão, se Platão estivesse disposto a visitá-lo; e que Platão não estaria disposto a visitar Sócrates, se Sócrates estivesse disposto a visitá-lo, mas estaria disposto a visitar Sócrates, se Sócrates não estivesse disposto a visitá-lo”.

Pergunta: Sócrates está ou não disposto a visitar Platão?

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Continuação do Exemplo: Formalização da situação:

Escolhendo um P = {P, Q} com o seguinte significado:P : Sócrates está disposto a visitar Platão.

Q : Platão está disposto a visitar Sócrates. A situação pode ser descrita por:

Sócrates: (Q P)Platão: (P ~Q) & (~P Q)

Então, a pergunta pode ser posta na seguinte forma:{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= P ou ?{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= ~P

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Continuação do Exemplo: Como Provar qual das respostas está correta?

Como a Lógica Proposicional é um sistema formal coerente e completo pode-se provar por Derivação ou por Implicação Lógica.

a) Por derivação (|- ). A partir das premissas deriva-se a resposta certa

{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |- P ou ?{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |- ~P

b) Por Implicação Lógica, |= . Pela atribuição de valores lógico, verifica-se qual das respostas é uma implicação lógica

{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= P ou ?{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= ~P

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{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |- P

1. Q P P2. (P ~Q) & (~P Q) P3. | ~ P H P/ RAA4. | ~P Q 2 ^E5. | Q 3, 4 MP6. | P 1, 5 MP7. | P ^ ~P 3, 6 ^I8. ~~P 3-7 RAA9. P 8 ~E

Fica provado que “ Sócrates está disposto a visitar Platão” |- ((Q P) & ((P ~Q) & (~P Q))) P

Não Existe uma prova/derivação para ~P (verifique)

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b) Para provar por Implicação Lógica, |=

{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= P ou ?{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= ~P

E necessário atribuir valores verdade (semântica) às fórmulas, e verificar qual das respostas (conclusão) é uma implicação lógica das premissas.

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Semântica da Lógica Proposicional

As fórmulas de uma linguagem proposicional têm como significado os valores-verdade (ou valores-lógicos) VERDADEIRO (V) ou FALSO (F).

Como atribuir um valor-verdade às fórmulas?

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Semântica

Def. 8 Seja um alfabeto proposicional e P o conjunto de símbolos proposicionais de . Uma atribuição de valor-verdade para é uma função de atribuição: v : P {V, F}também chamada uma interpretação para .

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Semântica Def. 9 Seja um alfabeto proposicional e v uma

interpretação para .

A função de avaliação para L() induzida por v é a função:

v´: L() {V, F}v´ é definida da seguinte forma:

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Semântica Continuação da Def. 9:

v´(P) = v (P), se P é um símbolo proposicional de

v´(~ ) = V, se v´() = F = F, se v´() = V

v´( & ) = V, se v´() = v´() = V = F, nos outros casos

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Semântica Continuação da Def. 9:

v´( ) = V, se v´() ou v´() = V= F, se v´() = v´() = F

v´( ) = F, se v´() = V e v´() = F = V , nos outros casos

v´( ) = V, se v´() = v´() = F, se v´() v´()

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Tabela da Semântica dos Conectivos Lógicos

P Q ~P P & Q P Q P Q P QV V F V V V VV F F F V F FF V V F V V FF F V F F V V

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Exemplo = (P ~Q) & (~P Q)

P Q ~P ~Q P ~Q ~P Q (P ~Q) &

(~P Q)v 1 V V F F F V Fv 2 V F F V V V Vv 3 F V V F V V Vv 4 F F V V V F F v´() = v´((P ~Q) & (~P Q)) = V a avaliação de , v’ , é Verdadeira para as interpretações 2 e 3.

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Semântica Def. 10: ( alfabeto, conjunto de fórmulas e

fórmula).

é verdadeira em uma atribuição de valor-verdade v (interpretação) para sse v () = V

é válida (tautologia) (|= ) sse v () = V ( é verdadeira) para toda interpretação v para

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Semântica Def. 10: ( alfabeto, conjunto de fórmulas e fórmula).

uma atribuição de valor-verdade v satisfaz (v é um modelo para v deixa verdadeira) sse para toda , v´() = V (v satisfaz )

é satisfatível (consistente) sse existe uma atribuição de valor-verdade v para que satisfaz .

é insatisfatível (inconsistente) ( | ) sse não for satisfatível.

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Semântica Sumário da classificação das fórmulas (Def.

10: )

FÓRMULA

a) VÁLIDA (TAUTOLOGIAS (|= ))

b) INVÁLIDA

b1) SATISFATÍVEL (CONSISTENTE)

b2) INSATISFATÍVEL ( | ) (INCONSISTENTE, CONTADIÇÃO)

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Exemplos = ~(~P) P

P ~P ~(~P) ~(~P) Pv 1 V F V Vv 2 F V F V

= {P, P Q}P Q P Q

v 1 V V Vv 2 V F Fv 3 F V Vv 4 F F V

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Semântica Def. 11 Seja um alfabeto proposicional, uma fórmula sobre

e um conjunto de fórmulas de L().

é uma consequência lógica (implicação lógica) de ( |= ) se e somente se, para toda atribuição de valor-verdade v, se v satisfaz então v satisfaz .

“Argumento dedutível válido: se as premissas forem verdadeiras, é impossível a conclusão ser falsa”

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Exemplo = {P, P Q} e = Q; observe que |=

P Q P Qv 1 V V Vv 2 V F Fv 3 F V Vv 4 F F V

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Método de Prova: Tabelas Verdade

Provar que uma fórmula é consequência lógica de um conjunto de fórmulas é um problema decidível.

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Tabelas Verdade Procedimento de decisão:

Se é um conjunto finito de fórmulas e é uma fórmula.

então o número de símbolos proposicionais ocorrendo em e é finito (digamos n).

logo, há um número finito de interpretações (atribuições de valor-verdade) distintas para estes símbolos ( = 2n).

Assim, para decidir (provar) |= basta enumerar todas as interpretações e, para cada uma delas que satisfizer , verificar se ela também satisfaz .

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Retornado a questão do nosso Exemplo:Sócrates está ou não disposto a visitar Platão?

A descrição da situação:Sócrates: (Q P)Platão: (P ~Q) & (~P Q)

A pergunta:{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= Pou ?{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= ~P

A Resposta pode ser obtida pela tabela verdade.

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Exemplo A resposta:

P Q ~P ~Q QP P~Q ~PQ (P~Q) &

(~PQ)v 1 V V F F V F V Fv 2 V F F V V V V Vv 3 F V V F F V V Vv 4 F F V V V V F F ou seja, {(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= P

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Teorema da Dedução Teorema 1: (Teorema da Dedução)

Sejam dadas as fórmulas 1 , ... , n e . Então,

{ 1 , ... , n } |= sse |= (1 & ... & n) Consequência Lógica Tautologia

Assim a fórmula (1 & ... & n) é chamada de um teorema, as fórmulas 1 , ... , n são as hipóteses e a fórmula é a conclusão do teorema.

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Teorema da Dedução Teorema 2:

Sejam dadas as fórmulas 1 , ... , n e .Então,

{ 1 , ... , n } |= sse | (1 & ... & n & ~)Consequência Lógica Contradição

Provar que uma fórmula é consequência lógica de um conjunto de fórmulas é equivalente a provar que a fórmula (& ~ ) é insatisfatível. Esse tipo de prova é chamada Prova por Refutação.

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Equivalência Lógica Def. 12 é tautologicamente equivalente a

( |=| ) sse toda fórmula de for consequência lógica de e vice-versa.

Se e são finitos: = {1 , ... , n} e = {1 , ... , m},

e são tautologicamente equivalentes sse

(1 & ... & n) (1 & ... & m) for uma tautologia, ou seja:

|=| sse |= (1 & ... & n) (1 & ... & m)

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Equivalência Lógica Pares de fórmulas (A e B) tautologicamente

equivalentes (“leis” da lógica):

A B associatividade

comutatividade distributividade “

eliminação da dupla negação

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Equivalência Lógica Continuação “leis” da lógica:

A B Implicação

Material “ Lei De Morgan “

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Equivalência Lógica Continuação “leis” da lógica:

Considere as seguintes representações dos valores verdade V = ▪ e F =

A B Lei da Identidade▪ “▪ ▪ Lei do Valor

Predominante “

▪

““

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Formas Normais Def. 13 Se 1 , ... , n são fórmulas, então a

fórmula 1 & ... & n é chamada a conjunção de 1 , ... , n e a fórmula 1 ... n é chamada a disjunção de 1 , ... , n .

Def. 14 Um literal é uma fórmula atômica ou a negação de uma fórmula atômica.

Def. 15 Uma fórmula é dita estar na forma normal conjuntiva se e somente se a tem a forma 1 & ... & n , n 1, onde cada i , i n, é uma disjunção de literais.

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Formas Normais Def. 16 Uma fórmula é dita estar na

forma normal disjuntiva se e somente se tem a forma 1 ... n, n 1, onde cada i , i n, é uma conjunção de literais.

Toda fórmula pode ser transformada para uma forma normal.

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Algoritmo para obtenção da Forma Normal

Passo 1: Usar as “leis”:

para eliminar os conectivos e

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Passo 2: Usar repetidamente a “lei”:

e as “leis” de De Morgan:

para colocar o símbolo de negação imedia-tamente antes das fórmulas atômicas.

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Passo 3 Usar repetidamente as “leis”:

e as outras “leis” para obter a forma normal.

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Forma Normal Exemplo: Obter a Forma Normal Conjuntiva de

(P ^ (Q → R) ) → S= ~(P ^ (~Q v R) ) v S= (~P v ~(~Q v R) ) v S= (~P v (Q ^ ~R) ) v S= ((~P v Q) ^ (~P v ~R) ) v S= (S v ~P v Q) ^(S v ~P v ~ R)

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Forma Normal Exemplo: Obter a Forma Normal Disjuntiva

de (P ^ (Q → R) ) → S= ~(P ^ (~Q v R) ) v S= (~P v ~(~Q v R) ) v S= (~P v (Q ^ ~R) ) v S= ~P v (Q ^ ~R) v S

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Forma Normal Exemplo: Use as Formas Normais para provar a tautologia

Modus Ponens. |= ( (P → Q) ^ P ) → Q

= ~( (~P v Q) ^ P) ) v Q= (~ (~P v Q) v ~P) ) v Q= ((P ^ ~Q) v ~P ) v Q= ((P v ~P) ^ (~Q v ~P)) v Q= ( ▪ ^ (~Q v ~P)) v Q= (~Q v ~P) v Q= (~Q v Q) v ~P= ▪ v ~P= ▪

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Exemplo de um Problema: Síntese Química

Descrição da situação: Supor que podemos realizar as seguintes

reações químicas: MgO + H2 –> Mg + H2O C + O2 –> CO2 CO2 + H2O –> H2CO3

Supor ainda que temos alguma quantidade de MgO, H2, O2 e C.

Queremos mostrar que podemos obter H2CO3.

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Formalização do problema:

considerar MgO, H2, O2 , C, Mg, H2O e H2CO3 fórmulas atômicas

representar as reações químicas pelas fórmulas: 1 : (MgO & H2) (Mg & H2O) 2 : (C & O2) CO2 3 : (CO2 & H2O) H2CO3

representar o fato de ter MgO, H2, O2 e C pelas fórmulas atômicas: 4 : MgO 5 : H2 6 : O2 7 : C

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Resolver a Questão é verificar a seguinte implicação Lógica:

{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } |= H2CO3 ?

que pode ser também colocado como: | 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & ~ H2CO3

?

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Poderíamos resolver esse problema através do método da tabela da verdade. No entanto, vamos mostrar um outro método que também utiliza as Formas Normais: Método da Multiplicação.

Método da Multiplicação: Numa forma disjuntiva, qualquer conjunção contendo um par complementar (P e ~P) é removida.

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1 & ........ & 7 & ~H2CO3 = ((MgO & H2) (Mg & H2O) &((C & O2) CO2) &((CO2 & H2O) H2CO3) &MgO & H2 & O2 & C & ~ H2CO3

|=| (~MgO ~H2 Mg) & (~MgO ~H2 H2O) & (~C ~O2 CO2) &(~CO2 ~H2O H2CO3) &MgO & H2 & O2 & C & ~H2CO3

|=| (~MgO ~H2 Mg) & (~MgO ~H2 H2O) &MgO & H2 & (~C ~ O2 CO2) & C & O2 &(~CO2 ~ H2O H2CO3) & ~ H2CO3

|=| Mg & H2O & MgO & H2 & CO2 & C & O2 &(~CO2 ~H2O) & ~H2CO3

|=| (~CO2 ~H2O) & H2O & CO2 & Mg &MgO & H2 & C & O2 & ~H2CO3

|=| & Mg & MgO & H2 & C & O2 & ~H2CO3

|=| .

onde representa uma fórmula do tipo ( & ~) que é sempre inconsistente

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